三角形内角和定理2
三角形三边关系、内角和、外角定理
三角形三边关系、三角形内角和定理定理：三角形两边的和大于第三边。
表达式：△ABC 中，设a ＞b ＞c 则b-c ＜a ＜b+ca-c ＜b ＜a+ca-b ＜c ＜a+b 给出三条线段的长度，判断它们能否构成三角形。
方法（设a 、b 、c 为三边的长）①若a+b ＞c ，a+c ＞b ，b+c ＞a 都成立，则以a 、b 、c 为三边的长可构成三角形； ②若c 为最长边且a+b ＞c ，则以a 、b 、c 为三边的长可构成三角形； ③若c 为最短边且c ＞|a-b|，则以a 、b 、c 为三边的长可构成三角形。
④已知三角形两边长为a 、b ，求第三边x 的范围：|a-b|＜x ＜a+b 。
1、已知：如图△ABC 中AG 是BC 中线，AB=5cm AC=3cm ，则△ABG 和△ACG 的周长的差为多少？△ABG 和△ACG 的面积有何关系？2、三角形的角平分线、中线、高线都是（ ）A 、直线B 、线段C 、射线D 、以上都不对3、三角形三条高的交点一定在（ ）A 、三角形的内部B 、三角形的外部C 、顶点上D 、以上三种情况都有可能4、直角三角形中高线的条数是（ ）A 、3B 、2C 、1D 、05、现有10cm 的线段三条，15cm 的线段一条，20cm 的线段一条，将它们任意组合可以得到几种不同形状的三角形？6、下列各组里的三条线段组成什么形状的三角形？（1）3cm 4cm 6cm （2）4cm 4cm 6cm（3）7cm 7cm 7cm （4）3cm 3cm ７ｃｍ7、已知△ABC 中，a=6，b=14，则c 边的范围是专题检测1.指出下列每组线段能否组成三角形图形（1）a=5,b=4,c=3 （2）a=7,b=2,c=4（3）a=6,b=6,c=12 （4）a=5,b=5,c=62.已知等腰三角形的两边长分别为11cm 和5cm ，求它的周长。
3.已知等腰三角形的底边长为8cm ，一腰的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长2cm ，求这个三角形的腰长。
5.5三角形内角和定理(2)
八年级数学导学稿第五章几何证明初步5.5三角形内角和定理(2)开发区初中八年级数学备课组学习目标：1、掌握直角三角形的性质定理及其逆命题。
2、经历探索直角三角形的性质定理及其逆命题的推理的过程，进一步培养学生的推理能力.从而使他们灵活应用所学知识。
重点：直角三角形的性质定理及其逆命题。
难点：灵活应用所学知识证明直角三角形的性质定理及其逆命题。
教学过程：【温故知新】1、三角形内角和定理的内容是什么？2、取一副三角尺，你能说出每个三角尺的两个锐角的度数吗？同一副三角尺的两个锐角的和是多少度？【探索新知】1、已知：在直角△ABC中,∠ACB=900，求证：∠A+∠B =9002、合作探究：直角三角形的性质定理： ------------------3、你能说出直角三角形的性质定理的逆命题吗？它是真命题还是假命题？如果是真命题，请加以证明；如果是假命题，请举一反例。
4、例1:已知：在直角△ABC中, ∠ACB=900， DC⊥AB,垂足是D求证：∠ACD =∠BD CB A【巩固提升】如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AD ⊥BC 于D,则∠B=∠________,∠C=∠________.【课堂小结】【达标检测】1、将一副常规的三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB 的度数为A ．75°B ．95°C ．105°D ．120°2.已知：如图，在Rt △ABC 和Rt △BAD 中，AB 为斜边，AC=BD,BC,AD 相交于点E（1） 求证：AE=BE;（2） 若∠AEC= 45，AC=1，求CE 的长。
AC【我的反思】。
7.5三角形的内角和定理第2课时教案
3.空间观念：通过画辅助线转化不规则图形，培养学生的空间想象力和图形分析能力。
4.数据分析：在解决实际问题时，能对数据进行整理和分析，提高学生的数据分析能力。
5.数学抽象：理解并掌握特殊三角形的内角和性质，提高学生的数学抽象和概括能力。
本节课将帮助学生将这些核心素养内化为自身的数学素养，为学生的终身发展奠定基础。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心知识：三角形内角和定理的理解与应用。
-重点内容：
a.确保学生理解并掌握三角形的三个内角之和为180度。
b.学会运用三角形内角和定理计算未知角度。
c.能够通过画辅助线，将不规则图形转化为含有三角形的图形，进而求解。
c.对特殊三角形的内角和性质的理解，以及如何将这些性质应用于解决问题。
举例解释：
a.对于定理证明的难点，教师可以通过动画或实物模型演示，帮助学生直观理解定理的成立。
b.在识别和构造三角形的难点上，教师可以提供多个不同难度的例题，引导学生逐步学会观察图形，识别关键信息。
c.对于特殊三角形的内角和，教师可以通过构造具体例子，如等腰三角形的底角相等，等边三角形的三个角都相等，让学生通过实际操作和观察，加深理解。
五、教学反思
在今天的教学中，我发现学生们对三角形内角和定理的理解和应用方面存在一些问题。首先，部分学生在理解定理的证明过程上感到困惑，尤其是对于逻辑推理的步骤。在今后的教学中，我需要更加注重逐步引导，通过生动的例子和直观的演示，帮助他们理清证明思路。
其次，学生在解决实际问题时，还不太会主动地构造三角形来简化问题。这可能是因为他们对图形的观察和分析能力还不够强。因此，我计划在接下来的课程中，增加一些关于图形识别和分析的训练，让学生在动手实践中逐步提高解决问题的能力。
三角形内角和定理知识点总结
三角形内角和定理知识点总结三角形是我们在数学学习中经常接触到的一个重要图形，而三角形内角和定理则是三角形的一个基本性质。
掌握这个定理对于解决与三角形相关的问题至关重要。
接下来，让我们详细了解一下三角形内角和定理的相关知识点。
一、三角形内角和定理的内容三角形内角和定理指出：在任意一个三角形中，三个内角的度数之和总是等于 180 度。
这一定理适用于所有类型的三角形，无论是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形。
二、三角形内角和定理的证明方法1、度量法通过实际测量三角形三个内角的度数，然后将它们相加，多次测量并取平均值，可以发现其和接近180 度。
但这种方法存在一定的误差。
2、剪拼法将三角形的三个内角剪下来，然后拼在一起，可以拼成一个平角，从而直观地证明三角形内角和为 180 度。
3、作平行线法（1）过三角形的一个顶点作其对边的平行线。
利用平行线的性质，如内错角相等、同位角相等，将三角形的三个内角转化到一条直线上，形成一个平角，从而证明定理。
（2）在三角形内部任取一点，然后分别向三角形的三个顶点作平行线。
同样利用平行线的性质，将三角形的三个内角转化到一起，得到 180 度。
三、三角形内角和定理的应用1、求三角形中未知角的度数已知三角形中两个角的度数，根据三角形内角和定理，可以求出第三个角的度数。
例如，在一个三角形中，已知∠A ＝ 50°，∠B ＝ 60°，则∠C ＝180° 50° 60°＝ 70°2、判断三角形的类型（1）如果一个三角形的三个内角都小于 90 度，那么这个三角形是锐角三角形。
（2）如果一个三角形有一个内角等于 90 度，那么这个三角形是直角三角形。
（3）如果一个三角形有一个内角大于 90 度，那么这个三角形是钝角三角形。
3、解决实际问题在实际生活中，三角形内角和定理也有广泛的应用。
比如在测量、建筑、导航等领域。
例如，在测量山峰的高度时，可以利用三角形内角和定理和三角函数来计算。
2.三角形的内角外角及正多边形的内角和
三角形的内角外角及多边形的内角1.三角形内角与外角定理及性质⑴三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°，直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形.⑵三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 三角形的一个外角和与之相邻的内角互补.例1.如图，AF，AD分别是△ABC的高和角平分线，且∠B＝36°，∠C＝76°，求∠DAF的度数．例2.如图，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC中，三角板的两条直角边XY和XZ恰好分别经过点B 和点C.(1)若∠A＝30°，则∠ABX＋∠ACX的大小是多少？(2)若改变三角板的位置，但仍使点B、点C在三角板的边XY和边XZ上，此时∠ABX＋∠ACX的大小有变化吗？请说明你的理由．例3.如图，求证：∠BOC＝∠A＋∠B＋∠C.变式练习1.如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4的度数为________．2.如图，点D，E分别是AB，AC上的点，连接BE，CD，若∠B＝∠C，则∠AEB与∠ADC的大小关系是()A．∠ADC>∠AEB B．∠ADC＝∠AEB C．∠ADC<∠AEB D．不确定第2题第3题3.如图，B处在A处的南偏西60°方向，C处在A处的南偏东20°方向，C处在B处的正东方向，求∠ACB 的度数4.如图，已知在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点O，若∠BOC＝140°，求∠A的度数．5.如图，△ABC中，∠A＝50°，点D，E分别在AB，AC上，则∠1＋∠2的大小为第5题第7题第8题6.已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的外角度数之比为2∶3∶4，则这个三角形是()A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰三角形7.如图，∠1、∠2、∠3、∠4恒满足的关系是()A．∠1＋∠2＝∠3＋∠4 B．∠1＋∠2＝∠4－∠3C．∠1＋∠4＝∠2＋∠3 D．∠1＋∠4＝∠2－∠34.如图，△ABC中，∠B和∠C的外角平分线相交于点D，则∠BDC＝()A.12(90°－∠A) B．90°－∠A C.12(180°－∠A) D．180°－∠A1.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.2.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.3.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.4.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.5.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形.6.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面，7公式(1)多边形内角和公式：n 边形的内角和等于(2)n -·180° (2)多边形的外角和：多边形的外角和为360°.(3)多边形对角线的条数：①从n 边形的一个顶点出发可以引(3)n -条对角线，把多边形分成(2)n -个三角形.②n 边形共有(3)2n n -条对角线.例 4.下列说法：①等腰三角形是正多边形；②等边三角形是正多边形；③长方形是正多边形；④正方形是正多边形．其中正确的个数为( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个例5.如图，△ABC ，△ADE 及△EFG 都是等边三角形，D 和G 分别为AC 和AE 的中点，若AB ＝4时，则图形ABCDEFG 外围的周长是( ) A ．12 B ．15 C ．18 D ．21变式练习1.一个正多边形的一个内角为162°,则这个多边形的边数为 .2.过m 边形的一个顶点有7条对角线，n 边形没有对角线，k 边形共有k 条对角线，则(m －k)n 为多少？3. 如图，图中分别是正方形、正五边形、正六边形，试求出∠1，∠2，∠3的度数。
三角形的角度和边长关系认识三角形的角度和边长关系
三角形的角度和边长关系认识三角形的角度和边长关系三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条不平行的线段所构成。
在我们学习三角形的过程中，了解其角度和边长之间的关系至关重要。
本文将深入探讨三角形的角度与边长的关系，帮助读者更好地理解和认识三角形。
一、三角形的内角和定理在三角形ABC中，A、B、C分别代表三个角，a、b、c分别代表BC、AC、AB三条边的长度。
根据三角形的性质，我们可以得到如下的内角和定理：∠A+∠B+∠C=180°这意味着三角形的三个内角之和等于180度。
我们可以通过这个定理来计算三角形中缺失的角度。
二、三角形边长与角度之间的关系1. 正弦定理对于任意一个三角形ABC，其三个角分别为A、B、C，三条边分别为a、b、c。
正弦定理可以帮助我们计算三角形的任意一边或一个角的大小。
正弦定理的表达式如下：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中，sinA、sinB和sinC分别代表角A、角B和角C的正弦值。
我们可以利用正弦定理来计算已知两条边和一个角的三角形的第三边和其他角度。
2. 余弦定理除了正弦定理，三角形的边长和角度之间还满足余弦定理。
对于任意一个三角形ABC，其三个角分别为A、B、C，三条边分别为a、b、c。
余弦定理的表达式如下：a² = b² + c² - 2bc*cosAb² = a² + c² - 2ac*cosBc² = a² + b² - 2ab*cosC其中，cosA、cosB和cosC分别代表角A、角B和角C的余弦值。
通过余弦定理，我们可以计算三角形的任意一边的长度，或者计算三角形的任意一个角的大小。
三、特殊三角形的角度和边长关系1. 等边三角形等边三角形是指三条边的长度都相等的三角形。
在等边三角形中，每个角的大小都为60°，并且根据正弦定理和余弦定理，可以计算出任意一条边的长度。
5.5三角形内角和定理(2)doc
B D E C5.5三角形内角和定理（2）一、教学目标：1、知识与技能：（1）了解直角三角形的表示法。
(2)掌握直角三角形的三个性质定理，能利用直角三角形的性质定理进行有关的计算和证明2、过程与方法：经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充。
3、情感态度与价值观: 通过“探索——发现——猜想——证明”的过程体验数学活动中的探索与创新，感受数学的严谨性，激发学生的好奇心和求知欲，培养学习的自信心。
二、教学重点与难点重点：直角三角形性质及应用。
难点：直角三角形性质定的证明。
三、教学过程（一）复习旧知、引入新课1、三角形的内角和定理是什么？2如图，在△ABC 中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC ＝54°，求∠DAC 的度数。
如图，已知△ABC 中，已知∠B ＝65°，∠C ＝45°，AD 是BC 边上的高， AE 是∠BAC 的平分线，求∠DAE 的度数。
（2）（二）引入新课：（1）取一副三角尺，你能说出每个三角尺中的两个锐角的度数吗？同一个三角尺的两个锐角的和是多少度？（2）任意画一个RT △ABC, ∠C ＝90°，它的两个锐角∠A 与∠B 之间有什么数量关系？怎样证明你的结论？∠A +∠B=90° 在RT △ABC 中，∵∠C +∠A +∠B = ︒180∴∠A +∠B = ︒180-∠C∵∠C ＝90° ∴∠A +∠B =90°B D C2 43 1A CB C D 于是，就得到直角三角形性质定理 ：直角三角形两个锐角互余。
直角三角形性质定理的逆命题 ：两个锐角互余的三角形是直角三角形。
例1、已知如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=16，BC=8，BD 平分∠ABC 。
求证：AD=BD练习巩固、掌握性质1、 Rt △ACB 中，∠ACB=90°CD ⊥AB,图中互余的角有几对2、如图，已知DF ⊥AB 于点F ，且∠A ＝45°，∠D ＝30°，求∠ACB 的度数。
三角形的内角和
∵ ∠1+∠2 +∠ AC B+ = 180° ﹙平角定义﹚
∴ ∠A C B +∠A +∠B = 180° ﹙ 等量代换﹚ 17
证法三
已知：△A B C.
证明：
求证：∠A +∠B +∠C =180°
EA
F
过A 作E F∥B C.
则∠E A B =∠B.
B
C
∠F A C = ∠C ﹙两直线平行,内错角相等﹚ ∵ ∠B A C + ∠E A B +∠C A F =180°
如图：R t △A B C 中， ∠C =90° 则∠A +∠B =90 °
21
例1、 已知：在△ABC中，
∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高， 求 ∠DBC的度数。
分析：∠DBC在△BDC中，∠BDC=900，为求
∠DBC的度数,只要求出∠C的度数即可。 A
解：设∠A= X，则∠C=∠ABC=2X.
1
1 2 3
2
1 2 3
3
1 2 3
4
1 2 3
5
6
三角形内角和定理：
三角形三个内角的和等于1800
已知：Δ ABC 求证：∠A+∠B+∠C=1800
A
B
C
7
已知：△A B C.
求证：∠A +∠B +∠C=180° A
B
C
8
已知：△A B C. 求证：∠A +∠B +∠C=180°
A
∴ ∠B A C + ∠B +∠C= 180°﹙等量代换﹚
18
一、填空.
（1）在△ABC中，∠A=500, ∠B=800, 则∠C= 500
三角形内角和
方法一： 方法一： 度量法
60° ° 45° ° 90° ° 30° °
90° °
30°+60°+ 80°= 180° ° ° °
45° °
45°+45°+90°=180 ° ° ° ° 其它三角形可以用量角器来度量。 其它三角形可以用量角器来度量。
方法二 ：拼合法
拼法一
拼法二
刚才拼角的过程中你能想出证明的方法吗? 从刚才拼角的过程中你能想出证明的方法吗?
F
B
C
证法2： 证法 ：
已知： 已知：△ABC 求证： 求证：∠A+∠B+∠C=180° ∠ ∠ ° 延长BC到 ， 延长 到D，过C作CE∥BA 作 ∥ ∴∠A=∠ ∴∠ ∠1 两直线平行，内错角相等） （两直线平行，内错角相等） A ∠B=∠2 ∠ 两直线平行，内错角相等） （两直线平行，内错角相等） 又∵∠1+∠2+∠ACB=180° ∵∠1+∠2+∠ACB=180° 1+∠2+∠ACB=180 平角的定义） （平角的定义） B ∴∠A+∠B+∠ACB=180° ∴∠A+∠B+∠ACB=180° 等量代换） （等量代换）
B A
C
三角形内角和定理
三角形三个内角的和等于180 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800. ∠A+∠B+∠C=1800. △ABC中,∠A+∠B+∠C= 中 ∠A+∠B+∠C=
的几种变形: 三角形内角和定理的几种变形 ∠A=1800 –(∠B+∠C). ∠A= (∠B+∠C). ∠B=1800 –(∠A+∠C). ∠B= (∠A+∠C). ∠C=1800 –(∠A+∠B). ∠C= (∠A+∠B). B ∠A+∠B=1800-∠C. ∠A+∠B= ∠C. ∠B+∠C=1800-∠A. ∠B+∠C= ∠A. ∠A+∠C=1800-∠B. ∠A+∠C= ∠B. 这里的结论,以后可以直接运用.
三角形的内角和证明方法
三角形的内角和证明方法1三角形的定义三角形是一个平面图形，由三条线段连接的三个点组成的图形。
三条线段称为三角形的边，连接边的点称为三角形的顶点。
2三角形的内角和三角形的内角和是指三角形内部三个角的角度之和。
在任何三角形中，内角之和总是等于180度（π弧度）。
3三角形内角和的证明方法一种简单的证明三角形内角和等于180度的方法是使用平行线切割定理。
1.从三角形的一个顶点开始，将一条线段作为其中一条边，该线段与另外两边相交于两个点。
2.以顶点为圆心，构造一个小圆，使得该圆与线段相切于顶点，并与另外两边相交于两个点。
3.连接这两个点，构造一条直线，平行于线段。
4.做垂线，将三角形分成两个三角形，一个内角为α，一个内角为β。
5.根据平行线切割定理，α和β相等。
6.重复上述过程，将三角形分成三个三角形。
7.根据平行线切割定理，内角之和等于180度。
4三角形内角和的另一种证明方法另一种证明三角形内角和等于180度的方法是使用三角形的面积。
1.以三角形的一个顶点为圆心，作一个圆。
2.连接圆心与另外两个顶点，形成两个角。
这两个角的度数x和y之和等于360度。
3.构造三角形的高，使之垂直于底边。
4.三角形的面积等于底边乘以高的一半。
5.将三角形旋转180度，使高所在的线段与底边重合。
6.三角形的面积等于底边乘以高的一半。
7.根据三角形的面积公式，两次求得的面积相等，所以底边乘以高的一半也相等。
8.三角形的高可以表示为底边的三角函数（正弦或余弦）。
9.将高表示为底边的三角函数并代入底边乘以高的一半的公式，得到影子公式。
10.影子公式中的角度之和等于180度。
5结论通过平行线切割定理和三角形的面积公式，我们可以证明三角形的内角和等于180度。
这个结论对于解决三角形几何问题非常有用，因为它可以用作许多三角形定理的基础。
2024版《三角形的内角和》完整版课件
全等三角形条件判断及证明方法论述
SSS全等条件
三边分别相等的两个三角形全等。
SAS全等条件
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。
全等三角形条件判断及证明方法论述
ASA全等条件
两角和它们的夹边分别相等的两个三 角形全等。
AAS全等条件
两角和一角的对边分别相等的两个三 角形全等。
全等三角形条件判断及证明方法论述
三角形的一个内角与它相邻的外角之和等于180°。
内外角之差关系
三角形的一个内角与它不相邻的两个外角之差等于180°。
应用场景
内外角关系在解决三角形的问题中有着广泛的应用，如计算三角形的 内角和、判断三角形的形状、证明三角形的全等或相似等。
04
三角形面积计算公式推导与应 用
基于底和高计算面积公式推导
勾股定理内容：在直角三 角形中，直角边的平方和 等于斜边的平方。
已知直角三角形的两条直 角边，求斜边长度。
应用举例
已知直角三角形的一条直 角边和斜边，求另一条直 角边长度。
特殊角度（30°、45°、60°）边长关系分析
当直角三角形中一个 锐角为30°时
邻边（较长的直角边） 与斜边的比值为√3:2。
THANKS
对边（较短的直角边） 与斜边的比值为1:2。
特殊角度（30°、45°、60°）边长关系分析
当直角三角形中一个锐角为45°时（等腰直角三角形） 两直角边相等。
对边与斜边的比值为1:√2。
特殊角度（30°、45°、60°）边长关系分析
当直角三角形中一个锐角为60° 时
对边（较短的直角边）与斜边 的比值为1:2。
特殊三角形性质
等腰三角形性质
两腰相等，两底角相等；三线合 一（底边上的中线、高线和顶角
《三角形内角和定理》第2课时示范公开课教学课件【北师大数学八年级上册】
归纳
三角形的外角应具备的条件：
(1)角的顶点是三角形的顶点； (2)角的一边是三角形的一边； (3)另一边是三角形中一边的延长线.
要证明AD∥BC，只需证明“同位角相等”或“内错角相等”或“同旁内角互补”.
证明：∵∠EAC=∠B+∠C (三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和)， ∠B=∠C (已知)， ∴∠C= ∠EAC(等式的性质). ∵AD平分 ∠EAC(已知). ∴∠DAC= ∠EAC(角平分线的定义). ∴∠DAC=∠C(等量代换). ∴AD∥BC(内错角相等，两直线平行).
2．如图，AB//CD，∠A＝37°，∠C＝63°，那么∠F等于 ( ) A.26° B.63°C.37° D.60°
∵ ∠BFC是△BEF的一个外角，
∴ ∠BFC= ∠ABD+ ∠BEF，∵ ∠ABD=28° ，∠BEC=91°，∴ ∠BFC=119°.
解：
F
A
C
D
E
B
三角形内角和定理
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
△ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ABC的外角. 注意：每一个三角形都有6个外角.每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角.
教科书 第183页习题7.7 第2、3题
三角形内角和定理第2课时
准备好了吗？一起去探索吧！
三角形内角和定理
1.了解三角形外角的定义，掌握三角形外角的两个定理.2.能综合运用三角形内角和定理的推论即外角的两个定理进行几何证明与计算.3.引导学生从内和外、相等和不等的不同角度对三角形的角作全面的思考，体会几何中简单不等关系的证明.4.进一步培养学生的逻辑思维能力和推理能力，培养学生的几何意识.
三角形的内角和定理
三角形的内角和定理三角形的内角和定理是几何学中的一个重要定理，它描述了一个三角形内的三个角度之和总是180度。
这个定理在解决各种几何问题和计算三角形的角度时非常有用。
本文将对三角形的内角和定理进行详细阐述，并给出证明。
首先，让我们来了解一下三角形的定义。
三角形是由三条边和三个顶点组成的一个平面几何图形。
根据边的不同关系，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
对于任意一个三角形ABC，我们可以标记出它的三个内角，分别为∠A、∠B和∠C。
现在我们来研究一下这三个角的和是否总是180度。
首先，我们可以将三角形ABC的两条边AB和AC延长，分别延长到点D和点E。
由于延长线与初始线段上的点不重合，所以我们可以得到两个新的角，分别为∠BAD和∠CAE。
接下来，我们来研究四边形ABED。
由于四边形ABED是一个平面图形，所以它的内角之和总是360度。
我们可以将这个四边形分割成两个三角形，即三角形ABD和三角形AEC。
根据四边形ABED的角度和为360度，我们可以得到如下等式：∠BAD + ∠DAE + ∠CAE + ∠EAB = 360度由于三角形ABC和三角形ABD分别共享两个角A和B，所以我们可以使用这个等式来计算三角形ABC的内角之和：∠A + ∠B + ∠C + ∠EAB = 360度现在我们来考虑三角形ABC的外角∠EAB。
根据角度理论，一个三角形的外角等于其相对的内角之和。
所以我们可以将∠EAB写成∠EAB = ∠A + ∠B。
将这个等式代入前面的等式中，可以得到：∠A + ∠B + ∠C + (∠A + ∠B) = 360度通过整理等式，我们可以得到：2∠A + 2∠B + ∠C = 360度然后，我们可以将等式两边同时除以2，得到：∠A + ∠B + ∠C = 180度这就证明了三角形的内角和定理：三角形的内角之和总是180度。
这个定理在解决各种几何问题和计算三角形的内角时非常有用。
三角形三边关系三角形内角和定理
三角形三边关系三角形内角和定理三角形三边关系与三角形内角和定理三角形是几何学中的基本图形，由三条边和三个顶点构成。
在三角形中，三边之间有一系列内在的关系，而三角形的内角和也有一个重要的定理与之对应。
本文将详细介绍三角形三边关系和三角形内角和定理。
一、三角形三边关系三角形的三边之间存在着一系列特殊的关系，下面将介绍三个重要的三边关系。
1. 三边长关系在任意三角形中，任意两条边之和大于第三条边的长度。
即对于三角形的边长a、b、c，有以下关系：a +b > ca + c > bb +c > a这个关系被称为三边长关系，它是构成三角形的必要条件。
2. 三边长比较关系当我们知道三角形的两条边长和它们的夹角时，可以通过角的余弦定理来比较三条边的长度。
角的余弦定理表达式如下：c² = a² + b² - 2ab*cos(C)其中，a、b、c分别表示三角形的边长，C表示夹角的度数。
3. 直角三角形的特殊边关系直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。
在直角三角形中，三边之间有一种特殊的关系，即勾股定理。
勾股定理表达式如下：c² = a² + b²其中，a、b分别表示直角三角形的两条直角边，c表示斜边的长度。
二、三角形内角和定理三角形的内角和定理是指三角形内角的度数和为180度。
即在任意三角形ABC中，有以下关系：∠A + ∠B + ∠C = 180°这个定理是三角形的基本性质之一，有助于我们在解决三角形相关问题时进行推理和计算。
三、应用举例三角形的三边关系和内角和定理在几何学中有着广泛的应用。
下面将通过几个具体的例子来展示其应用。
例1：已知三角形的两边长分别为3cm和4cm，夹角为60度，求第三边的长度。
根据角的余弦定理，可以得到：c² = 3² + 4² - 2*3*4*cos(60°)= 9 + 16 - 24*cos(60°)= 25 - 12= 13因此，第三边的长度为√13 cm。
平面几何中的三角形和三角形的内角和定理
平面几何中的三角形和三角形的内角和定理三角形是平面上最简单、最基本的几何图形之一。
它由三条线段所围成，每条线段称为三角形的边，两条相邻的边所夹的角称为三角形的角。
在三角形中，有一些角具有特殊的性质，它们的和也有着特别的规律。
本文将介绍三角形中的三角形内角和定理，帮助读者更好地理解和应用平面几何。
一、三角形的内角和对于任意一个三角形ABC，三个内角的和应该等于180度，即∠A+∠B+∠C=180°。
这个结论可以用多种方法来证明。
方法一：利用三角形的等角定理。
我们先假设三角形ABC中的角A等于90度，则∠B和∠C互为余角，即∠B=90°－∠C。
将等式代入∠A+∠B+∠C=180°中，可以得到∠A+（90°－∠C）+∠C=180°，化简后得到∠A+90°=180°，即∠A=90°。
因此，三角形ABC是一个直角三角形。
方法二：利用平行线与交线的性质。
我们用线段AC作为三角形ABC的一条边，通过点B画一条平行于线段AC的直线DE，使DE与BC相交于点F。
因为AC与DE平行，所以∠A=∠E。
同时，∠EBF和∠CBF都是180度减去∠C，即∠EBF=∠CBF=180°－∠C。
因此，∠E+∠B+∠F=∠A+∠B+∠C=180°，即∠E+∠B+（180°－∠C）=180°，化简后得到∠E=∠C。
所以，∠A+∠B+∠C=∠E+∠B+∠C=180°。
方法三：利用三角形的面积公式。
我们将三角形ABC绕某个顶点旋转，使其底边平移至一条与底边平行的直线上，然后将三角形划分成两个梯形和一个三角形。
根据相似三角形的性质，两个梯形面积之和与三角形面积之比等于梯形的中线之比，即hA：hB=AC：BD。
因为BD=AC，所以hA=hB。
同理，再用梯形的面积公式，可得hA=hB=hC，即三角形ABC的三个高相等。
7.5.2三角形内角和定理2
A
A
E
B E
D D C B C
B
C (甲)
E (丙)
D
(乙)
课堂小结
通过本节课的学习， 你有何收获？
山东滕州育才中学
Yucai Middleschool Tengzhou Shandong
Thank You！
The End
小测验
1、下列哪几种说法正确？ （1）∠B<∠ACD （2） ∠B+∠ACB=180°—∠A （3） ∠B+∠ACB<180° （4） ∠HEC>∠B
A
H
E
B C D
2、如图，把△ACB沿DE折叠，当点A落在四边形 BCED内部时，∠DAE与∠1、∠2之间有一种数量关 系保持不变，这一规律是（ ） B A. ∠A=∠1+∠2
C 、3∠A=2∠1+∠2
B、 2∠A=∠1+∠2
D 、3∠A=2（∠1+∠2 ）
B D
1
A C
A 2 E
思维拓展：
• 1、（1）如图(甲)，在五角星图形中，求 ∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数。 （2）把图（乙）、（丙）叫蜕化的五角星，问它们的 五角之和与五角星图形的五角之和仍相等吗？为什么？A
3
A 2 1
三角形内角和定理的推论
B
C
D
推论1: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个 内角的和. △ABC中，∠1=∠2+∠3 推论2: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相 邻的内角. △ABC中，∠1＞∠2，∠1＞∠3 这个结论以后可以直接运用.
训练反馈
1、已知：如图，在△ABC 中，外角∠DCA=100°, ∠A=45°。 求：∠B和∠ACB的大小.
解三角形角的关系
解三角形角的关系
三角形角的关系可以通过以下几个定理来描述：
1. 三角形内角和定理：一个三角形的内角和等于180度。
对于任意一个三角形ABC，它的三个内角A、B、C满足A + B +
C = 180°。
2. 外角定理：一个三角形的外角等于其不相邻两个内角的和。
对于三角形ABC，它的一个外角等于其两个不相邻内角的和：∠D = ∠A + ∠C。
3. 内角余弦定理：对于任意一个三角形ABC，与边a、b、c
对应的内角A、B、C满足以下公式：cosA = (b² + c² - a²) / 2bc；cosB = (a² + c² - b²) / 2ac；cosC = (a² + b² - c²) / 2ab。
其中，a、b、c分别为三角形ABC的边长。
4. 正弦定理：对于任意一个三角形ABC，与边a、b、c对应
的内角A、B、C满足以下公式：sinA / a = sinB / b = sinC / c。
5. 余弦定理：对于任意一个三角形ABC，与边a、b、c对应
的内角A、B、C满足以下公式：c² = a² + b² - 2abcosC；b² = a²+ c² - 2accosB；a² = b² + c² - 2bccosA。
通过这些定理，可以推导和计算三角形的角度关系。
这些关系不仅在几何学中有重要应用，也在物理学、工程学等领域中被广泛应用。
三角形的内角和定理
三角形的内角和定理一个三角形是由三个角组成的多边形，它是几何学中最基本的形状之一。
我们将探讨三角形的内角和定理，它可以帮助我们计算三角形内角的总和。
三角形的内角和定理表明，一个三角形的内角的总和是180度。
这是一个简单而又重要的数学原理，为解决与三角形相关的问题提供了基础。
为了理解三角形的内角和定理，让我们先来了解三角形的基本概念。
一个三角形有三个顶点，用大写字母A、B、C表示，每个顶点对应一个内角，用小写字母a、b、c表示。
根据三角形的内角和定理，我们可以得到以下等式：a +b +c = 180度这个等式适用于所有类型的三角形，无论是等边三角形、等腰三角形还是一般的三角形。
它提供了一个简便的方法来计算三角形的内角和。
例如，假设我们有一个等边三角形，其中所有的边都等长。
根据等边三角形的性质，每个内角都是60度。
通过三角形的内角和定理，我们可以验证这一点：60度 + 60度 + 60度 = 180度同样地，对于一个等腰三角形，其中两个边的长度相等，两个内角也相等。
我们可以使用内角和定理来验证这一点。
假设等腰三角形的两个内角分别是x度，那么根据内角和定理：x度 + x度 + y度 = 180度这里的y度表示等腰三角形的顶角。
根据等腰三角形的性质，顶角和底角相等，因此y度也等于x度。
将等式简化，我们得到：2x度 + x度 = 180度3x度 = 180度解得x度 = 60度所以，等腰三角形的两个内角都是60度。
三角形的内角和定理不仅适用于特殊类型的三角形，也适用于一般的三角形。
我们可以通过测量或计算一个三角形的两个内角，来求出第三个内角的大小。
例如，假设一个三角形的两个内角分别是30度和70度，我们可以使用内角和定理来计算第三个内角的大小。
30度 + 70度 + c度 = 180度c度 = 180度 - 30度 - 70度c度 = 80度所以，这个三角形的第三个内角的大小是80度。
三角形的内角和定理在解决各种三角形相关问题时非常有用。
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问题2：任意一个△ABC的一个外角∠ACD与∠A、∠B的大小会有
什么关系呢？
由学生归纳得出：
推论1：三角形的一个外角等于和它
不相邻的两个内角的和．
推论2：三角形的一个外角大于任何
一个和它不相邻的内角．
例1、已知：∠BAF，∠CBD，∠ACE是△ABC的三个外角．
求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°
分析：把每个外角表示为与之不相邻的两个内角之和即得证．
证明：(略)．
例2、已知：D是AB上一点,E是AC上一点，BE、CD相交于F,∠
A=62°，∠ACD=35°，∠ABE=20°．求：(1)∠BDC度数；(2)
∠BFD度数．
解：(略)．
第三环节：课堂练习
活动内容：
①已知，如图，在三角形ABC中，AD平分外角∠EAC，∠B=∠C．求
证：AD∥BC
分析：要证明AD∥BC,只需证明“同位角相等”,即需证明∠
DAE=∠B.
证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和
通过三角形内角和定
理直接推导三角形外
角的两个推论，引导学
生从内和外、相等和不
等的不同角度对三角
形作更全面的思考．
②已知：如图，在三角形ABC中，∠1
是它的一个外角，E为边AC上一点，
延长BC到D，连接DE．求证：∠1>∠
2．
证明：∵∠1是△ABC的一个
外角（已知）
∴∠1>∠ACB（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
∵∠ACB是△CDE的一个外角（已知）
∴∠ACB>∠2（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）
∴∠1>∠2（不等式的性质）
③.如图，求证：（1）∠BDC>∠A.
（2）∠BDC=∠B+∠C+∠A.
如果点D在线段BC的另一侧，结论会怎样？
［分析］通过学生的探索活动，使学生进一步了解辅助线的作法及重要性，理解掌握三角形的内角和定理及推论.
证法一：（1）连接AD，并延长AD，如图，则∠1是△ABD的一个外角，∠2是△ACD的一个外角.
∴∠1>∠3.
A B
C
D
E
1
F
2
∠2>∠4（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻
的内角）
∴∠1+∠2>∠3+∠4（不等式的性质）
即：∠BDC>∠BAC.
（2）连结AD，并延长AD，如图.
则∠1是△ABD的一个外角，∠2是△ACD的一个外
角.
∴∠1=∠3+∠B
∠2=∠4+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的
两个内角的和）
∴∠1+∠2=∠3+∠4+∠B+∠C（等式的性质）即：∠
BDC=∠B+∠C+∠BAC
证法二：（1）延长BD交AC于E（或延长CD交AB
于E），如图.
则∠BDC是△CDE的一个外角.
∴∠BDC>∠DEC.（三角形的一个外角大于任何一个
和它不相邻的内角）
∵∠DEC是△ABE的一个外角（已作）
∴∠DEC>∠A（三角形的一个外角大于任何一个和它
不相邻的内角）
∴∠BDC>∠A（不等式的性质）
（2）延长BD交AC于E，则∠BDC是△DCE的一个
外角.
∴∠BDC=∠C+∠DEC（三角形的一个外角等于和它
不相邻的两个内角的和）
∵∠DEC是△ABE的一个外角
让学生接触各种类型
的几何证明题，提高逻
辑推理能力，培养学生
的证明思路，特别是不
等关系的证明题，因为
学生接触较少，因此更
需要加强练习．
复习巩固所学知识，理
清思路，培养学生的归
纳概括能力．。