北京工业大学附属中学2019届高三上学期摸底考试数学理试卷及解析

2018-2019学年度第一学期摸底考试高三年级数学

学科试卷（理）

第Ⅰ卷（共70分）

一、选择题（共10小题，每题5分，共70分）

1.已知命题，，则

A. ，

B. ，

C. ，

D. ，

【答案】B

【解析】

考查全称命题和特称命题的否定，方法是：把全称（存在）量词改为存在（全称）量词，把结论否定。所以为：，所以选B；

2.下列命题中正确的是（）

A. 若为真命题，则为真命题

B. “”是“”的充分不必要条件

C. 命题“，使得”的否定是“，都有”

D. 命题“若，则”的否命题为“若，则”

【答案】B

【解析】

试题分析：容易验证,则,反之若,则或,因此答案B正确的,故应选B.

考点：命题、命题的真假、复合命题及充分必要条件的判定．

3.（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

直接运用诱导公式，转化为特殊角的三角函数值求解。

【详解】=

=

=

【点睛】本题考查诱导公式及特殊角的三角函数值，关键要牢记公式及特殊角的三角函数值，属于基础题。

4.已知集合,且,则的取值范围是（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

试题分析：由得：当时，满足题意；当时，（１）满足题意，（２），综上，，故选D.

考点：集合间的关系．

5.函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意可得f（1）f（2）=（0﹣a）（3﹣a）＜0，解不等式求得实数a的取值范围．

【详解】由题意可得，解得，故实数的取值范围是，故选:C．

【点睛】本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用，属于基础题．

6.已知则的最小值是（）

A. B. 4 C. D. 5

【答案】C

【解析】

【分析】

把条件化为，=，展开后运用基本不等式，即可求出最小值。

【详解】由得，

于是=

=

由于，所以由基本不等式知

=。答案选C。

【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“一正”（条件要求式子中的字母为正数），“二定”（不等式两端中，有一端为定值），“三相等”（等号成立的条件可以达到），否则会出现错误。

7.为了得函数的图象，只需把函数的图象（）

A. 向左平移个单位

B. 向左平移单位

C. 向右平移个单位

D. 向右平移个单位

【答案】A

【解析】

【分析】

将函数的图象按图像变换规律逐步变到函数的图象。

【详解】不妨设函数的图象沿横轴所在直线平移个单位后得到函数的图象。

于是，函数平移个单位后得到函数，，即，

所以有，，取，。答案为A。

【点睛】由函数的图像经过变换得到的图像，在具体问题中，可先平移后伸缩变换，也可以先伸缩后平移变换，但要注意水平方向上的伸缩和平移变换都是针对x值而言，故先伸缩后平移时要把x 前面的系数变为1。

8.已知的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中的系数为（）

A. 5

B. 10

C. 20

D. 40

【答案】B

【解析】

【分析】

首先根据二项展开式的各项系数和，求得，再根据二项展开式的通项为，求得，再求二项展开式中的系数.

【详解】因为二项展开式的各项系数和，所以，

又二项展开式的通项为=，，

所以二项展开式中的系数为。答案选择B。

【点睛】本题考查二项式展开系数、通项等公式，属于基础题。

9.设是定义在上的奇函数，且,当时，有恒成立，则不等式

的解集为（）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】

分析：构造函数，，当时，==，在上为减函数。===，为偶函数。可以推测出的图像，而等价于，再结合图像推测的解集。进而即可解决。

【详解】设，，

当时，==，

在上为减函数。

又===，

所以为偶函数且==0。因此的图像大致如图。

由图像可知，当时，有，此时，故；当时，有，此时，故；所以的解集为。

又等价于，所以的解集为.故选D。

【点睛】导数在函数单调性中的应用及函数不等式的求解问题，其中构造函数，利用导数与单调之间的关系得出函数的单调性是解答的关键，可以根据条件推测图像，直观得出结论或考虑某个具体的函数值，利用单调性的定义转化为自变量的不等关系，此类问题重点考查转化思想，以及分析问题和解决问题的能力。

10.函数是定义域为的可导函数，且对任意实数都有成立．若当时，不等式成立，设，，，则，，的大小关系是（）

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】

对任意实数都有成立可知函数的对称轴为，再由不等式

成立，可知函数在对称轴左、右两侧的单调性，为函数的极大值点，综合以上性质可推断，，的大小关系。

【详解】因为对任意实数都有成立

所以函数的对称轴为，

又因为不等式成立，

所以当时，，递增；当时，，递减，

所以为函数的极大值点，

因此有，即。

【点睛】本题考查了函数对称性，单调性及极值等性质的综合运用，综合性较强，关键要能将数学表达式与相应性质进行转化，深刻理解研究函数的过程和方法。本题属于中档题。

11.设表示两者中较小的一个，若函数，则满足的的取值范围是（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】

首先把函数转化为分段函数，再分别列不等式求解即可。

【详解】函数可化为

当时，解得，所以；

当时，，解得，所以。

综上可得，。答案选B。

【点睛】本题是分段函数与不等式的综合，本题的处理难点在于如何把函数

转化为分段函数，理解此处给出的函数的含义，是转化的关键点。此题属于中档题。

12.若三个非零且互不相等的实数成等差数列且满足，则称成一个“

等差数列”.已知集合，则由中的三个元素组成的所有数列中，“等差数列”的个数为（）

A. 25

B. 50

C. 51

D. 100

【答案】B

【解析】

【分析】

首先要确定构成“等差数列”的三个数的内在关系，和，结合所给集合找出符合条件的数组有50组。

【详解】由三个非零且互不相等的实数成等差数列且满足，知

消去，并整理得，

所以（舍去），，

于是有。

在集合中，三个元素组成的所有数列必为整数列，

所以必为2的被数，且，

故这样的数组共50组。答案选B。

【点睛】此题属于新情境问题，这类问题关键是要从问题情境中寻找“重要信息”，研究对象的本质特征，如本题中能构成“等差数列”的三个数的内在关系，和，这种明确数量关系（数量化的特征）是解决问题的关键，将地应用于新情境，即可达到解决问题的目的。这实质上是属于数学建模问题，一般考查较深刻，综合性强，难度略大，除要有相应的数学知识和数学能力外，还应耐心读题，仔细思考，增强信心，以应对此类问题。

第II卷（共80分）

二、填空题（共8小题，每题5分，共40分）

13.定积分的值为________.

【答案】

【解析】

试题分析：由定积分的几何意义，表示圆面积的一半，

所以，=。

考点：定积分计算，定积分的几何意义。

点评：简单题，利用定积分的几何意义，将定积分问题转化成面积计算。

14.函数的定义域为______________.

【答案】

【解析】

【分析】

函数定义域为使函数有意义的自变量的取值集合，因此，组成函数的各部分都必须有意义，，，，联合求解。

【详解】由题意知，解得，所以。

【点睛】函数的定义域主要从以下几个方面考虑：一是解析式本身的结构和运算可能会导致某些值会使式子或运算无意义，如含有分母时分母为0，含有偶次方根时被开方数为负，含有对数运算时真数为负等；二是变量本身所代表的实际意义，比如人的个数必须为正整数等。解决具体问题时要紧扣各种运算的定义及适用条件，列出限制条件组成的方程组，求解。15.已知随机变量，则________.

【答案】

【解析】

【分析】

随机变量表示6次独立重复试验，每次实验成功的概率为，而表示6次实验中成功2次的概率，根据此意义可以求解。

【详解】由题意知=

==。

【点睛】本题主要考查独立重复实验中事件的概率及二项分布重大知识，属于基础题。16.若，满足则的最大值为

【答案】2

【解析】

试题分析：不等式对应的可行域为直线围成的三角形区域，顶点为，当过点时取得最大值2

考点：线性规划问题

17.函数的单调减区间是_____________．

【答案】

【解析】

由题知函数定义域为，又，则，解得，则．故本题应填．

18.设，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是___________.

【答案】

【解析】

【分析】

首先求出命题p与q，再根据是的充分不必要条件建立不等式，求解即可。

【详解】由可得，；

可得

因为是的充分不必要条件，

所以，即

【点睛】将命题之间的充分不必要条件转化为集合之间的关系是解决此类问题的关键。19.在报名的名男教师和名女教师中，选取人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不

同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．

【答案】

【解析】

①男女，种；

②男女，种；

③男女，种；

∴一共有种．

故答案为：120.

点睛：解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手；(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；

(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．

20.有下列命题：

①若函数，则函数的最小值为-2.

②三次函数有极值点的充要条件是；

③若是定义在上的奇函数，且也为奇函数，则是以4为周期的周期函数.

④若函数在上单调递减，则；其中真命题的序号是________.

【答案】①③④

【解析】

【分析】

①可以考查的最值，根据与图像的变换关系进行判断。

②转化为导函数有根的充要条件处理；

③根据函数奇偶性和周期性的定义式进行推断；

④根据函数的单调性与对称性进行比较。

【详解】①设函数，此函数的最小值为-2，而是由图像向左平移2014个单位长度，其函数的最值不变，所以①正确；

②三次函数有极值点的充要条件是导函数有两个不相等的实根，即；所以②错误；

③是定义在上的奇函数，且也为奇函数，则有，，另一方面=，所以=，即=，于是有，故周期为4。所以③正确；

④易知函数为偶函数，又函数在上单调递减，所以，在

是单调递增。于是有

==

而，显然有，即，所以④正确。综上答案为①③④。

【点睛】本题的综合性较强，考查的知识点多，跨度大，属于较难题。

三、解答题（共4小题，共40分）

21.已知集合，集合，集合

.

（1）当时，若，求实数的取值范围；

（2）当时，求集合中的函数的单调减区间.

【答案】（1）或；（2）.

【解析】

【分析】

（1）把代入，并对集合A进行化简。注意到等价于C A，解决时注意讨论C=和C≠两种情况。

（2）把代入，得函数，对于复合函数分出内外层函数，各自求单调区间，再根据复合函数单调法则确定其单调区间。

【详解】（1）∵x2﹣5x﹣14≥0，∴x≥7或x≤﹣2，

∴A=（﹣∞，﹣2]∪[7，+∞）

∵A∪C=A，∴C A，

①C=，2m﹣1＜m+1，∴m＜2，

②C≠，则或，∴m≥6

综上所述，m＜2或m≥6

（2）易知函数的定义域：（﹣∞，﹣7]∪[2，+∞），

令，根据二次函数的性质得，当时，t单调递减，

又为增函数，所以的单调减区间为：（﹣∞，﹣7]。

【点睛】在进行由集合的关系求参数的取值范围时，常要把集合的运算关系转化为两个集合间的关系，如等价于C A，等价于A C等，解决过程中一定不能把子集可能为空集的情况丢掉，这是很多学生易出错的地方。

22.定义在上的函数同时满足以下条件:

①在时取得极值；

②是偶函数；

③的图象在处的切线与直线垂直.

（1）求函数的解析式；

（2）设，若存在, 使, 求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（１）由①在时取得极值可得f ' (1) =3a+2b+c=0，由②是偶函数可得b=0；由③的图象在处的切线与直线垂直可得c=-1，三者结合可得f(x) =x3-x+3。（2）对于存在, 使成立，等价于存在x∈[1, e], 使m> (4ln x-x2+1) min成立，进而转化为求M(x) =4ln x-x2+1在x∈[1, e]上的最小值问题。

【详解】(1) f ' (x) =3ax2+2bx+c.

∵f(x) 在在时取得极值,

∴f ' (1) =3a+2b+c=0, (*)，

由f ' (x) 是偶函数得b=0, ①

又f(x) 的图象在x=0处的切线与直线y=x+2垂直,

∴f ' (0) =c=-1, ②

将①②代入(*) 得a=,

∴f(x) =x3-x+3.

(2) 由已知得, 若存在x∈[1, e], 使4ln x-m< x2-1,

即存在x∈[1, e], 使m> (4ln x-x2+1) min.

设M(x) =4ln x-x2+1, x∈[1, e],

则M' (x) =-2x=,

令M' (x) =0, ∵x∈[1, e], ∴x=.

当< x≤e时, M' (x) < 0, ∴M(x) 在(, e]上为减函数;

当1≤x≤时, M' (x) > 0, ∴M(x) 在[1, ]上为增函数,

∴M(x) 在[1, e]上有最大值.

又M(1) =1-1=0, M(e) =5-e2< 0,

∴M(x) 的最小值为5-e2.

∴m> 5-e2.

【点睛】利用导数研究函数的问题中有一类讨论参数取值范围问题，常常把不等式有解问题转化为求函数的最值来解决，属于难题。

23.某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品.

（1）随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；

（2）随机选取3件产品，其中一等品的件数记为，求的分布列及数学期望..

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】

试题分析：

（Ⅰ）“至少有一件通过检测”的反面是“没有一件通过检测”，即三件都不通过，利用互斥事件的概率可得；

（Ⅱ）求的分布列，首先要确定变量的取值，由于10件中有6件一等品，因此的取值依次为，由古典概型概率公式可得各概率，从而得分布列，再由期望公式可计算出期望．

试题解析：

(Ⅰ)

所以随机选取3件产品，至少有一件通过检测的概率为.

（Ⅱ）由题可知可能取值为.

,,

,.

则随机变量的分布列为

0 1 2 3

24.已知函数．

（Ⅰ）若在上单调递增，求实数的取值范围；

（Ⅱ）讨论的零点个数．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，有且只有个零点；当时，有个零点．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求出函数的导数，得到恒成立，结合基本不等式的性质，从而求出的范围即可；（Ⅱ）通过讨论的范围，结合函数的单调性求出函数的零点的个数即可．

试题解析：（Ⅰ）依题意：对于恒成立，

即恒成立．

∵当时，有（当且仅当时等号成立）．

∴，故的取值范围为．

（Ⅱ）（ⅰ）当时，由（Ⅰ）知在上单调递增，故此时至多有一个零点．又，∴当时，有且只有一个零点．

（ⅱ）当时，先考察时函数的零点个数．

由（Ⅰ）．记．

则．∴在上单调递增．

∵，∴．

又，

即．∴存在，使．

∴当时，有；当时，有．

∴在上有极小值，且．

以下先证对任意．

令，则，得时，时，．

∴．

∴成立，即．取，

则

∵，∴．

即．在上存在零点，

∵在上单调递增，∴在上存在唯一零点．

另一方面，∵，∴是上的奇函数，

∴根据对称性知：在上也存在一个零点．

又，∴当时，函数有个零点．

综上所述，当时，有且只有个零点；当时，有个零点．

考点：（1）利用导数研究函数的单调性；（2）函数零点的判定定理.

【方法点晴】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查函数的零点问题，利用导数求函数的极值，以及利用导数求函数在闭区间上的最值，熟练掌握导数的性质是解本题的关键综合性强，难度较大；首先利用函数单调递增等同于恒成立解决第一问，当涉及到零点个数时，由（Ⅰ）知分为和两种情况,主要是利用导数判断该函数的单调性，得到函数的大致图象，结合奇偶性得到结果.