等差数列教学设计及教案

《等差数列》教学设计
教材分析
1.教学内容：
本节课是《普通高中课程标准实验教科书•数学5》（人教A 版）第二章《数列》的第二节内容，即《等差数列》第一课时。

研究等差数列的定义和通项公式的推导，借助生活中丰富的典型实例，让学生通过分析、推理、归纳等活动过程，从中了解和体验等差数列的定义和通项公式。

2.教学地位：
本节是第二章的基础，为以后学习等差数列求和、等比数列奠定基础，是本章的重点内容，也是高考重点考察的内容之一，它有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。

等差数列是学生探究特殊数列的开始，它对后续内容的学习，无论在知识上，还是在方法上都具有积极的意义。

3.教学重点难点：
重点：①理解等差数列的概念。

②探索并掌握等差数列的通项公式的推导过程及应用。

难点：理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义，概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。

学情分析
我所教学的学生是我校高二（9）班、（10）班的学生，经过一年
的学习，已具有一定的理性分析能力和概括能力。

且对数列的知识有了初步的接触和认识，对数学公式的运用已具备一定的技能，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程。

他们的思维正从经验性的逻辑思维向抽象思维发展。

但也有一部分学生的基础较弱，所以我授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发和探究以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。

教法和学法分析
1．教法
⑴诱导思维法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点；有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。

⑵分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性。

⑶讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。

2．学法
引导学生首先从三个现实问题（课本页码问题、月均等额还款问题、操场跑道问题）概括出特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式；引导学生多角度、多层面认识事物，学会探究。

在本节的备课和教学过程中，鼓励学生提出自己的见解，学会提出问题、解决问题，通过恰当的教学方式让学生学会自我调适、自我选择。

教学目标
通过本节课的学习使学生能理解并掌握等差数列的概念，能用定义判断一个数列是否为等差数列，引导学生了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，会求等差数列的公差及通项公式。

能在解题中灵活应用，初步引入“数学建模”的思想方法并能运用；并在此过程中培养学生理解等差数列是一种函数模型。

等差数列概念的理解及由此得到的“性质”的方法。

观察、分析、归纳、推理的能力，在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。

在解决问题的过程中培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；使学生认识事物的变化形态，养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。

并通过一定的实例激发同学们的民族自豪感和爱国热情。

教学媒体和教学技术的选用
通过多媒体课件，使学生获得感性认知的同时，为掌握理性认知创造条件，这样做，可以使学生带着兴趣学习，注意力也容易集中，符合教学论中的直观性原则和可接受性原则。

本节课打破传统的一言堂的格局，代之以人为本、民主、开放和建立在信息网络平台上的现代教学格局。

教学过程
导：
1896年，雅典举行第一届现代奥运会，到2008年的北京奥运会已经是第29届奥运会。

观察数据1896，1900，1904，…，2008，2012，（）
你能预测出第31届奥运会的时间吗？
思：
看下面几个例子：
（1）我们课本的页码数从小到大依次为：
1, 2，3, 4，……
（2）某人贷款买房，需要月均等额还款。

他每月还款的钱数（单位：元）分别为：
800，800, 800, 800，……
（3）我校的操场跑道，弯道处的圆弧半径依次相差1.2米，那么这些圆弧半径可以表示为：
a , a +1.2 , a +2.4 , a+3.6 ,……（a＞0）
请同学们思考一下，这几个数列有何共同特点呢？
以上几组数据有何共同特点？
定义：
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.
这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d 表示.
或
注：1.从第二项起。

2.相邻两项，后项减前项。

3.差等于同一个常数。

议：
判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项a 1和公差d, 如果不是，说明理由。

（1）1，3，5，7，…
（2）9，6，3，0，-3…
（3）-8，-6，-4，-2，…
（4）3，3，3，3，…
（6）15，12，10，8，… 展：
通 项 公 式 的 推 导1
设等差数列{a n }的首项是a 1,公差是d,则
a 2=a 1+d,
a 3=a 2+d = (a 1+d) + d = a 1+ 2d
a 4=a 3+d=（a 1+2d ）+d=a 1+3d
,)2(1≥=--n d a a n n )1(1≥=-+n d a a n n
a n =a
1
+(n-1)d
所以等差数列的通项公式是：
a n =a
1
+(n-1)d（n∈N*）
通项公式的推导2
a 2-a
1
=d,
a 3-a
2
=d,
a 4-a
3
=d, …
a n -a
n-1
=d
以上共(ｎ-1)项
(a
2-a
1
)+(a
3
-a
2
)+(a
4
-a
3
)
+…+(a
n -a
n-1
)=(n-1)d
∴a
n -a
1
=(n-1)d
即a n=a1+(n-1)d
评
（1）求等差数列8，5，2，…的第20项；
（2）判断-401是不是等差数列–5,-9 ,-13…的项?如果是，是第几项，如果不是，说明理由。

分析：（1）由给出的等差数列前三项，先找到首项a1,求出公差d,写出通项公式，就可以求出第20项a20.
（2）本题同样需要求出通项，然后看通项等于-401时，有没有正整数解就可以了。

解：（1）∵a1=8,d=5-8=-3, n=20
∴a n=a1+(n-1)d=8+(n-1)×（-3）=-3n+11 ∴a20=11-3×20=-49
（2）由题意得：a1=-5,d=-9-(-5)=-4
∴这个数列的通项公式是：a n =-5+(n-1)×(-4)=-4n-1
令-401=-4n-1,得n=100
∴-401是这个数列的第100项。

检：
（1）求等差数列3,7,11…的第4项与第10项；
（2）判断100是不是等差数列2，9，16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由。

检：
在等差数列{a n}中，已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d
解：由题意：
解之得：
∴这个数列的首项a 1是-2，公差d =3.
练 习 三
已知等差数列{a n }中，a 4=10,a 7=19,求a 1和d.
解：依题意得：
解之得：
∴这个数列的首项是1，公差是3。

想一想
❖ 已知数列中任意两项，可求出首项和公差，主要是联立二元一次方程组。

这种题型有简便方法吗？
❖ 请同学们思考并做以下练习。

练：
1、已知等差数列{a n }中，a 3=9,a 9=3, 求公差ｄ和a 12。

2、已知等差数列{a n }中，若a m 、公差d 是常数，试求出a n 的值。

113a d =⎧⎨=⎩11310619a d a d +=⎧⎨+=⎩123a d =-⎧⎨=⎩511214101131a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩
课时小结
1.等差数列的定义：
a n+1-a n=d(n≥1且n∈N*)
2.等差数列的通项公式
a n=a1+(n-1)d( n≥1)
3.重要关系式
a n=a m+(n-m)d
练：
必做题：课本习题第1、4题
= -24，从第10选做题：已知等差数列{a n}的首项a
1
项开始为正数，求公差d的取值范围。

（目的：通过分层作业，提高同学们的求知欲和满足不同层次的学生需求）。