用模拟法描绘静电场。27

用模拟法描绘静电场

静电场是由电荷分布决定的。给定区域内的电荷分布和介质分布及边界条件，可根据麦克斯韦议程组和边界条件来求得电场分布。但大多数情况下求出解析解，因此，要靠数字解法求出或实验方法测出电场分布。

【实验目的】

1.学会用模拟法描绘和研究静电场的分布状况。

2.掌握了解模拟法应用的条件和方法。

3.加深对电场强度及电势等基本概念的理解。

【实验仪器】

导电液体式电场描绘仪，同轴电极，平行板电极，白纸（自备）

【实验原理】

直接测量静电场是很困难的，因为仪表（或其探测头）放入静电场中会使被测电场发生一定变化。如果用静电式仪表测量，由于场中无电流流过，不起作用。因此，在实验中采用恒定电流场来模拟静电场。即通过测绘点定电流场的分布来测绘对应的静电场分布。

模拟法的要求是：仿造一个场（称为模拟场），使它的分布和静电场的分布完全一样，当用探针去探测曲势分布时，不会使电场分布发生畸变，这样就可以间接测出静电场。

用模拟法测量静电场的方法之一是用电流场代替静电场。由电磁学理论可知电解质（或水液）中稳恒电流的电流场与电介质（或真空）中的静电场具有相似性。在电流场的无源区域中，电流密度矢量和静电场中的电场强度矢量所遵从的物理规律具有相同的数学形式，所以这两种场具有相似性。在相似的场源分布和相似的边界条件下，它们的解的表达式具有相同的数学模型。如果把连接电源的两个电极放在不良导体如稀薄溶液（或水液）中，在溶液中将产生电流场。电流场中有许多电位彼此相等的点，测出这些电位相等的点，描绘成面就是等位面。这些面也是静电场中的等位面。通常电场分布是在三维空间中，但在水液中进行模拟实验时，测出的电场是在一个水平面内的分布。这样等位面就变成了等位线，根据电力线与等位线正交的关系，即可画出电力线。这些电力线上每一点切线方向就是该点电场强度的方向。这就可以用等位线和电力线形象地表示静电场的分布了。

检测电流中各等位点时，不影响电流线的分布，测量支路不能从电流场中取出电流，因此，必须使用高内阻电压就能消除这种影响。当电极接上交流电压时，产生交流电场的瞬时值是随时间变化的，但交流电压的有效值与直流电压是等效的（见附录），所以在交流电场中用交流电压表测量有效值的等位线与直流电场中测量同值的等位线，其效果和位置完全相同。

模拟法的应用条件是“模拟场“的基本规律或所满足的数学议程要与被模拟的场完全一样，这种模拟为数学模拟。恒定电流场和静电场满足相似的偏微分方程，只要

带电体（即电极）的形状和大小，它们之间的相对位置以及边界条件一样。那么这两个场的分布就是一样的。

根据静电场与恒定电流场的对应关系，上述静电场可以用下面的恒定电流场来模拟：两长直同轴圆柱形导体，内圆柱半径为a ，外圆筒内半径为b ，其间充以电容率为ε的均匀电介质，内外圆柱保持电势差V 0=V A —V B 。只要我们测出模拟恒定电流场的

分布，则可得出被模拟静电场的分布。

不用形状的电极，可以模拟不同形状的静电场，如平行板电极，可以模拟平行板电容器中的静电场。

图a 图b

如图a 所示为一个同轴圆柱电极，内电极半径为a ，外电极半径为b ，内电极电势Va ，外电极电势Vb ＝0，在两极间距轴心r 处的电势为：

dr E V V r

a a r ⎰⋅-=， 由高斯定理知半径为r 的圆柱面上的电场是：)(2

b r a r

E ≤≤=επλ

式中λ是圆柱面单位长度上的电量，ε是两极间介电常数，由两式可得

)ln(22a

r V dr r V V a r a a r ⋅-=⋅-=⎰επλεπλ 当r ＝b 时，0)ln(2=⋅-=a b V V a b επλ，则)

/ln(2a b V a επλ=，代入上式有： )

/ln()/ln()/ln()/ln()ln(2a b r b V a b a r V V a r V V a a a a r ⋅=⋅-=⋅-=επλ 此式即为同轴圆柱电极间静电场中的电势分布公式。

若在同轴圆柱电极间充填均匀不良导体，在该电极间将形成稳定的电流场。同上道理，也可推导出稳定电流场中的电势分布公式为

)/ln()

/ln(`a b r b V V a r ⋅

= 比较两个公式不难看出，它们都满足高斯定理的拉普拉斯方程，其电势分布是相同的。而稳定电流场不会因为探针的引入导致电场畸变，所以完全可用电极尺寸相同，边界条件一样的稳定电流场来模拟静电场进行探测，从而间接描绘出静电场的分布状况。

【实验内容及步骤】

1.按线路图连接线路（图b 为同轴圆柱电极）。

2.用水准仪调平水槽架底座。在水槽内注入一定量的水，在水槽架上层压好白纸，用于记录测绘点；接通电源，电压调至10V ，其值由数字电压表置“输出”时读出，探针置于水槽外。

3.将探针与内电极紧密接触，电压显示为10V，其值由数字电压表置“检测”时读出。若电压显示为0V，则改变电源电压输出极性。

4.让探针在两极间慢慢移动，依次测出电压分别为7.0V、

5.0V、3.0V、1.0V的等势线，每一个等势线8个测量点。

5.用探针沿外电极内、外侧分别取三个和一个记录点，用于确定电极的圆心和外电极的厚度；记录内电极直径和外电极内直径。

6.用平行板电极换下同轴圆柱电极重复（2、3）两个步骤，分别沿

7.5V、5.0V、2.5V三个等势线各记录8个测量点(均匀分布)，并做出确定电极位置的测量点。

7.在平行板电极测量纸上用不同符号标注出各等势线上的测量点和等势线数值，画出电极，绘出实验等势线和电场线。

8.在同轴圆柱电极记录纸上，用几何方法确定圆心，画出内、外电极，用不同符号标注出各等势线上的测量点和等势线数值，绘出理论等势线（根据公式计算）和电场线。

9.量出同轴圆柱电极记录纸上等势线各测量点到圆心的距离，求出平均值。在半

ln，画出实验曲对数坐标纸上绘出Vr/Va～lnr理论曲线，标出对应的实验测量点r

线。

【实验教学指导要点】

1．模拟场除满足与被侧场有相似地数学方程和边界条件外，还要求水槽底座一