二阶系统性能指标.

Mp e


1 2
100%
单位脉冲响应
可由阶跃响应求导数得到
调节时间 ts
1 1
根据调节时间的定 义，当t≥ts时，应有
c(t ) c() c()
求解时令
1
1 C (ts )
nts e 1 Sin(dts ) 2
ts
因1、符合上式答案有多个;2、ts不连续 用包络线近似来简化计算
e 1 1
n tsnts e 1 21
1 Sin ( d t s ) 2
1
nts e 1 2
Sin(dts ) 1
取得包络线方程
1
1
系统的瞬态响应指标
试分析：1）该系统能否正常工作？ 2）若要求=0.707，系统应作如何改进？
R(s) -
10 s2
C(s)
C(s) 10 2 R (s) s 10
R (s ) 1 s
=0
无阻尼
c(t) 1 cos 10t
等幅不衰减振荡
上升时间tr
峰值时间tp
0
5% c() or 2% c()
调节时间ts
t
tr t p
ts
当（>=1）时阶跃响应没有超调，此时， 上升时间的定义修改如下：
1.0 0.9 0.5 0.1 0
C(t)
t ( 0.10.9 ) t ( 0 0. 9 )
tr tr
t
2） 欠阻尼二阶系统阶跃响应的特征量的计算： 上升时间
过阻尼：>1
c(t )
n
2 1
2
(e
( 2 1 ) nt
e
( 2 1 ) nt
)
二、二阶系统阶跃响应的特征量
第一次进入误差带 不再出来的时间 c(t) r(t) 1.0
最大超调量Mp，常用相对量描述 第一次达到稳态值时间 Mp％＝ [c(tp)-c(∞)]/c(∞)*100% ±Δ 带 误差
其中第二项与 有关，相对第一项在一定范围内可以忽略

ln 1 2
0.2 -0.02
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
-0.087 -0.144 -0.223 -0.337 - 0.51
3 ~ 4 ts
适用
n
: 0 ~ 0.8
0.05 ~ 0.02
ts
ln ln 1 2
依定义有：
ntr e C (tr ) 1 Sin(dtr ) 1 2 1
tr
ntr e 1 2
tr d
entr Sin(dtr ) 0 1 2 Sin(dtr ) 0 0 dtr
dtp k
！第一个峰值
d t p
峰值时间等于阻尼 振荡周期的一半 ξ一定时，ωn越 大， tp越小； ωn一定时，ξ越大， tp越大。
tp d
tp d n 1 2
百分比 超调量 Mp%
当t=tp时，c(t)有最大值max(t)=c(tp)， 而阶跃响应的稳态值为1，最大超调量为：
nts e 1 2 1
包络线与误差带 交点是唯一的
nts e 1 1 2 1
2 2 1 1 ts ln ( 1 ) (ln ln 1 ) n n 当 0.05 其中第一项 ln 3 ln 4 当 0.02
2
Siwk.baidu.com (dtp ) Sin ( ) Sin 1
np
t e MP % Sin(dtp ) 100%
1 2
e


1 2
Sin(dtp ) 100%


1 2
Mp e
100%
最大超调量
仅与阻尼比ξ有关， 故可以通过实验 求取最大超调量 然后可求系统阻 尼比。 ξ越大，Mp 越小， 系统的平稳性越好 ξ = .4~0.8 Mp = 25.4%~1.5%。
n t 2
c(t ) 1
e
1
sin d t
C (tP ) C () MP % 100% C ( )
t e Sin(dtp ) 100%
n p
1 2
tp
d
d n
1 2
n t p
1 2
第 一 次 到 达
ξ一定时，ωn越大，tr越小； ωn一定时，ξ越大，tr越大。
峰值时间 tp
nt e C(t ) 1 Sin (dt ) 2 1
令：dC( t ) | tp 0 dt
d [ entp Sin (dtp )] 0 dt 1 2
n
实际的ωnts—ξ曲线
当ξ由零增大时， ωnts先减小后增大， ∆= 5%，ωnts的最 小值出现在ξ＝ 0.78处； ∆= 2%，ωnts的最 小值出现在ξ＝ 0.69处； 出现最小值后， ωnts随ξ几乎线性 增加。
结论：
当ξ增加到0.69或0.78时，调整时间ts为 最小。设计二阶系统，一般选ξ=0.707,为最 佳阻尼比,此时不但调整时间ts为最小,而且 超调量也不大。
nentp Sin(dtp ) dentpCos(dtp ) 0
Sin(dtp ) 1 2 Cos(dtp ) 0
1 2 tg (dtp ) 2 1 d tan d t tan n
三、二阶系统的单位脉冲响应
2 n C ( s) 2 2 R(s) s 2 n s n
R( s ) 1
(t0)
欠阻尼：0< <1
c(t )
n e t sin d t 1 2
n
无阻尼：=0
c(t ) n sin nt
临界阻尼：=1 2 nt c(t ) n te