《矩形的判定》练习及答案

《矩形的判定》练习

满分100分80分过关限时30分钟

一．选择题（共4小题，每题10分，共40分）

1．下列命题中正确的是（）

A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是矩形

C．对角线相等的平行四边形是矩形D．对角线互相垂直的平行四边形是矩形

2．下列关于矩形的说法，正确的是（）

A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相平分的四边形是矩形

C．矩形的对角线相等且互相平分D．矩形的对角线互相垂直且平分

3．如图，□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝3，若要使平行四边形ABCD为矩形，则OB的长度为（）

A．4B．3C．2D．1

4．对于四边形ABCD，给出下列6组条件，

①∠A＝90°，∠B＝∠C＝∠D；②∠A＝∠B＝90°，∠C＝∠D；③∠A＝∠B＝∠C＝∠D；

④∠A＝∠B＝∠C＝90°；⑤AC＝BD；⑥AB∥CD，AD∥BC．其中能得到“四边形ABCD

是矩形”的条件有（）

A．1组B．2组C．3组D．4组

二．填空题（共4小题，每题10分，共40分）

5．如图，四边形ABCD是平行四边形，要使它变为矩形，需要添加的条件是（写一个即可）．

6．在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，从①AB＝CD；②AB∥CD；③OA＝OC；

④OB＝OD；⑤AC＝BD；⑥∠ABC＝90°这六个条件中，

可选取三个推出四边形ABCD是矩形，如①②⑤→四边形ABCD是矩形．请再写出符合要求的两个：；．

7．如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快s后，四边形ABPQ成为矩形．

8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值是．

三．解答题（共2小题，每题10分，共20分）

9．在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E为AC边的中点，过点A作AF∥BC，交DE的延长线于点F，连接CF．

（1）如图1，求证：四边形ADCF是矩形；

（2）如图2，当AB＝AC时，取AB的中点G，连接DG、EG，在不添加任何辅助线和字母的条件下，请直接写出图中所有的平行四边形（不包括矩形ADCF）．

10．如图，在△ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作BC的平行线交∠ACB的角平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F

（1）求证：EO＝FO；

（2）当点O运动到何处时，四边形CEAF是矩形？请证明你的结论．

（3）在第（2）问的结论下，若AE＝3，EC＝4，AB＝12，BC＝13，请直接写出凹四边形ABCE 的面积为．

参考答案与试题解析

一．选择题（共4小题）

1．【分析】根据矩形的判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）可以选出答案．

【解答】解：A、对角线相等的四边形不一定是矩形，等腰梯形的对角线也相等，故此选项错误；

B、对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，例如菱形，菱形的对角线互相垂直，故此选项错误；

C、对角线相等的平行四边形是矩形，故此选项正确；

D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故此选项错误．

故选：C．

2．【分析】由矩形的判定与性质分别作出判断，即可得出结论．

【解答】解：A、对角线相等的四边形是矩形，不正确；

B、对角线互相平分的四边形是矩形，不正确；

C、矩形的对角线相等且互相平分，正确；

D、矩形的对角线互相垂直且平分，不正确；

故选：C．

3．【分析】根据矩形的性质得到OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，求出OA＝OB即可．【解答】解：假如平行四边形ABCD是矩形，

OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，

∴OA＝OB＝3．

故选：B．

4．【分析】根据矩形的判定，用排除法即可判定所选答案．

【解答】解：①由∠A＝90°，∠B＝∠C＝∠D可以得到∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，故①正确；

②由∠A＝∠B＝90°，∠C＝∠D＝90°可以得到∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，

故②正确；

③∠A＝∠B＝∠C＝∠D能得到四个角都是直角，故③正确；

④∠A＝∠B＝∠C＝90°，有三个角是直角的四边形为矩形，故④正确；

⑤AC＝BD，只有一组对边相等的四边形不一定是矩形，故⑤错误，

⑥AB∥CD，AD∥BC，只能得到四边形为平行四边形，故⑥错误，

∴正确的有4个，

故选：D．

二．填空题（共4小题）

5．【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形，填空即可．

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，

故答案为AC＝BD．

6．【分析】根据平行四边形的判定（有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，对角线互相平分的四边形是平行四边形）得出平行四边形ABCD，再根据矩形的判定定理推出即可．

【解答】解：

①②⑥或③④⑥，

理由是：∵AB＝CD，AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵∠ABC＝90°，

∴平行四边形ABCD是矩形．

∵OA＝OC，OB＝OD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵∠ABC＝90°，

∴平行四边形ABCD是矩形，

故答案为：①②⑥，③④⑥．

7．【分析】根据矩形的性质，可得BC与AD的关系，根据矩形的判定定理，可得BP＝AQ，构建一元一次方程，可得答案．

【解答】解；设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，由BP＝AQ得

3x＝20﹣2x．

解得x＝4，

故答案为：4．

8．【分析】根据矩形的性质就可以得出EF，AP互相平分，且EF＝AP，根据垂线段最短的性质就可以得出AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小，由勾股定理求出BC，根据面积关系建立等式求出其解即可．【解答】解：∵PE⊥AB，PF⊥AC，∠BAC＝90°，

∴∠EAF＝∠AEP＝∠AFP＝90°，

∴四边形AEPF是矩形，

∴EF，AP互相平分．且EF＝AP，

∴EF，AP的交点就是M点，