高二上学期期中考试.doc

高二上学期期中考试
数学试题
一、选择题（本大题共12小题）
1.若A={a，b，c}，则有几个真子集（）
A. 3
B. 8
C. 7
D. 9
2.下列函数中哪个是幂函数（）
A. B. C. D.
3.某中学有高一学生700人，高二学生670人，高三学生630人，现用分层抽样的方
法在这三个年级中抽取200人进行体能测试，则从高三抽取的人数应为（）
A. 63
B. 67
C. 70
D. 50
4.设有一个直线回归方程为=2-1.5，则变量x增加一个单位时（）
A. y平均增加个单位
B. y平均增加2个单位
C. y平均减少个单位
D. y平均减少2个单位
5.1037和425的最大公约数是（）
A. 51
B. 17
C. 9
D. 3
6.已知全集U={0，1，2，3，4}，集合M={1，2，3}，N={0，3，4}，则（∁U M）∩N（）
A. B. C. D.
7.已知α=，则cosα=（）
A. B. C. D.
8.函数的定义域是（）
A. B. C. D.
9.不等式6-x-2x2＜0的解集是（）
A. B.
C. 或
D. 或
10.某赛季，甲．乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用
如图所示的茎叶图表示，则甲．乙两名运动员的中位数分别是（）
A. 19,15
B. 15,19
C. 25,22
D. 22,25
11.cos45°cos15°+sin15°sin45°的值为（）
A. B. C. D.
12.{a n}是首项a1=1，公差为d=3的等差数列，如果a n=2005，则序号n等于（）
A. 667
B. 668
C. 669
D. 670
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.化简[2+8）-（4-2）]的结果是______ ．
14.一组数据的方差是s2，将这组数据中的每一个数据都乘以2，所得到的一组数据的
方差是______ ．
15.下列各数75（8），210（7），1200（3），111111（2）中最小的数是______．
16.函数的单调递增区间是______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.由经验得知：在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如表：
排队人数0 1 2 3 4 5
概率0.10 0.16 0.30 0.30 0.10 0.04 （1）求至多2人排队的概率；
（2）求至少2人排队的概率．
18.过点P（4，-1）且与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程．
19.已知数列{a n}的通项公式为a n=n2-5n+4
（1）数列中有多少项是负数？
（2）n为何值时，a n有最小值？并求出最小值．
20.如图，在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，M、N分别是AB、PC的中点．
求证：MN∥平面PAD．
21.设函数．
（1）求函数y=f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）当时，求函数f（x）的最大值．
22.已知直线l：x-2y-5=0与圆C：x2+y2=50，求：
（1）交点A、B的坐标；
（2）△AOB的面积．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解，集合A的真子集有23-1=7个，
故选：C．
利用真子集个数公式2n-1，求出即可．
考查集合的子集，基础题．
2.【答案】A
【解析】解：幂函数是y=xα，α∈R，显然y==x3，是幂函数．y=，y=，y=（-2x）-3都不满足幂函数的定义，所以A正确．
故选：A．
直接利用幂函数的定义判断即可．
本题考查幂函数的定义的应用，基本知识的考查．
3.【答案】A
【解析】解：根据分层抽样的定义可知高三抽取的人数为，
故选：A．
根据分层抽样的定义分别求出a，b，c即可．
本题主要考查分层抽样的应用，利用分层抽样的定义建立比例关系是解决本题的关键，比较基础．
4.【答案】C
【解析】解：∵直线回归方程为=2-1.5，①
∴y=2-1.5（x+1）②
∴②-①=-1.5
即y平均减少1.5个单位，
故选：C．
根据所给的回归直线方程，把自变量由x变化为x+1，表示出变化后的y的值，两个式子相减，得到y的变化．
本题考查线性回归方程的意义，本题解题的关键是在叙述y的变化时，要注意加上平均变化的字样，本题是一个基础题．
5.【答案】B
【解析】解：1037=425×2+187，425=187×2+51，187=51×3+34，51=34×1+17，34=17×2．∴1037和425的最大公约数是17．
故选：B．
利用“辗转相除法”即可得出．
本题考查了“辗转相除法”求两个整数的最大公约数的方法，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：∁U M={0，4}，
∴（∁U M）∩N={0，4}．
故选：A．
利用集合的运算性质即可得出．
本题考查了不等式的解法、集合的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：∵α=，∴cosα=cos=cos（）=-cos=-．
故选：D．
由已知直接利用三角函数的诱导公式求解．
本题考查三角函数的值的求法，训练了诱导公式的应用，是基础题．
8.【答案】D
【解析】解：函数中，
令log2（1-x）≥0，解得1-x≥1，
即x≤0，
所以函数y的定义域是（-∞，0]．
故选：D．
根据函数y的解析式，列出不等式组求出解集即可．
本题考查了求函数的定义域问题，是基础题．
9.【答案】D
【解析】解：-2x2-x+6＜0
因式分解得：-（2x-3）（x+2）＜0，
即：（2x-3）（x+2）＞0，
解得：x＞或x＜-2，
所以原不等式的解集是{x|x＜-2或x＞}，
故选：D．
把原不等式的左边分解因式后，在不等式两边都除以-1，不等式号方向改变，即可得出原不等式的解集．
此题考查了一元二次不等式的解法，考查了转化的思想，是一道基础题．
10.【答案】A
【解析】解：根据茎叶图中数据知，甲运动员得分从小到大排列为：
7，8，9，13，17，19，24，25，26，32，41，
所以甲的中位数是19；
乙运动员得分从小到大排列为：
5，6，8，11，11，15，20，22，30，31，38，
所以乙的中位数是15．
故选：A．
根据茎叶图中数据，分别把甲、乙运动员得分从小到大排列，即可求出它们的中位数．本题考查了根据茎叶图中的数据求中位数的问题，是基础题．
11.【答案】B
【解析】解：cos45°cos15°+sin15°sin45°=（cos45°-15°）=cos30°=，
故选：B．
直接利用两角差的余弦公式，求得所给式子的值．
本题主要考查两角差的余弦公式的应用，属于基础题．
12.【答案】C
【解析】解：∵{a n}是首项a1=1，公差d=3的等差数列，
∴a n=1+（n-1）×3=3n-2，
∵a n=2005，
∴3n-2=2005，
解得n=669．
故选C．
首先由a1和d求出a n，然后令a n=2005，解方程即可．
本题主要考查了等差数列的通项公式a n=a1+（n-1）d，注意方程思想的应用．
13.【答案】-+2
【解析】解：[（2+8）-（4-2）]=[+4-4+2]
=•（-3）+•6
=-+2．
故答案为：-+2．
根据向量的线性运算法则进行计算即可．
本题考查了平面向量的线性运算问题，解题时应根据向量的线性运算法则进行计算，即可得出正确的答案，是基础题．
14.【答案】4s2
【解析】解：由题意知，原来的平均数为，新数据的平均数变为2
原来的方差S2=[（x1-）2+（x2-）2+…+（x n-）2]，
现在的方差S′2=[（2x1-2）2+（2x2-2）2+…+（2x n-2）2]
=[4（x1-）2+4（x2-）2+…+4（x n-）2]
=4s2，
∴求得新数据的方差为4s2．
故答案为：4s2．
方差是用来衡量一组数据波动大小的量，每个数都乘以a，所以平均数变，方差也变．本题说明了当数据都乘以一个数a时，方差变为原来的a2倍．
15.【答案】111111（2）
【解析】解：75（8）=5+7•81=61，
210（7）=0+1•7+2•72=105，
1200（3）=2•32+1•33=45，
111111（2）=1+1•2+1•22+1•23+1•24=31，
最小的数是111111（2）．
故答案为：111111（2）．
由非十进制转化为十进制的方法，我们将各数位上的数字乘以其权重累加后，将各数化成十进制数后比较大小即可得到答案．
本题考查的知识点是进制之间的转换，根据几进制转化为十进制的方法，我们将转化结果利用等比数列的前n项和公式进行求解，是解答本题的关键．
16.【答案】（-∞，0）
【解析】解：函数的单调递增区间，即函数t=2-3x2的增区间，而t=2-3x2的图象的对称轴为x=0，
故函数t=2-3x2的增区间（-∞，0），
故答案为：（-∞，0）．
由题意利用复合函数的单调性，本题即求函数t=2-3x2的增区间，再利用二次函数的性质得出结论．
本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、指数函数的性质，属于基础题．
17.【答案】解：（1）至多2人排队的概率为P=0.10+0.16+0.30=0.56；
（2）至少2人排队的概率为P′=1-（0.10+0.16）=0.74．
【解析】（1）利用互斥事件的概率公式计算即可；
（2）利用对立事件的概率公式计算即可．
本题考查了互斥事件与对立事件的概率计算问题，是基础题．
18.【答案】解：由题意可设所求直线的方程为4x+3y+m=0，
将点P（4，-1）代入到直线方程得：16-3+m=0，
解得m=-13
∴所求直线的方程为4x+3y-13=0．
【解析】利用待定系数法可设所求直线方程为4x+3y+m=0，代入点P的坐标即可求出m 的值．
本题主要考查与已知直线垂直的直线方程，属于基础题．
19.【答案】解：（1）由n2-5n+4＜0，得1＜n＜4，
故数列中有两项为负数；
（2）a n=n2-5n+4=-，
因此当n=2或3时，a n有最小值，最小值为-2．
【解析】（1）令a n=n2-5n+4＜0，解出n的范围，由此可得负项的项数；
（2）对a n进行配方，利用二次函数的性质即可求得最小值．
本题考查数列的函数特性，数列是特殊的函数，其定义域为正整数集或其有限子集，所以数列的很多问题可以从函数角度进行分析解决．
20.【答案】证明：取CD的中点E，连接ME，NE．
由N是线段CP的中点，利用三角形的中位线定理可得
NE∥PD，
∵NE⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，
∴NE∥平面PAD．
由M是线段AB的中点，E是CD的中点，四边形ABCD
是平行四边形，
∴四边形AMED是平行四边形，
∴ME∥AD，可得ME∥平面PAD．
又ME∩EN=E，∴平面MNE∥平面PAD，
∴MN∥平面PAD．
【解析】本题主要考查线面平行的判定，三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质定理、线面与面面平行的判定与性质定理是解题的关键.
取CD的中点E，连接ME，NE，利用三角形的中位线定理可得NE∥PD，进而得到NE∥平面PAD．由M是线段AB的中点，E是CD的中点，利用平行四边形的性质可得四边形AMED 是平行四边形，可得ME∥平面PAD．进而得到平面MNE∥平面PAD，利用面面平行的性质可得MN∥平面PAD．
21.【答案】解：（1）f（x）=2cos2x+2cos x sinx=1+cos2x+sin2x=1+2sin（2x+），
∴f（x）的最小正周期为T==π．
令-+2kπ≤2x+≤+2kπ，解得：-+kπ≤x≤+kπ，
∴f（x）的单调递增区间是：[-+kπ，+kπ]，k∈Z．
（2）当x∈[0，]时，2x+∈[，]，
∴当2x+=时，f（x）取得最大值1+2=3．
【解析】（1）利用二倍角公式化简f（x），根据周期公式和正弦函数的单调性得出f （x）的周期和单调区间；
（2）根据x的范围得出2x+的范围，再利用正弦函数的性质得出f（x）的最大值．
本题考查了三角函数的恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题．
22.【答案】解：（1）联立方程整理可得，y2+4y-5=0
解可得，或
即交点坐标A（7，1）B（-5，-5）
（2）设直线x-2y-5=0与x轴的交点M（5，0）
S△AOB=S△AOM+S△BOM===联立
【解析】（1）要求交点A、B的坐标，只要联立方程即可求解
（2）要求△AOB的面积，根据题意可得S△AOB=S△AOM+S△BOM=，代入可求
本题主要考查了直线与圆的相交求解交点，常联立方程进行求解，体现了曲线位置关系及方程的相互转化的思想的应用．。