高等数学B:ch8-7 Stokes公式与旋度
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斯托克斯公式的物理意义:
rotA dS A dr
(这里
)
为向量场 A 沿
向量场 A 产生的旋度场
的环流量
穿过 的通量
注意 与 的方向形成右手系!
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例2. 设
n0 为
的单位外法向量, 计算 I rot A n0dS .
i jk
解:
rot A
x
y
z
(0, 0 , 1)
x
y
z
xx
dS
yy zz
PQ R
PP
QQ R R
当 的侧向与 的方向符合右手规则时为正.
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3
Stokes公式的实质: 表达了定向曲面上的曲面积分与其边界曲线
上的曲线积分之间的关系.
(当Σ是 xoy 面的平面闭区域上侧时)
斯托克斯公式 特殊情形
格林公式
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二、简单的应用
dydz zxdxdy dxdy dzdx zydxdy dxdy
dydz dzdx dxdy
3
3
dxdy
3 d Dxy
2
y
zdx
xdy
ydz
3 2
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6
1
Dxy o
x 1
三、 环流量与旋度
斯托克斯公式
Pdx Qd y Rdz
A dr
rotA dS
dS (dydz, dzdx, dxdy)
例 1 计算曲线积分 zdx xdy ydz,
其中 是平面 x y z 1 被三坐标面所截成的
三角形的整个边界,它的正向与这个三角形上侧
的法向量之间符合右手规则.
z
解 按斯托克斯公式, 有
1
n
zdx xdy ydz
0 Dxy
y 1
dydz dzdx dxdy
1
x
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:z 1 x y (上侧) n (zx ,zy ,1) (1,1,1)
第七节
第八章
斯托克斯公式与旋度
一、斯托克斯公式 二、简单的应用
三、物理意义---环流量与旋度
四、小结
一、斯托克斯公式
定理 设是一张光滑或分片光滑的定向曲面,
为光滑或分段光滑的闭曲线。如果函数 P( x, y, z),Q( x, y, z),R( x, y, z)在上有
一阶连续偏导数, 则
(R y
2y 3x z2
0
I cos d S dxdy 0
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四.内容小结
1. 斯托克斯公式
d yd z
P d x Q d y R d z
x
P
dzdx
y
Q
dxd y
z
R
cos
x
P
rotA dS A dr
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cos
y
Q
cos
z
dS
R
2. 场论中的三个重要概念
令 A (P, Q, R), 引进一个向量
记作 rot A
i jk
x
y
z
PQR
向量 rot A 称为向量场 A 的 旋度 .
x
,
y
,
z
,
rot A A
(见本书P221)
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环流量的定义:
定义: P d x Qd y Rd z A dr 称为向量场A
沿定向闭曲线 的环流量.
设 u u (x, y, z),
A
(P
,
Q,
R),
x
,
yFra Baidu bibliotek
,
z
,
则
梯度:
grad u
u x
,
u y
,
u z
u
(见本书P221)
散度:
div A
P x
Q y
R z
A
i jk
旋度:
rot A
x
y
z
A
PQR
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Q z
)dydz
(P z
R )dzdx x
(Q x
P y
)dxdy
Pdx Qdy Rdz Stokes公式
n
其中 为的正向边界曲面,
即 的方向与的侧符合右手规则
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2
n
右手法则
是定向曲面 的
正向边界曲线
便于记忆的实用形式
Pdx Qdy Rdz
dydz dzdx dxdy
ccoossdS ccooss dS cocoss dS