电磁学 互感与自感

n 在没有铁磁质、回路不变形时是等效的。 n M12 = M21 = M
n M 可正、可负，取决于 I 的方方向
M 何时为正，何时为负 如何使两线圈的互感最大/ 最小 如何使两导线互感减小
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电磁学A，2018年春
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自感
R
S1 S 1 与 S 2 是
两个相同
L
S2 的灯泡
接通 K 瞬间，S1比 S2 先亮
RL = R K
S
L
断开瞬间，灯泡突然亮一一下
K
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自感
n 线圈中电流变化时，它所激发
的磁场穿过自身每匝线圈的磁通 Ι
量也随之改变，是线圈产生感应
电动势，称为自感电动势。这种
现象称为自感。
Ι
Ψ = LI
L≡ Ψ I
I s
,
s,
(r < a) (a < r < b)
I
B2 交链整个电流 I，而而 B1 仅交链部分
电流，B1 对磁通匝键数的贡献为：
∫∫ ∫ Ψ1 =
I′ I B1dS
=
a 0
s2 a2
µ0 I 2π a2
slds
a !! B1 B2 I
∫ =
µ0 Il 2π a4
a 0
s3ds
=
µ0 Il 8π
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I 增 加
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I 减 小
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自感系数的计算
n 对于 N 匝线圈组成的回路，若通过每匝线圈的磁感通量都是 Φ，即每条磁感线交链的电流是每匝中电流的 N 倍，那么对整 个回路的磁通匝链数为：
Ψ = NΦ
n 例如对于理想路线管 横截面积为 S，长为 l 总匝数 N， n＝N/l
= − dΨ12 dt
= −M12
dI2 dt
线圈 1
! B2
Ν2
Ψ12
n 互感系数
( M12
≡
Ψ12 (定义 1)
I2
M12
≡
−
ε12 I!2
设两线圈固定不动
)
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互感系数的对称性
∵"
B1
=
∇
×
" A1
( ) ∴
Ψ 21
=
) ( M21
≡
−
ε 21 I!1
设两线圈固定不动
)
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互感系数
n 线圈2 中通有电流时，其激发的磁 场在线圈1 中的磁通匝链数为
Ψ12 = M12I2
线圈 2
n 线圈2 中电流变化时，在线圈1 中激 Ι 2
发感应电动势为
ε12
Add enough devices to charge and it could get close to 100%, although tuning the multiple coils is perhaps too tricky for a consumer product.
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2b 2a
穿过单匝线圈的磁通量：
∫ Φ
=
h
b a
µ0 NI 2π s
ds
=
µ0 NIh 2π
ln
b a
h
磁通匝链数：
Ψ
=
NΦ
=
µ0N 2Ih 2π
ln
b a
( ) 自感为：
L
=
Ψ I
=
µ0N 2h 2π
ln
b a
=
2 ×10−7
N 2h ln b a
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§7.3 自感与互感
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电磁学A，2018年春
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How Far Can Wireless Power Reach?
In 2009 it powered a 1,000W light and a 3,000W electric car, and it has demo devices powering laptops, TVs and other home entertainment devices.
∑ Ψ = n1Φ1 + n2Φ2 +! = niΦi
N = ∑ni
∑ Ψ = N
ni I NI
Φi
∑ L = Ψ = 1
II
niΦi
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例：计算总匝数为 N、截面为长方形的螺绕管的自感。
解：螺绕管外部磁场为零，内部磁场为
B
=
µ0 NI 2π s
Ψ = NΦ = NBS = µ0n2IlS
L
=
µ0n2lS
=
µ0
N2 l2
V
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自感系数的计算续
n 若通过各匝线圈的磁感通量不等，通过 n1 匝线圈的通量为 Φ1，通过 n2 匝线圈的通量 Φ2 ，·∙·∙·∙， 与 Φ1 交链的是 n1 匝电流， 与 Φ2 交链的是 n2 匝电流，·∙·∙·∙，则
Ψ
=
∫
I′ I
dΦ
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例 ： 计 算 同 轴 电 缆 单 位 长 度 的 自 感 。 内 圆 柱 是 实 心 的，
半径为 a，外圆柱壳壳的半径为 b。 解：电缆中的磁场分布为：
I b
⎧ ⎪⎪⎨ ⎪ ⎪⎩
B1 B2
= =
µ0 I
2π a2
µ0 2π
r12 !
Idl1
n 实际导线总有一定的粗细。但是，对于 有粗细的导线，导线不同部分构成不同的 回路，圈围不同的面积，因而和不同大小 的磁感通量相联系。导线所围面积该如何 计算？内边缘、外边缘还是中心？
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自感系数的计算续
n 在这种情况下，所谓通过某一回路 的 磁 感 通 量 这 一 词 缺 少 确 定 的 含 义， 不同层的磁感线将交链不同的电流。
对于高高频交流电来说，趋肤效应显著，
电流大大体分布在导体表面
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I b
a !! B1 B2 I
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自感系数与互感系数的关系
n 无磁漏条件：两个线圈中每 一个线圈所产生的磁通量对于 每一匝来说都相等，并且全部 穿过另一个线圈的每一匝。
讨论
n 互感系数是由回路自身的几何特性和介质特性决定的
n 单位：亨利(H) 1 H = 1 Wb = 1 V ⋅s
A
A
(( )) n 两种定义
⎧⎨⎪ M21 ⎩⎪ M21
≡ ≡
Ψ 21 − ε21
I1 I!1
⎧⎪⎨⎪⎩µε 00
= 4π ×10−7
= 8.85×10−12
Hm Fm
n 线圈1 中通有电流时，其激发的磁
场在线圈2 中的磁通匝链数为
Ψ21 = M21I1
线圈 2
Ψ21
n 线圈1 中电流变化时，在线圈2 中激
发感应电动势为
ε 21
=
−
d Ψ21 dt
=
−M 21
dI1 dt
线圈 1
Ι1
Ν1
! B1
n 互感系数
( M 21
≡
Ψ 21 I1
∫∫
! B1
⋅
! dS2
=
∫∫
∇
×
! A1
"∫ ⋅
! dS2
=
! A1
⋅
! dl2
C2
"
∵ #∫ A1
=
∴ "∫ "∫ Ψ21
S2
µ0
" I1dl1
4π C1 r12
=
µ0 I1 4π
C2
C1
S2
! dl1
⋅
! dl2
r12
"∫ "∫ M21
=
Ψ 21 I1
=
µ0 4π
C2
C1
! dl1
⋅
! dl2
L0
来自百度文库
=
µ0 2π
ln
b a
=
2 ×10−7
ln
b a
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自感系数的计算
计算变化电流对回路自身所围面积的磁通量，有时会令人迷惑。
!
n 如果认为电流是线电流，导线的直径趋 Idl1
向于零，那么在导线附近的磁感强度将趋
"∫ "∫ 向∞，通L过=回4µπ路0 C的1 C1磁dl!通1r1⋅2量dl!2也→趋∞向∞
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互感(Mutual inductance)
n 当一个线圈中的电流发生变化时，在另一个线圈中产生的感 应电动势称为互感电动势。这种现象称为互感。
n 第一一个线圈称为初级(主)线圈，第二二个称为次级(副)线圈
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互感系数
So far efficiency is low; 75% with the 60W version but as low as 20% in some cases.
But if you charge two 20% efficient devices at once it goes up to 30%, because the receiving coils also resonate with each other.
εb
=
−
d Φ ba dt
=
− Mω I0 cosωt
εb
=
−
πµ a2 0 2b
ω
I 0
cos ω t
思考：你是否有办法直接求解 Φba
Ia a O
M = πµ0a2 b
2b
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例：密绕螺绕管总匝数为 N，截面为长方形，几何尺寸如图所 示。试求螺绕管与其对称轴上无限长载流直导线的互感系数 M。
n 磁感线 a 圈围整个导线中的电流， 与整个电流互相交链；而而磁感线 b 则仅圈围一一 部分电流，即只与部分电流和交链，只通过这 部分电流回路所圈围的面积。
∑ n 对于 N = ni 匝线圈的情况
∑ ∑ Ψ =
niΦi = N
ni I0 NI0
Φi
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解：(1) 求互感
Bb
=
µ0I
2b
I
a O
b
Φ ab
=
BbSa
=
µ0 I 2b
π a2
M = πµ0a2
2b
互感 M 具有 µ0 乘长度 的量纲
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(2) 求感应电动势 Ia = I0 sinωt
Φba = MIa = MI0 sinωt
Ι
a b
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自感系数的计算续
a b
Ι
n 对于粗导线构成的回路，整个回路的电流为 I，回路仅包含一
匝线圈，但导线中的磁感通量 dΦ 只与 I 中的一部分电流 I′ 相
交链。与 I′ 相联系的电流只有 I′/I 匝，故
dΨ = I′ dΦ
I
n 整个电流回路的磁通匝链数为
I
l
I
N1
线圈 1
线圈 2 N2
解：线圈 1 通有电流 I 时在管内产生的磁场为
B1
=
µ0 N1I1
l
( ) Ψ21 = N2
B1S
=
N2
µ0 N1I1
l
S
=
µ0 N1N2S
l
I1
M 21
=
Ψ 21 I1
=
µ0 N1N2S
l
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电磁学A，2018年春
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Ψ1
=
µ0 Il 8π
∫∫ ∫ Ψ2 =
B2dS
=
µ0 Il 2π
b a
1 s
ds
=
µ0 Il 2π
ln
b a
Ψ
=
Ψ1
+
Ψ2
=
µ0 Il 8π
+
µ0 Il 2π
ln
b a
I
由于 Ψ = LI = lL0I
所以，电缆单位长度的自感：
L0
=
µ0 2π
⎛⎜⎝
1 4
+
ln
b a
⎞⎟⎠
解：直导线激发的磁场为
! B
=
µ0 I 2π s
φˆ
Ψ
=
N
∫∫
! B
⋅
! dS
S
∫ =
µ0 NI 2π
b a
hds s
=
µ0 NIh 2π
ln
b a
M
=
Ψ I
=
µ0 Nh 2π
ln
b a
I b
a h
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例：长为 l、总匝数为 N1 的密绕螺线管外缠有 N2 匝线圈，试 确定互感。
r12
C2
C1
下标关于1、2交换对称，故有 M 21 = M12
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! dl2
r12 ! I1dl1
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例：如图两个同心共面的圆线圈半径分别为 a、b(>>a)，其中 b 中通有电流 I。求
(1) 互感系数 M； (2) 若 I a = I 0 s i n ω t ， 则 εb 为多少？
!
n 单位：亨利(H)
Idl1
"∫ "∫ L
=
M11
=
µ0 4π
C1
C1
! dl1
⋅
! dl2
r12
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r12 !
Idl1
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自感电动势
n 线圈中电流 I 变化激发的自感电动势
ε = − dΨ = −L dI
dt
dt
! B
I
I
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例：计算同轴电缆单位长度的自感。内、外导体柱壳的半径分
别为 a 和 b。
I
解：内外柱壳之间的磁场为
B
=
µ0 I 2π s
ds a
b
通过图示面积的磁通量：
∫ Ψ
=h
b µ0I a 2π s
ds
=
µ0 Ih 2π
ln
b a
I
由于： Ψ = LI = lL0I
s
h
B!
所以，电缆单位长度的自感：