勾股定理16种经典证明方法与在实际生活中的应用

D
b
Ga C
∵ ∠ AEH + ∠ AHE = 90 o,
∴ ∠ AEH + ∠ BEF = 90 o. ∴ ∠ HEF = 180 o― 90o= 90 o.
∴ 四边形 EFGH是一个边长为 c 的 正方形 . 它的面积等于 c 2.
a
c
H
b c
F
1 ab
2 . 把这四个直角三
C、G、D三点在一条直线上 .
∵ Rt Δ GDH≌ Rt ΔHAE, ∴ ∠ HGD = ∠ EHA.
c b
c
a
∵ ∠ HGD + ∠ GHD = 90o, ∴ ∠ EHA + ∠ GHD = 90o.
Aa E
bB
又∵ ∠ GHE = 90o,
∴ ∠ DHA = 90 o+ 90 o= 180 o.
∴ ABCD是一个边长为 a + b 的正方形，它的面积等于
【证法 1】（课本的证明）
a
b
a
a
c
a
b
b
a
a
c
a
b c
bc
b
b
b
c
c
a
a
b
a
b
做 8 个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为
a、b，斜边长为
方形，把它们像上图那样拼成两个正方形 .
从图上可以看到，这两个正方形的边长都是
a + b ，所以面积相等 . 即
a2
b2
1 4 ab
c2
4
1 ab
整理得
做三个边长分别为 a、 b、 c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使
BF、 CD. 过 C作 CL⊥ DE，
交 AB于点 M，交 DE于点
G
L.
H
∵ AF = AC ， AB = AD，
∠ FAB = ∠GAD， ∴ Δ FAB ≌ Δ GAD，
a
b
2
.
a b2
1 4 ab
c2
∴
2
.
∴ a2 b2 c2.
【证法 3】（赵爽证明）
以 a、 b 为直角边（ b>a）， 以 c 为斜
边作四个全等的直角三角形，则每个直角
1 ab
三角形的面积等于 2 . 把这四个直角三
角形拼成如图所示形状 .
∵ Rt Δ DAH≌ Rt ΔABE,
∴ ∠ HDA = ∠ EAB.
1 4 ab
2
ba
c2
∴
2
.
∴ a2 b2 c2.
【证法 4】（ 1876 年美国总统 Garfield 证明）
以 a、b 为直角边，以 c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于
1 ab
2 . 把这两个直角三
角形拼成如图所示形状，使 A、 E、B 三点在一条直线上 .
∵ Rt Δ EAD ≌ Rt ΔCBE,
A
b
Ea B
∴ ABCD是一个直角梯形，它的面积等于
1 a b2
2
.
1 a
b2
1 2 ab
∴2
2
∴ a2 b2 c2.
【证法 5】（梅文鼎证明）
1 c2 2.
做四个全等的直角三角形， 设它们的两条直角边长分别为 使 D、E、 F 在一条直线上 . 过 C 作 AC的延长线交 DF于点 P.
∵ D 、 E、F 在一条直线上 , 且 Rt Δ GEF ≌ Rt ΔEBD,
2
c2
1 S 2 ab
2,
∴ a2 b2 c2.
2
-2-
【证法 6】（项明达证明）
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为
a、 b（ b>a） ，斜边长为 c. 再做一个边长为 c 的正方
Байду номын сангаас
形 . 把它们拼成如图所示的多边形，使 E、 A、 C 三点在一条直线上 .
过点 Q作 QP∥ BC，交 AC于点 P. 过点 B 作 BM⊥ PQ，垂足为 M；再过点 F 作 FN⊥ PQ，垂足为 N.
a2 b2
c2.
2
2
c，再做三个边长分别为
a、b、 c 的正
【证法 2】（邹元治证明）
以 a、 b 为直角边，以 c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于
角形拼成如图所示形状，使 A、E、B 三点在一条直线上， B、F、C 三点在一条直线上，
∵ Rt Δ HAE ≌ Rt ΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF.
∴ ∠ QBM = ∠ ABC， 又∵ ∠ BMP = 90o，∠ BCA = 90 o，BQ = BA = c ，
c
M
c
C N
a
∴ Rt Δ BMQ≌ Rt ΔBCA. 同理可证 RtΔ QNF≌ Rt Δ AEF.
Q
c
B
从而将问题转化为【证法 4】（梅文鼎证明） . 【证法 7】（欧几里得证明）
即 ∠ CBD= 90o. 又∵ ∠ BDE = 90 o，∠ BCP = 90 o，
BC = BD = a . ∴ BDPC是一个边长为 a 的正方形 .
G
c
b
c
C
a
H b
a
A
c
E P b
c D
a
B
同理， HPFG是一个边长为 b 的正方形 . 设多边形 GHCBE的面积为 S，则
a2 b2
1 S 2 ab,
∵ ∠ HAD + ∠ HAD = 90 o，
∴ ∠ EAB + ∠ HAD = 90 o， ∴ ABCD是一个边长为 c 的正方形，它的面积等于 c 2.
∵ EF = FG =GH =HE = b ― a ,
∠ HEF = 90 o.
D
c
b
GF
C
a
A
HE
B
1
-1-
2
∴ EFGH是一个边长为 b― a 的正方形，它的面积等于 b a .
a、b ，斜边长为 c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，
∴ ∠ EGF = ∠ BED，
∵ ∠EGF + ∠GEF = 90 °，
F
∴ ∠ BED + ∠ GEF = 90 °， ∴ ∠ BEG =180o― 90o= 90 o.
b
a
又∵ AB = BE = EG = GA = c ， ∴ ABEG是一个边长为 c 的正方形 . ∴ ∠ ABC + ∠ CBE = 90 o. ∵ Rt Δ ABC ≌ Rt ΔEBD, ∴ ∠ ABC = ∠ EBD. ∴ ∠ EBD + ∠ CBE = 90 o.
∴ ∠ ADE = ∠ BEC.
C
∵ ∠ AED + ∠ ADE = 90 o, ∴ ∠ AED + ∠ BEC = 90 o. ∴ ∠ DEC = 180 o― 90o= 90 o. ∴ Δ DEC是一个等腰直角三角形，
D
a
c
c
b
1 c2 它的面积等于 2 .
又∵ ∠ DAE = 90 o, ∠ EBC = 90 o, ∴ AD∥ BC.
∵ ∠ BCA = 90 o，QP∥ BC，
E
b
a
∴ ∠ MPC = 90o， ∵ BM⊥ PQ， ∴ ∠ BMP = 90 o， ∴ BCPM是一个矩形，即∠
MBC = 90o.
F
c
A
P
b
∵ ∠ QBM + ∠ MBA = ∠ QBA = 90 o， ∠ ABC + ∠ MBA = ∠ MBC = 90o，