平面直角坐标系及伸缩变换

求∴动∴∴∴|M圆||M|MOM圆OO2O|－2心2|2|－－|－|MM||MM|OM的OO1O|11轨＝||＝＝1|迹＝333...方3. 程，并说明轨迹是何种曲线．y
∴∴∴∴点点点点MMMM的的的的轨轨轨轨迹迹迹迹是是是是以以以以OOO11O1,,O,OO12,22O为为2 为焦焦点焦点点,点,, ,
(c,0)、(-c,0)
长半轴长为a,短 半轴长为b. a>b
e c a
a2=b2+c2
x2 b2
y2 a2
1(a b 0)
|x|≤ b,|y|≤ a
同前
(b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c)
同前
同前
同前
图形
方程 范围
y
. .B2
F1 A1O A2 F2 x F1(-c,0) B1 F2(c,0)
x2 y2 1(a b 0) a2 b2 x a 或 x a，y R
..
y
A2 F2
B2
B1
A1O
F1
F2(0,c) x F1(0,-c)
y2 x2 1 (a 0,b 0 ) a2 b2 y a 或 y a，x R
对称性 关于x轴、y轴、原点对称 关于x轴、y轴、原点对称
y＝9x2＋12x＋3.
【2】若曲线
x2 4
y2
1
上有一动点P，O点为坐标
原点，M为线段OP的中点，求点M的轨迹方程.
解: 设点M的坐标是(x , y), 点P的坐标是(x0 , y0),
由于点M是线段OP 的中点,
x x0 , y y0 ,
设动圆 M 的半径为 r，
则设设设由动动动动圆圆圆圆MMMM的的的与半半圆半径径径为O为1为内rr，，切r，，有|MO1|＝r－1； O
x

则则则由由由由动动动动圆圆圆圆MMMM与与与圆与圆圆圆OOO211外O内内1切切切内，，，切有有有，|M||MM有OOO2|1|1M＝||＝＝Orr＋r－1－|＝211.；；r－1；
＝4.动圆 M 与圆 O1 内切，又与圆 O2 外切，建立适当的坐标系，
求动圆圆心 M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．
解: 如图所示，以 O1O2 的中点 O 为原点，O1O2 所在直线为
x 轴建立平面直角坐标系．
y
由由|O|O1O1O2|＝2|＝4，4,得得OO11((－ -22, ,00)),、OO2(22(,20,0))．．
lll和和和lll的的的距距距离离离的的的最最最小小小值值值为为为|1|122||1±5±52441|±5.2|.45|.4 | .
O
x
∴∴∴点点点QQQ与与与ll的l的的最最最小小小值值值为为为88558555..5.
题 型 三 定义法求轨迹方程
【例 3】已知两个定圆 O1和 O2，它们的半径分别是 1 和 2，且|O1O2|
y
f(x,y)=0
常见公式：直线方程，平行，垂直，0 x 中点，中心，距离，
标准方程 范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率 a、b、c的关 系
x2 y2 1(a b 0) a2 b2
|x|≤ a,|y|≤ b
关于x轴、y轴成轴对称； 关于原点成中心对称
(a,0)、(-a,0)、 (0,b)、(0,-b)
解:(1)不正确，应为x=3,
(2)不正确, ，应为y=±1.
(3)正确.
(4)不正确, 应为x=0(-3≤y≤0).
练习2:下述方程表示的图形分别是下图 中的哪一个？
① x - y =0 ② |x|-|y|=0 ③ x-|y|=0
Y
Y
1
1
Y
Y
1
1
O
1X
A
O
1 X -1 O
1X O
1X
-1 -1
B
∴ ∴∴ ∴∴ ∴∴ ∴实点a探＝实点a实点a实点a轴究＝M＝＝32轴轴M轴M长，3232M提的32长，长，长，为的c的高的轨＝为为cc轨轨为c＝＝3轨迹＝233迹迹2，2的3迹方，，2的的方方，的 ∴双∴双 方 ∴程 双程程∴b双曲b曲b曲程为2为2为＝2b曲线＝＝线线为42244＝c9xc线9的c9x的 x2的42222－2－－c－9－x－的左左2222－aa－a444左支2277支2yy7y＝＝＝a2242．＝支．＝22．＝7y74＝747422.1..．＝1174(((.x1xx≤≤≤(x－－≤－3232－32))．)．．32)． O
1.1 平面直角坐标系 与曲线方程
定义: 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看
作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点 与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下 的关系:
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解;
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
那么,这个方程叫做曲线的方程; 这条曲线叫做方程的曲线.
x
求曲线的轨迹方程时，应尽量地利用几何条件探求轨迹
的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可
以减少运算量，提高解题速度与质量．
题 型 二 相关点法求轨迹方程 【例 2】已知△ABC，A(－2,0)，B(0,－2)，第三个顶点 C
在曲线 y＝3x2－1 上移动,求△ABC 的重心的轨迹方程．
C(5, 7)，则 AB 边上的中线的方程为___________.
3x 2 y 0(1≤ x ≤5)
练习1. 解:
2.
y2 x2
y x的
B
3.
B
4.到F(2，0)和y轴的距离相等的动点的轨迹方 程是__y_2=__4(_x_-_1)_
解:设动点为(x，y)，则由题设得
化简得: y2=4(x-1) 这就是所求的轨迹方程.
题 型 一 直接法求轨迹方程
【例
1】已知
M(4,0)，N(1,0)，若动点
P
满足
uuuur MN
uuur MP
6
|
uuur NP
|
.
(2)设 Q 是曲线 C 上任意一点，求 Q 到直线 l：x＋2y－12＝0
的距离的最小值．
(((222)))由由由几几几何何何性性性质质质意意意义义义知知知，，，椭椭椭圆圆圆CC与C与平与平行平行于行于于ll的的l切切的线线切l线l′′的的l′的 距距距离离离等等等于于于QQQ与与与ll的l的的距距距离离离的的的最最最小小值小值．值．．
－迹((4xx4y方，－,2＝解y解程解y4解))，)1，则 由 化 ∴则 由 化 ∴::是＝则 由 化 ∴2则 由 化 ∴::((uM((11，u1椭已 简 点点 已 简16uM)u)uM已 简 点Mu已 简 点)uMN设设)uMu即u设uur圆设知 得N知 得uuu知 得PPuPPPr知 得r动＝r1u动xrPP4r得－动2C得的＝的的3＝33＋(点uM得点点的：x＝－x3xux－－轨点－轨(轨 (22y(ux23Pxx＋＋－ xxr＋322P轨P4(P233－－＋＝迹 迹23－,x＋迹((＋0(P(4(4x(x3－4xx迹x)414yx方y方，(，，4－(y－－方64y，,2.3x,2－x＝,22＝ 4yy方u程yP，|y＝程＝－4yyy)4程,2u)yu)N4，))N1)＝，，)u1u是 )y＝，2程1，r是)1＝y2， 4，P2u是)M＝.ru，)M2，＝u)， 1椭u6MM，u椭是6＝， uM|uNu2椭u6即uNuuM(r圆即u，NuN1ru圆u即 椭N6uMr＝1圆 －xuur4u＝1Nx－2C4即即u＝1rxu－＋圆2C(圆N4xM：＋－－u2(CuMuxr,r：＝1x－＋＝ －1x(yu4x34xP：x－－42C322y－4ux2C3P＋2＝＋x2ry,322(＋uy4M(u3M＋0：＋＝－：)x2－,322ux4ux，)＋01＋＝2y，u,－y36uP)＋ .303P1xry322x4，r32322－46yu)＋P＝.|3212＋＝,2y，,2u－＋0yNu＋.P0|3N＝uy22)u1r1uN)uP1，PN＝，－yu6，.yu1－2.u63y1r＝.3N，P2u.u2.|ruP2|1＝ruP＝|y＝，(uyuN.u|u1NN＝uNu2u1(－ru21r，Pu1，Pu.Or(.r＝－x＝1|,|－x((1,1－yx－)－,，－yx)x，y,－,)－，yy))，，x
由由由动动动圆圆圆MMM与与与圆圆圆OO22O外外2切切外，，切有有，||MM有OO|22M||＝＝Orr＋2＋|＝22..r＋2.
题 型 三 定义法求轨迹方程
【例 3】已知两个定圆 O1和 O2，它们的半径分别是 1 和 2，且|O1O2|
＝4.动圆 M 与圆 O1 内切，又与圆 O2 外切，建立适当的坐标系，
( p ,0) 2
xp 2
线 的
y
F
O
x2=2py
x
l
(p>0)
(0，p ) y p
2
2
标 准
y
O F
l
x
x2=-2py (p>0)
(0， p ) 2
y p 2
方 程
例1 :判断下列命题是否正确 (1)过点A（3，0）且垂直于x轴的直线的方程 为︱x︱=3 (2)到x轴距离等于1的点组成的直线方程为y=1 (3)到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方 程为︱xy︱=1 (4) △ABC的顶点A(0,-3)，B(1,0)，C(-1,0)， D为BC中点，则中线AD的方程x=0
设设ll：：：xxx＋＋＋22y2y＋y＋＋DDD＝＝＝00..将0将.将其其其代代代入入椭入椭圆椭圆方圆方程方程消消程去去消x去x，，x，
化化简简简得得得：：：11166y6y2y2＋＋2＋11212D2DyDy＋＋y＋33((D3D(2D2－－2－44))＝＝4)0＝0.. 0.
y
∴∴ΔΔΔ＝＝＝11144444DDD22－－2－11919292(2(DD(2D2－－2－44))＝4＝)＝00⇒⇒0D⇒D＝＝D±＝±44，±，4，