2020年中考数学 一道IMO试题解析欣赏
2020年中考数学一模试卷【答案+解析】
2020年中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1．（3分）4的算术平方根是（）A．4B．2C．±2D．±42．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（3分）PM2.5是指大气中直径不大于0.0000025米的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（）A．2.5×105B．2.5×106C．2.5×10﹣5D．2.5×10﹣64．（3分）方程x2﹣3x+2＝0的解是（）A．x1＝1，x2＝2B．x1＝﹣1，x2＝﹣2C．x1＝1，x2＝﹣2D．x1＝﹣1，x2＝25．（3分）下列计算正确的是（）A．x3+x2＝x5B．x3•x2＝x5C．x6÷x2＝x3D．（x3）2＝x5 6．（3分）如图是由几个相同的小正方体组成的一个几何体，若该几何体的俯视图的面积为5，则这个几何体的主视图的面积为（）A．3B．4C．5D．67．（3分）已知点A（2，m），B（﹣1，6）在反比例函数y＝的图象上，则m的值为（）A．﹣3B．﹣6C．3D．68．（3分）将二次函数y＝x2的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的二次函数的表达式为（）A．y＝2x2+3B．y＝﹣2x2﹣3C．y＝（x﹣2）2﹣3D．y＝（x+2）2+3 9．（3分）如图，在周长为12cm的▱ABCD中，AB＜AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm10．（3分）如图，⊙O的半径为5，OC垂直弦AB于点C，OC＝3，则弦AB的长为（）A．4B．5C．6D．8二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）11．（4分）分式方程＝的解为．12．（4分）已知点P1（﹣2，y1），P2（2，y2）在二次函数y＝（x+1）2﹣2的图象上，则y1y2．（填“＞”，“＜”或“＝”）13．（4分）如图，正方形ABCD的边长为2，BE平分∠DBC交CD于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCF，延长BE交DF于G，则BF的长为．14．（4分）如图，BC是⊙O的直径，AB、AD是⊙O的切线，若∠C＝40°，则∠A的度数为．三、解答题（本大题共6个小题，共54分）15．（12分）（1）计算：2cos45°﹣|﹣|+（）0﹣（﹣2）2；（2）解不等式组：．16．（6分）计算：（+）÷．17．（8分）数学活动课上，老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆AB的高度．如图，老师测得升旗台前斜坡AC的坡度为1：10（即AE：CE＝1：10），学生小明站在离升旗台水平距离为35m（即CE＝35m）处的C点，测得旗杆顶端B的仰角α＝30°，已知小明身高CD＝1.6m，求旗杆AB的高度．（参考数据：tan30°≈0.58，结果保留整数）18．（8分）为了解今年初四学生的数学学习情况，某校在第一轮模拟测试后，对初四全体同学的数学成绩作了统计分析，绘制如下图表：请结合图表所给出的信息解答系列问题：成绩频数频率优秀45b良好a0.3合格1050.35不合格60c （1）该校初四学生共有多少人？（2）求表中a，b，c的值，并补全条形统计图．（3）初四（一）班数学老师准备从成绩优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学做学习经验介绍，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．19．（10分）如图，一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象与反比例函数y＝的图象都经过点A （a，4），一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点C（3，0），且与两坐标轴围成的三角形的面积为3．（1）求这两个函数的表达式；（2）将直线AB向下平移5个单位长度后与第四象限内的反比例函数图象交于点D，连接AD、BD，求△ADB的面积．20．（10分）如图，AB为⊙O的直径，P为BA延长线上一点，点C在⊙O上，连接PC，D为半径OA上一点，PD＝PC，连接CD并延长交⊙O于点E，且E是的中点．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求证：CD•DE＝2OD•PD；（3）若AB＝8，CD•DE＝15，求P A的长．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）21．（4分）已知直线y＝ax+b经过点（﹣1，2），则a﹣b的值为．22．（4分）有四张正面分别标有数字﹣2，﹣6，2，6的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中抽取一张，将该卡片上的数字记为a；不放回，再从中抽取一张，将该卡片上的数字记为b，则使关于x的不等式组的解集中有且只有3个非负整数解的概率为．23．（4分）在平面直角坐标系中，若点P（a，b）的坐标满足a＝b≠0，则称点P为“对等点”．已知二次函数y＝x2+mx﹣m的图象上存在两个不同的“对等点”，且这两个“对等点”关于原点对称，则m的值为．24．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝2，E是边CD上一点，将△ADE沿直线AE折叠得到△AFE，BF的延长线交边CD于点G，则DG的最大值为．25．（4分）如图，直线y＝﹣x+b与x、y轴的正半轴交于点A，B，与双曲线y＝﹣交于点C（点C在第二象限内），点D，过点C作CE⊥x轴于点E，记四边形OBCE的面积为S1，△OBD的面积为S2，若＝，则b的值为．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）26．（8分）某商场打算在年前用30000元购进一批彩灯进行销售，由于进货厂家促销，实际可以以8折的价格购进这批彩灯，结果可以比计划多购进了100盏彩灯．（1）该商场购进这种彩灯的实际进价为多少元？（2）该商场打算在实际进价的基础上，每盏灯加价50%的销售，但可能会面临滞销，因此将有20%的彩灯需要降价，以5折出售，该商场要想获利不低于15000元，应至少在购进这种彩灯多少盏？27．（10分）如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，连接AE，将△ABE绕点E 顺时针旋转得到△A1B1E，点B1在正方形ABCD内，连接AA1、BB1；（1）求证：△AA1E∽△BB1E；（2）延长BB1分别交线段AA1，DC于点F、G，求证：AF＝A1F；（3）在（2）的条件下，若AB＝4，BE＝1，G是DC的中点，求AF的长．28．（12分）如图，已知二次函数y＝ax2﹣8ax+6（a＞0）的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，点D在抛物线的对称轴上，且四边形ABDC为平行四边形．（1）求此抛物线的对称轴，并确定此二次函数的表达式；（2）点E为x轴下方抛物线上一点，若△ODE的面积为12，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为M，点P是抛物线的对称轴上一动点，连接PE、EM，过点P作PE的垂线交抛物线于点Q，当∠PQE＝∠EMP时，求点Q到抛物线的对称轴的距离．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1．（3分）4的算术平方根是（）A．4B．2C．±2D．±4【分析】如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，由此即可求出结果．【解答】解：∵22＝4，∴4算术平方根为2．故选：B．2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：C．3．（3分）PM2.5是指大气中直径不大于0.0000025米的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（）A．2.5×105B．2.5×106C．2.5×10﹣5D．2.5×10﹣6【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.0000025＝2.5×10﹣6，故选：D．4．（3分）方程x2﹣3x+2＝0的解是（）A．x1＝1，x2＝2B．x1＝﹣1，x2＝﹣2C．x1＝1，x2＝﹣2D．x1＝﹣1，x2＝2【分析】把方程的左边的式子进行分解，得出两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．【解答】解：原方程可化为：（x﹣1）（x﹣2）＝0∴x1＝1，x2＝2．故选：A．5．（3分）下列计算正确的是（）A．x3+x2＝x5B．x3•x2＝x5C．x6÷x2＝x3D．（x3）2＝x5【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、x3与x2不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；B、x3•x2＝x5，原计算正确，故此选项符合题意；C、x6÷x2＝x4，原计算错误，故此选项不符合题意；D、（x3）2＝x6，原计算错误，故此选项不符合题意．故选：B．6．（3分）如图是由几个相同的小正方体组成的一个几何体，若该几何体的俯视图的面积为5，则这个几何体的主视图的面积为（）A．3B．4C．5D．6【分析】根据从正面看所得到的图形，即可得出这个几何体的主视图的面积．【解答】解：根据该几何体的俯视图的面积为5，可知每个小正方体的棱长为1，从正面看有两层，底层是三个正方形，上层是一个正方形，所以这个几何体的主视图的面积为4．故选：B．7．（3分）已知点A（2，m），B（﹣1，6）在反比例函数y＝的图象上，则m的值为（）A．﹣3B．﹣6C．3D．6【分析】将点A、B的坐标分别代入函数解析式，列出方程组，通过解方程组求得k、m 的值即可．【解答】解：把点A（2，m），B（﹣1，6）分别代入，得．解得k＝﹣6，m＝﹣3．故选：A．8．（3分）将二次函数y＝x2的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的二次函数的表达式为（）A．y＝2x2+3B．y＝﹣2x2﹣3C．y＝（x﹣2）2﹣3D．y＝（x+2）2+3【分析】抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的顶点坐标为（﹣2，3），根据顶点式可确定所得抛物线解析式．【解答】解：依题意可知，原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（﹣2，3），又因为平移不改变二次项系数，所以所得抛物线解析式为：y＝（x+2）2+3．故选：D．9．（3分）如图，在周长为12cm的▱ABCD中，AB＜AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD 交AD于E，则△ABE的周长为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【分析】根据平行四边形的性质得出OB＝OD，进而利用线段垂直平分线得出BE＝ED，进而解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，∵OE⊥BD，∴OE是BD的线段垂直平分线，∴BE＝ED，∵△ABE的周长＝AB+AE+BE＝AB+AE+ED＝AB+AD＝6cm．故选：C．10．（3分）如图，⊙O的半径为5，OC垂直弦AB于点C，OC＝3，则弦AB的长为（）A．4B．5C．6D．8【分析】连接OA，由垂径定理得：AC＝BC，根据勾股定理，可以求出AC的长，从而得AB的长．【解答】解：如图，连接OA，∵OC⊥AB于点C，∴AC＝BC，∵⊙O的半径是5，∴OA＝5，又OC＝3，所以在Rt△AOC中，AC＝＝＝4，所以AB＝2AC＝8．故选：D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）11．（4分）分式方程＝的解为x＝2．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：5x＝6x﹣2，解得：x＝2，经检验x＝2是分式方程的解．故答案为：x＝2．12．（4分）已知点P1（﹣2，y1），P2（2，y2）在二次函数y＝（x+1）2﹣2的图象上，则y1＜y2．（填“＞”，“＜”或“＝”）【分析】根据点P1、P2的横坐标结合二次函数图象上点的坐标特征，即可得出y1、y2的值，比较后即可得出结论．【解答】解：当x＝﹣2时，y1＝（﹣2+1）2﹣2＝﹣1；当x＝2时，y2＝（2+1）2﹣2＝7．∵﹣1＜7，∴y1＜y2．故答案为＜．13．（4分）如图，正方形ABCD的边长为2，BE平分∠DBC交CD于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCF，延长BE交DF于G，则BF的长为6﹣2．【分析】过点E作EM⊥BD于点M，则△DEM为等腰直角三角形，根据角平分线以及等腰直角三角形的性质即可得出ME的长度，再根据正方形以及旋转的性质即可得出线段BF的长．【解答】解：过点E作EM⊥BD于点M，如图所示．∵四边形ABCD为正方形，∴∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∴△DEM为等腰直角三角形．∴EM＝DE，∵BE平分∠DBC，EM⊥BD，∴EM＝EC，设EM＝EC＝x，∵CD＝2，∴DE＝2﹣x，∴x＝（2﹣x），解得x＝4﹣2，∴CM＝4﹣2，由旋转的性质可知：CF＝CE＝4﹣2，∴BF＝BC+CF＝2+4﹣2＝6﹣2．故答案为：6﹣2．14．（4分）如图，BC是⊙O的直径，AB、AD是⊙O的切线，若∠C＝40°，则∠A的度数为100°．【分析】连接OD，根据圆周角定理求出∠BOD，根据切线的性质得到∠ABO＝90°，∠ADO＝90°，根据四边形内角和等于360°计算即可．【解答】解：连接OD，由圆周角定理得，∠BOD＝2∠C＝80°，∵BC是⊙O的直径，AB、AD是⊙O的切线，∴OB⊥AB，OD⊥AD，∴∠ABO＝90°，∠ADO＝90°，∴∠A＝180°﹣∠BOD＝100°，故答案为：100°．三、解答题（本大题共6个小题，共54分）15．（12分）（1）计算：2cos45°﹣|﹣|+（）0﹣（﹣2）2；（2）解不等式组：．【分析】（1）本题涉及零指数幂、平方、特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式化简5个知识点．在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．（2）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可得解．【解答】解：（1）2cos45°﹣|﹣|+（）0﹣（﹣2）2＝2×﹣+1﹣4＝﹣+1﹣4＝﹣3；（2），解不等式①得x＞1.5；解不等式②得x≤3．故不等式组的解集为1.5＜x≤3．16．（6分）计算：（+）÷．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．【解答】解：原式＝•＝•＝．17．（8分）数学活动课上，老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆AB的高度．如图，老师测得升旗台前斜坡AC的坡度为1：10（即AE：CE＝1：10），学生小明站在离升旗台水平距离为35m（即CE＝35m）处的C点，测得旗杆顶端B的仰角α＝30°，已知小明身高CD＝1.6m，求旗杆AB的高度．（参考数据：tan30°≈0.58，结果保留整数）【分析】首先根据题意分析图形，本题涉及到两个直角三角形，进而求得BE、AE的大小，再利用AB＝BE﹣AE可求出答案．【解答】解：作DG⊥AE于G，则∠BDG＝α，则四边形DCEG为矩形．∴DG＝CE＝35m，EG＝DC＝1.6m在直角三角形BDG中，BG＝DG•×tanα＝35×0.58＝20.3m，∴BE＝20.3+1.6＝21.9m．∵斜坡AC的坡比为i AC＝1：10，CE＝35m，∴EA＝35×＝3.5，∴AB＝BE﹣AE＝21.9﹣3.5≈18m．答：旗杆AB的高度为18m．18．（8分）为了解今年初四学生的数学学习情况，某校在第一轮模拟测试后，对初四全体同学的数学成绩作了统计分析，绘制如下图表：请结合图表所给出的信息解答系列问题：成绩频数频率优秀45b良好a0.3合格1050.35不合格60c（1）该校初四学生共有多少人？（2）求表中a，b，c的值，并补全条形统计图．（3）初四（一）班数学老师准备从成绩优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学做学习经验介绍，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．【分析】（1）利用合格的人数除以该组频率进而得出该校初四学生总数；（2）利用（1）中所求，结合频数÷总数＝频率，进而求出答案；（3）根据题意画出树状图，然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：（1）由题意可得：该校初四学生共有：105÷0.35＝300（人），答：该校初四学生共有300人；（2）由（1）得：a＝300×0.3＝90（人），b＝＝0.15，c＝＝0.2；如图所示；（3）画树形图得：∴一共有12种情况，抽取到甲和乙的有2种，∴P（抽到甲和乙）＝＝．19．（10分）如图，一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象与反比例函数y＝的图象都经过点A （a，4），一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点C（3，0），且与两坐标轴围成的三角形的面积为3．（1）求这两个函数的表达式；（2）将直线AB向下平移5个单位长度后与第四象限内的反比例函数图象交于点D，连接AD、BD，求△ADB的面积．【分析】（1）先由一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点C（3，0），得出3k+b＝0①，由于一次函数y＝kx+b的图象与y轴的交点是（0，b），根据三角形的面积公式可求得b 的值，然后利用待定系数法即可求得函数解析式；（2）将直线AB向下平移5个单位后得到直线ED的解析式为y＝﹣x﹣3，得到E（﹣，0），解方程组得到B（6，﹣2），连接AE，BE，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点C（3，0），∴3k+b＝0①，点C到y轴的距离是3，∵k＜0，∴b＞0，∵一次函数y＝kx+b的图象与y轴的交点是（0，b），∴×3×b＝3，解得：b＝2．把b＝2代入①，解得：k＝﹣，则函数的解析式是y＝﹣x+2．故这个函数的解析式为y＝﹣x+2；把点A（a，4）代入y＝﹣x+2得，4＝﹣a+2，解得：a＝﹣3，∴A（﹣3，4），∴m＝﹣12，∴反比例函数的解析式为y＝﹣；（2）∵将直线AB向下平移5个单位后得到直线ED的解析式为y＝﹣x﹣3，当y＝0时，即0＝﹣x﹣3，解得：x＝﹣，∴E（﹣，0），解得，，，∴B（6，﹣2），连接AE，BE，∵AB∥DE，∴S△ADB＝S△AEB＝（3+）×4+（3+）×2＝．20．（10分）如图，AB为⊙O的直径，P为BA延长线上一点，点C在⊙O上，连接PC，D为半径OA上一点，PD＝PC，连接CD并延长交⊙O于点E，且E是的中点．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求证：CD•DE＝2OD•PD；（3）若AB＝8，CD•DE＝15，求P A的长．【分析】（1）连接OC，OE，根据等腰三角形的性质得到∠E＝∠OCE，求得∠E+∠ODE ＝90°，得到∠PCD＝∠ODE，得到OC⊥PC，于是得到结论；（2）连接AC，BE，BC，根据相似三角形的性质得到＝，推出CD•DE＝AO2﹣OD2；由△ACP∽△CBP，得到，得到PD2＝PD2+2PD•OD+OD2﹣OA2，于是得到结论；（3）由（2）知，CD•DE＝AO2﹣OD2；把已知条件代入得到OD＝1（负值舍去），求得AD＝3，由（2）知，CD•DE＝2OD•PD，于是得到结论．【解答】（1）证明：连接OC，OE，∵OC＝OE，∴∠E＝∠OCE，∵E是的中点，∴＝，∴∠AOE＝∠BOE＝90°，∴∠E+∠ODE＝90°，∵PC＝PD，∴∠PCD＝∠PDC，∵∠PDC＝∠ODE，∴∠PCD＝∠ODE，∴∠PCD+∠OCD＝∠ODE+∠E＝90°，∴PC是⊙O的切线；（2）证明：连接AC，BE，BC，∵∠ACD＝∠DBE，∠CAD＝∠DEB，∴△ACD∽△EBD，∴＝，∴CD•DE＝AD•BD＝（AO﹣OD）（AO+OD）＝AO2﹣OD2；∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠PCO＝90°，∴∠ACP+∠ACO＝∠ACO+∠BCO＝90°，∴∠ACP＝∠BCO，∵∠BCO＝∠CBO，∴∠ACP＝∠PBC，∵∠P＝∠P，∴△ACP∽△CBP，∴，∴PC2＝PB•P A＝（PD+DB）（PD﹣AD）＝（PD+OD+OA）（PD+OD﹣OA）＝（PD+OD）2﹣OA2＝PD2+2PD•OD+OD2﹣OA2，∵PC＝PD，∴PD2＝PD2+2PD•OD+OD2﹣OA2，∴OA2﹣OD2＝2OD•PD，∴CD•DE＝2OD•PD；（3）解：∵AB＝8，∴OA＝4，由（2）知，CD•DE＝AO2﹣OD2；∵CD•DE＝15，∴15＝42﹣OD2，∴OD＝1（负值舍去），由（2）知，CD•DE＝2OD•PD，∴PD＝＝，∴P A＝PD﹣AD＝．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）21．（4分）已知直线y＝ax+b经过点（﹣1，2），则a﹣b的值为﹣2．【分析】由点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出a﹣b的值，此题得解．【解答】解：∵直线y＝ax+b经过点（﹣1，2），∴2＝﹣a+b，∴a﹣b＝﹣2．故答案为：﹣2．22．（4分）有四张正面分别标有数字﹣2，﹣6，2，6的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中抽取一张，将该卡片上的数字记为a；不放回，再从中抽取一张，将该卡片上的数字记为b，则使关于x的不等式组的解集中有且只有3个非负整数解的概率为．【分析】首先根据题意可求得，所有可能结果，然后解不等式组求得不等式组的解集得出符合要求的点的坐标，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：根据题意列出树状图得：则（a，b）的等可能结果有：（﹣2，﹣6），（﹣2，2），（﹣2，6），（﹣6，﹣2），（﹣6，2），（﹣6，6），（2，﹣2），（2，6），（2，﹣6），（6，﹣2），（6，2），（6，﹣6）共12种；，解①得：x＜7，当a＞0，解②得：x＞，根据不等式组的解集中有且只有3个非负整数解，则3＜x＜7时符合要求，故＝3，即b＝6，a＝2符合要求，当a＜0，解②得：x＜，根据不等式组的解集中有且只有3个非负整数解，则x＜3时符合要求，故＝3，即b＝﹣6，a＝﹣2符合要求，故所有组合中只有2种情况符合要求，故使关于x的不等式组的解集中有且只有3个非负整数解的概率为：＝．故答案为：．23．（4分）在平面直角坐标系中，若点P（a，b）的坐标满足a＝b≠0，则称点P为“对等点”．已知二次函数y＝x2+mx﹣m的图象上存在两个不同的“对等点”，且这两个“对等点”关于原点对称，则m的值为1．【分析】设这两个“对等点”的坐标为（a．a）和（﹣a，﹣a），代入抛物线的解析式，两式相减，计算即可求得．【解答】解：设这两个“对等点”的坐标为（a．a）和（﹣a，﹣a），代入y＝x2+mx﹣m得，①﹣②得2a＝2am，解得m＝1，故答案为1．24．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝2，E是边CD上一点，将△ADE沿直线AE折叠得到△AFE，BF的延长线交边CD于点G，则DG的最大值为2．【分析】如图，以点A为圆心，AD长为半径画弧，过点B作弧的切线交CD于点G，切点为F，此时点E和点G重合，DG的最大值即为DE的长．再根据矩形性质和勾股定理即可求出DG的长．【解答】解：如图，以点A为圆心，AD长为半径画弧，过点B作弧的切线交CD于点G，切点为F，此时点E和点G重合，DG的最大值即为DE的长．∵BC＝AD＝2，AB＝CD＝6，根据翻折可知：DE＝EF＝x，AF＝AD＝2，则CE＝CD﹣DE＝6﹣x，在Rt△ABF中，根据勾股定理，得BF＝＝4，则BE＝BF+EF＝4+x，在Rt△BEC中，根据勾股定理，得（4+x）2＝（6﹣x）2+（2）2，解得x＝2．则DG的最大值为2．故答案为：2．25．（4分）如图，直线y＝﹣x+b与x、y轴的正半轴交于点A，B，与双曲线y＝﹣交于点C（点C在第二象限内），点D，过点C作CE⊥x轴于点E，记四边形OBCE的面积为S1，△OBD的面积为S2，若＝，则b的值为3．【分析】根据双曲线的对称性得到BC＝AD，设BC＝AD＝a，用a表示出点C和得D的坐标，根据梯形面积公式、三角形面积公式求出a、b的关系，根据反比例函数图象上点的坐标特征列出方程，解方程求出b．【解答】解：由题意点B的坐标为（0，b），点A的坐标为（b，0），∴OA＝OB＝b，∵直线y＝﹣x+b关于直线y＝x对称，反比例函数y＝﹣关于y＝x对称，∴BC＝AD，设BC＝AD＝a，则C（﹣a，b+a），D（b+a，﹣a），∵＝，∴＝，整理得，12a2+17ab﹣14b2＝0，解得，a1＝b，a2＝﹣b（舍去），则D（b，﹣b），∴b×（﹣b）＝﹣4，解得，b1＝3，b2＝﹣3（舍去），∴b＝3，故答案为：3．二、解答题（本大题共3个小题，共30分）26．（8分）某商场打算在年前用30000元购进一批彩灯进行销售，由于进货厂家促销，实际可以以8折的价格购进这批彩灯，结果可以比计划多购进了100盏彩灯．（1）该商场购进这种彩灯的实际进价为多少元？（2）该商场打算在实际进价的基础上，每盏灯加价50%的销售，但可能会面临滞销，因此将有20%的彩灯需要降价，以5折出售，该商场要想获利不低于15000元，应至少在购进这种彩灯多少盏？【分析】（1）设该商场实际购进每盏彩灯为x元，则实际进价为0.8x元，根据实际比计划多购进100盏彩灯，列方程求解；（2）设再购进彩灯a盏，根据利润＝售价﹣进价和货栈要想获得利润不低于15000元列出不等式并解答．【解答】解：（1）设该商场实际购进每盏彩灯为x元，则实际进价为0.8x元，依题意得：＝+100，解得x＝75，经检验x＝75是所列方程的根，则0.8x＝0.8×75＝60（元）．答：该货栈实际购进每盏彩灯为60元；（2）设再购进彩灯a盏，由（1）知，实际购进30000÷60＝500（盏），依题意得：（500+a）（1﹣20%）×60×50%+（500+a）×20%×[60×（1+50%）×0.5﹣60]≥15000，解得a≥．因为a取正整数，所以a＝215．答：至少再购进彩灯215盏．27．（10分）如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，连接AE，将△ABE绕点E 顺时针旋转得到△A1B1E，点B1在正方形ABCD内，连接AA1、BB1；（1）求证：△AA1E∽△BB1E；（2）延长BB1分别交线段AA1，DC于点F、G，求证：AF＝A1F；（3）在（2）的条件下，若AB＝4，BE＝1，G是DC的中点，求AF的长．【分析】（1）由EB＝EB1，EA＝EA1，可得∠EBB1＝∠EB1B，∠EAA1＝∠EA1A，由∠BEB1＝∠AEA1，可得∠EBB1＝∠EB1B＝∠EAA1＝∠EA1A，由此即可证明；（2）连接BF，延长EB1交AA1于M．由△MFB1∽△MEA1，推出△MEF∽△MA1B1，推出∠MFE＝∠MB1A1＝90°，即EF⊥AA1，由EA＝EA1，可得AF＝F A1；（3）首先求出AE，由cos∠GBC＝cos∠EAF＝＝＝，在Rt△AEF中，根据AF＝AE•cos∠EAF，计算即可；【解答】（1）证明：如图∵EB＝EB1，EA＝EA1，∴∠EBB1＝∠EB1B，∠EAA1＝∠EA1A，∵∠BEB1＝∠AEA1，∴∠EBB1＝∠EB1B＝∠EAA1＝∠EA1A，∴△AA1E∽△BB1E．（2）证明：连接BF，延长EB1交AA1于M．∵∠BB1B＝∠FB1M＝∠MA1E，∠FMB1＝∠EMA1，∴△MFB1∽△MEA1，∴＝，∴＝，∵∠EMF＝∠A1MB1，∴△MEF∽△MA1B1，∴∠MFE＝∠MB1A1＝90°，∴EF⊥AA1，∵EA＝EA1，∴AF＝F A1．（3）解：在Rt△ABE中，∵AB＝4，BE＝1，∴AE＝＝，∵DG＝GC，∴cos∠GBC＝cos∠EAF＝＝＝，在Rt△AEF中，AF＝AE•cos∠EAF＝•＝．28．（12分）如图，已知二次函数y＝ax2﹣8ax+6（a＞0）的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，点D在抛物线的对称轴上，且四边形ABDC为平行四边形．（1）求此抛物线的对称轴，并确定此二次函数的表达式；（2）点E为x轴下方抛物线上一点，若△ODE的面积为12，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为M，点P是抛物线的对称轴上一动点，连接PE、EM，过点P作PE的垂线交抛物线于点Q，当∠PQE＝∠EMP时，求点Q到抛物线的对称轴的距离．【分析】（1）先求出对称轴为x＝4，进而求出AB＝4，进而求出点A，B坐标，即可得出结论；（2）利用面积的和差建立方程求解，即可得出结论；（3）Ⅰ、当点Q在对称轴右侧时，先判断出点E，M，Q，P四点共圆，得出∠EMQ＝90°，利用同角的余角相等判断出∠EMF＝∠HGM，得出tan∠EMF＝＝2，得出HG ＝HM＝1，进而求出Q（8，6），得出结论；Ⅱ、当点Q在对称轴左侧时，先判断出△PDQ∽△EFP，得出，进而判断出DP＝，PF＝2QD，即可得出结论．【解答】解：（1）对称轴为直线x＝﹣＝4，则CD＝4，∵四边形ABDC为平行四边形，∴DC∥AB，DC＝AB，∴DC＝AB＝4，∴A（2，0），B（6，0），把点A（2，0）代入得y＝ax2﹣8ax+12得4a﹣16a+6＝0，解得a＝，∴二次函数解析式为y＝x2﹣4x+6；（2）如图1，设E（m，m2﹣4m+6），其中2＜m＜6，作EN⊥y轴于N，如图2，∵S梯形CDEN﹣S△OCD﹣S△OEN＝S△ODE，∴（4+m）（6﹣m2+4m﹣6）﹣×4×6﹣m（﹣m2+4m﹣6）＝12，化简得：m2﹣11m+24＝0，解得m1＝3，m2＝8（舍），∴点E的坐标为（3，﹣）；（3）Ⅰ、当点Q在对称轴右侧时，如图2，过点E作EF⊥PM于F，MQ交x轴于G，∵∠PQE＝∠PME，∴点E，M，Q，P四点共圆，∵PE⊥PQ，∴∠EPQ＝90°，∴∠EMQ＝90°，∴∠EMF+∠HMG＝90°，∵∠HMG+∠HGM＝90°，∴∠EMF＝∠HGM，在Rt△EFM中，EF＝1，FM＝，tan∠EMF＝＝2，∴tan∠HGM＝2，∴，∴HG＝HM＝1，∴点G（5，0），∵M（4，﹣2），∴直线MG的解析式为y＝2x﹣10①，∵二次函数解析式为y＝x2﹣4x+6②，联立①②解得，（舍）或，∴Q（8，6），∴点Q到对称轴的距离为8﹣4＝4；Ⅱ、当点Q在对称轴左侧时，如图3，过点E作EF⊥PM于F，过点Q作QD⊥PM于D，∴∠DQP+∠QPD＝90°，∵∠EPQ＝90°，∴∠DPQ+∠FPE＝90°，∴∠DQP＝∠FPE，∵∠PDQ＝∠EFP，∴△PDQ∽△EFP，∴，由Ⅰ知，tan∠PQE＝＝2，∵EF＝1，∴＝，∴DP＝，PF＝2QD，设Q（n，n2﹣4n+6），∴DQ＝4﹣n，DH＝n2﹣4n+6，∴PF＝DH+FH﹣DP＝n2﹣4n+6+﹣＝n2﹣4n+7，∴n2﹣4n+7＝2（4﹣n），∴n＝2+（舍）或n＝2﹣，∴DQ＝4﹣n＝2+，即点Q到对称轴的距离为4或2+．。
云南省2020年中考数学试题及详细解析
云南省2020年中考数学试题（答案及详细解析从第7页开始）一、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．（3分）中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家．某仓库运进面粉7吨，记为+7吨，那么运出面粉8吨应记为 吨．2．（3分）如图，直线c与直线a、b都相交．若a∥b，∠1＝54°，则∠2＝ 度．3．（3分）要使有意义，则x的取值范围是 ．4．（3分）已知一个反比例函数的图象经过点（3，1），若该反比例函数的图象也经过点（﹣1，m），则m＝ ．5．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为 ．6．（3分）已知四边形ABCD是矩形，点E是矩形ABCD的边上的点，且EA＝EC．若AB ＝6，AC＝2，则DE的长是 ．二、选择题（本大题共8小题，每小题只有一个正确选项，每小题4分，共32分） 7．（4分）千百年来的绝对贫困即将消除，云南省95%的贫困人口脱贫，95%的贫困村出列，90%的贫困县摘帽，1500000人通过异地扶贫搬迁实现“挪穷窝”，“斩穷根”（摘自2020年5月11日云南日报）．1500000这个数用科学记数法表示为（ ）A．15×106 B．1.5×105 C．1.5×106 D．1.5×1078．（4分）下列几何体中，主视图是长方形的是（ ）A． B．C． D．9．（4分）下列运算正确的是（ ）A．＝±2 B．（）﹣1＝﹣2C．（﹣3a）3＝﹣9a3 D．a6÷a3＝a3（a≠0）10．（4分）下列说法正确的是（ ）A．为了解三名学生的视力情况，采用抽样调查B．任意画一个三角形，其内角和是360°是必然事件C．甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数分别为、，方差分别为s 甲2、s乙2，若＝，s甲2＝0.4，s乙2＝2，则甲的成绩比乙的稳定 D．一个抽奖活动中，中奖概率为，表示抽奖20次就有1次中奖11．（4分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点．则△DEO与△BCD的面积的比等于（ ）A． B． C． D．12．（4分）按一定规律排列的单项式：a，﹣2a，4a，﹣8a，16a，﹣32a，…，第n个单项式是（ ）A．（﹣2）n﹣1a B．（﹣2）n a C．2n﹣1a D．2n a13．（4分）如图，正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（ ）A ． B．1 C ． D ．14．（4分）若整数a使关于x 的不等式组，有且只有45个整数解，且使关于y 的方程+＝1的解为非正数，则a的值为（ ）A．﹣61或﹣58 B．﹣61或﹣59C．﹣60或﹣59 D．﹣61或﹣60或﹣59三、解答题（本大题共9小题，共70分）15．（6分）先化简，再求值：÷，其中x ＝．16．（6分）如图，已知AD＝BC，BD＝AC．求证：∠ADB＝∠BCA．17．（8分）某公司员工的月工资如下：员工 经理 副经理 职员A职员B职员C职员D职员E职员F 杂工G 月工资/元7000 4400 2400 2000 1900 1800 1800 1800 1200经理、职员C、职员D从不同的角度描述了该公司员工的收入情况．设该公司员工的月工资数据（见上述表格）的平均数、中位数、众数分别为k、m、n，请根据上述信息完成下列问题：（1）k＝ ，m＝ ，n＝ ；（2）上月一个员工辞职了，从本月开始，停发该员工工资，若本月该公司剩下的8名员工的月工资不变，但这8名员工的月工资数据（单位：元）的平均数比原9名员工的月工资数据（见上述表格）的平均数减小了．你认为辞职的那名员工可能是 ． 18．（6分）某地响应“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展“美化绿色城市”活动，绿化升级改造了总面积为360万平方米的区域．实际施工中，由于采用了新技术，实际平均每年绿化升级改造的面积是原计划平均每年绿化升级改造的面积的2倍，所以比原计划提前4年完成了上述绿化升级改造任务．实际平均每年绿化升级改造的面积是多少万平方米？19．（7分）甲、乙两个家庭来到以“生态资源，绿色旅游”为产业的美丽云南，各自随机选择到大理、丽江、西双版纳三个城市中的一个城市旅游．假设这两个家庭选择到哪个城市旅游不受任何因素影响，上述三个城市中的每一个被选到的可能性相同，甲、乙两个家庭选择到上述三个城市中的同一个城市旅游的概率为P．（1）直接写出甲家庭选择到大理旅游的概率；（2）用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，求P的值．20．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CE，垂足为D，AC平分∠DAB． （1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若AD＝4，cos∠CAB ＝，求AB的长．21．（8分）众志成城抗疫情，全国人民在行动．某公司决定安排大、小货车共20辆，运送260吨物资到A地和B地，支援当地抗击疫情．每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资，这20辆货车恰好装完这批物资．已知这两种货车的运费如下表：A地（元/辆） B地（元/辆）目的地车型大货车 900 1000小货车 500 700现安排上述装好物资的20辆货车（每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资）中的10辆前往A地，其余前往B地，设前往A地的大货车有x辆，这20辆货车的总运费为y元．（1）这20辆货车中，大货车、小货车各有多少辆？（2）求y与x的函数解析式，并直接写出x的取值范围；（3）若运往A地的物资不少于140吨，求总运费y的最小值．22．（9分）如图，四边形ABCD是菱形，点H为对角线AC的中点，点E在AB的延长线上，CE⊥AB，垂足为E，点F在AD的延长线上，CF⊥AD，重足为F，（1）若∠BAD＝60°，求证：四边形CEHF是菱形；（2）若CE＝4，△ACE的面积为16，求菱形ABCD的面积．23．（12分）抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3）．点P为抛物线y＝x2+bx+c上的一个动点．过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．（1）求b、c的值；（2）设点F在抛物线y＝x2+bx+c的对称轴上，当△ACF的周长最小时，直接写出点F 的坐标；（3）在第一象限，是否存在点P，使点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍？若存在，求出点P所有的坐标；若不存在，请说明理由．云南省2020年中考数学试题答案及详细解析一、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．（3分）中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家．某仓库运进面粉7吨，记为+7吨，那么运出面粉8吨应记为 ﹣8吨．【分析】根据正负数的意义，直接写出答案即可．【解答】解：因为题目运进记为正，那么运出记为负．所以运出面粉8吨应记为﹣8吨．故答案为：﹣8．【点评】本题考查了正数和负数．根据互为相反意义的量，确定运出的符号是解决本题的关键．2．（3分）如图，直线c与直线a、b都相交．若a∥b，∠1＝54°，则∠2＝ 54度．【分析】直接利用平行线的性质：两直线平行，同位角相等，即可得出答案．【解答】解：∵a∥b，∠1＝54°，∴∠2＝∠1＝54°．故答案为：54．【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确掌握平行线的基本性质是解题关键．3．（3分）要使有意义，则x的取值范围是 x≥2．【分析】根据二次根式有意义的条件得到x﹣2≥0，然后解不等式即可．【解答】解：∵有意义，∴x﹣2≥0，∴x≥2．故答案为x≥2．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件：二次根式有意义的条件为被开方数为非负数，即当a≥0时有意义；若含分母，则分母不能为0．4．（3分）已知一个反比例函数的图象经过点（3，1），若该反比例函数的图象也经过点（﹣1，m），则m＝ ﹣3．【分析】设反比例函数的表达式为y＝，依据反比例函数的图象经过点（3，1）和（﹣1，m），即可得到k＝3×1＝﹣m，进而得出m＝﹣3．【解答】解：设反比例函数的表达式为y＝，∵反比例函数的图象经过点（3，1）和（﹣1，m），∴k＝3×1＝﹣m，解得m＝﹣3，故答案为：﹣3．【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题时注意：反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．5．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为 1． 【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△＝b2﹣4ac＝0，建立关于c的方程，求出c的值即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+c＝0有两个相等的实数根，∴△＝b2﹣4ac＝22﹣4c＝0，解得c＝1．故答案为1．【点评】此题考查了根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac 有如下关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．6．（3分）已知四边形ABCD是矩形，点E是矩形ABCD的边上的点，且EA＝EC．若AB ＝6，AC＝2，则DE的长是 或．【分析】由勾股定理可求BC＝2，分点E在CD上或在AB上两种情况讨论，由勾股定理可求解．【解答】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝6，AD＝BC，∠ABC＝∠ADC＝90°，∴BC＝＝＝2，∴AD＝2，当点E在CD上时，∵AE2＝DE2+AD2＝EC2，∴（6﹣DE）2＝DE2+4，∴DE＝；当点E在AB上时，∵CE2＝BE2+BC2＝EA2，∴AE2＝（6﹣AE）2+4，∴AE＝，∴DE＝＝＝，综上所述：DE＝或，故答案为：或．【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 二、选择题（本大题共8小题，每小题只有一个正确选项，每小题4分，共32分） 7．（4分）千百年来的绝对贫困即将消除，云南省95%的贫困人口脱贫，95%的贫困村出列，90%的贫困县摘帽，1500000人通过异地扶贫搬迁实现“挪穷窝”，“斩穷根”（摘自2020年5月11日云南日报）．1500000这个数用科学记数法表示为（ ）A．15×106 B．1.5×105 C．1.5×106 D．1.5×107【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：1500000＝1.5×106，故选：C．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．8．（4分）下列几何体中，主视图是长方形的是（ ）A． B．C． D．【分析】根据各个几何体的主视图的形状进行判断即可．【解答】解：圆柱体的主视图是长方形，圆锥的主视图是等腰三角形，球的主视图是圆形，四面体的主视图是三角形，故选：A．【点评】本题考查简单几何体的三视图，主视图就是从正面看该物体所得到的图形． 9．（4分）下列运算正确的是（ ）A．＝±2 B．（）﹣1＝﹣2C．（﹣3a）3＝﹣9a3 D．a6÷a3＝a3（a≠0）【分析】根据二次根式的性质，负整数指数幂法则，幂的性质进行解答便可．【解答】解：A.，选项错误；B．原式＝2，选项错误；C．原式＝﹣27a3，选项错误；D．原式＝a6﹣3＝a3，选项正确．故选：D．【点评】本题主要考查了二次根式的性质，负整数指数幂的运算法则，幂的运算法则，关键是熟记性质和法则．10．（4分）下列说法正确的是（ ）A．为了解三名学生的视力情况，采用抽样调查B．任意画一个三角形，其内角和是360°是必然事件C．甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数分别为、，方差分别为s 甲2、s乙2，若＝，s甲2＝0.4，s乙2＝2，则甲的成绩比乙的稳定 D．一个抽奖活动中，中奖概率为，表示抽奖20次就有1次中奖【分析】根据普查、抽查，三角形的内角和，方差和概率的意义逐项判断即可．【解答】解：了解三名学生的视力情况，由于总体数量较少，且容易操作，因此宜采取普查，因此选项A不符合题意；任意画一个三角形，其内角和是360°是不可能事件，因此选项B不符合题意；根据平均数和方差的意义可得选项C符合题意；一个抽奖活动中，中奖概率为，表示中奖的可能性为，不代表抽奖20次就有1次中奖，因此选项D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查普查、抽查，三角形的内角和，方差和概率的意义，理解各个概念的内涵是正确判断的前提．11．（4分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点．则△DEO与△BCD的面积的比等于（ ）A． B． C． D．【分析】利用平行四边形的性质可得出点O为线段BD的中点，结合点E是CD的中点可得出线段OE为△DBC的中位线，利用三角形中位线定理可得出OE∥BC，OE＝BC，进而可得出△DOE∽△DBC，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求出△DEO与△BCD的面积的比．【解答】解：∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴点O为线段BD的中点．又∵点E是CD的中点，∴线段OE为△DBC的中位线，∴OE∥BC，OE＝BC，∴△DOE∽△DBC，∴＝（）2＝．故选：B．【点评】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理以及相似三角形的判定与性质，利用平行四边形的性质及三角形中位线定理，找出OE∥BC且OE＝BC是解题的关键．12．（4分）按一定规律排列的单项式：a，﹣2a，4a，﹣8a，16a，﹣32a，…，第n个单项式是（ ）A．（﹣2）n﹣1a B．（﹣2）n a C．2n﹣1a D．2n a【分析】根据题意，找出规律：单项式的系数为（﹣2）的幂，其指数为比序号数少1，字母为a．【解答】解：∵a＝（﹣2）1﹣1a，﹣2a＝（﹣2）2﹣1a，4a＝（﹣2）3﹣1a，﹣8a＝（﹣2）4﹣1a，16a＝（﹣2）5﹣1a，﹣32a＝（﹣2）6﹣1a，…由上规律可知，第n个单项式为：（﹣2）n﹣1a．故选：A．【点评】本题主要考查了单项式的有关知识，在解题时要能通过观察得出规律是本题的关键．13．（4分）如图，正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（ ）A． B．1 C． D．【分析】根据圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等列式计算即可．【解答】解：设圆椎的底面圆的半径为r，根据题意可知：AD＝AE＝4，∠DAE＝45°，∴2πr＝，解得r＝．答：该圆锥的底面圆的半径是．故选：D．【点评】本题考查了圆锥的计算，解决本题的关键是掌握圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等．14．（4分）若整数a使关于x的不等式组，有且只有45个整数解，且使关于y的方程+＝1的解为非正数，则a的值为（ ）A．﹣61或﹣58 B．﹣61或﹣59C．﹣60或﹣59 D．﹣61或﹣60或﹣59【分析】解不等式组，得＜x≤25，根据不等式组有且只有45个整数解，可得﹣61≤a＜﹣58，根据关于y的方程+＝1的解为非正数：解得a≥﹣61，又y+1不等于0，进而可得a的值．【解答】解：解不等式组，得＜x≤25，∵不等式组有且只有45个整数解，∴﹣20≤＜﹣19，解得﹣61≤a＜﹣58，因为关于y的方程+＝1的解为：y＝﹣a﹣61，y≤0，∴﹣a﹣61≤0，解得a≥﹣61，∵y+1≠0，∴y≠﹣1，∴a≠﹣60则a的值为：﹣61或﹣59．故选：B．【点评】本题考查了分式方程的解、解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解决本题的关键是确定一元一次不等式组的整数解．三、解答题（本大题共9小题，共70分）15．（6分）先化简，再求值：÷，其中x＝．【分析】原式利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【解答】解：原式＝÷＝•＝，当x＝时，原式＝2．【点评】本题考查分式的化简求值，掌握分式的运算法则是解题的关键．16．（6分）如图，已知AD＝BC，BD＝AC．求证：∠ADB＝∠BCA．【分析】根据SSS推出△ADB和△BCA全等，再根据全等三角形的性质得出即可． 【解答】证明：在△ADB和△BCA中，，∴△ADB≌△BCA（SSS），∴∠ADB＝∠BCA．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质．解题的关键是掌握全等三角形的性质和判定的运用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．17．（8分）某公司员工的月工资如下：员工 经理 副经理 职员A职员B职员C职员D职员E职员F 杂工G 7000 4400 2400 2000 1900 1800 1800 1800 1200 月工资/元经理、职员C、职员D从不同的角度描述了该公司员工的收入情况．设该公司员工的月工资数据（见上述表格）的平均数、中位数、众数分别为k、m、n，请根据上述信息完成下列问题：（1）k＝ 2700，m＝ 1900，n＝ 1800；（2）上月一个员工辞职了，从本月开始，停发该员工工资，若本月该公司剩下的8名员工的月工资不变，但这8名员工的月工资数据（单位：元）的平均数比原9名员工的月工资数据（见上述表格）的平均数减小了．你认为辞职的那名员工可能是 经理或副经理 ．【分析】（1）求出9个数据之和再除以总个数即可；对于中位数，按从大到小的顺序排列，找出最中间的那个数即可；出现频数最多的数据即为众数；（2）根据剩下的8名员工的月工资数据的平均数比原9名员工的月工资数据的平均数减小，得出辞职的那名员工工资高于2700元，从而得出辞职的那名员工可能是经理或副经理．【解答】解：（1）平均数k＝（7000+4400+2400+2000+1900+1800×3+1200）÷9＝2700， 9个数据从大到小排列后，第5个数据是1900，所以中位数m＝1900，1800出现了三次，次数最多，所以众数n＝1800．故答案为：2700，1900，1800；（2）由题意可知，辞职的那名员工工资高于2700元，所以辞职的那名员工可能是经理或副经理．故答案为：经理或副经理．【点评】本题考查了确定一组数据的平均数、中位数和众数的能力．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两个数的平均数．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数． 18．（6分）某地响应“把绿水青山变成金山银山，用绿色杠杆撬动经济转型”发展理念，开展“美化绿色城市”活动，绿化升级改造了总面积为360万平方米的区域．实际施工中，由于采用了新技术，实际平均每年绿化升级改造的面积是原计划平均每年绿化升级改造的面积的2倍，所以比原计划提前4年完成了上述绿化升级改造任务．实际平均每年绿化升级改造的面积是多少万平方米？【分析】设原计划每年绿化升级改造的面积是x万平方米，则实际每年绿化升级改造的面积是2x万平方米，根据“实际平均每年绿化升级改造的面积是原计划平均每年绿化升级改造的面积的2倍，所以比原计划提前4年完成了上述绿化升级改造任务”列出方程即可求解．【解答】解：设原计划每年绿化升级改造的面积是x万平方米，则实际每年绿化升级改造的面积是2x万平方米，根据题意，得：﹣＝4，解得：x＝45，经检验，x＝45是原分式方程的解，则2x＝2×45＝90．答：实际平均每年绿化升级改造的面积是90万平方米．【点评】此题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，根据题意设出适当的未知数，找出等量关系，列方程求解，注意检验．19．（7分）甲、乙两个家庭来到以“生态资源，绿色旅游”为产业的美丽云南，各自随机选择到大理、丽江、西双版纳三个城市中的一个城市旅游．假设这两个家庭选择到哪个城市旅游不受任何因素影响，上述三个城市中的每一个被选到的可能性相同，甲、乙两个家庭选择到上述三个城市中的同一个城市旅游的概率为P．（1）直接写出甲家庭选择到大理旅游的概率；（2）用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，求P的值．【分析】（1）直接用概率公式求解可得；（2）记到大理、丽江、西双版纳三个城市旅游分别为A、B、C，列表得出所有等可能结果，从中找到甲、乙两个家庭选择到上述三个城市中的同一个城市旅游的结果数，根据概率公式求解可得．【解答】解：（1）甲家庭选择到大理旅游的概率为；（2）记到大理、丽江、西双版纳三个城市旅游分别为A、B、C，列表得：A B CA （A，A） （A，B） （A，C）B （B，A） （B，B） （B，C）C （C，A） （C，B） （C，C）由表格可知，共有9种等可能性结果，其中甲、乙两个家庭选择到上述三个城市中的同一个城市旅游的有3种结果，所以甲、乙两个家庭选择到上述三个城市中的同一个城市旅游的概率P＝＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率． 20．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD⊥CE，垂足为D，AC平分∠DAB． （1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若AD＝4，cos∠CAB＝，求AB的长．【分析】（1）连接OC．只要证明OC⊥DE即可解决问题；（2）连接BC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据角平分线的定义得到∠DAC＝∠CAB，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OC．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠CAD＝∠CAB，∴∠DAC＝∠ACO，∴AD∥OC，∵AD⊥DE，∴OC⊥DE，∴直线CE是⊙O的切线；（2）连接BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ADC＝∠ACB，∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB，∴△DAC∽△CAB，∴＝，∵cos∠CAB＝＝，∴设AC＝4x，AB＝5x，∴＝，∴x ＝，∴AB ＝．【点评】本题考查切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．21．（8分）众志成城抗疫情，全国人民在行动．某公司决定安排大、小货车共20辆，运送260吨物资到A地和B地，支援当地抗击疫情．每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资，这20辆货车恰好装完这批物资．已知这两种货车的运费如下表：A地（元/辆） B地（元/辆）目的地车型大货车 900 1000小货车 500 700现安排上述装好物资的20辆货车（每辆大货车装15吨物资，每辆小货车装10吨物资）中的10辆前往A地，其余前往B地，设前往A地的大货车有x辆，这20辆货车的总运费为y元．（1）这20辆货车中，大货车、小货车各有多少辆？（2）求y与x的函数解析式，并直接写出x的取值范围；（3）若运往A地的物资不少于140吨，求总运费y的最小值．【分析】（1）设大货车、小货车各有x与y辆，根据题意列出方程组即可求出答案． （2）根据题中给出的等量关系即可列出y与x的函数关系．（3）先求出x的范围，然后根据y与x的函数关系式即可求出y的最小值．【解答】解：（1）设大货车、小货车各有x与y辆，由题意可知：，解得：，答：大货车、小货车各有12与8辆（2）设到A地的大货车有x辆，则到A地的小货车有（10﹣x）辆，到B地的大货车有（12﹣x）辆，到B地的小货车有（x﹣2）辆，∴y＝900x+500（10﹣x）+1000（12﹣x）+700（x﹣2）＝100x+15600，其中2＜x＜10．（3）运往A地的物资共有[15x+10（10﹣x）]吨，15x+10（10﹣x）≥140，解得：x≥8，∴8≤x＜10，当x＝8时，y有最小值，此时y＝100×8+15600＝16400元，答：总运费最小值为16400元．【点评】本题考查一次函数，解题的关键是正确求出大货车、小货车各有12与8辆，并正确列出y与x的函数关系式，本题属于中等题型．22．（9分）如图，四边形ABCD是菱形，点H为对角线AC的中点，点E在AB的延长线上，CE⊥AB，垂足为E，点F在AD的延长线上，CF⊥AD，重足为F，（1）若∠BAD＝60°，求证：四边形CEHF是菱形；（2）若CE＝4，△ACE的面积为16，求菱形ABCD的面积．【分析】（1）根据菱形的性质得到∠ABC＝∠ADC＝120°，根据角平分线的性质得到CE＝CF，根据直角三角形的性质得到EH＝FH＝AC，于是得到结论；（2）根据三角形的面积公式得到AE＝8，根据勾股定理得到AC＝＝4，连接BD，则BD⊥AC，AH＝AC＝2，根据相似三角形的性质得到BD＝2BH＝2，由菱形的面积公式即可得到结论．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴∠EAC＝∠F AC＝30°，又∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE＝CF＝1/2AC，∵点H为对角线AC的中点，∴EH＝FH＝AC，∴CE＝CF＝EH＝FH，∴四边形CEHF是菱形；（2）∵CE⊥AB，CE＝4，△ACE的面积为16，∴AE＝8，∴AC＝＝4，连接BD，则BD⊥AC，AH＝AC＝2，∵∠AHB＝∠AEC＝90°，∠BAH＝∠EAC，∴△ABH∽△ACE，∴＝，∴＝，∴BH＝，∴BD＝2BH＝2，∴菱形ABCD的面积＝AC•BD＝＝20．【点评】本题考查了菱形的判定和性质，直角三角形的性质，角平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．23．（12分）抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3）．点P为抛物线y＝x2+bx+c上的一个动点．过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．（1）求b、c的值；（2）设点F在抛物线y＝x2+bx+c的对称轴上，当△ACF的周长最小时，直接写出点F 的坐标；（3）在第一象限，是否存在点P，使点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍？若存在，求出点P所有的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）把A、C点的坐标代入抛物线的解析式列出b、c的方程组，解得b、c便可；（2）连接BC与对称轴交于点F，此时△ACF的周长最小，求得BC的解析式，再求得BC与对称轴的交点坐标便可；（3）设P（m，m2﹣2m﹣3）（m＞3），根据相似三角形的比例式列出m的方程解答便可． 【解答】解：（1）把A、C点的坐标代入抛物线的解析式得，，解得，；（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点F，连接AF，如图1，此时，AF+CF＝BF+CF＝BC的值最小，∵AC为定值，∴此时△AFC的周长最小，由（1）知，b＝﹣2，c＝﹣3，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3，∴对称轴为x＝1，令y＝0，得y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得，x＝﹣1，或x＝3，∴B（3，0），令x＝0，得y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，∴C（0，﹣3），设直线BC的解析式为：y＝kx+b（k≠0），得，解得，，∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3，当x＝1时，y＝x﹣3＝﹣2，∴F（1，﹣2）；（3）设P（m，m2﹣2m﹣3）（m＞3），过P作PH⊥BC于H，过D作DG⊥BC于G，如图2，则PH＝5DG，E（m，m﹣3），∴PE＝m2﹣3m，DE＝m﹣3，∵∠PHE＝∠DGE＝90°，∠PEH＝∠DEG，∴△PEH∽△DEG，∴，∴，∵m＝3（舍），或m＝5，∴点P的坐标为P（5，12）．故存在点P，使点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍，其P点坐标为（5，12）．【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质，相似三角形的性质与判定，轴对称的性质应用求线段的最值，第（2）题关键是确定F点的位置，第（3）题关键在于构建相似三角形．。
2020年广东省实验中学中考数学一模试卷(解析版)
2020年广东省实验中学中考数学一模试卷一．选择题（共10小题）1．0这个数（）A．是正数B．是负数C．不是有理数D．是整数2．新冠病毒（2019﹣nCoV）是一种新的Sarbecovirus亚属的β冠状病毒，它是一类具有囊膜的正链单股RNA病毒，其遗传物质是所有RNA病毒中最大的，也是自然界广泛存在的一大类病毒．其粒子形状并不规则，直径约60﹣220nm，平均直径为100nm（纳米）．1米＝109纳米，100nm可以表示为（）米．A．0.1×10﹣6B．10×10﹣8C．1×10﹣7D．1×10113．下列各组数中互为相反数的是（）A．﹣2与B．﹣2与C．﹣2与D．2与|﹣2|4．下列计算，正确的是（）A．x4﹣x3＝x B．x5÷x3＝x2C．x•x3＝x3D．（xy2）2＝xy4 5．在下列因式分解的过程中，分解因式正确的是（）A．x2+2x+4＝（x+2）2B．x2﹣4＝（x+4）（x﹣4）C．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2D．x2+4＝（x+2）26．已知x＝3是关于x的方程ax+2x﹣3＝0的解，则a的值为（）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．17．将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（）A．y＝2（x+2）2+3B．y＝2（x﹣2）2+3C．y＝2（x﹣2）2﹣3D．y＝2（x+2）2﹣38．已知反比例函数图象如图所示，下列说法正确的是（）A．k＞0B．y随x的增大而减小C．若矩形OABC面积为2，则k＝2D．若图象上两个点的坐标分别是M（﹣2，y1），N（﹣1，y2），则y1＜y29．如图，在长方形ABCD中，放入六个形状大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分面积为（）A．44cm2B．36cm2C．96cm2D．84cm210．关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个实数根，那么实数k的取值范围是（）A．k≤1B．k＜1且k≠0C．k≤1且k≠0D．k≥1二．填空题（共6小题）11．使式子有意义的x的取值范围是．12．把多项式9m2﹣36n2分解因式的结果是．13．在平面直角坐标系中，若点M（﹣2，3）与点N（x，3）之间的距离是5，则x的值是．14．已知函数y＝﹣x2﹣2x，当时，函数值y随x的增大而增大．15．实数a在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣2|+＝．16．二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴的两个交点A、B的横坐标分别为﹣3、1，与y轴交于点C，下面四个结论：①16a+4b+c＞0：②若P（﹣5，y1），Q（，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；③c＝3a；④若△ABC是等腰三角形，则b＝﹣或﹣．其中正确的有．（请将正确结论的序号全部填在横线上）三．解答题（共9小题）17．计算：．18．解方程：．19．先化简，再求值：，再从不等式组＜x＜中选取一个你认为合适的整数作为x的值代入求值．20．对于实数a，b，定义新运算“*”：a*b＝，例如：4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．（1）求（﹣7）*（﹣2）的值；（2）若x1，x2是一元次方程x2﹣5x﹣6＝0的两个根，求x1*x2的值．21．某单位计划从商店购买同一种品牌的钢笔和笔记本，已知购买一支钢笔比购买一个笔记本多用20元，若用1500元购买钢笔和用600元购买笔记本，则购买钢笔的数量是购买笔记本数量的一半．（1）求购买一支钢笔、一个笔记本各需要多少元？（2）经商谈，商店给予优惠，优惠方式是每购买一支钢笔赠送一个笔记本；如果此单位需要笔记本的数量是钢笔数量的3倍还少6个，且购买钢笔和笔记本的总费用不超过1020元，那么最多可购买多少支钢笔？22．一次函数y＝kx+6与二次函数y＝ax2+c的图象的一个交点坐标为（1，2），另一个交点是该二次函数图象的顶点．（1）求k，a，c的值；（2）过点A（0，m）（0＜m＜6）且垂直于y轴的直线与二次函数y＝ax2+c的图象相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W＝OA2+BC2，求W关于m的函数解析式，并求W 的最小值．23．如图，一次函数y1＝k1x+4与反比例函数y2＝的图象交于点A（2，m）和B（﹣6，﹣2），与y轴交于点C．（1）k1＝，k2＝；（2）根据函数图象知，①当y1＞y2时，x的取值范围是；②当x为时，y2＞﹣2x．（3）过点A作AD⊥x轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线OP与线段AD交于点E，当S四边形ODAC：S△ODE＝4：1时，求点P的坐标．（4）点M是y轴上的一个动点，当△MBC为直角三角形时，直接写出点M的坐标．24．如图，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）过点E（8，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左侧），点C、D在抛物线上，∠BAD的平分线AM交BC于点M，点N是CD的中点，已知OA＝2，且OA：AD＝1：3．（1）求抛物线的解析式；（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接M、N、G、F构成四边形MNGF，求四边形MNGF周长的最小值；（3）在x轴下方且在抛物线上是否存在点P，使△ODP中OD边上的高为？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）矩形ABCD不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K、L，且直线KL平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．25．已知抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）经过点A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴正半轴上的动点．（1）当b＝2时，求抛物线的顶点坐标；（2）点D（b，y D）在抛物线上，当AM＝AD，m＝3时，求b的值；（3）点Q（b+，y Q）在抛物线上，当AM+2QM的最小值为时，求b的值．（说明：y D表示D点的纵坐标，y Q表示Q点的纵坐标）2020年广东省实验中学中考数学一模试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．0这个数（）A．是正数B．是负数C．不是有理数D．是整数【分析】根据0的意义，可得答案．【解答】解：A、0不是正数也不是负数，故A错误；B、0不是正数也不是负数，故B错误；C、0是有理数，故C错误；D、0是整数，故D正确．故选：D．2．新冠病毒（2019﹣nCoV）是一种新的Sarbecovirus亚属的β冠状病毒，它是一类具有囊膜的正链单股RNA病毒，其遗传物质是所有RNA病毒中最大的，也是自然界广泛存在的一大类病毒．其粒子形状并不规则，直径约60﹣220nm，平均直径为100nm（纳米）．1米＝109纳米，100nm可以表示为（）米．A．0.1×10﹣6B．10×10﹣8C．1×10﹣7D．1×1011【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：100nm＝100×10﹣9m＝1×10﹣7m．故选：C．3．下列各组数中互为相反数的是（）A．﹣2与B．﹣2与C．﹣2与D．2与|﹣2|【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、＝2，﹣2与是互为相反数，故本选项正确；B、＝﹣2，﹣2与相等，不是互为相反数，故本选项错误；C、﹣2与﹣是互为倒数，不是互为相反数，故本选项错误；D、|﹣2|＝2，2与|﹣2|相等，不是互为相反数，故本选项错误．故选：A．4．下列计算，正确的是（）A．x4﹣x3＝x B．x5÷x3＝x2C．x•x3＝x3D．（xy2）2＝xy4【分析】根据同底数幂的除法，可判断还能A、B，根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，可判断C，根据积的乘方，可判断D．【解答】解：A、不是同底数幂的除法指数不能相减，故A错误；B、同底数幂的除法底数不变指数相减，故B正确；C、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故C错误；D、积的乘方等于乘方的积，故D错误；故选：B．5．在下列因式分解的过程中，分解因式正确的是（）A．x2+2x+4＝（x+2）2B．x2﹣4＝（x+4）（x﹣4）C．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2D．x2+4＝（x+2）2【分析】各项分解得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式不能分解，不符合题意；B、原式＝（x+2）（x﹣2），不符合题意；C、原式＝（x﹣2）2，符合题意；D、原式不能分解，不符合题意，故选：C．6．已知x＝3是关于x的方程ax+2x﹣3＝0的解，则a的值为（）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．1【分析】根据方程的解为x＝3，将x＝3代入方程即可求出a的值．【解答】解：将x＝3代入方程得：3a+2×3﹣3＝0，解得：a＝﹣1．故选：A．7．将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（）A．y＝2（x+2）2+3B．y＝2（x﹣2）2+3C．y＝2（x﹣2）2﹣3D．y＝2（x+2）2﹣3【分析】根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为y＝2（x﹣2）2+3，故选：B．8．已知反比例函数图象如图所示，下列说法正确的是（）A．k＞0B．y随x的增大而减小C．若矩形OABC面积为2，则k＝2D．若图象上两个点的坐标分别是M（﹣2，y1），N（﹣1，y2），则y1＜y2【分析】由反比例函数的图象可得k＜0，y随x的增大而增大；由矩形OABC面积为2，可得k＝﹣2．【解答】解：如图，k＜0，y随x的增大而增大；∵矩形OABC面积为2，k＝﹣2，故选：D．9．如图，在长方形ABCD中，放入六个形状大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分面积为（）A．44cm2B．36cm2C．96cm2D．84cm2【分析】设小长方形的长为xcm，宽为ycm，观察图形，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用阴影部分的面积＝大长方形的面积﹣6×小长方形的面积，即可求出结论．【解答】解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm，依题意，得：，解得：，∴14×（6+2×2）﹣6×8×2＝44（cm2）．故选：A．10．关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个实数根，那么实数k的取值范围是（）A．k≤1B．k＜1且k≠0C．k≤1且k≠0D．k≥1【分析】若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△＝b2﹣4ac≥0，建立关于k 的不等式，求出k的取值范围．还要注意二次项系数不为0．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1＝0有两个实数根，∴根的判别式△＝b2﹣4ac＝4﹣4k≥0，且k≠0．即k≤1且k≠0．故选：C．二．填空题（共6小题）11．使式子有意义的x的取值范围是x≥﹣．【分析】二次根式的被开方数是非负数．【解答】解：根据题意，得2x+1≥0，解得，x≥﹣．故答案是：x≥﹣．12．把多项式9m2﹣36n2分解因式的结果是9（m﹣2n）（m+2n），．【分析】首先提公因式9，再利用平方差进行二次分解即可．【解答】解：原式＝9（m2﹣4n2）＝9（m﹣2n）（m+2n），故答案为：9（m﹣2n）（m+2n）．13．在平面直角坐标系中，若点M（﹣2，3）与点N（x，3）之间的距离是5，则x的值是﹣7或3．【分析】点M、N的纵坐标相等，则直线MN在平行于x轴的直线上，根据两点间的距离，可列出等式|x+2|＝5，从而解得x的值．【解答】解：∵点M（﹣2，3）与点N（x，3）之间的距离是5，∴|x+2|＝5，解得x＝﹣7或3．故答案为：﹣7或3．14．已知函数y＝﹣x2﹣2x，当x＜﹣1时，函数值y随x的增大而增大．【分析】先运用配方法将抛物线写成顶点式y＝﹣（x+1）2+1，由于a＝﹣1＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，根据抛物线的性质可知当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，即可求出．【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2x＝﹣（x+1）2+1，a＝﹣1＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，故答案为：x＜﹣1．15．实数a在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣2|+＝2．【分析】先根据点a在数轴上的位置判断出其大小，再去绝对值符号，合并同类项即可．【解答】解：∵由图可知，2＜a＜4，∴原式＝a﹣2+＝a﹣2+4﹣a＝2．故答案为：2．16．二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴的两个交点A、B的横坐标分别为﹣3、1，与y轴交于点C，下面四个结论：①16a+4b+c＞0：②若P（﹣5，y1），Q（，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；③c＝3a；④若△ABC是等腰三角形，则b＝﹣或﹣．其中正确的有①④．（请将正确结论的序号全部填在横线上）【分析】①根据抛物线开口方向和与x轴的两交点可知：当x＝﹣4时，y＜0，即16a﹣4b+c＜0；②根据图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3，1确定对称轴是：x＝﹣1，可得：（﹣4.5，y3）与Q（，y2）是对称点，所以y1＜y2；③根据对称轴和x＝1时，y＝0可得结论；④要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB＝BC＝4或AB＝AC＝4或AC＝BC，先计算c的值，再联立方程组可得结论．【解答】解：①∵a＜0，∴抛物线开口向下，∵图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3，1，∴当x＝﹣4时，y＜0，即16a﹣4b+c＜0；故①正确，符合题意；②∵图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3，1，∴抛物线的对称轴是：x＝﹣1，∵P（﹣5，y1），Q（，y2），﹣1﹣（﹣5）＝4，﹣（﹣1）＝3.5，由对称性得：（﹣4.5，y3）与Q（，y2）是对称点，∴则y1＜y2；故②不正确，不符合题意；③∵﹣＝﹣1，∴b＝2a，当x＝1时，y＝0，即a+b+c＝0，∴3a+c＝0，∴c＝﹣3a，故③错误，不符合题意；④要使△ACB为等腰三角形，则必须保证AB＝BC＝4或AB＝AC＝4或AC＝BC，当AB＝BC＝4时，∵BO＝1，△BOC为直角三角形，又∵OC的长即为|c|，∴c2＝16﹣1＝15，∵由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＝，与b＝2a、a+b+c＝0联立组成解方程组，解得b＝﹣；同理当AB＝AC＝4时，∵AO＝3，△AOC为直角三角形，又∵OC的长即为|c|，∴c2＝16﹣9＝7，∵由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＝，与b＝2a、a+b+c＝0联立组成解方程组，解得b＝﹣；同理当AC＝BC时，在△AOC中，AC2＝9+c2，在△BOC中，BC2＝c2+1，∵AC＝BC，∴1+c2＝c2+9，此方程无实数解．经解方程组可知有两个b值满足条件．故④正确，符合题意．综上所述，正确的结论是①④．故答案是：①④．三．解答题（共9小题）17．计算：．【分析】根据负整数指数幂、零指数幂、绝对值的意义计算，然后分母有理化后合并即可．【解答】解：原式＝2×1+﹣＝2．18．解方程：．【分析】观察可得最简公分母是（x﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【解答】解：方程的两边同乘（x﹣1），得：x+1＝﹣（x﹣3）+x﹣1，解得：x＝1．检验：把x＝1代入（x﹣1）＝0，即x＝1不是原分式方程的解．则原分式方程无解．19．先化简，再求值：，再从不等式组＜x＜中选取一个你认为合适的整数作为x的值代入求值．【分析】首先计算括号里面分式的加法，然后再计算括号外分式的除法，化简后，再确定x的值，然后代入x的值可得答案．【解答】解：原式＝[+]•，＝•，＝•，＝，∵x+1≠0，x﹣1≠0，x≠0，∴x≠±1和0，∴选x＝2，当x＝2时，原式＝＝1．20．对于实数a，b，定义新运算“*”：a*b＝，例如：4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．（1）求（﹣7）*（﹣2）的值；（2）若x1，x2是一元次方程x2﹣5x﹣6＝0的两个根，求x1*x2的值．【分析】（1）根据题中的新定义化简，计算即可得到结果；（2）求出已知方程的解得到x1与x2的值，利用题中新定义计算即可得到结果．【解答】解：（1）∵﹣7＜﹣2，∴（﹣7）*（﹣2）＝14﹣4＝10；（2）方程x2﹣5x﹣6＝0变形得：（x+1）（x﹣6）＝0，解得：x＝﹣1或x＝6，当x1＝﹣1，x2＝6时，x1*x2＝﹣6﹣36＝﹣42；当x1＝6，x2＝﹣1时，x1*x2＝36+6＝42．21．某单位计划从商店购买同一种品牌的钢笔和笔记本，已知购买一支钢笔比购买一个笔记本多用20元，若用1500元购买钢笔和用600元购买笔记本，则购买钢笔的数量是购买笔记本数量的一半．（1）求购买一支钢笔、一个笔记本各需要多少元？（2）经商谈，商店给予优惠，优惠方式是每购买一支钢笔赠送一个笔记本；如果此单位需要笔记本的数量是钢笔数量的3倍还少6个，且购买钢笔和笔记本的总费用不超过1020元，那么最多可购买多少支钢笔？【分析】（1）设购买一个笔记本需要x元，则购买一支钢笔需要（x+20）元，根据数量＝总价÷单价结合用1500元购买钢笔的数量是用600元购买笔记本数量的一半，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购买m支钢笔，则购买（3m﹣6）个笔记本，根据总价＝单价×数量结合总费用不超过1020元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．【解答】解：（1）设购买一个笔记本需要x元，则购买一支钢笔需要（x+20）元，依题意，得：2×＝，解得：x＝5，经检验，x＝5是原分式方程的解，且符合题意，∴x+20＝25．答：购买一支钢笔需要25元，购买一个笔记本需要5元．（2）设购买m支钢笔，则购买（3m﹣6）个笔记本，依题意，得：25m+5（3m﹣6﹣m）≤1020，解得：m≤30．答：最多可购买30支钢笔．22．一次函数y＝kx+6与二次函数y＝ax2+c的图象的一个交点坐标为（1，2），另一个交点是该二次函数图象的顶点．（1）求k，a，c的值；（2）过点A（0，m）（0＜m＜6）且垂直于y轴的直线与二次函数y＝ax2+c的图象相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W＝OA2+BC2，求W关于m的函数解析式，并求W 的最小值．【分析】（1）由交点为（1，2），代入y＝kx+6，可求得k，由y＝ax2+c可知，二次函数的顶点在y轴上，即x＝0，则可求得顶点的坐标，从而可求c值，最后可求a的值（2）由（1）得二次函数解析式为y＝﹣4x2+6，令y＝m，得4x2+m﹣6＝0，可求x的值，再利用根与系数的关系式，即可求解．【解答】解：（1）由题意得，k+6＝2，解得k＝﹣4，又∵二次函数顶点为（0，6），∴c＝6，把（1，2）代入二次函数表达式得a+c＝2，解得a＝﹣4；（2）由（1）得二次函数解析式为y＝﹣4x2+6，令y＝m，得4x2+m﹣6＝0，∴x＝±＝±，设B，C两点的坐标分别为（x1，m）（x2，m），则BC＝|x1﹣x2|＝2×＝，∴W＝OA2+BC2＝m2+6﹣m＝+，∴当m＝时，W取得最小值．23．如图，一次函数y1＝k1x+4与反比例函数y2＝的图象交于点A（2，m）和B（﹣6，﹣2），与y轴交于点C．（1）k1＝1，k2＝12；（2）根据函数图象知，①当y1＞y2时，x的取值范围是﹣6＜x＜0或x＞2；②当x为x＞0时，y2＞﹣2x．（3）过点A作AD⊥x轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线OP与线段AD交于点E，当S四边形ODAC：S△ODE＝4：1时，求点P的坐标．（4）点M是y轴上的一个动点，当△MBC为直角三角形时，直接写出点M的坐标．【分析】（1）根据点B的坐标，利用待定系数法即可求出k1、k2的值；（2）观察两函数图象的上下位置关系，由此即可得出不等式的解集；（3）根据一次函数图象上点的坐标特征求出点A、C的坐标，根据梯形的面积公式求出S四边形ODAC的值，进而即可得出S△ODE的值，结合三角形的面积公式即可得出点E的坐标，利用待定系数法即可求出直线OP的解析式，再联立直线OP与双曲线的解析式成方程组，通过解方程组求出点P的坐标；（4）分∠CMB＝90°或∠CBM＝90°两种情况考虑，当∠CMB＝90°时，根据点B的坐标即可找出点M的坐标；当∠CBM＝90°时，由直线AB的解析式可得出△BCM为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质结合点A、B的坐标即可得出点M的坐标．综上即可得出结论．【解答】解：（1）将点B（﹣6，﹣2）代入y1＝k1x+4，﹣2＝﹣6k1+4，解得：k1＝1；将点B（﹣6，﹣2）代入y2＝①，﹣2＝，解得：k2＝12．故答案为：1；12．（2）①观察函数图象可知：当﹣6＜x＜0或x＞2时，一次函数图象在反比例函数图象上方，∴当y1＞y2时，x的取值范围是﹣6＜x＜0或x＞2．故答案为：﹣6＜x＜0或x＞2．②过点O作直线l：y＝﹣2x，如图1所示．观察图形可知：x＞0时，反比例函数图象在直线l上方，故答案为：x＞0．（3）依照题意，画出图形，如图2所示．当x＝2时，m＝x+4＝6，∴点A的坐标为（2，6）；当x＝0时，y1＝x+4＝4，∴点C的坐标为（0，4）．∵S四边形ODAC＝（OC+AD）•OD＝×（4+6）×2＝10，S四边形ODAC：S△ODE＝4：1，∴S△ODE＝OD•DE＝×2DE＝10×，∴DE＝2.5，即点E的坐标为（2，2.5）．设直线OP的解析式为y＝kx，将点E（2，2.5）代入y＝kx，得2.5＝2k，解得：k＝，∴直线OP的解析式为y＝x②．联立①②并解得：，，∵点P在第一象限，∴点P的坐标为（，）．（4）依照题意画出图形，如图3所示．当∠CMB＝90°时，BM∥x轴，∴点M的坐标为（0，﹣2）；当∠CBM＝90°时，∵直线AC的解析式为y＝x+4，∴∠BCM＝45°，∴△BCM为等腰直角三角形，∴CM＝﹣2x B＝12，∴点M的坐标为（0，﹣8）．综上所述：当△MBC为直角三角形时，点M的坐标为（0，﹣2）或（0，﹣8）．24．如图，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）过点E（8，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左侧），点C、D在抛物线上，∠BAD的平分线AM交BC于点M，点N是CD的中点，已知OA＝2，且OA：AD＝1：3．（1）求抛物线的解析式；（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接M、N、G、F构成四边形MNGF，求四边形MNGF周长的最小值；（3）在x轴下方且在抛物线上是否存在点P，使△ODP中OD边上的高为？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）矩形ABCD不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K、L，且直线KL平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．【分析】（1）由点E在x轴正半轴且点A在线段OE上得到点A在x轴正半轴上，所以A（2，0）；由OA＝2，且OA：AD＝1：3得AD＝6．由于四边形ABCD为矩形，故有AD⊥AB，所以点D在第四象限，横坐标与A的横坐标相同，进而得到点D坐标．由抛物线经过点D、E，用待定系数法即求出其解析式．（2）画出四边形MNGF，由于点F、G分别在x轴、y轴上运动，故可作点M关于x轴的对称点点M'，作点N关于y轴的对称点点N'，得FM＝FM'、GN＝GN'．易得当M'、F、G、N'在同一直线上时N'G+GF+FM'＝M'N'最小，故四边形MNGF周长最小值等于MN+M'N'．根据矩形性质、抛物线线性质等条件求出点M、M'、N、N'坐标，即求得答案．（3）因为OD可求，且已知△ODP中OD边上的高，故可求△ODP的面积．又因为△ODP的面积常规求法是过点P作PQ平行y轴交直线OD于点Q，把△ODP拆分为△OPQ 与△DPQ的和或差来计算，故存在等量关系．设点P坐标为t，用t表示PE的长即列得方程．求得t的值要讨论是否满足点P在x轴下方的条件．（4）由KL平分矩形ABCD的面积可得K在线段AB上、L在线段CD上，画出平移后的抛物线可知，点K由点O平移得到，点L由点D平移得到，故有K（m，0），L（2+m，﹣6）．易证KL平分矩形面积时，KL一定经过矩形的中心H且被H平分，求出H坐标为（4，﹣3），由中点坐标公式即求得m的值．【解答】解：（1）∵点A在线段OE上，E（8，0），OA＝2∴A（2，0）∵OA：AD＝1：3∴AD＝3OA＝6∵四边形ABCD是矩形∴AD⊥AB∴D（2，﹣6）∵抛物线y＝ax2+bx经过点D、E∴解得：∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x（2）如图1，作点M关于x轴的对称点点M'，作点N关于y轴的对称点点N'，连接FM'、GN'、M'N'∵y＝x2﹣4x＝（x﹣4）2﹣8∴抛物线对称轴为直线x＝4∵点C、D在抛物线上，且CD∥x轴，D（2，﹣6）∴y C＝y D＝﹣6，即点C、D关于直线x＝4对称∴x C＝4+（4﹣x D）＝4+4﹣2＝6，即C（6，﹣6）∴AB＝CD＝4，B（6，0）∵AM平分∠BAD，∠BAD＝∠ABM＝90°∴∠BAM＝45°∴BM＝AB＝4∴M（6，﹣4）∵点M、M'关于x轴对称，点F在x轴上∴M'（6，4），FM＝FM'∵N为CD中点∴N（4，﹣6）∵点N、N'关于y轴对称，点G在y轴上∴N'（﹣4，﹣6），GN＝GN，∴C四边形MNGF＝MN+NG+GF+FM＝MN+N'G+GF+FM'∵当M'、F、G、N'在同一直线上时，N'G+GF+FM'＝M'N'最小∴C四边形MNGF＝MN+M'N'＝＝2+10＝12∴四边形MNGF周长最小值为12．（3）存在点P，使△ODP中OD边上的高为．过点P作PQ∥y轴交直线OD于点Q，∵D（2，﹣6）∴OD＝，直线OD解析式为y＝﹣3x，设点P坐标为（t，t2﹣4t）（0＜t＜8），则点Q（t，﹣3t），①如图2，当0＜t＜2时，点P在点D左侧，∴PQ＝y Q﹣y P＝﹣3t﹣（t2﹣4t）＝﹣t2+t，∴S△ODP＝S△OPQ+S△DPQ＝PQ•x P+PQ•（x D﹣x P）＝PQ（x P+x D﹣x P）＝PQ•x D＝PQ＝﹣t2+t∵△ODP中OD边上的高h＝，∴S△ODP＝OD•h，∴﹣t2+t＝×2×，方程无解②如图3，当2＜t＜8时，点P在点D右侧∴PE＝y P﹣y E＝t2﹣4t﹣（﹣3t）＝t2﹣t∴S△ODP＝S△OPQ﹣S△DPQ＝PQ•x P﹣PQ•（x P﹣x D）＝PQ（x P﹣x P+x D）＝PQ•x D ＝t2﹣t∴t2﹣t＝×2×解得：t1＝﹣4（舍去），t2＝6∴P（6，﹣6）综上所述，点P坐标为（6，﹣6）满足使△ODP中OD边上的高为．（4）设抛物线向右平移m个单位长度后与矩形ABCD有交点K、L∵KL平分矩形ABCD的面积∴K在线段AB上，L在线段CD上，如图4∴K（m，0），L（2+m，﹣6）连接AC，交KL于点H∵S△ACD＝S四边形ADLK＝S矩形ABCD∴S△AHK＝S△CHL∵AK∥LC∴△AHK∽△CHL∴∴AH＝CH，即点H为AC中点∴H（4，﹣3）也是KL中点∴∴m＝3∴抛物线平移的距离为3个单位长度．25．已知抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）经过点A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴正半轴上的动点．（1）当b＝2时，求抛物线的顶点坐标；（2）点D（b，y D）在抛物线上，当AM＝AD，m＝3时，求b的值；（3）点Q（b+，y Q）在抛物线上，当AM+2QM的最小值为时，求b的值．（说明：y D表示D点的纵坐标，y Q表示Q点的纵坐标）【分析】（1）将点A（﹣1，0）代入y＝x2﹣bx+c，求出c关于b的代数式，再将b代入即可求出c的值，可进一步写出抛物线解析式及顶点坐标；（2）将点D（b，y D）代入抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1，求出点D纵坐标为﹣b﹣1，由b＞0判断出点D（b，﹣b﹣1）在第四象限，且在抛物线对称轴x＝的右侧，过点D作DE ⊥x轴，可证△ADE为等腰直角三角形，利用锐角三角函数可求出b的值；（3）将点Q（b+，y Q）代入抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1，求出Q纵坐标为﹣﹣，可知点Q（b+，﹣﹣）在第四象限，且在直线x＝b的右侧，点N（0，1），过点Q 作直线AN的垂线，垂足为G，QG与x轴相交于点M，过点Q作QH⊥x轴于点H，则点H（b+，0），在Rt△MQH中，可知∠QMH＝∠MQH＝45°，设点M（m，0），则可用含b的代数式表示m，因为AM+2QM＝，可得方程[（﹣）﹣（﹣1）]+2•[（b+）﹣（﹣）]＝，即可求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣bx+c经过点A（﹣1，0），∴1+b+c＝0，即c＝﹣b﹣1，当b＝2时，y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣bx﹣b﹣1，∵点D（b，y D）在抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1上，∴y D＝b2﹣b•b﹣b﹣1＝﹣b﹣1，由b＞0，得b＞＞0，﹣b﹣1＜0，∴点D（b，﹣b﹣1）在第四象限，且在抛物线对称轴x＝的右侧，如图1，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，则点E（b，0），∴AE＝b+1，DE＝b+1，得AE＝DE，∴在Rt△ADE中，∠ADE＝∠DAE＝45°，∴AD＝AE，由已知AM＝AD，m＝3，∴3﹣（﹣1）＝（b+1），∴b＝2﹣1；（3）∵点Q（b+，y Q）在抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1上，∴y Q＝（b+）2﹣b（b+）﹣b﹣1＝﹣﹣，可知点Q（b+，﹣﹣）在第四象限，且在直线x＝b的右侧，∵AM+2QM＝2（AM+QM），∴可取点N（0，1），如图2，过点Q作直线AN的垂线，垂足为G，QG与x轴相交于点M，由∠GAM＝45°，得AM＝GM，则此时点M满足题意，过点Q作QH⊥x轴于点H，则点H（b+，0），在Rt△MQH中，可知∠QMH＝∠MQH＝45°，∴QH＝MH，QM＝MH，∵点M（m，0），∴0﹣（﹣﹣）＝（b+）﹣m，解得，m＝﹣，∵AM+2QM＝，∴[（﹣）﹣（﹣1）]+2•[（b+）﹣（﹣）]＝，∴b＝6．。
2020年中国高中数学奥林匹克试题与解答 精品
ORQN MFED CBAP2020年中国数学奥林匹克试题与解答(2020年1月11日)一、给定锐角三角形PBC ，PC PB ≠．设A ，D 分别是边PB ，PC 上的点，连接AC ，BD ，相交于点O. 过点O 分别作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ，线段BC ，AD 的中点分别为M ，N ．（1）若A ，B ，C ，D 四点共圆，求证：EM FN EN FM ⋅=⋅；（2）若 EM FN EN FM ⋅=⋅，是否一定有A ，B ，C ，D 四点共圆？证明你的结论． 解（1）设Q ，R 分别是OB ，OC 的中点，连接EQ ，MQ ，FR ，MR ，则11,22EQ OB RM MQ OC RF ====，又OQMR 是平行四边形， 所以OQM ORM ∠=∠， 由题设A ，B ，C ，D 四点共圆， 所以ABD ACD ∠=∠，于是22EQO ABD ACD FRO ∠=∠=∠=∠，所以EQM EQO OQM FRO ORM FRM ∠=∠+∠=∠+∠=∠， 故 EQM MRF ∆≅∆， 所以 EM ＝FM ， 同理可得 EN ＝FN ，所以 EM FN EN FM ⋅=⋅． （2）答案是否定的．当AD ∥BC 时，由于B C ∠≠∠，所以A ，B ，C ，D 四点不共圆，但此时仍然有EM FN EN FM ⋅=⋅，证明如下：如图2所示，设S ，Q 分别是OA ，OB 的中点，连接ES ，EQ ，MQ ，NS ，则11,22NS OD EQ OB ==，所以NS ODEQ OB=． ① 又11,22ES OA MQ OC ==，所以ES OAMQ OC=． ② 而AD ∥BC ，所以OA ODOC OB=， ③ 由①，②，③得NS ESEQ MQ=． 因为 2NSE NSA ASE AOD AOE ∠=∠+∠=∠+∠，()(1802)EQM MQO OQE AOE EOB EOB ∠=∠+∠=∠+∠+︒-∠(180)2AOE EOB AOD AOE =∠+︒-∠=∠+∠， 即NSE EQM ∠=∠，所以NSE ∆～EQM ∆，故EN SE OAEM QM OC==（由②）． 同理可得， FN OAFM OC =， 所以 EN FNEM FM=， 从而 EM FN EN FM ⋅=⋅．二、求所有的素数对（p ，q ），使得q p pq 55+．解：若pq |2，不妨设2=p ，则q q 55|22+，故255|+qq ．由Fermat 小定理， 55|-qq ，得30|q ，即5,3,2=q ．易验证素数对)2,2(不合要求，)3,2(，)5,2(合乎要求．若pq 为奇数且pq |5，不妨设5=p ，则qq 55|55+，故6255|1+-q q ．当5=q 时素数对)5,5(合乎要求，当5≠q 时，由Fermat 小定理有15|1--q q ，故626|q ．由于q 为奇素数，而626的奇素因子只有313，所以313=q ．经检验素数对)313,5(合乎要求．若q p ,都不等于2和5，则有1155|--+q p pq ，故SO RQNFEDCBA P)(m od 05511p q p ≡+--． ①由Fermat 小定理，得 )(m od 151p p ≡- ， ②故由①，②得)(m od 151p q -≡-． ③设)12(21-=-r p k，)12(21-=-s q l， 其中s r l k ,,,为正整数． 若l k ≤，则由②，③易知)(mod 1)1()5(5)5(1112121)12)(12(2)12(21)12(2p r r q s r s p s l k l k l -≡-≡==≡=----------，这与2≠p 矛盾！所以l k >．同理有l k <，矛盾！即此时不存在合乎要求的),(q p ． 综上所述，所有满足题目要求的素数对),(q p 为)3,2(，)2,3(，)5,2(，)2,5(，)5,5(，)313,5(及)5,313(．三、设m ，n 是给定的整数，n m <<4，1221+n A A A Λ是一个正2n +1边形，{}1221,,,+=n A A A P Λ．求顶点属于P 且恰有两个内角是锐角的凸m 边形的个数．解 先证一个引理：顶点在P 中的凸m 边形至多有两个锐角，且有两个锐角时，这两个锐角必相邻．事实上，设这个凸m 边形为m P P P Λ21，只考虑至少有一个锐角的情况，此时不妨设221π<∠P P P m ，则)13(2122-≤≤>∠-=∠m j P P P P P P m m j ππ，更有)13(211-≤≤>∠+-m j P P P j j j π．而321P P P ∠+11P P P m m -∠>π，故其中至多一个为锐角，这就证明了引理． 由引理知，若凸m 边形中恰有两个内角是锐角，则它们对应的顶点相邻．在凸m 边形中，设顶点i A 与j A 为两个相邻顶点，且在这两个顶点处的内角均为锐角．设i A 与j A 的劣弧上包含了P 的r 条边（n r ≤≤1），这样的),(j i 在r 固定时恰有12+n 对．（1） 若凸m 边形的其余2-m 个顶点全在劣弧j i A A 上，而j i A A 劣弧上有1-r 个P 中的点，此时这2-m 个顶点的取法数为21--m r C ．（2） 若凸m 边形的其余2-m 个顶点全在优弧j i A A 上，取i A ，j A 的对径点i B ，j B ，由于凸m 边形在顶点i A ，j A 处的内角为锐角，所以，其余的2-m 个顶点全在劣弧j i B B 上，而劣弧j i B B 上恰有r 个P 中的点，此时这2-m 个顶点的取法数为2-m rC ．所以，满足题设的凸m 边形的个数为))()()(12()12()()12(11111111121211221∑∑∑∑∑==--+---=-=--=----+-+=⎪⎭⎫⎝⎛++=++nr nr m rm r m r m r n r m r n r m r nr m rm r C C C C n C C n CCn))(12(111--+++=m n m n C C n ．四、给定整数3≥n ，实数n a a a ,,,21Λ满足 1min 1=-≤<≤j i nj i a a ．求∑=nk k a 13的最小值．解 不妨设n a a a <<<Λ21，则对n k ≤≤1，有k n a a a a k k n k n k 2111-+≥-≥++-+-，所以()∑∑=-+=+=nk kn knk ka a a 13131321()()()∑=-+-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++-+=n k k n k kn k k n k a a a a a a 121211414321 ()∑∑==-+-+≥+≥n k nk kn k k n a a 13131218181． 当n 为奇数时，222113313)1(412221-=⋅⋅=-+∑∑-==n i k n n i nk ． 当n 为偶数时，32113)12(221∑∑==-=-+n i nk i k n⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑==21313)2(2ni n j i j)2(4122-=n n ． 所以，当n 为奇数时，2213)1(321-≥∑=n a nk k，当n 为偶数时，)2(3212213-≥∑=n n a nk k，等号均在n i n i a i ,,2,1,21Λ=+-=时成立． 因此，∑=nk k a 13的最小值为22)1(321-n （n 为奇数），或者)2(32122-n n （n 为偶数）． 五、凸n 边形P 中的每条边和每条对角线都被染为n 种颜色中的一种颜色．问：对怎样的n ，存在一种染色方式，使得对于这n 种颜色中的任何3种不同颜色，都能找到一个三角形，其顶点为多边形P 的顶点，且它的3条边分别被染为这3种颜色？解 当n 3≥为奇数时，存在合乎要求的染法；当n 4≥为偶数时，不存在所述的染法。
2020年IMO高中数学竞赛真题
星期一,21.九月2020第1题.考虑凸四边形ABCD.设P是ABCD内部一点.且以下比例等式成立:∠P AD:∠P BA:∠DP A=1:2:3=∠CBP:∠BAP:∠BP C.证明:∠ADP的内角平分线、∠P CB的内角平分线和线段AB的垂直平分线三线共点.第2题.设实数a,b,c,d满足a≥b≥c≥d>0,且a+b+c+d=1.证明:(a+2b+3c+4d)a a b b c c d d<1.第3题.有4n枚小石子,重量分别为1,2,3,...,4n.每一枚小石子都染了n种颜色之一,使得每种颜色的小石子恰有四枚.证明:我们可以把这些小石子分成两堆,同时满足以下两个条件:•两堆小石子有相同的总重量;•每一堆恰有每种颜色的小石子各两枚.星期二,22.九月2020第4题.给定整数n>1.在一座山上有n2个高度互不相同的缆车车站.有两家缆车公司A和B,各运营k辆缆车;每辆从一个车站运行到某个更高的车站(中间不停留其他车站).A公司的k辆缆车的k个起点互不相同，k个终点也互不相同,并且起点较高的缆车，它的终点也较高.B公司的缆车也满足相同的条件.我们称两个车站被某个公司连接，如果可以从其中较低的车站通过该公司的一辆或多辆缆车到达较高的车站(中间不允许在车站之间有其他移动).确定最小的正整数k,使得一定有两个车站被两个公司同时连接.第5题.有一叠n>1张卡片.在每张卡片上写有一个正整数.这叠卡片具有如下性质：其中任意两张卡片上的数的算术平均值也等于这叠卡片中某一张或几张卡片上的数的几何平均值.确定所有的n,使得可以推出这叠卡片上的数均相等?第6题.证明:存在正常数c具有如下性质:对任意整数n>1,以及平面上n个点的集合S,若S中任意两点之间的距离不小于1，则存在一条分离S的直线ℓ,使得S中的每个点到直线ℓ的距离不小于cn−1/3.(我们称直线ℓ分离点集S,如果某条以S中两点为端点的线段与ℓ相交.)注.如果证明了比cn−1/3弱的估计cn−α，会根据α>1/3的值，适当给分.。
2020年中考数学一模试卷和答案解析
2020年中考数学一模试卷一、选择题（本大题8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1．2﹣的相反数是（）A．﹣2﹣B．2﹣C．﹣2 D．2+2．下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．肥皂泡的泡壁厚度大约是0.00000071米，数字0.00000071用科学记数法表示为（）A．7.1×107B．0.71×10﹣6C．7.1×10﹣7D．71×10﹣84．如图，在△ABC中，∠B=32°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，若DE垂直平分AB，则∠C 的度数为（）A．90°B．84°C．64°D．58°（4题）（7题）（8题）5．计算（2a3b2）2÷ab2的结果为（）A．2a2B．2a5b2C．4a4b2D．4a5b26．若一次函数y=kx+b图象经过第一、三、四象限，则关于x的方程x2﹣2x+kb+1=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．只有一个实数根7．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（4，1），以原点O为位似中心，将△OAB 缩小为原来的，则点A的对应点A的坐标是（）A．（2，）B．（1，2）C．（4，8）或（﹣4，﹣8） D．（1，2）或（﹣1，﹣2）8．如图，二次函数y=ax2+c的图象与反比例函数y=的图象相交于A（﹣，1），则关于x的不等式ax2+c＞的解集为（）A．x＜﹣B．x＞﹣C．x＜﹣或x＞0 D．﹣＜x＜1二、填空题（本题6小题，每小题3分，共18分）9．计算：﹣（﹣）﹣2=．10．据统计，2019年国庆假日期间，我市共接待游客600万人次．其中各景区接待游客人次占总接待游客人次比例如图所示．预计今年国庆假日期间我市总接待游客人次将比去年增长20%，则预计今年国庆假日期间崂山景区将接待游客约为万人次．（10题）（11题）（13题）11．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=26°，∠AOB=100°，则∠B的度数为°．12．某学校要新购置一批课桌椅，现有甲、乙两种规格的课桌椅可供选择．已知购买甲种课桌椅3套比购买乙种2套共多60元；购买甲种5套和乙种3套，共需1620元．求甲、乙两种规格的课桌椅每套价格分别是多少元？若设甲、乙两种规格的课桌椅每套价格分别是x和y元，根据题意，可列方程组为．13．用硬纸壳做一个如图所示的几何体，其底面是圆心角为300°的扇形，则该几何体的表面积为cm2．14．如图，点O是正方形ABCD对角线AC和BD的交点，E是BD上一点，过点D作DF⊥CE于F，交OC于G，过点E作EH⊥BC于H，已知正方形ABCD的边长为2，∠ECH=30°，则线段CG的长为．三、作图题（用圆规、直尺作图，不写作法，保留作图痕迹）15．如图，△ABC是一块三角形木料，现要在该木料中切割出一个圆形模板，要求圆形模板经过木料边缘AB上的点P，且与边缘AB，AC都相切，请在图中画出符合条件的圆形模板．四、解答题（共9小题，共74分）16．（1）化简：（a﹣）×；（2）已知﹣5，2x+1，2﹣x这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，求x的取值范围．17．甲乙两人用两张黑桃和两张红心共四张扑克牌做游戏，规则如下：把四张扑克牌背面朝上，充分洗匀后，随机从中抽取两张，若这两张牌的花色相同，则甲获胜，否则乙获胜．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．18．如图是某斜拉桥引申出的部分平面图，AE，CD是两条拉索，其中拉索CD与水平桥面BE的夹角为72°，其底端与立柱AB底端的距离BD为4米，两条拉索顶端距离AC为2米，若要使拉索AE与水平桥面的夹角为35°，请计算拉索AE的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈，sin72°≈，cos72°≈，tan72°≈）19．某市为了解学生数学学业水平，对八年级学生进行质量监测．甲、乙两个学校八年级各有300名学生参加了质量监测，分别从这两所学校个随机抽取了20名学生的本次测试成绩如下（满分100分）甲：75 86 74 81 76 75 70 95 70 79 81 74 70 80 86 69 83 75 86 75乙：73 93 88 81 40 72 81 94 83 77 83 80 70 81 73 78 82 80 70 81将收集的数据进行整理，制成如下条形统计图：注：60分以下为不及格，60～69分为及格，70～79分为良好，80分及以上为优秀．通过对两组数据的分析制成上面的统计表，请根据以上信息回答下列问题：（1）补全条形统计图，并估计本次监测乙校达到优秀的学生总共约有多少人？（2）求出统计表中的a，b的值；（3）请判断哪个学校的数学学业水平较好，说说你的理由．20．某果品超市经销一种水果，已知该水果的进价为每千克15元，通过一段时间的销售情况发现，该种水果每周的销售总额相同，且每周的销售量y（千克）与每千克售价x（元）的关系如表所示每千克售价x（元）2530 40每周销售量y（千克）240200150（1）写出每周销售量y（千克）与每千克售价x（元）的函数关系式；（2）由于销售淡季即将来临，超市要完成每周销售量不低于300千克的任务，则该种水果每千克售价最多定为多少元？（3）在（2）的基础上，超市销售该种水果能否到达每周获利1200元？说明理由．21．已知：如图，在▱ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE=CF，连接EF，分别交AB，CD于点H，G，连接DH，BG．（1）求证：△AEH≌△CFG；（2）连接BE，若BE=DE，则四边形BGDH是什么特殊四边形？请说明理由．22．有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的直角坐标系中，抛物线可以用函数y=ax2+bx来表示．已知大棚在地面上的宽度OA为8米，距离O点2米处的棚高BC为米．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）求蔬菜大棚离地面的最大高度是多少米？（3）若借助横梁DE建一个门，要求门的高度不低于1.5米，则横梁DE的宽度最多是多少米？23．【问题提出】：将一个边长为n（n≥2）的正三角形的三条边n等分，连接各边对应的等分点，则该三角形被剖分的网格中的结点个数和线段数分别是多少呢？【问题探究】：要研究上面的问题，我们不妨先从特例入手，进而找到一般规律．探究一：将一个边长为2的正三角形的三条边平分，连接各边中点，则该三角形被剖分的网格中的结点个数和线段数分别是多少？如图1，连接边长为2的正三角形三条边的中点，从上往下：共有1+2+3=6个结点．边长为1的正三角形，第一层有1个，第二层有2个，共有1+2=3个，线段数为3×3=9条；边长为2的正三角形有1个，线段数为3条，总共有3×（1+2+1）=2×（1+2+3）=12条线段．探究二：将一个边长为3的正三角形的三条边三等分，连接各边对应的等分点，则该三角形被剖分的网格中的结点个数和线段数分别是多少？如图2，连接边长为3的正三角形三条边的对应三等分点，从上往下：共有1+2+3+4=10个结点．边长为1的正三角形，第一层有1个，第二层有2个，第三层有3个，共有1+2+3=6个，线段数为3×6=18条；边长为2的正三角形有1+2=3个，线段数为3×3=9条，边长为3的正三角形有1个，线段数为3条，总共有3×（1+2+3+1+2+1）=3×（1+2+3+4）=30条线段．探究三：请你仿照上面的方法，探究将边长为4的正三角形的三条边四等分（图3），连接各边对应的等分点，该三角形被剖分的网格中的结点个数和线段数分别是多少？（画出示意图，并写出探究过程）【问题解决】：请你仿照上面的方法，探究将一个边长为n（n≥2）的正三角形的三条边n等分，连接各边对应的等分点，则该三角形被剖分的网格中的结点个数和线段数分别是多少？（写出探究过程）【实际应用】：将一个边长为30的正三角形的三条边三十等分，连接各边对应的等分点，则该三角形被剖分的网格中的结点个数和线段数分别是多少？24．（12分）如图，矩形ABCD中，AB=8cm，AD=10cm，E是AD上一点，AE=6cm，连接BE，CE．点P从点E出发，沿EB方向向点B匀速运动，同时点Q从点C出发，在BC的延长线上匀速运动，P，Q的运动速度均为lcm/s．连接DQ，PQ，PQ交CE于F，设点P，Q的运动时间为t（s）（0＜t＜10）．（1）当t为何值时，PQ⊥BE？（2）设四边形PQDE的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式．（3）是否存在某一时刻t，使得S四边形PQDE ：S矩形ABCD=7：10？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．（4）过点P作PG⊥CE于G，在P，Q运动过程中，线段FG的长度是否发生变化？若变化，说明理由：若不变化，求出线段FG的长度．2020年中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1．（3分）2﹣的相反数是（）A．﹣2﹣B．2﹣C．﹣2 D．2+【分析】根据相反数的定义解答．【解答】解：依题意得：2﹣的相反数是﹣（2﹣）=﹣2+．故选：C．【点评】考查了实数的性质．属于基础题，熟记相反数的定义即可解题．2．（3分）下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．【解答】解：第1个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误；第2个图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；第3个图形既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项错误；第4个图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；故选：A．【点评】此题主要考查了中心对称与轴对称的概念：轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．3．（3分）肥皂泡的泡壁厚度大约是0.00000071米，数字0.00000071用科学记数法表示为（）A．7.1×107B．0.71×10﹣6C．7.1×10﹣7D．71×10﹣8【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：数字0.00000071用科学记数法表示为7.1×10﹣7，故选：C．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．4．（3分）如图，在△ABC中，∠B=32°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，若DE垂直平分AB，则∠C的度数为（）A．90°B．84°C．64°D．58°【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，得到∠DAB=∠B=32°，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算即可．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴DA=DB，∴∠DAB=∠B=32°，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAC=∠DAB=32°，∴∠C=180°﹣32°﹣32°﹣32°=84°，故选：B．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、角平分线的定义，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．5．（3分）计算（2a3b2）2÷ab2的结果为（）A．2a2B．2a5b2C．4a4b2D．4a5b2【分析】根据整式的除法即可求出答案．【解答】解：原式=4a6b4÷ab2=4a5b2故选：D．【点评】本题考查整式的除法，解题的关键是熟练运用整式的除法法则，本题属于基础题型．6．（3分）若一次函数y=kx+b图象经过第一、三、四象限，则关于x的方程x2﹣2x+kb+1=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．只有一个实数根【分析】由一次函数图象的位置可确定出k、b的符号，再计算方程的判别式即可．【解答】解：∵一次函数y=kx+b图象经过第一、三、四象限，∴k＞0，b＜0，∴kb＜0，∴△=（﹣2）2﹣4（kb+1）=4﹣4kb﹣4=﹣4kb＞0，∴关于x的方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，故选：A．【点评】本题主要考查根的判别式，正确判断出根的判别式的符号是解题的关键．7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（4，1），以原点O为位似中心，将△OAB缩小为原来的，则点A的对应点A的坐标是（）A．（2，）B．（1，2） C．（4，8）或（﹣4，﹣8） D．（1，2）或（﹣1，﹣2）【分析】根据平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k解答．【解答】解：以O为位似中心，把△OAB缩小为原来的，则点A的对应点A′的坐标为（2×，4×）或[2×（﹣），4×（﹣）]，即（1，2）或（﹣1，﹣2），故选：D．【点评】本题考查的是位似变换的性质，平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．8．（3分）如图，二次函数y=ax2+c的图象与反比例函数y=的图象相交于A（﹣，1），则关于x的不等式ax2+c＞的解集为（）A．x＜﹣B．x＞﹣C．x＜﹣或x＞0 D．﹣＜x＜1【分析】把点P的纵坐标代入反比例函数解析式求出点P的坐标，再根据函数图象写出抛物线在双曲线上方部分的x的取值范围即可．【解答】解：∵点A横坐标为﹣，∴不等式ax2+c＞的解集是x＜﹣或x＞0．故选：C．【点评】本题考查了二次函数与不等式，此类题目利用数形结合的思想求解更加简便．二、填空题（本题6小题，每小题3分，共18分）9．（3分）计算：﹣（﹣）﹣2=2﹣2．【分析】根据二次根式的除法法则和负整数指数的意义计算．【解答】解：原式=+﹣4=2+2﹣4=2﹣2．故答案为2﹣2．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．10．（3分）据统计，2017年国庆假日期间，我市共接待游客600万人次．其中各景区接待游客人次占总接待游客人次比例如图所示．预计今年国庆假日期间我市总接待游客人次将比去年增长20%，则预计今年国庆假日期间崂山景区将接待游客约为108万人次．【分析】先求得今年国庆假日期间我市总接待游客人次，再用样本中崂山景区将接待游客的百分比乘以今年的总人次即可得．【解答】解：今年国庆假日期间我市总接待游客人次为600×（1+20%）=720（万人次），所以预计今年国庆假日期间崂山景区将接待游客约为720×（1﹣8%﹣11%﹣66%）=108（万人次），故答案为：108．【点评】本题主要考查扇形统计图，解题的关键是掌握各项目的百分比之和为1及样本估计总体思想的运用．11．（3分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=26°，∠AOB=100°，则∠B的度数为76°．【分析】设OB与AC交于点D，由三角形内角和定理和对顶角相等得到∠CDB=∠ADO=54°，结合圆周角定理推知∠ACB=50°，再在△CBD中，由三角形内角和定理求得∠B的度数．【解答】解：设OB与AC交于点D，∵在△AOD中，∠A=26°，∠AOD=100°，∴∠ADO=180°﹣26°﹣100°=54°，∴∠CDB=∠ADO=54°．又∠DCB=∠AOB=50°，∴在△CBD中，∠B=180°﹣50°﹣54°=76°．故答案是：76．【点评】本题主要考查圆周角定理，掌握在同圆或等圆中同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．12．（3分）某学校要新购置一批课桌椅，现有甲、乙两种规格的课桌椅可供选择．已知购买甲种课桌椅3套比购买乙种2套共多60元；购买甲种5套和乙种3套，共需1620元．求甲、乙两种规格的课桌椅每套价格分别是多少元？若设甲、乙两种规格的课桌椅每套价格分别是x和y元，根据题意，可列方程组为．【分析】设甲、乙两种规格的课桌椅每套价格分别是x和y元，根据：购买甲种课桌椅3套比购买乙种2套共多60元；购买甲种5套和乙种3套，共需1620元列出方程组求解即可；【解答】解：设甲、乙两种规格的课桌椅每套价格分别是x和y元，根据题意可得：，故答案为：，【点评】本题主要考查二元一次方程组的应用能力，根据题意准确抓住相等关系是解题的根本和关键．13．（3分）用硬纸壳做一个如图所示的几何体，其底面是圆心角为300°的扇形，则该几何体的表面积为（60+75π）cm2．【分析】求得该几何体的侧面积以及底面积，相加即可得到表面积．【解答】解：侧面积为10×（6+）=60+50π，底面积之和为：2×=15π，∴该几何体的表面积为60+50π+15π=60+65π，故答案为：60+65π．【点评】本题主要考查了几何体的表面积，由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．14．（3分）如图，点O是正方形ABCD对角线AC和BD的交点，E是BD上一点，过点D作DF ⊥CE于F，交OC于G，过点E作EH⊥BC于H，已知正方形ABCD的边长为2，∠ECH=30°，则线段CG的长为﹣．【分析】证明△DOG≌△COE，求出OE=OG，求出CG=BE，解直角三角形求出BH、EH，根据勾股定理求出BE，求出OB，即可求出BE，即可求出答案．【解答】解：四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OD=OC，∴∠DOG=∠COE=90°，∴∠OEC+∠OCE=90°，∵DF⊥CE，∴∠OEC+∠ODG=90°，∴∠ODG=∠OCE，在△DOG和△COE中∴△DOG≌△COE（ASA），∴OE=OG，∵四边形ABCD是正方形，∴OB=OC，∴CG=BE，∵四边形BACD是正方形，∴∠OBC=45°，∵EH⊥BC，∴∠BHE=∠CHE=90°，∴BH=HE，设BH=HE=x，∵∠ECH=30°，∴CH=EH=x，∵BC=2，∴x+x=2解得：x=﹣1，即BH=EH=﹣1，在Rt△BHE中，由勾股定理得：BE==﹣，∴CG=BE=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．三、作图题（用圆规、直尺作图，不写作法，保留作图痕迹）15．（4分）如图，△ABC是一块三角形木料，现要在该木料中切割出一个圆形模板，要求圆形模板经过木料边缘AB上的点P，且与边缘AB，AC都相切，请在图中画出符合条件的圆形模板．【分析】作∠BAC的角平分线和AB的垂线即可得到结论．【解答】解：作∠BAC的角平分线AM，过作AB的垂线PN交AM于O，以O为圆心，PO的长为半径的⊙O即为所求．【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，切线的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．四、解答题（共9小题，共74分）16．（8分）（1）化简：（a﹣）×；（2）已知﹣5，2x+1，2﹣x这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，求x的取值范围．【分析】（1）根据分式的减法和乘法可以解答本题；（2）根据数轴的特点可以列出相应的不等式组，从而可以求得x的取值范围．【解答】解：（1）（a﹣）×===a﹣b；（2）∵﹣5，2x+1，2﹣x这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，∴，解得，﹣3＜x＜，即x的取值范围是，﹣3＜x＜．【点评】本题考查分式的混合运算、实数与数轴、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．17．（6分）甲乙两人用两张黑桃和两张红心共四张扑克牌做游戏，规则如下：把四张扑克牌背面朝上，充分洗匀后，随机从中抽取两张，若这两张牌的花色相同，则甲获胜，否则乙获胜．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．【分析】利用列举法即可列举出所有各种可能的情况，然后利用概率公式即可求解．【解答】解：根据题意画图如下：共有12中情况，从4张牌中任意摸出2张牌花色相同的有4种可能，花色不同的有8种可能，所以甲获胜的概率为=、乙获胜的概率为=，由于≠，所以这个游戏对双方不公平．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．18．（6分）如图是某斜拉桥引申出的部分平面图，AE，CD是两条拉索，其中拉索CD与水平桥面BE的夹角为72°，其底端与立柱AB底端的距离BD为4米，两条拉索顶端距离AC为2米，若要使拉索AE与水平桥面的夹角为35°，请计算拉索AE的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin35°≈，cos35°≈，tan35°≈，sin72°≈，cos72°≈，tan72°≈）【分析】利用锐角三角函数关系得出AB的长，进而得出AE的长即可得出答案．【解答】解：由题意可得：tan72°===，解得：BC=，则AB=BC+AC=+2=（m），故sin35°===，解得：AE≈26.2，答：拉索AE的长为26.2m．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出AB的长是解题关键．19．（6分）某市为了解学生数学学业水平，对八年级学生进行质量监测．甲、乙两个学校八年级各有300名学生参加了质量监测，分别从这两所学校个随机抽取了20名学生的本次测试成绩如下（满分100分）甲：75 86 74 81 76 75 70 95 70 79 81 74 70 80 86 69 83 75 86 75乙：73 93 88 81 40 72 81 94 83 77 83 80 70 81 73 78 82 80 70 81将收集的数据进行整理，制成如下条形统计图：注：60分以下为不及格，60～69分为及格，70～79分为良好，80分及以上为优秀．通过对两组数据的分析制成上面的统计表，请根据以上信息回答下列问题：（1）补全条形统计图，并估计本次监测乙校达到优秀的学生总共约有多少人？（2）求出统计表中的a，b的值；（3）请判断哪个学校的数学学业水平较好，说说你的理由．【分析】（1）依据已知条件即可补全条形统计图，依据乙组数据的优秀率即可估计本次监测乙校达到优秀的学生总数；（2）依据两组数据，即可得到a，b的值；（3）依据两组数据的平均数相同，而两组数据良好以上的人数相同，但是乙组数据优秀的人数较多，故乙校的数学学业水平较好．【解答】解：（1）补全条形统计图：本次监测乙校达到优秀的学生总共约有300×=180（人）；（2）乙班的中位数a=（80+81）=80.5；甲班的众数b为75；（3）两组数据的平均数相同，而两组数据良好以上的人数相同，但是乙组数据优秀的人数较多，故乙校的数学学业水平较好．（答案不唯一）【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．20．（8分）某果品超市经销一种水果，已知该水果的进价为每千克15元，通过一段时间的销售情况发现，该种水果每周的销售总额相同，且每周的销售量y（千克）与每千克售价x（元）的关系如表所示每千克售价x（元）2530 40240200150每周销售量y（千克）（1）写出每周销售量y（千克）与每千克售价x（元）的函数关系式；（2）由于销售淡季即将来临，超市要完成每周销售量不低于300千克的任务，则该种水果每千克售价最多定为多少元？（3）在（2）的基础上，超市销售该种水果能否到达每周获利1200元？说明理由．【分析】（1）直接利用反比例函数解析式求法得出答案；（2）直接利用y=300代入求出答案；（3）利用w=1200进而得出答案．【解答】解：（1）由表格中数据可得：y=，把（30，200）代入得：y=；（2）当y=300时，300=，解得：x=20，即该种水果每千克售价最多定为20元；（3）由题意可得：w=y（x﹣15）=（x﹣15）=1200，解得：x=经检验：x=是原方程的根，答：超市销售该种水果能到达每周获利1200元．【点评】此题主要考查了反比例函数的应用以及分式方程的应用，正确得出y与x的函数的关系式是解题关键．21．（8分）已知：如图，在▱ABCD中，延长DA到点E，延长BC到点F，使得AE=CF，连接EF，分别交AB，CD于点H，G，连接DH，BG．（1）求证：△AEH≌△CFG；（2）连接BE，若BE=DE，则四边形BGDH是什么特殊四边形？请说明理由．【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得出AD∥BC，∠DAB=∠BCD，再根据平行线的性质及补角的性质得出∠E=∠F，∠EAH=∠FCG，从而利用ASA可作出证明；（2）根据平行四边形的性质及（1）的结论可得BH DG，则由有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形BHDG是平行四边形，再证明BH=DH即可得到四边形BHDG是菱形．【解答】证明：（1）四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB=∠BCD，∴∠EAH=∠FCG，又∵AD∥BC，∴∠E=∠F．∵在△AEH与△CFG中，，∴△AEH≌△CFG（ASA）；（2）连接BE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD且AB=CD，又由（1）得AH=CG，∠AEH=∠F，AE=CF，∴BH DG，∴四边形BHDG是平行四边形，∵AE=CF，AD=BC，∴DE=BF，∵BE=DE，∴BE=BF，∴∠BEF=∠F，∵∠AEH=∠F，∴∠BEF=∠DEF，在△BEH和△DEH中，∵，∴BH=DH，∵四边形BHDG是平行四边形，∴四边形BHDG是菱形．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握ASA和SAS证明两个三角形的判定以及菱形的判定定理，此题有一定的难度．22．（10分）有一个抛物线型蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的直角坐标系中，抛物线可以用函数y=ax2+bx来表示．已知大棚在地面上的宽度OA为8米，距离O点2米处的棚高BC为米．（1）求该抛物线的函数关系式；（2）求蔬菜大棚离地面的最大高度是多少米？（3）若借助横梁DE建一个门，要求门的高度不低于1.5米，则横梁DE的宽度最多是多少米？【分析】（1）直接利用待定系数法求出二次函数解析式进而得出答案；（2）利用配方法求出二次函数顶点式进而得出答案；（3）利用y=1.5代入求出答案．【解答】解：（1）由题意可得，抛物线经过（2，），（8，0），故，解得：，故抛物线解析式为：y=﹣x2+x；（2）y=﹣x2+x=﹣（x﹣4）2+3，故蔬菜大棚离地面的最大高度是3米；（3）由题意可得：当y=1.5时，1.5=﹣x2+x，解得：x1=4+2，x2=4﹣2，故DE=x1﹣x2=4+2﹣（4﹣2）=4．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键．23．（10分）【问题提出】：将一个边长为n（n≥2）的正三角形的三条边n等分，连接各边对应的等分点，则该三角形被剖分的网格中的结点个数和线段数分别是多少呢？【问题探究】：要研究上面的问题，我们不妨先从特例入手，进而找到一般规律．探究一：将一个边长为2的正三角形的三条边平分，连接各边中点，则该三角形被剖分的网格中的结点个数和线段数分别是多少？如图1，连接边长为2的正三角形三条边的中点，从上往下：共有1+2+3=6个结点．边长为1的正三角形，第一层有1个，第二层有2个，共有1+2=3个，线段数为3×3=9条；边长为2的正三角形有1个，线段数为3条，总共有3×（1+2+1）=2×（1+2+3）=12条线段．探究二：将一个边长为3的正三角形的三条边三等分，连接各边对应的等分点，则该三角形被剖分的网格中的结点个数和线段数分别是多少？如图2，连接边长为3的正三角形三条边的对应三等分点，从上往下：共有1+2+3+4=10个结点．边长为1的正三角形，第一层有1个，第二层有2个，第三层有3个，共有1+2+3=6个，线段数为3×6=18条；边长为2的正三角形有1+2=3个，线段数为3×3=9条，边长为3的正三角形有1个，线段数为3条，总共有3×（1+2+3+1+2+1）=3×（1+2+3+4）=30条线段．探究三：请你仿照上面的方法，探究将边长为4的正三角形的三条边四等分（图3），连接各边对应的等分点，该三角形被剖分的网格中的结点个数和线段数分别是多少？（画出示意图，并写出探究过程）【问题解决】：请你仿照上面的方法，探究将一个边长为n（n≥2）的正三角形的三条边n等分，连接各边对应的等分点，则该三角形被剖分的网格中的结点个数和线段数分别是多少？（写出探究过程）【实际应用】：将一个边长为30的正三角形的三条边三十等分，连接各边对应的等分点，则该三角形被剖分的网格中的结点个数和线段数分别是多少？【分析】模仿探究一、二即可解决问题；【解答】解：探究三：如图3中，连接边长为4的正三角形三条边的对应四等分点，从上往下：共有1+2+3+4+5=15个结点．边长为1的正三角形，第一层有1个，第二层有2个，第三层有3个，第四层有4个，共有1+2+3+4=10个结点个数，线段数为3×10=30条；边长为2的正三角形有1+2+3=6个，线段数为3×6=18条，边长为3的正三角形有3个，线段数为3×3=9，边长为4的正三角形有1个，线段数为3条，总共有3×（1+2+3+4+1+2+3+3+1）=4×（1+2+3+4+5）=60条线段．问题解决：探究将一个边长为n（n≥2）的正三角形的三条边n等分，连接各边对应的等分点，从上往下：共有1+2+3+4+5=15个结点．边长为1的正三角形，第一层有1个，第二层有2个，第三层有3个，第四层有4个，••第n层有n个，共有1+2+3+4+…+n个结点个数，线段数为3×（1+2+3=4+…+n）条；边长为2的正三角形有1+2+3=6个，线段数为3×6=18条，边长为3的正三角形有3个，线段数为3×3=9，边长为4的正三角形有1个，线段数为3条，…边长为n 的三角形1个，线段数为3，线段的个数为n（1+2+3+…+n+1）．。
2020年中考数学一模试卷(含解析)
2020年中考数学一模试卷一、选择题1．与的积为1的数是（）A．2B．C．﹣2D．2．《战狼2》中“犯我中华者，虽远必诛”，令人动容，热血沸腾．其票房突破56亿元（5600000000元），5600000000用科学记数法表示为（）A．5.6×109B．5.6×108C．0.56×109D．56×1083．下列运算正确的是（）A．B．C．3a+5b＝8ab D．3a2b﹣4ba2＝﹣a2b4．等腰三角形的一边为4，另一边为9，则这个三角形的周长为（）A．17B．22C．13D．17或225．下列立体图形中，主视图是矩形的是（）A．B．C．D．6．下列各数中，为不等式组解的是（）A．﹣1B．0C．2D．47．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝4，则sin B的值是（）A．B．C．D．8．如图，四边形ABCD内接于圆O，AD∥BC，∠DAB＝48°，则∠AOC的度数是（）A．48°B．96°C．114°D．132°9．某中学随机调查了15名学生，了解他们一周在校参加体育锻炼时间，列表如下：锻炼时间（小时）5678人数2652则这15名同学一周在校参加体育锻炼时间的中位数和众数分别是（）A．6，7B．7，7C．7，6D．6，610．已知关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有实数根，若k为非正整数，则k等于（）A．B．0C．0或﹣1D．﹣111．已知：如图，直线l经过点A（﹣2，0）和点B（0，1），点M在x轴上，过点M作x 轴的垂线交直线l于点C，若OM＝2OA，则经过点C的反比例函数表达式为（）A．B．C．D．12．如图，等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，D、E是BC上的两点，且BD＝CE，过D、E作DM、EN分别垂直AB、AC，垂足为M、N，交与点F，连接AD、AE．其中①四边形AMFN是正方形；②△ABE≌△ACD；③CE2+BD2＝DE2；④当∠DAE＝45°时，AD2＝DE•CD．正确结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）13．若分式的值为0，则x的值为．14．把多项式am2﹣9a分解因式的结果是．15．如图，在▱ABCD中，AB＝2cm，AD＝4cm，AC⊥BC，则△DBC比△ABC的周长长cm．16．如图，正方形ABCO的边长为，OA与x轴正半轴的夹角为15o，点B在第一象限，点D在x轴的负半轴上，且满足∠BDO＝15°，直线y＝kx+b经过B、D两点，则b﹣k ＝．三、解答题17．计算（﹣π）0﹣3tan30°+（）﹣2+|1﹣|18．先化简：，再从﹣3、2、3中选择一个合适的数作为a的值代入求值．19．某社区踊跃为“抗击肺炎”捐款，根据捐款情况（捐款数为正数）制作以下统计图表，但工作人员不小心把墨水滴在统计表上，部分数据看不清楚．（1）共有多少人捐款？（2）如果捐款0～50元的人数在扇形统计图中所占的圆心角为72°，那么捐款51～100元的有多少人？捐款人数0～50元51～100元101～150元151～200元6200元以上420．如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走9m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°．（1）求∠BPQ的度数；（2）求该电线杆PQ的高度．（结果保留根号）21．六一儿童节，某玩具经销商在销售中发现：某款玩具若以每个50元销售，一个月能售出500个，销售单价每涨1元，月销售量就减少10个，这款玩具的进价为每个40元，请回答以下问题：（1）若月销售利润定为8000元，且尽可能让利消费者，销售单价应定为多少元？（2）由于资金问题，在月销售成本不超过10000元、且没有库存积压的情况下，问销售单价至少定为多少元？22．如图，点A、B分别在x轴和y轴的正半轴上，以线段AB为边在第一象限作等边△ABC，，且CA∥y轴．（1）若点C在反比例函数的图象上，求该反比例函数的解析式；（2）在（1）中的反比例函数图象上是否存在点N，使四边形ABCN是菱形，若存在请求出点N坐标，若不存在，请说明理由．（3）点P在第一象限的反比例函数图象上，当四边形OAPB的面积最小时，求出P点坐标．23．如图1所示，已知直线y＝kx+m与抛物线y＝ax2+bx+c分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点B（6，0）和点C（0，6），且抛物线的对称轴为直线x＝4；（1）试确定抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是直角三角形？若存在请直接写出P 点坐标，不存在请说明理由；（3）如图2，点Q是线段BC上一点，且CQ＝，点M是y轴上一个动点，求△AQM的最小周长．参考答案一、选择题：（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.）1．与的积为1的数是（）A．2B．C．﹣2D．【分析】根据乘积是1的两数互为倒数，进行求解．解：∵的倒数是2，∴与乘积为1的数是2，故选：A．2．《战狼2》中“犯我中华者，虽远必诛”，令人动容，热血沸腾．其票房突破56亿元（5600000000元），5600000000用科学记数法表示为（）A．5.6×109B．5.6×108C．0.56×109D．56×108【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：5600000000＝5.6×109，故选：A．3．下列运算正确的是（）A．B．C．3a+5b＝8ab D．3a2b﹣4ba2＝﹣a2b【分析】分别根据有理数的混合运算法则，幂的定义，合并同类项法则逐一判断即可．解：A，故本选项不合题意；B.，故本选项不合题意；C.3a与5b不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；D.3a2b﹣4ba2＝﹣a2b，正确．故选：D．4．等腰三角形的一边为4，另一边为9，则这个三角形的周长为（）A．17B．22C．13D．17或22【分析】本题可先根据三角形三边关系，确定等腰三角形的腰和底的长，然后再计算三角形的周长．解：当腰长为4时，则三角形的三边长为：4、4、9；∵4+4＜9，∴不能构成三角形；因此这个等腰三角形的腰长为9，则其周长＝9+9+4＝22．故选：B．5．下列立体图形中，主视图是矩形的是（）A．B．C．D．【分析】主视图是从物体的正面看得到的图形，分别写出每个选项中的主视图，即可得到答案．解：A．此几何体的主视图是等腰三角形；B．此几何体的主视图是矩形；C．此几何体的主视图是等腰梯形；D．此几何体的主视图是圆；故选：B．6．下列各数中，为不等式组解的是（）A．﹣1B．0C．2D．4【分析】分别求出两个不等式的解集，再找到其公共部分即可．解：，由①得，x＞，由②得，x＜4，∴不等式组的解集为＜x＜4．四个选项中在＜x＜4中的只有2．故选：C．7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AB＝4，则sin B的值是（）A．B．C．D．【分析】根据勾股定理求出AC，根据余弦的定义计算即可．解：由勾股定理得，AC＝＝＝则sin B＝＝，故选：C．8．如图，四边形ABCD内接于圆O，AD∥BC，∠DAB＝48°，则∠AOC的度数是（）A．48°B．96°C．114°D．132°【分析】根据平行线的性质求出∠B，根据圆内接四边形的性质求出∠D，根据圆周角定理解答．解：∵AD∥BC，∴∠B＝180°﹣∠DAB＝132°，∵四边形ABCD内接于圆O，∴∠D＝180°﹣∠B＝48°，由圆周角定理得，∠AOC＝2∠D＝96°，故选：B．9．某中学随机调查了15名学生，了解他们一周在校参加体育锻炼时间，列表如下：锻炼时间（小时）5678人数2652则这15名同学一周在校参加体育锻炼时间的中位数和众数分别是（）A．6，7B．7，7C．7，6D．6，6【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．解：∵共有15个数，最中间的数是8个数，∴这15名同学一周在校参加体育锻炼时间的中位数是6；6出现的次数最多，出现了6次，则众数是6；故选：D．10．已知关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有实数根，若k为非正整数，则k等于（）A．B．0C．0或﹣1D．﹣1【分析】利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k≠0且△＝（﹣2）2﹣4×k ×（﹣1）≥0，然后求出两不等式的公共部分后找出非正整数即可．解：根据题意得k≠0且△＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）≥0，解得k≥﹣1且k≠0，∵k为非正整数，∴k＝﹣1．故选：D．11．已知：如图，直线l经过点A（﹣2，0）和点B（0，1），点M在x轴上，过点M作x 轴的垂线交直线l于点C，若OM＝2OA，则经过点C的反比例函数表达式为（）A．B．C．D．【分析】设直线l的解析式为y＝kx+b，列方程组求得y＝x+1，根据已知条件得到点C （4，3），设反比例函数表达式为y＝，把C的坐标代入即可得到结论．解：设直线l的解析式为：y＝kx+b，∵直线l经过点A（﹣2，0）和点B（0，1），∴，解得：，∴直线l的解析式为：y＝x+1，∵点A（﹣2，0），∴OA＝2，∵OM＝2OA，∴OM＝4，∴点C的横坐标为4，当x＝4时，y＝3，∴点C（4，3），设反比例函数表达式为y＝，∴m＝12，∴反比例函数表达式为y＝，故选：B．12．如图，等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°，D、E是BC上的两点，且BD＝CE，过D、E作DM、EN分别垂直AB、AC，垂足为M、N，交与点F，连接AD、AE．其中①四边形AMFN是正方形；②△ABE≌△ACD；③CE2+BD2＝DE2；④当∠DAE＝45°时，AD2＝DE•CD．正确结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由三个角是直角的四边形是矩形，先判定四边形AMFN是矩形，再证明AM＝AN，从而可判断①；利用SAS可判定△ABE≌△ACD，从而可判断②；在没有∠DAE ＝45°时，无法证得DE'＝DE，故可判断③；由∠DAE＝∠C，∠ADE＝∠CDA可判定△ADE∽△CDA，从而可判定④．解：∵DM、EN分别垂直AB、AC，垂足为M、N，∴∠AMF＝∠ANF＝90°，又∵∠BAC＝90°，∴四边形AMFN是矩形；∵△ABC为等腰直角三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠C＝45°，∵DM⊥AB，EN⊥AC，∴△BDM和△CEN均为等腰直角三角形，又∵BD＝CE，∴△BDM≌△CEN（AAS），∴BM＝CN∴AM＝AN，∴四边形AMFN是正方形，故①正确；∵BD＝CE，∴BE＝CD，∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC＝∠C＝45°，AB＝AC，∴△ABE≌△ACD（SAS），故②正确；如图所示，将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABE'，则CE＝BE'，∠E'BA＝∠C＝45°，由于△BDM≌△CEN，故点N落在点M处，连接ME'，则D、M、E'共线，∵∠E'BA＝45°，∠ABC＝45°，∴∠DBE'＝90°，∴BE'2+BD2＝DE'2，∴CE2+BD2＝DE'2，当∠DAE＝45°时，∠DAE'＝∠DAM+∠EAN＝90°﹣45°＝45°，AE＝AE'，AD＝AD，∴△ADE≌△ADE'（SAS），∴DE'＝DE，∴在没有∠DAE＝45°时，无法证得DE'＝DE，故③错误；∵AB＝AC，∠ABD＝∠C，BD＝CE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE，∴当∠DAE＝45°时，∠ADE＝∠AED＝67.5°，∵∠C＝45°，∴∠DAE＝∠C，∠ADE＝∠CDA，∴△ADE∽△CDA，∴＝，∴AD2＝DE•CD，故④正确．综上，正确的有①②④，共3个．故选：C．二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）13．若分式的值为0，则x的值为2．【分析】根据分式的值为0的条件和分式有意义条件得出4﹣x2＝0且x+2≠0，再求出即可．解：∵分式的值为0，∴4﹣x2＝0且x+2≠0，解得：x＝2，故答案为：2．14．把多项式am2﹣9a分解因式的结果是a（m+3）（m﹣3）．【分析】直接提取公因式a，再利用平方差公式分解因式得出答案．解：am2﹣9a＝a（m2﹣9）＝a（m+3）（m﹣3）．故答案为：a（m+3）（m﹣3）．15．如图，在▱ABCD中，AB＝2cm，AD＝4cm，AC⊥BC，则△DBC比△ABC的周长长4cm．【分析】根据平行四边形的性质得到AB＝CD＝2cm，AD＝BC＝4cm，AO＝CO，BO ＝DO，根据勾股定理得到OC＝3cm，BD＝10cm，于是得到结论．解：在▱ABCD中，∵AB＝CD＝2cm，AD＝BC＝4cm，AO＝CO，BO＝DO，∵AC⊥BC，∴AC＝＝6cm，∴OC＝3cm，∴BO＝＝5cm，∴BD＝10cm，∴△DBC的周长﹣△ABC的周长＝BC+CD+BD﹣（AB+BC+AC）＝BD﹣AC＝10﹣6＝4cm，故答案为：4．16．如图，正方形ABCO的边长为，OA与x轴正半轴的夹角为15o，点B在第一象限，点D在x轴的负半轴上，且满足∠BDO＝15°，直线y＝kx+b经过B、D两点，则b﹣k ＝2﹣．【分析】连接OB，过点B作BE⊥x轴于点E，根据正方形的性质可得出∠AOB的度数及OB的长，结合三角形外角的性质可得出∠BDO＝∠DBO，利用等角对等边可得出OD ＝OB，进而可得出点D的坐标，在Rt△BOE中，通过解直角三角形可得出点B的坐标，由点B，D的坐标，利用待定系数法可求出k，b的值，再将其代入（b﹣k）中即可求出结论．解：连接OB，过点B作BE⊥x轴于点E，如图所示．∵正方形ABCO的边长为，∴∠AOB＝45°，OB＝OA＝2．∵OA与x轴正半轴的夹角为15o，∴∠BOE＝45°﹣15°＝30°．又∵∠BDO＝15°，∴∠DBO＝∠BOE﹣∠BDO＝15°，∴∠BDO＝∠DBO，∴OD＝OB＝2，∴点D的坐标为（﹣2，0）．在Rt△BOE中，OB＝2，∠BOE＝30°，∴BE＝OB＝1，OE＝＝，∴点B的坐标为（，1）．将B（，1），D（﹣2，0）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴b﹣k＝4﹣2﹣（2﹣）＝2﹣．故答案为：2﹣．三、解答题17．计算（﹣π）0﹣3tan30°+（）﹣2+|1﹣|【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．解：原式＝1﹣3×+4+﹣1＝1﹣+4+﹣1＝4．18．先化简：，再从﹣3、2、3中选择一个合适的数作为a的值代入求值．【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后在﹣3、2、3中选择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．解：＝＝＝a+2，当a＝﹣3时，原式＝﹣3+2＝﹣1．19．某社区踊跃为“抗击肺炎”捐款，根据捐款情况（捐款数为正数）制作以下统计图表，但工作人员不小心把墨水滴在统计表上，部分数据看不清楚．（1）共有多少人捐款？（2）如果捐款0～50元的人数在扇形统计图中所占的圆心角为72°，那么捐款51～100元的有多少人？捐款人数0～50元51～100元101～150元151～200元6200元以上4【分析】（1）根据捐款200元以上的人数和所占的百分比，可以求得本次共有多少人捐款；（2）根据（1）中的结果和扇形统计图中的数据，统计表中的数据，可以计算出捐款51～100元的有多少人．解：（1）4÷8%＝50（人），答：共有50人捐款；（2）50﹣50×﹣50×32%﹣6﹣4＝50﹣10﹣16﹣6﹣4＝14（人）答：捐款51～100元的有14人．20．如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走9m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°．（1）求∠BPQ的度数；（2）求该电线杆PQ的高度．（结果保留根号）【分析】（1）延长PQ交直线AB于点E，根据直角三角形两锐角互余求得即可；（2）设PE＝x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB＝AE﹣BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．解：延长PQ交直线AB于点E，如图所示：（1）∠BPQ＝90°﹣60°＝30°；（2）设PE＝x米．在直角△APE中，∠A＝45°，则AE＝PE＝x米；∵∠PBE＝60°，∴∠BPE＝30°，在直角△BPE中，BE＝PE＝x米，∵AB＝AE﹣BE＝9米，则x﹣x＝9，解得：x＝．则BE＝米．在直角△BEQ中，QE＝BE＝米．∴PQ＝PE﹣QE＝﹣＝9+3（米）．答：电线杆PQ的高度为（9+3）米．21．六一儿童节，某玩具经销商在销售中发现：某款玩具若以每个50元销售，一个月能售出500个，销售单价每涨1元，月销售量就减少10个，这款玩具的进价为每个40元，请回答以下问题：（1）若月销售利润定为8000元，且尽可能让利消费者，销售单价应定为多少元？（2）由于资金问题，在月销售成本不超过10000元、且没有库存积压的情况下，问销售单价至少定为多少元？【分析】（1）根据“销售单价每涨1元，月销售量就减少10件”，可知：月销售量＝500﹣（销售单价﹣50）×10，然后根据月销售利润＝每件的利润×销售的数量列出方程并解答；（2）设销售单价定为a元，根据“在月销售成本不超过10000元”列出不等式，并解答．解：（1）设销售单价应定为x元，由题意，得（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]＝8000，解得x1＝60，x2＝80，∵尽可能让利消费者，∴x＝60．答：消费单价应定为60元．（2）设销售单价定为a元，由题意，得40[500﹣10（a﹣50）]≤10000，解得a≥75答：销售单价至少定为75元．22．如图，点A、B分别在x轴和y轴的正半轴上，以线段AB为边在第一象限作等边△ABC，，且CA∥y轴．（1）若点C在反比例函数的图象上，求该反比例函数的解析式；（2）在（1）中的反比例函数图象上是否存在点N，使四边形ABCN是菱形，若存在请求出点N坐标，若不存在，请说明理由．（3）点P在第一象限的反比例函数图象上，当四边形OAPB的面积最小时，求出P点坐标．【分析】（1）如图1中，作CD⊥y轴于D．首先证明四边形OACD是矩形，利用反比例函数k的几何意义解决问题即可．（2）如图2中，作BD⊥AC于D，交反比例函数图象于N，连接CN，AN．求出D2你的坐标，证明四边形ABCN是菱形即可．（3）如图3中，连接PB，PA，OP．设P（a，）．可得S四边形OAPB＝S△POB+S△POA ＝×1×a+××＝a+＝（﹣）2+，由此即可解决问题．解：（1）如图1中，作CD⊥y轴于D．∵CA∥y轴，CD⊥y轴，∴CD∥OA，AC∥OD，∴四边形OACD是平行四边形，∵∠AOD＝90°，∴四边形OACD是矩形，∴k＝S矩形OACD＝2S△ABC＝2，∴反比例函数的解析式为y＝．（2）如图2中，作BD⊥AC于D，交反比例函数图象于N，连接CN，AN．∵△ABC是等边三角形，面积为，设CD＝AD＝m，则BD＝m，∴×2m×m＝，∴m＝1或﹣1（舍弃），∴B（0，1），C（，，2），A（，0），∴N（2，1），∴BD＝DN，∵AC⊥BN，∴CB＝CN，AB＝AN，∵AB＝BC，∴AB＝BC＝CN＝AN，∴四边形ABCN是菱形，∴N（2，1）．（3）如图3中，连接PB，PA，OP．设P（a，）．S四边形OAPB＝S△POB+S△POA＝×1×a+××＝a+＝（﹣）2+，∴当a＝时，四边形OAPB的面积最小，解得a＝或﹣（舍弃），此时P（，）．23．如图1所示，已知直线y＝kx+m与抛物线y＝ax2+bx+c分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点B（6，0）和点C（0，6），且抛物线的对称轴为直线x＝4；（1）试确定抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是直角三角形？若存在请直接写出P 点坐标，不存在请说明理由；（3）如图2，点Q是线段BC上一点，且CQ＝，点M是y轴上一个动点，求△AQM的最小周长．【分析】（1）求得点A的坐标，根据抛物线过点A、B、C三点，从而可以求得抛物线的解析式；（2））△ABP为直角三角形时，分别以三个顶点为直角顶点讨论：根据直角三角形的性质和勾股定理列方程解决问题；（3）求出点Q的坐标为（，），在x轴上取点G（﹣2，0），连接QG交y轴于点M，则此时△AQM的周长最小，求出QG+AQ的值即可得出答案．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A、B两点，对称轴为直线x＝4，∴点A的坐标为（2，0）．∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（2，0），B（6，0），C（0，6），∴，解得a＝，b＝﹣4，c＝6．∴抛物线的解析式为：y＝；（2）设P（4，y），∵B（6，0），C（0，6），∴BC2＝62+62＝72，PB2＝22+y2，PC2＝42+（y﹣6）2，当∠PBC＝90°时，BC2+PB2＝PC2，∴72+22+y2＝42+（y﹣6）2，解得：y＝﹣2，∴P（4，﹣2）；当∠PCB＝90°时，PC2+BC2＝PB2，∴42+（y﹣6）2+72＝22+y2，解得：y＝10，∴P（4，10）；当∠BPC＝90°时，PC2+PB2＝BC2．∴42+（y﹣6）2+22+y2＝72，解得：y＝3．∴P（4，3+）或P（4，3﹣）．综合以上可得点P的坐标为（4，﹣2）或（4，10）或（4，3+）或P（4，3﹣）．（3）过点Q作QH⊥y轴于点H，∵B（6，0），C（0，6），∴OB＝6，OC＝6，∴∠OCB＝45°，∴∠CQH＝∠HCQ＝45°，∵CQ＝，∴CH＝QH＝，∴OH＝6﹣，∴点Q的坐标为（，），在x轴上取点G（﹣2，0），连接QG交y轴于点M，则此时△AQM的周长最小，∴AQ＝＝，QG＝＝，∴AQ+QG＝，∴△AQM的最小周长为4．。
2020年浙江省嘉兴市中考数学优质试卷附解析
2020年浙江省嘉兴市中考数学优质试卷学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题CD B CA=，则∠DAB 等于1．如图所示，在四边形ABCD 中，∠B=∠D=90°，:C:1:2:2（）A．60°B．75°C．90°D．105°2．下列说法中正确的个数有（）①直径不是弦②三点确定一个圆③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴④相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等A．1个B．2个C．3个D．4个3．弦 AB 把⊙O分成两条弧的度数的比是4：5，M 是 AB 的中点，则∠AOM的度数为（）A．160°B．l00°C．80°D．50°4．如图，一块钉板上水平方向和垂直方向相邻两钉距离都是一个单位，橡皮筋构成一个四边形，那么四边形的面积为（）A．2．5 B．5 C．7．5 D．95．若4(4)⋅-=-，则（）a a a aA．4≤≤D．a为一切实数aa≥C．04a≥B．06．△ABC和△DEF都是等边三角形，若△ABC的周长为24 cm ，△DEF的边长比△ABC的边长长3 cm，则△DEF的周长为（）A．27 cm B．30 cm C．33 cm D．无法确定7．在下面四个图形中，既包含图形的旋转，又有图形的轴对称设计的是（）A．B．C．D．8．在下列条件中，不能说明△ABC≌△A′B′C′的是（）A．∠A=∠A′，∠B=∠B′，AC=A′C′B ．∠A=∠A ′，AB=A ′B ′，BC=B ′C ′C ．∠B=∠B ′，BC=B ′C ′、AB=A ′B ′D ．AB=A ′B ′，BC=B ′C ′，AC=A ′C ′9．在下列方程中，属于分式方程的有（ ） ①21102x -=；②213x x -=；③114x y -=；④111x x x x--=- A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个10．一个三角形的三边长分别是5，6，7，另一个三角形和它是相似图形，其最长边长为10．5，则另一个三角形的周长是（ ） A ．18B ．23C ．27D ．29 11．下列用词中，与“一定发生”意思一致的是（ ） A ． 可能发生B ． 相当可能发生C ．有可能发生D ． 必然发生 12．在如图所示的世界人口比例扇形统计图中，表示中国人口的扇形的圆心角为（ ）A ．68°B ．70°C ．72°D ．76°13．1．4149保留三个有效数字的近似数是（ ）A ．1．41B ． 1．42C ．1．420D ．1．415二、填空题14．在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 和AC 上，且DE ∥BC ，如果AD ＝2，DB ＝4，AE ＝3，那么EC ＝ ．15．当你乘坐的车沿一条平坦的路向前行驶时，你前方那些高一些的建筑物好像“沉”到了位于它们前面那些矮一些的建筑物后面去了．如图所示，当你所在的位置在 范围内时，你会看到后面那座高大的建筑物．16．一个袋子里装有一双红色、一双绿色手套，两双手套除颜色外其它完全相同，随机的 从袋中摸出两只恰好是一双的概率是 ．17．如图，⊙O 的半径为4cm ，直线l ⊥OA ，垂足为O ，则直线l 沿射线OA 方向平移________cm 时与⊙O 相切．18． 在□ABCD 中，若添加一个条件 , 则四边形ABCD 是矩形；若添加一个条件 , 则四边形ABCD 是菱形.19．“如果a ＞b ，那么a －1＞b －1”这个命题是________命题．20．已知一个40个数据的样本，把它分成六组，第一组到第四组的频数分别为10，5，7，6，第五组的频率是0.10，则第六组的频率为 .21．三角形中，和顶角相邻的外角的平分线和底边的位置关系是 .22．如图，已知D为等边三角形内一点，DB=DA，BF=AB，∠1=∠2,则∠BFD= ．23．若方程组7336029510x yx y+-=⎧⎨+-=⎩的解也是方程21mx y+=的解，则m= .24．将一长方形纸片按如图的方式折叠，BC、BD为折痕，则∠CBD的度数为．25．如图，OB是∠AOC的平分线，0D是∠COE的平分线．(1)如果∠AOC=80°，那么∠BOC= ；(2)如果∠AOC=80°，∠COE=50°，那么∠BOD= ．三、解答题26．小明为了测量某一高楼 MN的高，在离 N点 200 m 的 A处水平放置了一个平面镜，小明沿 NA 方向后退到点C 正好从镜中看到楼的顶点M，若 AC=l5m，小明的眼睛离地面的高度为1.6m，请你帮助小明计算一下楼房的高度(精确到0.1 m).27．某广告公司：更为客户设计周长为 12 米的矩形广告牌，广告牌的设计费为每平方米1000 元，你设计一个广告牌边长的方案，使得根指这个方案所确定的广告牌的长和宽能便获得的设计费最多，设计费最多为多少元？28．如图所示，把边长为2的正方形剪成四个全等的直角三角形，•请你用这四个直角三角形拼成符合下列要求的图形各一个，并标上必要的记号：(1）不是正方形的菱形；(2）不是正方形的矩形；(3）梯形；(4）不是矩形和菱形的平行四边形；(5）不是梯形和平行四边形的凸四边形．29．如图，已知AC∥DE，AC=DE，AD，CE交于点B，AF，DG分别是△ABC，△BDE的中线，•求证：四边形AGDF是平行四边形．30．甲、乙两个工程队合做一项工程，两队合做2天后，由乙队单独做 1 天就可全部完成.已知乙队单独做全部工程所需天数是甲队单独做所需天数的32倍，求甲、乙两队单独做分别需多少天？【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．B2．A3．C4．C5．A6．C7．D8．B9．C10．C11．D12．C13．A二、填空题14．615．BA16．117．3418．如AC=BD等；如AB=BC等19．真20．0.221．平行22．30°23．-324．90°25．(1)40°(2)65°三、解答题26．∴BC⊥CA，MN⊥AN，∴∠C=∠N=90°，∵∠BAC=∠MAN..∴△BCA∽△MNA.∴BC AC MN AN =,即1.615200MN =, 1.620015213()MN m =⨯÷≈⋅． 27．设矩形长为 x 米，宽为 (6-x)米，设计为 y 元， 由已知的得：1000(6)y x x =-(0<x<6).∴222100060001000(6)1000(3)9000y x x x x x =-+=--=--+ ∴当 x=3 时，y 最大值=9000.答：矩形的长为 3 米，宽为 3 来时，设计费多为 9000 元. 28．略 ．29．∵AC ∥ED ，∴∠C=∠E ，∠CAB=∠EDB ．∵AC=DE ，∴△ABC ≌△DBE ，∴AB=DB ，CB=EB ． ∵AF ，DG 分别是△ABC ，•△BDE 的中线， ∴BG=BF ，∴四边形AGDF 是平行四边形30．各需4天和6 天。
2020年国际数学奥林匹克(IMO)全部试题解答
2020年第61届国际数学奥林匹克（IMO）全部试题解答海亮高级中学高三康榕博高二陈昶旭第一天第1题. 考虑凸四边形ABCD. 设P 是ABCD 内部一点. 且以下比例等式成立:∠PAD:∠PBA:∠DPA＝1: 2 :3＝∠CBP:∠BAP:∠BPC.证明: ∠ADP 的内角平分线、∠PCB 的内角平分线和线段AB 的垂直平分线三线共点.证明：如图，设∠PAD＝α,∠PBC＝β,则∠ABP＝2α,∠BAP＝2β, ∠APD＝3α,∠BPC＝3β,取△ABP外心O, 则∠AOP＝4α＝π－∠ADP∴A, O, P, D共圆.∴∠ADO＝∠APO＝∠PAO＝∠PDO∴OD平分∠PDA.同理, OC平分∠PCB.而O为△ABP外心, 显然在AB中垂线上.故∠PDA平分线, ∠PCB平分线, AB中垂线均过点O.证毕.第2题. 设实数a, b, c, d 满足a ≥b ≥c ≥d > 0, 且 a + b + c + d = 1. 证明:(234)1a b c d a b c d a b c d +++<. 证明: 由加权AM －GM 不等式, 我们有2222a b c d a b c d a a b b c c d d a b c d <⋅+⋅+⋅+⋅=+++ 故只需证明22223(234)()()cyca b c d a b c d a ++++++<∑ (*)注意到332()36cyc cyc sym cyca a ab abc =++∑∑∑∑, 及32222cyca ab ad a a ++≥∑2232222222cyca b ab b bc bd b a ++++≥∑2222233333cyca cbc ac cd c a +++≥∑22234444cyc a d a b abd acd bcd d a ++++≥∑∴ (*)成立. 故原不等式成立.第3题. 有4n 枚小石子, 重量分别为1, 2, 3, . . . , 4n. 每一枚小石子都染了n 种颜色之一, 使得每种颜色的小石子恰有四枚. 证明: 我们可以把这些小石子分成两堆, 同时满足以下两个条件:• 两堆小石子有相同的总重量;• 每一堆恰有每种颜色的小石子各两枚.证明: 引理:将n 种颜色的点个4个两两分组, 则可取n 组使得每种颜色的点各2个.即证: n 阶4-正则图G(不一定简单)必有2-正则生成子图. n ＝1, G 为v 的2个自环, 成立.设0n n ≤成立, 则01n n =+时:若G 有点含两自环或有两点含4重边, 对其余部分用归纳假设,该部分取1自环或2重边即可.下设无这样的结构.若G 含三重边,设x,y 间有三条边, 且,(,)xu yv G u y v x ∈≠≠. 考虑将x,y 去掉, 并添入边uv 得到图G ’. 由归纳假设, 图G ’有2-正则生成子图, 若该图含添入的边 uv, 删去该边并加入ux, xy, yv 即可. 若不含, 加入xy, xy 即可.下设无三重边.显然G 有圈. 设最小圈为121,,...,t x x x x . 由G 无2自环,3重边知01t n <+, i x 有两边不指向12,,...t x x x . 设这两边指向,i i u v ，以下下标模t.在G 中删去点12,,...t x x x 并加入边1(1)i i i e u v i t +=≤≤得到G’. 由归纳假设, G ’有2-正则子图G 1.对1≤i ≤t, 若1i e G ∈, 则选择G 中的边11,i i i i x u x v ++, 若1i e G ∉, 则选自1i i x x +, 其余边按G 1中边选择, 则选出的边即为G 的2-正则生成子图的边集.结论成立.回到原题. 将重量为{,41}k n k +-的小石子分为一组.(12)k n ≤≤, 由引理可取n 组使每种颜色的小石子恰2个. 这2n 个分为一组, 其余分为一组, 此即满足条件的分法, 命题成立.第二天第4题. 给定整数n > 1. 在一座山上有n2个高度互不相同的缆车车站. 有两家缆车公司A和B, 各运营k辆缆车; 每辆从一个车站运行到某个更高的车站(中间不停留其他车站). A 公司的k辆缆车的k个起点互不相同，k个终点也互不相同, 并且起点较高的缆车，它的终点也较高. B公司的缆车也满足相同的条件. 我们称两个车站被某个公司连接，如果可以从其中较低的车站通过该公司的一辆或多辆缆车到达较高的车站(中间不允许在车站之间有其他移动). 确定最小的正整数k, 使得一定有两个车站被两个公司同时连接.解: 由题意得, 每个缆车与1或2个缆车相连. (否则有两辆缆车起点不同, 终点相同)∴A, B各自的缆车线路图可划分为若干个链.注意到每条链长度大于等于2, 且首尾两点不能作为终点和起点, 故恰有2n k-条链.若21k n n≥-+, 则A最多由n－1条链.由抽屉原理, 其中至少有一条链上有221nnn⎡⎤=+⎢⎥-⎢⎥个点, 设为P. 而B仅有n－1条链, 故P上一定有两个点同时在B 的一条链上, 则这两点可被两个公司同时连接.另一方面, 2k n n=-时, 记2n个车站高度排序为21,2,...n (从低到高)令A的2n n-辆缆车为2(1)i n i i n n→+≤≤-令B的2n n-辆缆车为21(11,|)i i i n n i→+≤≤-/易见此时任两个车站不能被两个公司同时相连.2 min 1k n n∴=-+.第5题. 有一叠n > 1张卡片. 在每张卡片上写有一个正整数. 这叠卡片具有如下性质：其中任意两张卡片上的数的算术平均值也等于这叠卡片中某一张或几张卡片上的数的几何平均值.确定所有的n, 使得可以推出这叠卡片上的数均相等? 解: 设这n 张卡片上的数为1212,,....(...)n n x x x x x x ≤≤. 若12gcd(,,...)1n x x x d =>, 用i x d 代替i x , 不影响结果. 故不妨设12gcd(,,...)1n x x x =.由题意得, 1,2i jx x i j n +∀≤≤≤为代数整数.则2|i j i x x x +⇒模2同余. 又12gcd(,,...)1n x x x =, 故i x 全为奇数.任取一个素数p, p ≥3.记{|1,|},{|1,|}i i i i A x i n p x B x i n p x =≤≤=≤≤/ 则对,,2x y x A y B +∀∈∈不为p 的倍数. 设121(...)2k k i i i x y x x x +=, 则121|(...)2k k i i i x y p x x x +=/ ∴对1,j i j k x B ∀≤≤∈.max 2i i x B x y x ∈+∴≤. 取max ,max i i i i x A x B x x y x ∈∈==, 则max max i i i i x A x B x x ∈∈≤若1n x ≠, 取n x 的奇素因子p, 由12gcd(,,...)1n x x x =知, i ∃, 使|i p x /.取0max{|1,|}i i i i n p x =≤≤/, 由上述结论知0n i x x ≤, 则o n i x x =. 又0|,|i n p x p x /, 矛盾!1n x ∴=. 则1,1i i n x ∀≤≤=.∴对任意n ≥2, 卡片上的所有数均相等.第6题. 证明: 存在正常数c 具有如下性质:对任意整数n > 1, 以及平面上n 个点的集合S, 若S 中任意两点之间的距离不小于1，则存在一条分离S 的直线ℓ, 使得S 中的每个点到直线ℓ 的距离不小于13cn -.(我们称直线ℓ分离点集S, 如果某条以S 中两点为端点的线段与ℓ 相交.)证明: 以每个点为圆心,12为半径作圆, 则这些圆两两公共部分面积为0.引理1: 对凸多边形P, 其内部最多由421s l π++个点在S 中,其中s,l 代表P 的面积和周长. 证明: 如图, 将P 的每条边往外侧平移12, 并以P 上每个点为圆心, 12为半径作圆, 拓展区域面积为124l π+. ∴P 内部最多1422414S l s l πππ+++=+个点. 现在对于一条直线l, 作S 中每个点在l 上的投影. 任取相邻两个投影点, 则这两点连线的中垂线分离点集S, 且所有的到该直线的距离≥12投影点距离.设S 的直径为D, 则可作一个以D 为边长的正方形覆盖S. 由引理1, 122481()D Dn D n π++≥⇒=Ω 设P,Q ∈S, PQ ＝D. 将PQ 作为上述l, 记我们所能做到的使每个点到一条直线的距离均不小于该数的最大值为d.由于仅与夹角有关, 故d 存在.而l 上除P,Q 外有n －2个投影点.2(1)2D D d n n∴≥>-. 又12()D n =Ω, 故12()d n -=Ω. 需证明13()d n -=Ω .取点集S 的凸包P. 若一直线过P 上一点且使得S 中所有点都在该线一侧, 我们认为其亦分离S. 称其为支撑边. 对于任一常数C, 作两条平行的距离为C 的直线, 满足这两条直线分离S. 作他们的垂线l, 设这个带状区域内有m 个S 中的点, 则11c c d m m d≥⇒≥-+. 不妨设(1)d o =, 则可以认为m 远远大于1. 为使m 尽量小, 应取两直线其中之一为支撑边.∴现在对于一条分离S 的直线l, 设l 与P 围成的区域内部有B 个点. P 中与l 距离最近的点到l 距离为0s , 则01s d B ≥+ (以下用≥代表数量级估计) 我们证明d≥从而311D d n D n ≥⋅= 则13()d n -=Ω. 如图, P 夹在这样一个区域里, 取XY 上一点Z, 使得0YZ s =. 过Z 作MN ⊥XY , 点M,N 在以X 为圆心, D 为半径的圆上. 则B ≤YMN 内S 中点的个数.不妨设XY 为x 轴, 对YMN 内任意两点1122(,),(,)x y x y , 221201212||,()()1x x s x x y y -≤-+-≥, 则12||1y y B -≥⇒≤+.而MN =02s d MN∴≥=+由于0(1)s =Θd ∴≥, 则13d n -≥, 即13()d n -=Ω证毕.。
2020年全国高中数学联合竞赛一试试题(A卷)解析
一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，满分 64 分.
1. 在等比数列 {an} 中，a9 = 13, a13 = 1，则 loga1 13 的值为
.
解答
考虑等比数列：a1, a5, a9, a13，由于 a13 = 1, a9 = 13，于是 a5 = 132, a1 = 133.
√
√
当 √A = 135◦ 时√，cos B + 2 cos C = c√os(135◦ − C)√+ 2 cos C
=
2 cos C +
2
sin C
+
√ 2
cos C
=
2 sin C + 3
2
cos C
=
√ 5 sin(C
+
θ)，
2
√2
√
2
2
其中 sin θ = 3
10 ,
cos θ
=
10. 由于 0◦ < C < 45◦ ⇒ θ < C + θ < 45◦ + θ，
i)(z¯ − 2)
⇒ zi − 2z¯ − 2i = −2z − z¯i + 2i ⇒ (z + z¯)i + 2(z − z¯) − 4i = 0，
设 z = x + yi(x, y ∈ R)，则有 x + 2y − 2 = 0.
所以
|z
+
3|min
=
|
−
3
+2 √
·
0
−
2|
=
√ 5.
2020年北京市中考数学试题-含详细解析2020.7.17
2020年北京市中考数学试题-含详细解析2020.7.172020年北京市⾼级中等学校招⽣考试数学⼀、选择题（本题共16分，每⼩题2分）第1—8题均有四个选项，符合题意的选项只有⼀个． 1．右图是某⼏何体的三视图，该⼏何体是（A ）圆柱（B ）圆锥（C ）三棱锥（D ）长⽅体2．2020年6⽉23⽇，北⽃三号最后⼀颗全球组⽹卫星从西昌卫星发射中⼼发射升空，6⽉30 成功定点于距离地球36 000公⾥的地球同步轨道．将36 000⽤科学记数法表⽰应为（A ）50.3610? （B ）53.610? （C ）43.610? （D ）33610? 3．如图，AB 与CD 相交于点，则下列结论正确的是（A ）12∠=∠（B ）23∠=∠（C ）145∠>∠+∠（D ）25∠<∠ 4．下列图形中，既是中⼼对称图形也是轴对称图形的是（A ）（B ）（C ）（D ） 5.正五边形外⾓和为（A ）180? （B ）360? （C ）540? （D ）720?6.实数a 在数轴上的对应点的位置如图所⽰.若实数b 满⾜a b a -<<，则b 的值可以是（A ）2 （B ）1- （C ）2- （D ）3-7.不透明的袋⼦中有两个⼩球，上⾯分别写着数字“1”“2”，除数字外两个⼩球⽆其他差别.从中随机摸出⼀个⼩球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出⼀个⼩球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（A ）14 （B ）13 （C）12 （D ）238.有⼀个装⽔的容器，如图所⽰.容器内的⽔⾯⾼度是10cm ，现向容器内注⽔，并同时开始计时.在注⽔过程中，⽔⾯⾼度以每秒0.2cm 的速度匀速增加，则容器注满⽔之前，容器内的⽔⾯⾼度与对应的注⽔时间满⾜的函数关系是（A ）正⽐例函数关系（B ）⼀次函数关系（C ）⼆次函数关系（D ）反⽐例函数关系⼆、填空题（本题共16分，每⼩题2分） 9.若代数式17x -有意义，则函数x 的取值范围是 . 10.已知关于x 的⽅程220x x k ++=有两个相等的实数根，则k 的值是 . 11.写出⼀个⽐2⼤且⽐15⼩的整数是 .12.⽅程组137x y x y -=??+=?的解为 .13.在直⾓坐标系xOy 中，直线y x =与双曲线my x=交于A ，B 两点.若点A ，B 的纵坐标分别为1y ，2y ，则12y y +的值为 .14.如图，在ABC ?中，AB AC =，点D 在BC 上(不与点B C ，重合).只需添加⼀个条件即可证明ABD ACD ，这个条件可以是 (写出⼀个即可).15.如图所⽰的⽹格是正⽅形⽹格，A B C D ，，，是⽹格线交点，则ABC ?的⾯积与ABD ?的⾯积的⼤⼩关系为：ABCSABDS(填“>”，“=”或“<”) .16.下图是某剧场第⼀排座位分布图.甲、⼄、丙、丁四⼈购票，所购票数分别为2，3，4，5.每⼈选座购票时，只购买第⼀排的座位相邻的票，同时使⾃⼰所选的座位号之和最⼩.如果按“甲、⼄、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买1，2号座位的票，⼄购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁⽆法购买到第⼀排座位的票.若丙第⼀个购票，要使其他三⼈都能购买到第⼀排座位的票，写出⼀种满⾜条件的购票的先后顺序 .三、解答题(本题共68分，第17-20题，每⼩题5分，第21题6分，第22题5分，第23-24题，每⼩题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每⼩题7分)解答应写出⽂字说明、演算步骤或证明过程.17.计算：()-1o13+18+26sin 45--18.解不等式组：5322132x xx x->??-?19.已知2510x x --=，求代数式()()()32322x x x x +-+-的值.20.已知：如图，ABC ?为锐⾓三⾓形，AB AC =，CD AB ∥. 求做：线段BP ，使得点P 在直线CD 上，且1=2ABP BAC ∠∠作法：①以点A 为圆⼼，AC 长为半径画圆，交直线CD 于,C P 两点；②连接BP .线段BP 就是所求线段（1）使⽤直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下⾯的证明证明：∵CD AB ∥∴ABP ∠=.∵AB AC = ∴点B 在⊙A 上. ⼜∵点,C P 都在⊙A 上∴12BPC BAC ∠=∠（）（填推理依据）.∴1=2ABP BAC ∠∠. 21.如图，菱形ABCD 对⾓线AC BD ，相交于点O ，E 是AD 的中点，点,F G 在AB 上，EF AB OG EF ⊥，∥.（1）求证：四边形OEFG 是矩形；（2）若10,4AD EF ==，求OE 和BG 的长22.在平⾯直⾓坐标系xOy 中，⼀次函数(0)y kx b k =+≠的图象由函数y x =的图象平移得到，且经过点(1,2). （1）求这个⼀次函数的解析式；（2）当1x >时，对于x 的每⼀个值，函数(0)y mx m =≠的值⼤于⼀次函数y kx b =+的值，直接写出m 的取值范围.23.如图，AB 为O ⊙的直径，C 为BA 延长线上⼀点，CD 是O ⊙的切线，D 为切点，OF AD ⊥于点E ，交CD 于点F .（1）求证：ADC AOF ∠=∠；（2）若1sin ,83C BD ==，求EF 的长.24.⼩云在学习过程中遇到⼀个函数21(1)(2)6y x x x x =-+≥-. 下⾯是⼩云对其探究的过程，请补充完整：（1）当20x -≤<时，对于函数1y x =，即1y x =-，当20x -≤<时，1y 随x 的增⼤⽽，且10y >；对于函数221y x x =-+，当20x -≤<时，2y 随x 的增⼤⽽，且20y >；结合上述分析，进⼀步探究发现，对于函数y ，当20x -≤<时，y 随x 的增⼤⽽.（2）当0x ≥时，对于函数y ，当0x ≥时，y 与x 的⼏组对应值如下表：x0 12 132 2 52 3 ··· y11616 7161954872···结合上表，进⼀步探究发现，当0x ≥时，y 随x 的增⼤⽽增⼤，在平⾯直⾓坐标系xOy 中，画出当0x ≥时的函数y 的图象.（3）过点()()0,0m m >作平⾏于x 轴的直线l ，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线l 与函数()()21126y x x x x =-+≥-的图象有两个交点，则m 的最⼤值是 .25．⼩云统计了⾃⼰所住⼩区5⽉1⽇⾄30⽇的厨余垃圾分出量（单位：千克），相关信息如下： a ．⼩云所住⼩区5⽉1⽇⾄30⽇的厨余垃圾分出量统计图：b ．⼩云所住⼩区5⽉1⽇⾄30⽇分时段的厨余垃圾分出量的平均数如下：时段 1⽇⾄10⽇11⽇⾄20⽇21⽇⾄30⽇平均数100170250（1）该⼩区5⽉1⽇⾄30⽇的厨余垃圾分出量的平均数约为________（结果取整数）；（2）已知该⼩区4⽉的厨余垃圾分出量的平均数为60，则该⼩区5⽉1⽇⾄30⽇的厨余垃圾分出量的平均数约为4⽉________倍（结果保留⼩数点后⼀位）；（3）记该⼩区5⽉1⽇⾄10⽇的厨余垃圾分出量的⽅差为21s ，5⽉11⽇⾄20⽇的厨余垃圾分出量的⽅差为22s ，5⽉21⽇⾄30⽇的厨余垃圾分出量的⽅差为23s ．直接写出21s ，22s ，23s 的⼤⼩关系．26．在平⾯直⾓坐标系xOy 中，()11,M x y ，()22,N x y 为抛物线()20y ax bx c a =++>上任意两点，其中12x x <．（1）若抛物线的对称轴为=1x ，当1x ，2x 为何值时，12y y c ==；（2）设抛物线的对称轴为=x t ．若对于123x x +>．都有12y y <，求t 的取值范围．27.在ABC ?中，90C AC BC ∠=?>，，D 是AB 的中点，E 为直线AC 上⼀动点，连接DE ，过点D 作DF DE ⊥，交直线BC 于点F ，连接EF .(1)如图1，当E 是线段AC 的中点时，设,AE a BF b ==，求EF 的长（⽤含,a b 的式⼦表⽰)；(2)当点E 在线段CA 的延长线上时，依题意补全图2，⽤等式表⽰线段,,AE EF BF 之间的数量关系，并证明.28．在平⾯直⾓坐标系xOy 中，O 的半径为1，A ，B 为O 外两点，1AB =．给出如下定义：平移线段AB ，得到O 的弦''A B （'A ，'B 分别为点A ，B 的对应点），线段'AA 长度的最⼩值称为线段AB 到O 的“平移距离”．（1）如图，平移线段AB 得到O 的长度为1的弦12P P 和34P P ，则这两条弦的位置关系是________；在点1P ，2P ，3P ，4P 中，连接点A 与点________的线段的长度等于线段AB 到O 的“平移距离”；（2）若A ，B 都在直线323y x =+上，记线段AB 到O 的“平移距离”为1d ，求1d 的最⼩值；（3）若点A 的坐标为32,2?，记线段AB 到O 的“平移距离”为2d ，直接写出2d 的取值范围．28题（2）因为点A，B都在直线l上，且AB=1，由线段AB与⊙O的平⾏距离的定义可知：弦A’B’//l，且A’B’=1，从⽽弦A’B’的位置如图所⽰：--------------3分显然当AA’与直线l垂直时，AA’最⼩.-----------------------------------4分过点B’作B’H⊥l于点H，得：AA’=B’H=.--------------------------5分(3) ≤d2≤.-----------------------------------------------------------------------------7分d2最⼩d2最⼤。
2020年第61届IMO解答
( ) a1 + ak
2
= m a ai1 i2 aim
也是 p 的倍数，但是
a1 + ak , p
= 1，矛盾。
因此对任意正整数 n ≥ 2 ，满足要求的卡片上的数都相同。
（本题全场平均 2.797 分，285 个满分，中国队满分）
上善若水
蕴秀斋
6、证明：存在正常数 c 使得：对于任意整数 n > 1 以及平面上 n 个点构成的集合 S ，如果其 中任意两点之间的距离不小于1，则存在一条直线 l ，l 的两侧都有 S 的点，并且 S 中的点到
A O
D P
证明：令 ∠PAD = α ， ∠CBP = β ，则由已知
∠PBA = 2α ， ∠APD = 3α 。 取 ΔPAB 的外心 O ，则由已知 ∠POA = 2∠PBA = 4α = 180° − ∠PDA 因 此 O 在 ΔADP 的 外 接 圆 上 。 由 于
OA = OP ，所以 DO 平分 ∠ADP 。 同理 CO 平分 ∠PCB ，所以三条直线交于
( ) 6abc + 6abd + 6bcd + 2ad 2 + bc2 + bd 2 > 0
因此，结论成立。
（本题全场平均分 2.248 分，138 个满分，中国队 7、7、7、7、7、3 分）
上善若水
蕴秀斋
3、有 4n 块鹅卵石，每块的重量分别是1, 2,..., 4n ，将每块鹅卵石染成 n 色之一，使得每种
=
1 32
即可。
综上所述，
c
=
1 32
满足要求。
（本题全场平均 0.282 分，4 个满分，中国队 7、6、5、1、1、0 分）
2020年中考数学试题解析(含答案)湖南长沙
2020 年中考数学试卷参考答案与试题解析
湖南省长沙市
一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
1． 1 的倒数是（ ） 2
A、2 考点： 倒数．
B、－2
C、 1 2
分析：根据乘积为的 1 两个数倒数，可得一个数的倒数．
解答： 解：
1
的倒数是
2，
2
故选：A．
∴AD=AB=2， 又∵∠DAB=60°， ∴△DAB 是等边三角形， ∴AD=BD=AB=2， 则对角线 BD 的长是 2． 故选：C． 点评：此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定，得出△DAB 是等边三角形是解题关 键．
9．（3 分）（2020•长沙）下列四个圆形图案中，分别以它们所在圆的圆心为旋转中心，顺时针旋转
1
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故选 B． 点评： 本题考查了平均数及中位数的知识，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列
后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
4．（3 分）（2020•长沙）平行四边形的对角线一定具有的性质是（
A． 相等
B． 互相平分
C．互相垂直
选项不符合题意；
B、六棱柱的主视图、左视图、俯视图分别为四边形，四边形，六边形，故 B 选项不符合题
意；
C、球的主视图、左视图、俯视图分别为三个全等的圆，故 C 选项符合题意；
D、四棱锥的主视图、左视图、俯视图分别为三角形，三角形，四边形，故 D 选项不符合题
意；
故选 C．
点评： 考查三视图的有关知识，注意三视图都相同的常见的几何体有球和正方体．
5．（3 分）（2020•长沙）下列计算正确的是（ ）
2020年北京市西城区中考数学一模试卷(解析版)
2020年北京市西城区中考数学一模试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．（2分）北京大兴国际机场目前是全球建设规模最大的机场，2019年9月25日正式通航，预计到2022年机场旅客吞吐量将达到45000000人次，将45000000用科学记数法表示为（）A．45×106B．4.5×107C．4.5×108D．0.45×1082．（2分）如图是某个几何体的三视图，该几何体是（）A．圆锥B．圆柱C．长方体D．正三棱柱3．（2分）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（2分）在数轴上，点A，B表示的数互为相反数，若点A在点B的左侧，且AB＝2，则点A，点B表示的数分别是（）A．﹣，B．，﹣C．0，2D．﹣2，2 5．（2分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点．若∠CAB＝65°，则∠ADC的度数为（）A．65°B．35°C．32.5°D．25°6．（2分）甲、乙两名运动员的10次射击成绩（单位：环）如图所示，甲、乙两名运动员射击成绩的平均数依次记为甲，乙，射击成绩的方差依次记为s甲2，s乙2，则下列关系中完全正确的是（）A．甲＝乙，s甲2＞s乙2B．甲＝乙，s甲2＜s乙2C．甲＞乙，s甲2＞s乙2D．甲＜乙，s甲2＜s乙27．（2分）如图，在数学实践活动课上，小明同学打算通过测量树的影长计算树的高度．阳光下他测得长1.0m的竹竿落在地面上的影长为0.9m．在同一时刻测量树的影长时，他发现树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在墙面上．他测得这棵树落在地面上的影长BD为2.7m，落在墙面上的影长CD为1.0m，则这棵树的高度是（）A．6.0m B．5.0m C．4.0m D．3.0m8．（2分）设m是非零实数，给出下列四个命题：①若﹣1＜m＜0，则＜m＜m2；②若m＞1，则＜m2＜m；③若m＜＜m2，则m＜0；④若m2＜m＜，则0＜m＜1．其中命题成立的序号是（）A．①③B．①④C．②③D．③④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是．10．（2分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为．11．（2分）已知y是以x为自变量的二次函数，且当x＝0时，y的最小值为﹣1，写出一个满足上述条件的二次函数表达式．12．（2分）如果a2+a＝1，那么代数式﹣的值是．13．（2分）如图，在正方形ABCD中，BE平分∠CBD，EF⊥BD于点F．若DE＝，则BC的长为．14．（2分）如图，△ABC的顶点A，B，C都在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC 于点D，则AC的长为，BD的长为．15．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0），⊙M是△ABC的外接圆，则点M的坐标为．16．（2分）某景区为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了某月（30天）接待游客人数（单位：万人）的数据，绘制了下面的统计图和统计表．每日接待游客人数（单位：万人）游玩环境评价0≤x＜5好5≤x＜10一般10≤x＜15拥挤15≤x＜20严重拥挤根据以上信息，以下四个判断中，正确的是（填写所有正确结论的序号）．①该景区这个月游玩环境评价为“拥挤或严重拥挤”的天数仅有4天；②该景区这个月每日接待游客人数的中位数在5～10万人之间；③该景区这个月平均每日接待游客人数低于5万人；④这个月1日至5日的五天中，如果某人曾经随机选择其中的两天到该景区游玩，那么他“这两天游玩环境评价均为好”的可能性为．三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题5分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题5分）17．（5分）计算：（）﹣1+（1﹣）0+|﹣|﹣2sin60°．18．（5分）解不等式组：19．（5分）关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．20．（5分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA＝OB，过点B作BE⊥AC 于点E．（1）求证：▱ABCD是矩形；（2）若AD＝2，cos∠ABE＝，求AC的长．21．（5分）先阅读下列材料，再解答问题．尺规作图已知：△ABC，D是边AB上一点，如图1，求作：四边形DBCF，使得四边形DBCF是平行四边形．小明的做法如下：（1）设计方案先画一个符合题意的草图，如图2，再分析实现目标的具体方法，依据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）设计作图步骤，完成作图作法：如图3，①延长BC至点E；②分别作∠ECP＝∠EBA，∠ADQ＝∠ABE；③DQ与CP交于点F．∴四边形DBCF即为所求．（3）推理论证证明：∵∠ECP＝∠EBA，∴CP∥BA．同理，DQ∥BE．∴四边形DBCF是平行四边形．请你参考小明的做法，再设计一种尺规作图的方法（与小明的方法不同），使得画出的四边形DBCF是平行四边形，并证明．22．（6分）运用语音识别输入软件可以提高文字输入的速度．为了解A，B两种语音识别输入软件的准确性，小秦同学随机选取了20段话，其中每段话都含100个文字（不计标点符号）．在保持相同语速的条件下，他用标准普通话朗读每段话来测试这两种语音识别输入软件的准确性．他的测试和分析过程如下，请补充完整．（1）收集数据两种软件每次识别正确的字数记录如下：A 98 98 92 92 92 92 92 89 89 85 84 84 83 83 79 79 78 78 69 58B 99 96 96 96 96 96 96 94 92 89 88 85 80 78 72 72 71 65 58 55（2）整理、描述数据根据上面得到的两组样本数据，绘制了频数分布直方图：（3）分析数据两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如表所示：平均数众数中位数方差A84.784.588.91B83.796184.01（4）得出结论根据以上信息，判断种语音识别输入软件的准确性较好，理由如下：（至少从两个不同的角度说明判断的合理性）．23．（6分）如图，四边形OABC中，∠OAB＝90°，OA＝OC，BA＝BC．以O为圆心，以OA为半径作⊙O．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接BO并延长交⊙O于点D，延长AO交⊙O于点E，与BC的延长线交于点F，若＝，①补全图形；②求证：OF＝OB．24．（6分）如图，在△ABC中，AB＝4cm，BC＝5cm．P是上的动点，设A，P两点间的距离为xcm，B，P两点间的距离为y1cm，C，P两点间的距离为y2cm．小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm01234y1/cm 4.00 3.69 2.130y2/cm 3.00 3.91 4.71 5.235（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），点（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，①当△PBC为等腰三角形时，AP的长度约为cm；②记所在圆的圆心为点O，当直线PC恰好经过点O时，PC的长度约为cm．25．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝kx+2k（k＞0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，与函数y＝（x＞0）的图象的交点P位于第一象限．（1）若点P的坐标为（1，6），①求m的值及点A的坐标；②＝；（2）直线l2：y＝2kx﹣2与y轴交于点C，与直线l1交于点Q，若点P的横坐标为1，①写出点P的坐标（用含k的式子表示）；②当PQ≤P A时，求m的取值范围．26．（6分）已知抛物线y＝ax2+bx+a+2（a≠0）与x轴交于点A（x1，0），点B（x2，0）（点A在点B的左侧），抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．（1）若点A的坐标为（﹣3，0），求抛物线的表达式及点B的坐标；（2）C是第三象限的点，且点C的横坐标为﹣2，若抛物线恰好经过点C，直接写出x2的取值范围；（3）抛物线的对称轴与x轴交于点D，点P在抛物线上，且∠DOP＝45°，若抛物线上满足条件的点P恰有4个，结合图象，求a的取值范围．27．（7分）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°．点P在线段BC上，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，连接AP，AQ．过点B作BD⊥AQ于点D，交AP于点E，交AC于点F．K是线段AD上的一个动点（与点A，D不重合），过点K作GN⊥AP于点H，交AB于点G，交AC于点M，交FD的延长线于点N．（1）依题意补全图1；（2）求证：NM＝NF；（3）若AM＝CP，用等式表示线段AE，GN与BN之间的数量关系，并证明．28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的图形W1和图形W2，给出如下定义：在图形W1上存在两点A，B（点A与点B可以重合），在图形W2上存在两点M，N（点M与点N可以重合），使得AM＝2BN，则称图形W1和图形W2满足限距关系．（1）如图1，点C（1，0），D（﹣1，0），E（0，），点P在线段DE上运动（点P 可以与点D，E重合），连接OP，CP．①线段OP的最小值为，最大值为，线段CP的取值范围是；②在点O，点C中，点与线段DE满足限距关系；（2）如图2，⊙O的半径为1，直线y＝x+b（b＞0）与x轴、y轴分别交于点F，G．若线段FG与⊙O满足限距关系，求b的取值范围；（3）⊙O的半径为r（r＞0），点H，K是⊙O上的两点，分别以H，K为圆心，1为半径作圆得到⊙H和⊙K，若对于任意点H，K，⊙H和⊙K都满足限距关系，直接写出r 的取值范围．2020年北京市西城区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．（2分）北京大兴国际机场目前是全球建设规模最大的机场，2019年9月25日正式通航，预计到2022年机场旅客吞吐量将达到45000000人次，将45000000用科学记数法表示为（）A．45×106B．4.5×107C．4.5×108D．0.45×108【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．【解答】解：将数据45000000用科学记数法可表示为：4.5×107．故选：B．2．（2分）如图是某个几何体的三视图，该几何体是（）A．圆锥B．圆柱C．长方体D．正三棱柱【分析】由主视图和左视图确定是柱体、锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．【解答】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是三角形可判断出这个几何体应该是圆柱．故选：B．3．（2分）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：C．4．（2分）在数轴上，点A，B表示的数互为相反数，若点A在点B的左侧，且AB＝2，则点A，点B表示的数分别是（）A．﹣，B．，﹣C．0，2D．﹣2，2【分析】根据相反数的定义即可求解．【解答】解：由A、B表示的数互为相反数，且AB＝2，点A在点B的左边，得点A、B表示的数是﹣，．故选：A．5．（2分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点．若∠CAB＝65°，则∠ADC的度数为（）A．65°B．35°C．32.5°D．25°【分析】首先利用直径所对的圆周角是直角确定∠ACB＝90°，然后根据∠CAB＝65°求得∠ABC的度数，利用同弧所对的圆周角相等确定答案即可．【解答】解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠CAB＝65°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝25°，∴∠ADC＝∠ABC＝25°，故选：D．6．（2分）甲、乙两名运动员的10次射击成绩（单位：环）如图所示，甲、乙两名运动员射击成绩的平均数依次记为甲，乙，射击成绩的方差依次记为s甲2，s乙2，则下列关系中完全正确的是（）A．甲＝乙，s甲2＞s乙2B．甲＝乙，s甲2＜s乙2C．甲＞乙，s甲2＞s乙2D．甲＜乙，s甲2＜s乙2【分析】分别计算平均数和方差后比较即可得到答案．【解答】解：（1）甲＝（8×4+9×2+10×4）＝9；＝（8×3+9×4+10×3）＝9；乙s甲2＝[4×（8﹣9）2+2×（9﹣9）2+4×（10﹣9）2]＝0.8；s乙2＝[3×（8﹣9）2+4×（9﹣9）2+3×（10﹣9）2]＝0.7；∴甲＝乙，s甲2＞s乙2，故选：A．7．（2分）如图，在数学实践活动课上，小明同学打算通过测量树的影长计算树的高度．阳光下他测得长1.0m的竹竿落在地面上的影长为0.9m．在同一时刻测量树的影长时，他发现树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在墙面上．他测得这棵树落在地面上的影长BD为2.7m，落在墙面上的影长CD为1.0m，则这棵树的高度是（）A．6.0m B．5.0m C．4.0m D．3.0m【分析】根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似进而解答即可．【解答】解：根据物高与影长成正比得：，即解得：DE＝1.0，则BE＝2.7+1.0＝3.7米，同理，即：，解得：AB≈4．答：树AB的高度为4米，故选：C．8．（2分）设m是非零实数，给出下列四个命题：①若﹣1＜m＜0，则＜m＜m2；②若m＞1，则＜m2＜m；③若m＜＜m2，则m＜0；④若m2＜m＜，则0＜m＜1．其中命题成立的序号是（）A．①③B．①④C．②③D．③④【分析】判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．【解答】解：①若﹣1＜m＜0，则＜m＜m2；，当m＝﹣时，，是真命题；②若m＞1，则＜m2＜m，当m＝2时，，原命题是假命题；③若m＜＜m2，则m＜0，当m＝﹣时，，原命题是假命题；④若m2＜m＜，则0＜m＜1，当m＝时，，是真命题；故选：B．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥1．【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而得出答案．【解答】解：若在实数范围内有意义，则x﹣1≥0，解得：x≥1．故答案为：x≥1．10．（2分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为6．【分析】利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．【解答】解：∵多边形的外角和是360度，多边形的内角和是外角和的2倍，则内角和是720度，720÷180+2＝6，∴这个多边形的边数为6．故答案为：6．11．（2分）已知y是以x为自变量的二次函数，且当x＝0时，y的最小值为﹣1，写出一个满足上述条件的二次函数表达式y＝x2﹣1．【分析】直接利用二次函数的性质得出其顶点坐标，进而得出答案．【解答】解：∵y是以x为自变量的二次函数，且当x＝0时，y的最小值为﹣1，∴二次函数对称轴是y轴，且顶点坐标为：（0，﹣1），故满足上述条件的二次函数表达式可以为：y＝x2﹣1．故答案为：y＝x2﹣1．12．（2分）如果a2+a＝1，那么代数式﹣的值是1．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a2+a的值整体代入即可得．【解答】解：原式＝﹣＝＝＝，当a2+a＝1时，原式＝1，故答案为：1．13．（2分）如图，在正方形ABCD中，BE平分∠CBD，EF⊥BD于点F．若DE＝，则BC的长为．【分析】根据正方形的性质、角平分线的性质及等腰直角三角形的三边比值为1：1：来解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠C＝90°，∠CDB＝45°，BC＝CD．∴EC⊥CB．又∵BE平分∠CBD，EF⊥BD，∴EC＝EF．∵∠CDB＝45°，EF⊥BD，∴△DEF为等腰直角三角形．∵DE＝，∴EF＝1．∴EC＝1．∴BC＝CD＝DE+EC＝+1．故答案为：+1．14．（2分）如图，△ABC的顶点A，B，C都在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC 于点D，则AC的长为5，BD的长为3．【分析】根据图形和三角形的面积公式求出△ABC的面积，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：如图所示：由勾股定理得：AC＝＝5，S△ABC＝BC×AE＝×BD×AC，∵AE＝3，BC＝5，即，解得：BD＝3．故答案为：5，3．15．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0），⊙M是△ABC的外接圆，则点M的坐标为（6，6）．【分析】由题意得出M在AB、BC的垂直平分线上，则BN＝CN，求出ON＝OB+BN＝6，证△OMN是等腰直角三角形，得出MN＝ON＝6，即可得出答案．【解答】解：如图所示：∵⊙M是△ABC的外接圆，∴点M在AB、BC的垂直平分线上，∴BN＝CN，∵点A，B，C的坐标分别是（0，4），（4，0），（8，0），∴OA＝OB＝4，OC＝8，∴BC＝4，∴BN＝2，∴ON＝OB+BN＝6，∵∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∵OM⊥AB，∴∠MON＝45°，∴△OMN是等腰直角三角形，∴MN＝ON＝6，∴点M的坐标为（6，6）；故答案为：（6，6）．16．（2分）某景区为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了某月（30天）接待游客人数（单位：万人）的数据，绘制了下面的统计图和统计表．每日接待游客人数（单位：万人）游玩环境评价0≤x＜5好5≤x＜10一般10≤x＜15拥挤15≤x＜20严重拥挤根据以上信息，以下四个判断中，正确的是①④（填写所有正确结论的序号）．①该景区这个月游玩环境评价为“拥挤或严重拥挤”的天数仅有4天；②该景区这个月每日接待游客人数的中位数在5～10万人之间；③该景区这个月平均每日接待游客人数低于5万人；④这个月1日至5日的五天中，如果某人曾经随机选择其中的两天到该景区游玩，那么他“这两天游玩环境评价均为好”的可能性为．【分析】根据统计图与统计表，结合相关统计或概率知识逐个选项分析即可．【解答】解：①根据题意每日接待游客人数10≤x＜15为拥挤，15≤x＜20为严重拥挤，由统计图可知，游玩环境评价为“拥挤或严重拥挤”，1日至5日有2天，25日﹣30日有2天，共4天，故①正确；②本题中位数是指将30天的游客人数从小到大排列，第15与第16位的和除以2，根据统计图可知0≤x＜5的有16天，从而中位数位于0≤x＜5范围内，故②错误；③从统计图可以看出，接近10的有6天，大于10而小于15的有2天，15以上的有2天，10上下的估算为10，则（10×8+15×2﹣5×10）÷16＝3.25，可以考虑为给每个0至5的补上3.25，则大部分大于5，而0至5范围内有6天接近5，故平均数一定大于5，故③错误；④由题意可知“这两天游玩环境评价均为好”的可能性为：×＝，故④正确．故答案为：①④．三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题5分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题5分）17．（5分）计算：（）﹣1+（1﹣）0+|﹣|﹣2sin60°．【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．【解答】解：原式＝2+1+﹣2×＝3+﹣＝3．18．（5分）解不等式组：【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．【解答】解：，由①得：x＜4，由②得：x＞，则不等式组的解集为＜x＜4．19．（5分）关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．【分析】（1）先根据方程有两个实数根得出△＝[﹣（2m+1）]2﹣4×1×m2＞0，解之可得；（2）在以上所求m的范围内取一值，如m＝0，再解方程即可得．【解答】解：（1）∵方程有两个实数根，∴△＝[﹣（2m+1）]2﹣4×1×m2＞0，解得m≥﹣；（2）取m＝0，此时方程为x2﹣x＝0，∴x（x﹣1）＝0，则x＝0或x﹣1＝0，解得x＝0或x＝1（答案不唯一）．20．（5分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA＝OB，过点B作BE⊥AC 于点E．（1）求证：▱ABCD是矩形；（2）若AD＝2，cos∠ABE＝，求AC的长．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到OA＝OC，OB＝OD，求得AC＝BD，于是得到结论；（2）根据矩形的性质得到∠BAD＝∠ADC＝90°，求得∠CAD＝∠ABE，解直角三角形即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵OA＝OB，∴OA＝OB＝OC＝OD，∴AC＝BD，∴▱ABCD是矩形；（2）解：∵▱ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ADC＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝90°，∵BE⊥AC，∴∠BAC+∠ABE＝90°，∴∠CAD＝∠ABE，在Rt△ACD中，AD＝2，cos∠CAD＝cos∠ABE＝，∴AC＝5．21．（5分）先阅读下列材料，再解答问题．尺规作图已知：△ABC，D是边AB上一点，如图1，求作：四边形DBCF，使得四边形DBCF是平行四边形．小明的做法如下：（1）设计方案先画一个符合题意的草图，如图2，再分析实现目标的具体方法，依据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）设计作图步骤，完成作图作法：如图3，①延长BC至点E；②分别作∠ECP＝∠EBA，∠ADQ＝∠ABE；③DQ与CP交于点F．∴四边形DBCF即为所求．（3）推理论证证明：∵∠ECP＝∠EBA，∴CP∥BA．同理，DQ∥BE．∴四边形DBCF是平行四边形．请你参考小明的做法，再设计一种尺规作图的方法（与小明的方法不同），使得画出的四边形DBCF是平行四边形，并证明．【分析】根据平行四边形的判定方法即可作图并证明．【解答】解：（1）设计方案先画一个符合题意的草图，如图2，再分析实现目标的具体方法，依据：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（2）设计作图步骤，完成作图作法：如图，①以点C为圆心，BC长为半径画弧；②以点D为圆心，BC长为半径画弧，；③两弧交于点F．∴四边形DBCF即为所求．（3）推理论证证明：∵CF＝BD，DF＝BC．∴四边形DBCF是平行四边形．22．（6分）运用语音识别输入软件可以提高文字输入的速度．为了解A，B两种语音识别输入软件的准确性，小秦同学随机选取了20段话，其中每段话都含100个文字（不计标点符号）．在保持相同语速的条件下，他用标准普通话朗读每段话来测试这两种语音识别输入软件的准确性．他的测试和分析过程如下，请补充完整．（1）收集数据两种软件每次识别正确的字数记录如下：A 98 98 92 92 92 92 92 89 89 85 84 84 83 83 79 79 78 78 69 58B 99 96 96 96 96 96 96 94 92 89 88 85 80 78 72 72 71 65 58 55（2）整理、描述数据根据上面得到的两组样本数据，绘制了频数分布直方图：（3）分析数据两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如表所示：平均数众数中位数方差A84.784.588.91B83.796184.01（4）得出结论根据以上信息，判断A种语音识别输入软件的准确性较好，理由如下：∵A种语音的平均数＝84.7，B种语音的平均数＝83.7，∴A种语音的平均数＞B种语音的平均数，故A种语音识别输入软件的准确性较好，∵A种语音的方差＝88.91，B种语音的方差＝184.01，∴88.91＜184，01，∴A种语音识别输入软件的准确性较好．（至少从两个不同的角度说明判断的合理性）．【分析】（2）根据题意补全频数分布直方图即可；（3）根据众数和中位数的定义即可得到结论；（4）根据A，B两种语音识别输入软件的准确性的方差的大小即可得到结论．【解答】解：（2）根据题意补全频数分布直方图如图所示；（3）补全统计表；平均数众数中位数方差A84.79284.588.91B83.79688.5184.01（4）A种语音识别输入软件的准确性较好，理由如下：∵A种语音的平均数＝84.7，B种语音的平均数＝83.7，∴A种语音的平均数＞B种语音的平均数，故A种语音识别输入软件的准确性较好，∵A种语音的方差＝88.91，B种语音的方差＝184.01，∴88.91＜184，01，∴A种语音识别输入软件的准确性较好．故答案为：A，∵A种语音的平均数＝84.7，B种语音的平均数＝83.7，∴A种语音的平均数＞B种语音的平均数，故A种语音识别输入软件的准确性较好，∵A种语音的方差＝88.91，B种语音的方差＝184.01，∴88.91＜184，01，∴A种语音识别输入软件的准确性较好．23．（6分）如图，四边形OABC中，∠OAB＝90°，OA＝OC，BA＝BC．以O为圆心，以OA为半径作⊙O．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接BO并延长交⊙O于点D，延长AO交⊙O于点E，与BC的延长线交于点F，若＝，①补全图形；②求证：OF＝OB．【分析】（1）连接AC，根据等腰三角形的性质得到∠OAC＝∠OCA，∠BAC＝∠BCA，得到∠OCB＝∠OAB＝90°，根据切线的判定定理证明；（2）①根据题意画出图形；②根据切线长定理得到BA＝BC，得到BD是AC的垂直平分线，根据垂径定理、圆心角和弧的关系定理得到∠AOC＝120°，根据等腰三角形的判定定理证明结论．【解答】（1）证明：如图1，连接AC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，∴∠OAC+∠BCA＝∠OCA+∠BCA，即∠OCB＝∠OAB＝90°，∴OC⊥BC，∴BC是⊙O的切线；（2）①解：补全图形如图2；②证明：∵∠OAB＝90°，∴BA是⊙O的切线，又BC是⊙O的切线，∴BA＝BC，∵BA＝BC，OA＝OC，∴BD是AC的垂直平分线，∴＝，∵＝，∴＝＝，∴∠AOC＝120°，∴∠AOB＝∠COB＝∠COE＝60°，∴∠OBF＝∠F＝30°，∴OF＝OB．24．（6分）如图，在△ABC中，AB＝4cm，BC＝5cm．P是上的动点，设A，P两点间的距离为xcm，B，P两点间的距离为y1cm，C，P两点间的距离为y2cm．小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm012342.130y1/cm 4.00 3.69 3.09（答案不唯一）y2/cm 3.00 3.91 4.71 5.235（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），点（x，y2），并画出函数y1，y2的图象；（3）结合函数图象，①当△PBC为等腰三角形时，AP的长度约为0.83或2.49（答案不唯一）cm；②记所在圆的圆心为点O，当直线PC恰好经过点O时，PC的长度约为 5.32（答案不唯一）cm．【分析】（1）利用图象法解决问题即可；（2）描点绘图即可；（3）①分PB＝PB、PC＝BC、PB＝BC三种情况，分别求解即可；②当直线PC恰好经过点O时，PC的长度取得最大值，观察图象即可求解．【解答】解：（1）由画图可得，x＝4时，y1≈3.09cm（答案不唯一）．故答案为：3.09（答案不唯一）．（2）描点绘图如下：（3）①由y1与y2的交点的横坐标可知，x≈0.83cm时，PC＝PB，当x≈2.49cm时，y2＝5cm，即PC＝BC，观察图象可知，PB不可能等于BC，故答案为：0.83或2.49（答案不唯一）．②当直线PC恰好经过点O时，PC的长度取得最大值，从图象看，PC＝y2≈5.32cm，故答案为5.32（答案不唯一）．25．（5分）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝kx+2k（k＞0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，与函数y＝（x＞0）的图象的交点P位于第一象限．（1）若点P的坐标为（1，6），①求m的值及点A的坐标；②＝；（2）直线l2：y＝2kx﹣2与y轴交于点C，与直线l1交于点Q，若点P的横坐标为1，①写出点P的坐标（用含k的式子表示）；②当PQ≤P A时，求m的取值范围．【分析】（1）①把P（1，6）代入函数y＝（x＞0）即可求得m的值，直线l1：y＝kx+2k （k＞0）中，令y＝0，即可求得x的值，从而求得A的坐标；②把P的坐标代入y＝kx+2k即可求得k的值，进而求得B的坐标，然后根据勾股定理求得PB和P A，即可求得的值；（2）①把x＝1代入y＝kx+2k，求得y＝3k，即可求得P（1，3k）；②分别过点P、Q作PM⊥x轴于M，QN⊥x轴于N，则点M、点N的横坐标1，2+，若PQ＝P A，则＝1，根据平行线分线段成比例定理则＝＝1，得出MN＝MA＝3，即可得到2+﹣1＝3，解得k＝1，根据题意即可得到当＝≤1时，k≥1，则m ＝3k≥3．【解答】解：（1）①令y＝0，则kx+2k＝0，∵k＞0，解得x＝﹣2，∴点A的坐标为（﹣2，0），∵点P的坐标为（1，6），∴m＝1×6＝6；②∵直线l1：y＝kx+2k（k＞0）函数y＝（x＞0）的图象的交点P，且P（1，6），∴6＝k+2k，解得k＝2，∴y＝2x+4，令x＝0，则y＝4，∴B（0，4），∵点A的坐标为（﹣2，0），∴P A＝＝，PB＝＝，∴＝＝，故答案为；（2）①把x＝1代入y＝kx+2k得y＝3k，∴P（1.3k）；②由题意得，kx+2k＝2kx﹣2，解得x＝2+，∴点Q的横坐标为2+，∵2+＞1（k＞0），∴点Q在点P的右侧，如图，分别过点P、Q作PM⊥x轴于M，QN⊥x轴于N，则点M、点N的横坐标1，2+，若PQ＝P A，则＝1，∴＝＝1，∴MN＝MA，∴2+﹣1＝3，解得k＝1，∵MA＝3，∴当＝≤1时，k≥1，∴m＝3k≥3，∴当PQ≤P A时，m≥3．26．（6分）已知抛物线y＝ax2+bx+a+2（a≠0）与x轴交于点A（x1，0），点B（x2，0）（点A在点B的左侧），抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．（1）若点A的坐标为（﹣3，0），求抛物线的表达式及点B的坐标；（2）C是第三象限的点，且点C的横坐标为﹣2，若抛物线恰好经过点C，直接写出x2的取值范围；（3）抛物线的对称轴与x轴交于点D，点P在抛物线上，且∠DOP＝45°，若抛物线上满足条件的点P恰有4个，结合图象，求a的取值范围．【分析】（1）抛物线的对称轴为x＝﹣1＝﹣，求出b＝2a，将点A的坐标代入抛物线的表达式，即可求解；（2）点C在第三象限，即点A在点C和函数对称轴之间，故﹣2＜x1＜﹣1，即可求解；（3）满足条件的P在x轴的上方有2个，在x轴的下方也有2个，则抛物线与y轴的交点在x轴的下方，即可求解．【解答】解：（1）抛物线的对称轴为x＝﹣1＝﹣，解得：b＝2a，故y＝ax2+bx+a+2＝a（x+1）2+2，将点A的坐标代入上式并解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣（x+1）2+2＝﹣x2﹣x+；令y＝0，即﹣x2﹣x+＝0，解得：x＝﹣3或1，故点B的坐标为：（1，0）；（2）由（1）知：y＝a（x+1）2+2，点C在第三象限，即点C在点A的下方，即点A在点C和函数对称轴之间，故﹣2＜x1＜﹣1，而（x1+x2）＝﹣1，即x2＝﹣2﹣x1，故﹣1＜x2＜0；（3）∵抛物线的顶点为（﹣1，2），∴点D（﹣1，0），∵∠DOP＝45°，若抛物线上满足条件的点P恰有4个，∴抛物线与x轴的交点在原点的左侧，如下图，∴满足条件的P在x轴的上方有2个，在x轴的下方也有2个，则抛物线与y轴的交点在x轴的下方，当x＝0时，y＝ax2+bx+a+2＝a+2＜0，解得：a＜﹣2，故a的取值范围为：a＜﹣2．27．（7分）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°．点P在线段BC上，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，连接AP，AQ．过点B作BD⊥AQ于点D，交AP于点E，交AC于点F．K是线段AD上的一个动点（与点A，D不重合），过点K作GN⊥AP于点H，交AB于点G，交AC于点M，交FD的延长线于点N．（1）依题意补全图1；（2）求证：NM＝NF；（3）若AM＝CP，用等式表示线段AE，GN与BN之间的数量关系，并证明．【分析】（1）根据题意补全图1即可；（2）根据等腰三角形的性质得到AP＝AQ，求得∠APQ＝∠Q，求得∠MFN＝∠Q，同理，∠NMF＝∠APQ，等量代换得到∠MFN＝∠FMN，于是得到结论；（3）连接CE，根据线段垂直平分线的性质得到AP＝AQ，求得∠P AC＝∠QAC，得到∠CAQ＝∠QBD，根据全等三角形的性质得到CP＝CF，求得AM＝CF，得到AE＝BE，推出直线CE垂直平分AB，得到∠ECB＝∠ECA＝45°，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）依题意补全图1如图所示；（2）∵CQ＝CP，∠ACB＝90°，∴AP＝AQ，∴∠APQ＝∠Q，∵BD⊥AQ，∴∠QBD+∠Q＝∠QBD+∠BFC＝90°，∴∠Q＝∠BFC，。
2020年江苏省苏州市中考数学奥赛试题试卷附解析
2020年江苏省苏州市中考数学奥赛试题试卷学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．下列图形中阴影部分面积相等的是（ ）A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④2．已知△ABC 的三边长分别为6 cm ，7.5 cm ，9 cm ，△DEF 的一边长为4 cm ，当△DEF 的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（ ） A ．2 cm ，3 cm B ．4 cm ，5 cm C ．5 cm ，6 cm D ．6 cm ，7 cm3．若抛物线y=ax 2经过点P （l ，-2），则它也经过（ ）A ． P 1（-1，-2 ）B ． P 2（-l, 2 ）C ． P 3（ l, 2）D ． P 4（2, 1） 4．口ABCD 的周长为36 cm ，AB=BC=2cm ，则AD ，CD 的长度分别为（ ） A ．12 cm ，6 cmB ．8 cm ，10 cmC ．6 cm ，12 cmD ．10 cm ，8 cm5．下列命题是真命题的是（ ） A ．三角形、四边形不是多边形 B ．内角和等于外角和的多边形不存在 C ．若多边形的边数增加，则它的外角和也增加 D ．若多边形边数减少，则其内角和也减少 6．以3，-4为根的一元二次方程是（ ）A ．x x 2120+-= B ．x x 2120++= C ．x x 2120-+=D ． x x 2120--=7．某市为了申办2010年冬奥会决定改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加44%，这两年平均绿地面积的增长率是（ ） A ．19% B ．20% C ．21%D ．22%8．小王只带2元和 5元两种面值的人民币，他买一件学习用品要支付27元，则付款的方式有（ ） A ． 1种B ． 2种C ．3种D ．4种9．不改变分式yx x 7.0213.1--的值，把它的分子、分母的系数化为整数，其结果正确的是（ ）A ．yx x 72113--B ．yx x 721013--C ．yx x 7201013--D ．yx x 720113--10．在数|3|-，2-+，(0.5)--，|0|+-中负数共有（ ） A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个二、填空题11． 请画出正四棱锥的俯视图．12．两圆的圆心距等于 1，半径R 、r 是方程27120x x -+=的两根，则这两圆的位置关系是 ．13．已知两个相似三角形的相似比为3：1，则它们的周长比为 ．14．某学校食堂现有存煤 200 吨．这些煤能烧的天数y 与平均每天的吨数x 之间的函数解析式为 ．15．在Rt △ABC 中，D 是斜边AB 上的中点, AC=1，BC=3，则CD= ．16．如图，长方形ABCD 中(AD ＞AB)，M 为CD 上一点，若沿着AM 折叠，点N 恰落在BC 上，∠ANB ＋∠MNC ＝____________．17．一箱水果售价 a 元，水果的总质量为b(kg)，则每kg 水果售价是 元. 18．如图，点A 、B 、C 在直线l 上，则图中共有______条线段．19．用四舍五入法取l29543的近似值，保留3个有效数字，并用科学记数法表示是 ． 20．若a 满足2008(2006)1a -=，则a= ．21．对于加法，我们有 3+5=5+3，11112332+=+，(-3) +(-0.5) = (-0. 5)+(-3)，…，用字母可以表示成 ．三、解答题22．如图，直角三角形纸片ABC ，∠Ｃ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，折叠△ABC 的一角，使点B 与点A 重合，展开得折痕DE ． （1）求证：△BED ∽△BCA ； （2）求BD 的长．FGEDCBA23．一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是10cm ，当重物上升10cm 时，滑轮的一条半径OA 绕轴心0 按逆时针方向旋转的角度约为多少呢(假设绳索与滑轮之间没有滑动， 取 3.14，结果精确到1°)？24．如图EG ∥AF.请你从下面三个条件中，选择两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题（只需要写出一种情况）. ①AB = AC ；②DE = DF ；③BE = CF. 已知：EG ∥AF ， = ， = . 求证： . 请证明上述命题.25．观察如图所示的四个图形，找出它们的共同特征并给以名称，再作出定义．26．在一块边长为1m 的正方形铁板上截出一个面积为800cm 2的矩形铁板，使长比宽多20cm ，问矩形铁板的长和宽各为多长?27．甲、乙两战士各打靶5次，命中环数如下： 甲：5，9，8，10，8； 乙：6，10，5，10，9． 求：(1)两战士平均每枪分别命多少环? (2)你认为哪一个战士发挥比较稳定．28．如图①，在6×6的方格纸中，给出如下三种变换：P 变换，Q 变换，R 变换．将图形F 沿直线x 向右平移l 格得图形F 1，称为作1次P 变换；将图形F 沿直线y 翻折得图形F 2，称为作1次Q 变换；将图形F 绕坐标原点顺时针旋转90°得图形F 3，称为作1次R 变换．规定：PQ 变换表示先作1次Q 变换，再作1次P 变换；n R 变换表示作n 次R 变换．解答下列问题： (1)作R 4变换相当于至少作 次Q 变换；(2)请在图②中画出图形F 作R 2007变换后得到的图形F 4；(3)PQ 变换与QP 变换是否是相同的变换?请在图③中画出PQ 变换后得到的图形F 5，在图④中画出QP 变换后得到的图形F 6．29．如图，AC ＝AE ，∠BAM ＝∠BND ＝∠EAC ， 图中是否存在与△ABE 全等的三角形?并说明理由．ADM CBEN30．某校学生会在“暑假社会实践”活动中组织学生进行社会调查，并组织评委会对学生写出的调查报告进行了评比．学生会随机抽取了部分评比后的调查报告进行统计，如下表．请根据该表回答下列问题：某校暑假社会实践活动评比抽样统计表(1)(2)若等第A为优秀，则优秀率为；(3)学生会共收到调查报告1000份，估计该校调查报告的等第为E的有份．(4)根据表中信息，绘制条形统计图．【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．D2．C3．A4．B5．D6．A7．B8．C9．C10．A二、填空题12．内切13．3：114．200y x=15． 116．90°17．ab18． 319．1.30×10520．2007 或 200521．a+b=b+a三、解答题 22．（1）由题意得：∠DEB=∠BCA=90°，∠B=∠B ，∴△BED ∽△BCA （2）在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AB 2210AC BC += ，BE ＝21AB ＝5 ∵△BDE ～△BAC ，∴AB BD BC BE =，即1085BD= 解得BD ＝425 ∴BD 的长为425． 23．旋转的角度约为：018010573.1410⨯≈⨯24．25．轴对称图形：把一个图形沿着一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，这样的图形叫做轴对称图形．26．长 40 cm，宽 20 cm27．环；(2)甲发挥稳定(1)8==x x乙甲28．(1)2 (2)略(3)略29．存在△ABE≌△ADC，理由略30．(1)50 (2)16％ (3)40 (4)略。
2020年浙江省中考数学奥赛试题试卷附解析
2020年浙江省中考数学奥赛试题试卷 学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．下列说法中，不正确的是（ ）A ．两圆有且只有两个公共点，这两圆相交B ．两圆有唯一公共点，这两圆相切C ．两圆有无数公共点，这两圆重合D ．两圆没有公共点，这两圆外离2．下列命题中正确的是 （ ）A ．垂直于直径的直线是圆的切线B ．经过切点的直线是圆的切线C ．经过直径的一端的直线是圆的切线D ．圆心到直线的距离等于半径，则该直线与圆相切3．如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点是A 、B. 如果 OP =4，23PA =，那么∠AOB 等于（ ）A ．90°B ．100°C ．110°D ．120°4．已知α是等腰直角三角形的一个锐角，则sin α的值为（ ）A ．12B ．22C ．32D ．15．小李沿着倾斜角为β的山坡从A 点前进a 米到达B 点，如图所示，则山坡 AB 的水平距离 AC 等于 （ ）A ．asln β米B ．acos β米C ．tan a β米D ．tan a β米6．如图，∠APD ＝90°，AP ＝PB ＝BC ＝CD ，则下列结论成立的是（ ）A ．ΔPAB ∽ΔPCA B ．ΔPAB ∽ΔPDAC ．ΔABC ∽ΔDBAD ．ΔABC ∽ΔDCA 7．如图，为了绿化环境，在矩形空地的四个角划出四个半径为1•的扇形空地进行绿化，则绿化的总面积是（ ）A ．2πB ．πC ．2πD ．4π8．下列结论：①平行四边形内角和为360°；②平行四边形对角线相等； ③平行四边形对角线互相平分；④平行四边形邻角互补．其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 9．为了要了解一批数据在各个范围内所占比例的大小，将这批数据分组，落在各个小组里的数据个数叫做（ ）A ．频数B ．频率C ．样本容量D ．频数累计10．如图直线 c 与直线a 、b 相交且 a ∥b ，则下列结论：①∠1 = ∠2 ；∠1 = ∠3 ；∠2= ∠3 ，其中正确的个数是（ ）A ．0 个B ．1 个C ．2 个D ．3 个11．下面四张扑克牌中，以牌的对角线交点为旋转中心，旋转 180°后能与原图形重合的有（ ）A ．B ．C ．D ．12．下列等式一定成立的是（ ）A ．-a-b= -（a-b ）B ．-a+b= -（a-b ）C ．2-3x=-（2+3x ）D ．30-x= 5（6-x ）13．阅读下列命题：①圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴；②垂直于弦的直线 平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；④垂直于弦且平分这条弦的直线是这个圆的对称轴．判断其中不正确的命题个数是（ ）A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个二、填空题14． 某商场举行“庆元旦，送惊喜” 抽奖活动，10000个奖券中设有中奖奖券200个．(1）小红第一个参与抽奖且抽取一张奖券，她中奖的概率有多大？(2）元旦当天在商场购物的人中，估计有2000人次参与抽奖，商场当天准备多少个奖品较合适？15．sin28°= ；cos36°42′= ；tan46°24′= ． 16．如图所示，Rt △ABC 中,∠B=15°，若 AC=2，则BC= ．17．已知点P 是线段 AB 的黄金分割点，AP>PB ．若 AB=2，则AP= ．18．已知P 是线段 AB 上一点，且 AP ：AB =2 : 5 ，则AB ：BP= ．19．平行四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 相交于点0，已知AB=8 cm ，BC=6 cm ，△AOB 的周长是l8 cm ，那么△AOD 的周长是 ．20．如图所示，AE ∥BC ，∠B=50°，AE 平分∠DAC ，则∠DAC= ，∠C= ．21．图中的几何体是 面体．22．若)3)(5(-+x x 是二次三项式152--kx x 的因式，那么k = ．23．（23a 4b 7-19a 2b 6）÷（-13ab 3）2=_ ． 24．某校对七年级500名学生数学考试成绩作了一次统计，各个分数段的情况如图所示，则：分数段的人数最多； 分数段的人数最少； 分数段的人数接近整体的13；在96～108分之间的有 人．25．星期天，小慧约了小红替居委会打一份资料，小慧单独打需6小时完成，小红单独打需4小时完成，小慧、小红一起干，小红中途有事离开1小时，则打完这份资料需小时．三、解答题26．如图，已知AC∥DE，AC=DE，AD，CE交于点B，AF，DG分别是△ABC，△BDE的中线，•求证：四边形AGDF是平行四边形．27．如图所示，在四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D=3：2：3：2，那么四边形ABCD 是平行四边形吗?请证明你的判断．28．某校九年级(1)、(2)班联合举行毕业晚会. 组织者为了使晚会气氛热烈、有趣，策划时计划整场晚会以转盘游戏的方式进行：每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目.(1)班的文娱委员利用分别标有数字 1，2，3 和 4，5，6，7 的两个转盘(如图)设计了一种游戏方案：两人同时各转动一个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时，(1)班代表胜，否则(2)班代表胜. 你认为该方案对双方是否公平？为什么？29．(1)计算21(3)62 --+⨯；(2)给出三个多项式212 2x x-+、231 2x x+-、21 2x x+，请你选择其中的两个多项式进行加法或减法运算.30．以给定的图形“○○、△△、二二”(两个圆、两个三角形、两条平行线段)为构件，尽可能多地构思出独特且有意义的图形，并写上一两句贴切诙谐的解说词．如图左框中是符合要求的一个图形，请在右框中画出与之不同的图形，比一比，看谁想得多．【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．D2．D3．D4．B5．B6．C7．B8．C9．A10．D11．B12．B13．A二、填空题14．因此商场当天准备奖品40个比较合适． (2）1200050⨯＝40，解：（1）小红中奖的概率2001 1000050 ==；15．0. 4695，0. 8018，1. 050116．7.4617．118．5 : 319．16cm20．100°，50°21．五22．-223．162-ba24．72～96；108～120；96～108；150 25．3三、解答题26．∵AC ∥ED ，∴∠C=∠E ，∠CAB=∠EDB ．∵AC=DE ，∴△ABC ≌△DBE ，∴AB=DB ，CB=EB ． ∵AF ，DG 分别是△ABC ，•△BDE 的中线， ∴BG=BF ，∴四边形AGDF 是平行四边形 27．略28．公平， (1)班胜的概率是1612P =；(2)班胜的概率是2612P =，所以公平 29．(1) 12；(2)答案不唯一. 如22213(2)(1)2122x x x x x x -+++-=++； 2213(2)(1)2322x x x x x -+-+-=-+； 22211(2)()2222x x x x x -+++=+； 2211(2)()222x x x x x -+-+=-+； 22231(1)()22122x x x x x x +-++=+-； 2231(1)()122x x x x x +--+=-30．。
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一道IMO试题解析欣赏
“IMO”是“国际数学奥林匹克”的简称，大部分同学没有看过这方面的题目，总认为它太过高深莫测，让我们望而生畏。
其实，其中的一部分题目我们也是可以作些尝试的，当你用基本知识解决了其中一些题目后，除了能增强你的自信心外，还能使你从中学到解决常规问题所难以学到的知识和本领，解题之余，会使你收获颇多。
笔者选了其中一个题目，作了解析，供大家欣赏。
题目（第31届IMO试题第一题）（印度）设圆内两弦AB，CD交于圆内一点E。
在直线EB的内部取一点M，然后过点D，E，M作圆，再过E 作此圆的切线分别交直线BC，AC于点F，G。
若，试用表示。
分析：关于求线段的比的问题，一般情况下我们常考虑用三角形相似及比例的有关性质，如：等比性质，合比性质，分比性质等。
解：连结。