第四章 解析函数的幂级数表示法解剖

第四章 解析函数的幂级数表示法级数也是研究解析函数的一个重要工具，这部分内容大都是数学分析中的内容的平移推广。

第一节 复级数的基本性质（1）教学课题：第一节 复级数的基本性质（1）教学目的：1、理解复级数敛、散、和的定义并掌握收敛性的刻画定理；2、掌握复级数的绝对收敛性的概念及其判别法；3、切实了解复函数项级数收敛与一致收敛的定义；4、掌握柯西—一致收敛准则和优级数准则；5、掌握复连续函数项级数的性质，并充分了解复函数级数的内闭一致收敛性。

6、了解关于解析函数项级数的威尔斯特拉斯定理。

教学重点：复级数敛、散、和的定义并掌握收敛性的刻画定理； 教学难点：复函数级数的内闭一致收敛性。

教学方法：启发式教学手段：多媒体与板书相结合教材分析：复级数也是研究解析函数的一种重要工具，它是我们根据原来函数项级数的内闭一致收敛对级数进行分析性质的研究。

教学过程：1、复数项级数和复数序列： 1.1复数序列及其敛散性 复数序列就是：,...,...,,222111n n n ib a z ib a z ib a z +=+=+=在这里，nz 是复数，,Im ,Re n n n n b z a z ==一般简单记为}{n z 。

按照|}{|n z 是有界或无界序列，我们也称}{n z 为有界或无界序列。

设0z 是一个复常数。

如果任给0>ε，可以找到一个正数N ，使得当n>N 时ε<-||0z z n ,那么我们说}{n z 收敛或有极限0z ，或者说}{n z 是收敛序列，并且收敛于0z ，记作lim z z n n =+∞→。

如果序列}{n z 不收敛，则称}{n z 发散，或者说它是发散序列。

令ib a z +=0，其中a 和b 是实数。

由不等式||||||||||0b b a a z z b b a a n n n n n -+-≤-≤--及容易看出，0lim z z n n =+∞→等价于下列两极限式：,lim ,lim b b a a n n n n ==+∞→+∞→因此，有下面的注解：注解1、序列}{n z 收敛（于0z ）的必要与充分条件是：序列}{n a 收敛（于a ）以及序列}{n b 收敛（于b ）。

注解2、复数序列也可以解释为复平面上的点列，于是点列}{n z 收敛于0z ，或者说有极限点0z 的定义用几何语言可以叙述为：任给0z 的一个邻域，相应地可以找到一个正整数N ，使得当n>N 时，n z 在这个邻域内。

注解3、利用两个实数序列的相应的结果，我们可以证明，两个收敛复数序列的和、差、积、商仍收敛，并且其极限是相应极限的和、差积、商。

1.2 复数项级数及其敛散性 复数项级数就是......21++++n z z z或记为∑∞+=1n n z，或∑nz ，其中n z 是复数。

定义其部分和序列为：n n z z z +++=...21σ如果序列{}n σ收敛，那么我们说级数∑n z收敛；如果{}n σ的极限是σ，那么说∑n z的和是σ，或者说∑n z收敛于σ，记作σ=∑∞+=1n n z ，如果序列{}n σ发散，那么我们说级数∑nz 发散。

注解1、对于一个复数序列}{n z，我们可以作一个复数项级数如下...)(...)()(123121+-++-+-+-n n z z z z z z z则序列}{n z 的敛散性和此级数的敛散性相同。

注解2、级数∑nz 收敛于σ的N -ε定义可以叙述为：有时使得当,,0,0N n N >>∃>∀εεσ<-∑=||1nk k z ，注解3、如果级数∑n z 收敛，那么,0)(lim lim 1=-=++∞→+∞→n n n n n z σσ定理4.1、令 σσIm ,Re ,Im ,Re ,Re =====b a z b z a z a nn n n n n ，我们有∑∑==+=nk kn k k n b i a 11σ因此，级数∑n z 收敛（于σ）的必要与充分条件是：级数∑n a 收敛（于a ）以及级数∑nb收敛（于b ）。

注解、关于实数项级数的一些基本结果，可以不加改变地推广到复数项级数，例如下面的柯西收敛原理：柯西收敛原理（复数项级数）：级数∑nz 收敛必要与充分条件是：任给0>ε，可以找到一个正整数N ，使得当n>N ，p=1,2,3,…时，ε<++++++|...|21p n n n z z z柯西收敛原理（复数序列）：序列}{n z 收敛必要与充分条件是：任给0>ε，可以找到一个正整数N ，使得当m 及n>N ，ε<-||m n z z对于复数项级数∑n z ，我们也引入绝对收敛的概念：如果级数...||...||||21++++n z z z收敛，我们称级数∑nz 绝对收敛。

注解1、级数∑n z 绝对收敛必要与充分条件是：级数∑n a 以及∑n b 绝对收敛：事实上，有,||||||||||11122111∑∑∑∑∑∑======+≤+=≤k k nk k nk kk n k nk n k k n k k b a b a z b a 及注解2、若级数∑n z 绝对收敛，则∑nz一定收敛。

例、当1||<α时，......12+++++n ααα绝对收敛；并且有0lim ,11 (111)2=--=++++++∞→+n n n nαααααα我们有，当1||<α时，.11......12αααα-=+++++n如果复数项级数'∑n z 及"∑n z 绝对收敛，并且它们的和分别为",'αα，那么级数)...("1'"1'21"'1z z z z z z n n n n +++-∞+=∑ 也绝对收敛，并且它的和为"'αα。

第一节 复级数的基本性质（2）教学课题：第一节 复级数的基本性质教学目的：1、理解复级数敛、散、和的定义并掌握收敛性的刻画定理；2、掌握复级数的绝对收敛性的概念及其判别法；3、切实了解复函数项级数收敛与一致收敛的定义；4、掌握柯西—一致收敛准则和优级数准则；5、掌握复连续函数项级数的性质，并充分了解复函数级数的内闭一致收敛性。

6、了解关于解析函数项级数的威尔斯特拉斯定理。

教学重点：复级数敛、散、和的定义并掌握收敛性的刻画定理； 教学难点：复函数级数的内闭一致收敛性。

教学方法：启发式教学手段：多媒体与板书相结合教材分析：复级数也是研究解析函数的一种重要工具，它是我们根据原来函数项级数的内闭一致收敛对级数进行分析性质的研究。

2、一致收敛的复函数项级数和复函数序列：定义4.3 设,...)2,1)}(({=n z f n 在复平面点集E 上有定义，那么：...)(...)()(21++++z f z f z f n是定义在点集E 上的复变函数项级数，记为∑+∞=1)(n nz f，或∑)(z f n 。

设函数f (z )在E 上有定义，如果在E 上每一点z ，级数∑)(z f n都收敛于f (z )，那么我们说此级数在E 上收敛（于f (z )），或者此级数在E 上有和函数f (z )，记作),()(1z f z fn n=∑+∞=设),...(),...,(),(21z f z f z f n是E 上的复变函数列，记作+∞=1)}({n n z f 或)}({z f n 。

设函数)(z ϕ在E 上有定义，如果在E 上每一点z ，序列)}({z f n 都收敛（于)(z ϕ），那么我们说此序列在E 上收敛（于)(z ϕ），或者此序列在E 上有极限函数)(z ϕ，记作),()(lim z z f n n ϕ=+∞→注解1、复变函数项级数∑)(z f n收敛于f (z )的N -ε定义可以叙述为：有时使得当,,0,0N n N >>∃>∀ε.|)()(|1ε<-∑=z f z f n k k注解2、复变函数序列)}({z f n 收敛于)(z ϕ的N -ε定义可以叙述为：有时使得当,,0,0N n N >>∃>∀ε.|)()(|εϕ<-z z f n定义4.4 如果任给0>ε，可以找到一个只与ε有关，而与z 无关的正整数)(εN N =，使得当E z N n ∈>,时，有.|)()(|1ε<-∑=z f z f nk k或 .|)()(|εϕ<-z z f n 那么我们说级数∑)(z f n或序列)}({z fn在E 上一致收敛（于f (z )或)(z ϕ）。

注解、和实变函数项级数和序列一样，我们也有相应的柯西一致收敛原理： 定理4.5 柯西一致收敛原理（复函数项级数）：复变函数项级数∑)(z f n在E 上一致收敛必要与充分条件是：任给0>ε，可以找到一个只与ε有关，而与z 无关的正整数)(εN N =，使得当E z N n ∈>,，p =1,2,3,…时，有.|)(...)()(|21ε<++++++z f z f z f p n n n柯西一致收敛原理 （复变函数序列）：复变函数序列)}({z f n 在E 上一致收敛必要与充分条件是：任给0>ε，可以找到一个只与ε有关，而与z 无关的正整数)(εN N =，使得当E z N n m ∈>,,时，有.|)()(|ε<-z f z f m n注解、一致收敛的魏尔斯特拉斯判别法（M-判别法）：设,...)2,1)}(({=n z f n 在复平面点集E 上有定义，并且设是一个收敛的正项级数。

设在E 上，,...),2,1( |)(|=≤n a z f n n那么级数∑)(z f n在E 上一致收敛。

定理4.6 设复平面点集E 表示区域、闭区域或简单曲线。

设,...)2,1)}(({=n z f n 在集E 上连续，并且级数∑)(z f n或序列)}({z fn在E 上一致收敛于f (z )或)(z ϕ，那么f (z )或)(z ϕ在E 上连续。

定理4.7 设,...)2,1)((=n z f n 在简单曲线C 上连续，并且级数∑)(z f n或序列)}({z fn在C 上一致收敛于f (z )或)(z ϕ，那么,)()(1⎰∑⎰=+∞=Cn Cn dz z f dz z f或.)()(⎰⎰=CCn dz z dz z f ϕ注解1、在研究复变函数项级数和序列的逐项求导的问题时，我们一般考虑解析函数项级数和序列；注解2、我们主要用莫勒拉定理及柯西公式来研究和函数与极限函数的解析性及其导数。

设函数,...)2,1)}(({=n z f n 在复平面C 上的区域D 内解析。