现代分析3-2度量空间 (1)

(U , d 2 ) 是两个度量空间，T是由U中子集A 定义 2.3.2 设 (U , d1 ) ， {xn } A 到V中子集B的一个映射。设 x0 A ，若对任意点列 当 d1 ( xn , x0 ) 0 时，都有 d2 (Txn , Tx0 ) 0 ，则称T在x0 连 续。若T在A上每一点都连续，则称T为A到B的连续映射。 yn y0 ， 定理 2.3.1 在度量空间（E,d）中，若 xn x0 ， 那么 d (x , y ) d (x , y )
定理 2.2.1 在度量空间中，收敛点列的极限是唯一的。
定义 2.2.2（基本点列）设{xn }是度量空间（E,d）中的一个点列，若{xn } 满足
0, N ,当m,n>N时，有d ( xm , xn ) 成立
则称{xn } 是E中的基本点列。 定义 2.2.3（完备性）若度量空间E中的基本点列都是收敛点列，则称E 是完备的度量空间；设 A E ，若A按E的度量成为一个完备的度量空 间，则称A是E的一个完备子集。
① x+y=y+x ② (x+y)+z=x+(y+z) ③ E中存在唯一的元素（称它为零元素），使对x E ，成立着
x x
④ 对于E中每一个元素x，存在唯一的元素x* E 满足x x* 称 x*为x的负元素，记为－x； ⑵ 对任何 x E 即任何实（或复）数 a K ，存在元素 v E 使v=ax，v称为a和x的数积。这个数积运算适合：
| f (t1 ) f (t2 ) |
则称A是C[a,b]中的一个等度连续函数集。
2.2.4 稠密
定义 2.2.10 设（E,d）是一个度量空间，M，A是E中任意 两 y A 0 xM 个子集。如果对任意 及任意 ，都存在 ， d ( y, x) 使 得不等式 成立，则称A在M中稠密。特别，如果A在 _ MA E 中稠密，则称A为E的一个稠密子集。 定理 2.2.7 设M，A都是E的子集。若A在M中稠密，则 定理 2.2.8 P[a,b]是C[a,b]的一稠密子集。 定义2.2.11 若度量空间X中有可数的稠密子集，则称X为可 分空间
②
则称T是X到Y的线性算子（即线性映射）；若上述条件不全 成立，则称T是非线性算子。
2.7 线性度量空间
定义 2.7.1 设（X,d）是一度量空间，且X又是一实（或 复）数域K上的线性空间，如果X中的线性运算按度量d连 续，即满足： ① 对任意{xn },{yn } X(n=1,2, )及x,y X,只要d(xn ,x) 0 ② 对任意{an }, K{xn } X(n=1,2, )及a K和x X,只要|an ,a| 0
2.4 度量空间的完备化
定义 2.4.1 设(X,d)与(W,p)都是度量空间，如果有X到W的 p(Tx, Ty) d ( x, y), x, y X 满射T，满足 则称T为从(X,d)到(W,p)上的等距同构映射，并称(X,d)与 (W,p)为等距同构的独立空间，简称为X与W等距同构。 定理 2.4.1 对每个度量空间(X,d)，必有一个完备的度量 空间(Y,p)，使X与Y的某个稠密子集(W,p)等距同构。并且 (Y,p)在等距的意义下是唯一的。 定义2.4.2 设X是度量空间，若有完备度量空间Y，是X为Y 的稠密子集，则称Y为X的完备化空间。
和d(xn ,x) 0(n )成立，则有d(an xn ,ax) 0(n )成立
则有d(xn +yn ,x+y) 0(n )成立和d(yn ,y) 0(n )成立，
则称（X,d）是一个线性度量空间。
2.2.1 收敛点列与极限，度量空间的完备性 xn (n 1, 2, ) 及x E 。假设当n 定义 2.2.1 设（E,d）是一度量空间， 时，数列 d ( xn , x) 0 ，就说点列{xn } 按距离d收敛于x，记作
lim xn x或xn x(n )
x
{xn }为E中的收敛点列，x称为点列 {xn } 的极限点。 此时，称
引理2.2.1（闭球套定理） 设（E，d）是完备的度量空间， 是E中一套闭球，且满足 S1 S2
Sn {x E : d ( xn , x) n }
Sn
n 1
及 n 0
那么必存在唯一的点 x E ，满足 x
Sn
2.2.2 开集，闭集，邻域，聚点及有界集等 概念
引理 2.1.3 有

设
1 p
1 p p
，则
x (i ), y (i ) l p
1 p 1 p
p p (| | ) ( | | ) ( | | i i i i ) i 1 i 1 i 1
2.2 度量空间中的一些基本概念
第2节 距离与度量空间
2.1 度量空间的概念及例子 2.1.1 度量空间的基本概念 定义2.1.1：设E是非空集合。若对E中任一对元素x，y，都有相应有限实 数d（x,y）与它们对应（或者说，d是E上真的二元实函数），且d适合如 下条件： （1）d（x,y）>0，并且d（x,y）＝0当且尽当x＝y（此条件称为“非负 性”）； （2）成立着三角不等式，即d（x,y） d（x,z）+d（y,z）, x,y,z E,则称d（x,y）是元素x，y之间的度量或距离，并称E按 d（x,y） 成为度量空间或距离空间，记为（E，d）或简记为E。E 中 的元素成为点。
⑤ 1x=x ⑥ a(bx)=(ab)x ⑦ (a+b)x=ax+bx ⑧ a(x+y)=ax+ay
a, b K a, b K , x E
a K , x, y E
则称E为是（或复）数域K上的线性空间或者向量空间。其 中的元素也称为向量 。
2. 线性组合、生成集、基、空间的维数以及凸集等概念 x1 , x2 , , xn E ，则对于任意n个 如果E是线性空间， n , an ，称 ai xi E 为向量组 x1 , x2 , , xn 的一个线 数 a1 , i 1 性组合。如果M是E的非空子集，则M中向量的有限线性组合 全体所成的集，称为有M生成的集，记作spanM。显然spanM 是E的一个线性子空间。 如果M中的每个元不能用M中其它元的线性组合来表出， 则称M为E中一个线性无关组；若M是E中线性无关组，且E＝ spanM成立，则称M为E的一个基；若M是E的一个基，且M的势 为 ，则称 为E的维数；特别，若 是有限数，则称E为 有限维空间；反之，若 不是有限集，则称E为无限维空 间。
2.2.3 致密集，紧密概念及其性质
定义 2.2.8 设A是度量空间E的一个子集。若A中任一无穷 点列都含有基本子列，则称A是E的致密子集；若A中任一无 穷点列都含有在A中收敛的子列，则称A是E的紧子集。 定义 2.2.9 设A是C[a,b]的一个子集。若对任何 0 ，都 有 0，使当 t1 , t2 [a, b] 满足 | t1 t2 | 时，对一切f A 都 成立着
定理 2.2.2 A 是包含A的最小闭集 x0 E ，r是任一有 定义 2.2.6 设（E，d）为度量空间， 限实数，称集合{x E : d ( x, x0 ) r}为E中的一个开球，记 为 O( x0 , r ) 。也把 O( x0 , r ) 叫做 x0 的一个邻域或r－环境。 定理 2.2.3 U为度量空间E的一个开子集，当且仅当有
_
x U , 0, 使得O( x, ) U
（即U中每点都带其某邻域含于U）
定义 2.2.7 设 M E ，如果有x0 E 及r (0 r ) ，使
M O( x0 , r )
则称M是E中的有界集。 定理 2.2.4 若{xn } 为度量空间E中的收敛列，那么{xn } 是有界 集。
(3)由性质(1)，(2)，令z=x，可推出距离还有对称性，即 d（x，y）＝ d（y，x）； (4)
d ( x, y) d ( y, z) d ( x, z)
（任意两边之差小于第三边）。
2.1.2 度量空间 l （1 p ）和Lp a, b (1 p ) p p 1.集合 l 与 L a, b (1 p ) 及其相关的重要不等式 引理2.1.1 设p,q为一对共轭数，则对任意两个正数A,B，都有
定理 2.6.1 任意线性空间X { } 都有基，且所有的基都有 相同的维数。 定义 2.6.2 设E为线性空间，A为E中一子集。若x, y A 及 a (0,1) ，都有 ax (1 a) y A ，则称A为E中的一个凸 集。
2.6 线性空间上的映射
定义 2.6.3 设X，Y分别是数域K（实或复）上的线性空间， T是X到Y的一个映射，线性空间上的映射有称为算子。如果 T 满足条件： x X , a K , 有T (ax) aT ( x) ① x, y X , T ( x, y) T ( x) T ( y)
n n 0 0
2.3.2 压缩映射原理及其应用
定义 2.3.3 设（E,d）是度量空间，T是E到E的一个映射。 如果存在 , 0 1 ，使得 x, y E ，都有 d (Tx, Ty) d ( x, y) ，则称T是E上的一个压缩映射。 定义 2.3.4 设T是从集合E到集合E的映射，如果存在x E 满足Tx x ，则称x为T的一个不动点。 定理 2.3.2 完备空间中的压缩映射必有唯一的不动点。 定理 2.3.3 设 是R N 中的有界凸闭集，f是 到 的连 续 映射，则f存在不动点。
p
A B
1 p
1 q
1 p ，则对任意的 引理2.1.2 设p,q是一对共轭数，
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A B p q
x (i ) l p , y (i ) l q
有
p q | | ( | | ) ( | | i i i i ) i 1 i 1 i 1 1 p 1 q
定义2.2.4 设A为度量空间E的一个子集，若A中一切在E中 收 def c E的一个闭子集，规定空 敛的点列的极限仍属于 A，则称A 为 A E A { x E : x A} 集 是闭子集。闭子集A的余集 称为E的开子集。 定义 若度量空间E中，除了 和E外，没有其它既开又闭的 子集，则称E为一个连通空间。否则，称E为一个不连通空 间。
2.5 线性空间
2.6.1 基本概念 1. 线性空间 定义2.6.1 设E为一集合，加入在E中规划了线性运算－元 素的加法以及实（或复）数域K与E中元素的乘法运算，满 足下列条件： ⑴E关于（＋）称为交换群。即对任意一对因素x, y E ，都 存在 u E ，使x+y=u，称u为x,y的和。这个运算适合：
2.3 度量空间上的映射
2.3.1 映射以及度量空间上映射的连续性 AU ， B U 。若有对应关 定义 2.3.1 设U,V是两个集合， 系T : A B 使对每一个x A ，存在唯一的 y B ，Tx=y， 则称T为A到B上的一个映射。A称为T的定义域，记为D(T)， y 称为A中元素x的像元素，像元素全体的集合称为映射T的像 集，记为R(T)。若R(T)＝B，则称T为满射；若A中不同元素 的像也不同，这称T为单射；当T既是满射有是单射时，称T 为单满射或A到B上的双射。