matlab实验七及实验八

实验七 线性二次型指标最优控制系统设计

一、实验目的

1、学习线性二次型指标最优控制系统设计方法。

2、完成线性二次型指标最优控制系统设计实践。

二、相关知识

最优控制系统是指在一定的具体条件下，在完成所要求的控制任务时，系统的某种性能指标具有最优值。根据系统的不同用途，可提出各种不同的性能指标，最优控制的设计就是选择最优控制以使某一种性能指标为最小(或者最优值)。在实际工程应用中，最优控制系统的性能指标通常采用二次型指标。 对于状态完全能控的线性连续定常系统，其状态方程为()()()x t x t u t =+A B ，x(0)=x0。其输出方程为()()()y t x t u t =+C D ，式中：

x(t)为n 维状态变量； u(t)为p 维输入控制变量，且不受约束；A 为n ×n 维状态矩阵，常数矩阵；B 为n ×p 维输入矩阵，常数矩阵；C 为m ×n 维输出矩阵，常数矩阵；D 为m ×p 维输入矩阵，常数矩阵。y(t)为m 维输出变量； 引入的线性二次型(Linear Quadratic)指标为：

T T 0

1[()()()()]d 2t x t t t ∞=+⎰J x Q u t Ru 式中，积分上限为∞，即调节时间tf→∞；Q 和R 均为正定的对称常数矩阵，实际上分别是对状态量x(t)和控制量u(t)的加权矩阵。

根据最优控制理论，使线性二次型指标J(式6.66)取最小值的最优控制*()u t 为：

*1T ()()()t t t -=-=-u Kx R B Px

式中，1T -=K R B P 为最优反馈增益矩阵；P 矩阵为对称常数矩阵；P 矩阵可通过求解代数黎卡提(Riccati)方程

T 1T 0-+-+=PA A P PBR B P Q 这时，最优性能指标为

*T 1(0)(0)2

J =x Px 可见，设计最优控制系统的重要一步就是求解黎卡提(Riccati)方程。 线性二次型指标状态反馈最优控制系统结构图如图所示。

线性二次型指标J 的最优性取决于如何确定加权矩阵Q 和R ，但这两个矩阵的选择并没有解析方法，只能作定性的选择。一般情况下，对单输入系统，如果

希望输入控制信号u(t)小，则R 矩阵的值选择大一些；对多输入系统，如果希望第i 个输入控制信号u i (t)小，则R 矩阵第i 列的值应该选择大一些。如果希望第j 个状态变量x j (t)的值小一些，那么相应的就应该把Q 矩阵的第j 元素取大点，这时最优化功能会迫使该状态变量变小。

系统最优控制*()u t 为*

()()t t =-u Kx ，式中，最优反馈增益矩阵1T T ()-=+K R B P N

式中，对称常数矩阵P 满足代数黎卡提(Riccati)方程

T 1T T ()()0-+-+++=PA A P PB N R B P N Q

三、实验内容

1. 设线性系统的状态方程为010001⎡⎤⎡⎤=+⎢

⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

x x u ，试设计使系统线性二次型性能指标T T 01[()()()()]d 2t t t t t ∞=+⎰J x Qx u Ru 。式中，2114⎡⎤=⎢⎥⎣⎦Q ，R=1/2。取最小时的最优控制*()u t ，计算最优状态反馈矩阵K ，画出状态反馈最优控制系统结构图。

解：根据题意，计算最优状态反馈矩阵K ，设计最优控制*()u t 的MATLAB 程序如下：

A=[0,1;0,0];

B=[0,1]'; %该语句的′号代表求矩阵转置

C=[1,0];D=0;

Q=[2,1;1,4];

R=1/2;

[K,P,E]=lqr(A,B,Q,R) %计算并显示最优状态反馈矩阵K 、P 矩阵和特征值E 上述程序执行后，计算出的最优状态反馈矩阵K 为[]2.0 3.4641=K

那么，使系统线性二次型性能指标J 取最小的最优控制*()u t 为

*12()2() 3.4641()u t x t x t =-- 另外，代数黎卡提(Riccati)方程的解P 矩阵为 2.464111 1.7321⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

P 闭环系统特征方程的特征值为1 2.7321λ=-，20.7321λ=-

由自动控制理论，上述特征值均具有负实部，闭环系统是渐近稳定的。 根据以上计算，可得到状态反馈最优控制系统结构图如图所示。

2. 设线性系统的状态方程为0100()001()0()169121t t t ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦

x x u ,输出方程为()[100]()t t =y x 。使系统线性二次型性能指标

T 2T 03000001[()010()()2()0()]d 20011t t t t t t ∞

⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰J x x u x u 取最小值。 试：

（1）计算最优状态反馈矩阵K 、代数黎卡提方程的解(即P 矩阵)和闭环系统的特征值(即E 矩阵)；

（2）画出状态反馈最优控制系统结构图。

解：根据题意，编写MATLAB 程序时，[K,P,E]=lqr(A,B,Q,R,N)所需要的入口参数A 、B 、Q 、R 、N 矩阵分别为 010********⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥---⎣⎦A ，001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B ，30000010001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Q ，R =1，001⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

N MATLAB 程序如下：

A=[0 1 0;0 0 1;-16 -9 -12];B=[0;0;1];

Q=[300 0 0;0 1 0;0 0 1];R=1;N=[0;0;1];

[K,P,E]=lqr(A,B,Q,R,N)

上述程序执行后，计算出的最优状态反馈矩阵K 为[]7.57978.5922 1.6449=K