2020全国卷高考专题：极坐标和参数方程

12 极坐标和参数方程
1.（2020•全国1卷）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin k k x t y t
⎧=⎨=⎩(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=．
（1）当1k =时，1C 是什么曲线？
（2）当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标．
【答案】（1）曲线1C 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）11(,)44
.
【解析】（1）利用22sin cos 1t t +=消去参数t ，求出曲线1C 的普通方程，即可得出结论；
（2）当4k =时，0,0x y ≥≥，曲线1C
的参数方程化为22cos (sin t t t ==为参数），两式相加消去参数t ，得1C 普通方程，由cos ,sin x y ρθρθ==，将曲线2C 化为直角坐标方程，联立12,C C 方程，即可求解.
【详解】（1）当1k =时，曲线1C 的参数方程为cos (sin x t t y t =⎧⎨=⎩
为参数）， 两式平方相加得221x y +=，所以曲线1C 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；
（2）当4k =时，曲线1C 的参数方程为44cos (sin x t t y t
⎧=⎨=⎩为参数）， 所以0,0x y ≥≥，曲线1C
的参数方程化为22cos (sin t t t
==为参数）， 两式相加得曲线1C
1=，
1=
，平方得1,01,01y x x y =-≤≤≤≤，
曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=，曲线2C 直角坐标方程为41630x y -+=，
联立12,C C
方程141630
y x x y ⎧=-⎪⎨-+=⎪⎩
，整理得12130x -=
12=
或136
=（舍去）， 11,44
x y ∴==，12,C C ∴公共点的直角坐标为11(,)44. 【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，合理消元是解题的关系，要注意曲线坐标的范围，考查计算求解能力，属于中档题.
2.（2020•全国2卷）已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为C 1：224cos 4sin x y θθ⎧=⎨=⎩
，（θ为参数），C 2：1,1x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
（t 为参数）. （1）将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程.
【答案】（1）1:4C x y +=；222:4C x y -=；（2）17cos 5
ρθ=. 【解析】（1）分别消去参数θ和t 即可得到所求普通方程；
（2）两方程联立求得点P ，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.
【详解】（1）由22cos sin 1θθ+=得1C 的普通方程为：4x y +=； 由11
x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得：2222221212x t t y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，两式作差可得2C 的普通方程为：224x y -=.
（2）由2244x y x y +=⎧⎨-=⎩得：523
2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即53,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭；设所求圆圆心的直角坐标为(),0a ，其
中0a >， 则22253022a a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，解得：1710a =，∴所求圆的半径1710r =， ∴所求圆的直角坐标方程为：22217171010x y ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22175x y x +=， ∴所求圆的极坐标方程为17cos 5
ρθ=. 【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型.
3.（2020•全国3卷）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2
2223x t t y t t
⎧=--⎨=-+⎩（t 为参数且t ≠1），C 与坐标轴交于A 、B 两点．
（1）求||AB ；
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程．
【答案】（1）2）3cos sin 120ρθρθ-+=
【解析】（1）由参数方程得出,A B 的坐标，最后由两点间距离公式，即可得出AB 的值； （2）由,A B 的坐标得出直线AB 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可.
【详解】（1）令0x =，则220t t +-=，解得2t =-或1t =（舍），则
26412y =++=，即(0,12)A .
令0y =，则2320t t -+=，解得2t =或1t =（舍），则2244x =--=-，即(4,0)B -.
AB ∴==
（2）由（1）可知12030(4)
AB k -==--， 则直线AB 的方程为3(4)y x =+，即3120x y -+=.
由cos ,sin x y ρθρθ==可得，直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120ρθρθ-+=.
【点睛】本题主要考查了利用参数方程求点的坐标以及直角坐标方程化极坐标方程，属于中档题.
4.（2020•江苏卷）在极坐标系中，已知点1π(,)3A ρ在直线:cos 2l ρθ=上，点2π(,)6
B ρ在圆:4sin
C ρθ=上（其中0ρ≥，02θπ≤<）．
（1）求1ρ，2ρ的值
（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．
【答案】（1）1242ρρ==，（2
）)4π
【解析】(1)将A ,B 点坐标代入即得结果；（2）联立直线与圆极坐标方程，解得结果.
【详解】（1）以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，
11cos 2,43πρρ=∴=，因为点B
为直线6π
θ=上，故其直角坐标方程为y x =， 又4sin ρθ=对应的圆的直角坐标方程为：2240x y y +
-=，
由2240y x x y y ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩
解得00x
y ==⎧⎨⎩或1x y ⎧=⎪⎨=⎪
⎩ 对应的点为())0,0,
，故对应的极径为20ρ=或22ρ=. （2）cos 2,4sin ,4sin cos 2,sin 21ρθρθθθθ==∴=∴=，
5[0,2),,44ππθπθ∈∴=
，当4πθ=时ρ= 当
54πθ=时
0ρ=-<，舍；即所求交点坐标为当),4
π 【点睛】本题考查极坐标方程及其交点，考查基本分析求解能力，属基础题.。