中考数学之尺规作图整理

2012中考数学--尺规作图（复习）

一、理解“尺规作图”的含义

1.在几何中，我们把只限定用直尺（无刻度）和圆规来画图的方法，称为尺规作图．其中直尺只能用来作直线、线段、射线或延长线段；圆规用来作圆和圆弧．由此可知，尺规作图与一般的画图不同，一般画图可以动用一切画图工具，包括三角尺、量角器等，在操作过程中可以度量，但尺规作图在操作过程中是不允许度量成分的．

2.基本作图：（1）用尺规作一条线段等于已知线段；（2）用尺规作一个角等于已知角. 利用这两个基本作图，可以作两条线段或两个角的和或差.

二、熟练掌握尺规作图题的规范语言

1.用直尺作图的几何语言：

①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××；

②连结两点××；或连结××；

③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交××于点×；

2.用圆规作图的几何语言：

①在××上截取××＝××；

②以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧）；

③以点×为圆心，××的长为半径作弧，交××于点×；

④分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧，两弧相交于点×、×.

三、了解尺规作图题的一般步骤

尺规作图题的步骤：

1.已知：当作图是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件；

2.求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件；

3.作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时，一般要保留作图痕迹.对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找作法.

在目前，我们只要能够写出已知，求作，作法三步（另外还有第四步证明）就可以了，而且在许多中考作图题中，又往往只要求保留作图痕迹，不需要写出作法，可见在解作图题时，保留作图痕迹很重要.

四、基本作图

最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。

五种基本作图：

1、作一条线段等于已知线段；

2、作一个角等于已知角；

3、作已知线段的垂直平分线；

4、作已知角的角平分线；

5、过一点作已知直线的垂线；

1.作一条线段等于已知线段。 已知：如图，线段a .

求作：线段AB ，使AB = a . 作法：

（1） 作射线AP ；

（2） 在射线AP 上截取AB=a . 则线段AB 就是所求作的图形。

2.作已知线段的中点。 已知：如图，线段MN.

求作：点O ，使MO=NO （即O 是MN 的中点）. 作法：

（１）分别以M 、N 为圆心，大于

的相同线段为半径画弧， 两弧相交于P ，Q ；

（２）连接PQ 交MN 于O ．

则点O 就是所求作的ＭＮ的中点。 （试问：PQ 与ＭＮ有何关系？）

3. 作已知角的角平分线。 已知：如图，∠AOB ，

求作：射线OP, 使∠AOP ＝∠BOP （即OP 平分∠AOB ）。 作法：

（1）以O 为圆心，任意长度为半径画弧，

分别交OA ，OB 于M ，N ；

（2）分别以M 、Ｎ为圆心，大于

的相同线段为半径画弧，两弧交∠AOB 内于Ｐ； （3） 作射线OP 。

则射线OP 就是∠AOB 的角平分线。

五、典型题型

1. 已知线段a 、b ，画一条线段，使其等于b a 2+．

分析 所要画的线段等于b a 2+，实质上就是b b a ++．

画法：1．画线段a AB =．

2．在AB 的延长线上截取b BC 2=．线段AC 就是所画的线段． 说明

1．尺规作图要保留画图痕迹，画图时画出的所有点和线不可随意擦去．

2．其它作图都可以通过画基本作图来完成，写画法时，只需用一句话来概括叙述基本作图．

2.如下图，已知线段a 和b ，求作一条线段AD 使它的长度等于2a －b ．

错解 如图（1）， （1）作射线AM ；（2）在射线AM 上截取AB =BC =a ，CD =b ，则线段AD 即为所求．

错解分析 主要是作图语言不严密，当在射线上两次截取时，要写清是否顺次，而在求线段差时，要交待截取的方向．

图（1） 图（2）

正解 如图（2）， （1）作射线AM ；（2）在射线AM 上，顺次截取AB =BC =a ； （3）在线段CA 上截取CD =b ，则线段AD 就是所求作的线段．

3. 求作一个角等于已知角∠MON （如图1）．

图（1） 图（2）

错解 如图（2），

（1）作射线11M O ；（2）在图（1），以O 为圆心作弧，交OM 于点A ，交ON 于点B ； （3）以1O 为圆心作弧，交11M O 于C ；（4）以C 为圆心作弧，交于点D ；（5）作射线D O 1．

则∠D CO 1即为所求的角．

错解分析 作图过程中出现了不准确的作图语言，在作出一条弧时，应表达为：以某点为圆心，以其长为半径作弧．

正解 如图（2）， （1）作射线11M O ；（2）在图（1）上，以O 为圆心，任意长为半径作弧，交OM 于点A ，交ON 于点B ；（3）以1O 为圆心，OA 的长为半径作弧，交11M O 于点C ；

（4）以C 为圆心，以AB 的长为半径作弧，交前弧于点D ；（5）过点D 作射线D O 1． 则∠D CO 1就是所要求作的角．

4. 如下图，已知∠α及线段a ，求作等腰三角形，使它的底角为α，底边为a ．

分析 先假设等腰三角形已经作好，根据等腰三角形的性质，知两底角∠B =∠C =∠α，底边BC =a ，故可以先作∠B =∠α，或先作底边BC =a ．

作法 如下图