复杂网络的自组织演化
复杂网络的演化动力学及网络上的动力学过程研究
复杂网络演化动力学
复杂网络演化动力学
复杂网络的演化是一个包含多种相互作用和动态过程的系统工程。在网络演 化的过程中，节点和边的动态变化会导致网络结构和功能的改变。典型的网络演 化动力学包括自组织、相变和混沌等现象。
复杂网络演化动力学
自组织是指网络在演化过程中，通过局部相互作用和自适应机制，形成具有 特定结构和功能整体的过程。在复杂网络中，自组织往往导致网络出现层次结构 和模块化等特征。相变则是指网络在演化过程中，由于外部环境变化或内部相互 作用改变，网络结构和功能突然发生剧变的现象。而混沌则是指网络演化过程中 的不可预测性和敏感依赖性。
内容摘要
复杂网络，由许多节点和连接这些节点的边构成，在各种科学领域中都有广 泛的应用。从生物学中的神经网络到社交网络，从互联网到电力网络，复杂网络 的身影无处不在。而在这些网络中，各种动力学过程也在悄然进行。本次演示将 探讨几种复杂网络上的动力学过程的研究进展。
一、传播动力学
一、传播动力学
在复杂网络中，信息的传播是一个重要的动力学过程。从疾病病毒的传播到 谣言的扩散，从知识的学习到观点的形成，信息的传播都是在网络中进行的。研 究这种传播过程，需要对网络的拓扑结构和传播机制有深入的理解。一种常用的 方法是使用传染病模型，如 SIR模型，通过模拟疾病在人群中的传播，来预测和 控制疾病的扩散。
未来研究方向
此外，随着大数据和计算能力的不断提升，未来的研究也可以更加深入地探 讨复杂网络结构和动态演化过程对合作演化和博弈动力学的影响。
结论
结论
复杂网络上的合作演化和博弈动力学研究在理解自然、社会和技术系统中的 合作行为方面具有重要的理论和实践价值。本次演示介绍了该领域的研究现状、 主要方法、实验结果以及未来研究方向。通过深入探讨复杂网络背景下的合作演 化和博弈动力学问题，我们可以更好地理解系统中各要素之间的相互作用和演化 过程，并为解决现实问题提供有益的启示。
复杂网络理论及其在生态系统中的应用
复杂网络理论及其在生态系统中的应用绪论复杂网络理论是近年来发展起来的一门跨学科领域，它在各种领域中都具有广泛的应用，其中包括生态系统。
生态系统是由各种生物种群相互作用形成的复杂系统，而复杂网络理论可以帮助我们更好地理解和分析生态系统中的相互作用关系。
本文将首先介绍复杂网络理论的基本概念和特点，然后详细讨论其在生态系统中的应用。
一、复杂网络理论的基本概念和特点1.1 复杂网络的定义复杂网络是由大量节点和连接它们的边组成的系统。
节点代表网络的元素，可以是生物个体、物理对象或者抽象概念；边代表节点之间的连接关系，可以是物质传输、信息交流或者关系联系等。
复杂网络的结构可以是随机、小世界或者无标度等，不同的网络结构会对网络的功能和稳定性产生不同的影响。
1.2 复杂网络的特点复杂网络具有以下几个特点：第一，复杂网络包含大量的节点和边，其规模庞大；第二，节点之间的连接关系具有一定的模式和规律；第三，复杂网络的动态演化过程是非线性和非确定性的；第四，复杂网络具有自组织和自适应的特性。
这些特点使得复杂网络可以用来描述和模拟各种复杂系统，包括生态系统。
二、复杂网络在生态系统中的应用2.1 复杂网络在生态相互作用的分析中的应用生态系统由不同的生物种群相互作用而形成，而复杂网络可以帮助我们揭示种群之间的相互作用关系。
通过构建和分析生态网络，我们可以研究物种之间的捕食关系、共生关系、竞争关系等。
例如，研究者可以构建一个以物种为节点，以捕食关系为边的复杂网络，然后使用复杂网络分析方法来研究不同物种之间的相互作用模式和稳定性。
这些研究结果可以帮助我们更好地理解生态系统的结构和功能。
2.2 复杂网络在生态系统的稳定性分析中的应用生态系统的稳定性是生物多样性和生态功能的基础，而复杂网络可以有效地分析生态系统的稳定性。
通过构建生态网络模型，并使用复杂网络稳定性分析方法，我们可以评估物种灭绝对生态系统的影响、预测环境变化对生态系统的稳定性的影响等。
复杂网络基础理论
无标度网络
定义：无标度网络是指节点的度分布遵循幂律分布的网络即少数节点拥有大量连接大部分节点 只有少数连接。
特性：无标度网络具有高度的异质性其结构可以抵抗随机攻击但容易受到定向攻击。
构建方法：无标度网络的构建通常采用优先连接机制即新节点更倾向于与已经具有大量连接的 节点相连。
应用场景：无标度网络在现实世界中广泛存在如社交网络、互联网、蛋白质相互作用网络等。
07
复杂网络的未来研究方向和挑战
跨领域交叉研究
复杂网络与计算机 科学的交叉：研究 网络算法、网络安 全和网络流量控制 等。
复杂网络与生物学 的交叉：研究生物 系统的网络结构和 功能如蛋白质相互 作用网络和基因调 控网络等。
复杂网络与物理学 的交叉：研究网络 的拓扑结构和动力 学行为如复杂系统 、自组织系统和非 线性系统等。
复杂网络的演化过程中节点和边 的动态变化会导致网络的拓扑结 构和性质发生改变。
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复杂网络具有非线性和自组织的 特性能够涌现出复杂的结构和行 为。
复杂网络在现实世界中广泛存在 如社交网络、生物网络、交通网 络等。
复杂网络的特征
节点数量巨大且具有自组织、 自相似、小世界等特性
03
复杂网络的基本理论
网络拓扑结构
节点：复杂网络中的基本单元
连通性：网络中节点之间是否存 在路径
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边：连接节点的线段表示节点之 间的关系
聚类系数：衡量网络中节点聚类 的程度
网络演化模型
节点增长模型：节点按照一定概 率在网络中加入形成无标度网络
节点属性演化模型：节点属性随 时间发生变化影响网络的演化
复杂网络的结构与演化机理研究
复杂网络的结构与演化机理研究现代社会，人们生活在不断互联互通的网络中。
网络拓扑结构的研究和分析已经成为计算机科学、物理学、社会学等多个学科的交叉领域。
复杂网络便是其中一种研究的主要对象。
复杂网络较之简单网络，更为普遍和广泛，它是一种具有复杂拓扑结构，呈现出高度复杂性、鲁棒性和自组织性的系统，已经在现实世界的许多领域中得到了广泛的应用和研究。
本文将主要介绍复杂网络的结构和演化机制。
一、复杂网络的结构1.1. 随机网络结构随机网络是由很大的数量的节点和随机连边的拓扑结构所构成的网络。
这种网络的性质具有随机性，因此，节点的度数分布非常广泛。
正因为这种特性，随机网络的强健性极差，遭受外部攻击时容易瘫痪。
随机网络是复杂网络中最为简单的拓扑结构。
1.2. 规则网络结构规则网络表示的是一个节点和它的几个邻居节点之间存在固定的联系。
这种网络拓扑结构的性质表现出周期性。
规则网络的灵敏度是比较低的，随着节点数量的增加，其强健型也逐渐加强。
1.3. 无标度网络结构无标度网络是一种有特定数量节点，而且这些节点度数的分布不是均匀或随机的。
这种性质使无标度网络比其他网络拓扑结构更为复杂。
最值得注意的是，无标度网络对于节点的关键性质是十分敏感的。
一些节点的失效容易导致整个网络的崩溃。
二、复杂网络的演化机制2.1. 优先连接优先连接可以被看作是贵族效应的体现。
即网络中较有权威的节点（即度数比较高的节点）可以更容易地获得新的联系。
这导致了一些节点一开始就比较容易从随机网络中脱颖而出，和其他社区难以联系。
2.2. 调整和稳定网络的调整和稳定过程是一个非常重要的演化机制。
网络中的节点常常会因个人利益及其它因素进行策略性的连边。
如果没有稳定机制对这种操作进行限制，网络中连接将逐渐趋近于随机化，从而失去一些重要特性，例如社区结构。
节点对其他节点进行更改其邻边操作，这个操作将在适当时间被调整，同时维持网络的聚类，便是调整和稳定的重要机制之一。
大规模复杂网络的动力学特性分析
大规模复杂网络的动力学特性分析随着信息技术的快速发展和互联网的普及，人们的社会交往方式也得到了根本性的改变。
网络社交平台、电子商务、在线教育、医疗健康等各类应用正在成为了我们日常生活中不可或缺的一部分。
而这些现象所组成的网络结构也呈现出了复杂性，形态多样且演化动态十分复杂。
因此对大规模复杂网络的动力学特性分析成为了一个重要任务，有助于我们更好的理解和利用这些网络结构。
一、复杂网络概述复杂网络是指由大量节点和连接构成，其中节点之间的连接关系具有复杂结构或随意性的网络结构。
相对于传统的规则网络，复杂网络的拓扑结构更加复杂、灵活，同时也更贴近真实社会、经济、生态等系统，通常包括六个重要的特征：1.规模性：复杂网络包含大量的节点和连接，一般数以万计。
2.无标度性：一小部分节点的度数极其高，而大多数节点的度数很低。
这种“寡头原则”成为了复杂网络拓扑结构的重要特点之一。
3.小世界性：节点之间的平均距离很短，同时具有强化的聚集性。
4.聚集性：复杂网络中节点的度数倾向于聚集在一起形成密集的连接区域，即具有社区结构。
5.耐随机性：复杂网络拓扑结构对随机切除和攻击的鲁棒性强。
6.自组织性：复杂网络具有自适应性和自组织性，可以适应外界环境和动态演化。
二、复杂网络的动力学过程由于复杂网络的结构复杂多样且动态演化明显，节点之间的动力学过程也呈现出了各种形态和行为。
其中最常见的动力学过程包括：1.同步：网络中的节点会相互协调，形成同步的状态。
同步是复杂网络动力学过程中的重要现象之一，对于社会、经济等大型系统的协调和优化具有很重要的意义。
2.扩散：网络中的信息、能量或物质会在节点之间进行扩散，形成扩散动力学过程。
扩散过程可以是随机的，也可以是受控的。
3.震荡：网络中的节点受到不同外界刺激形成周期性或非周期性的震荡状态。
4.优化：节点之间的连接和权重可以进行优化，来使整个复杂网络的运行效率更高。
优化过程可以基于最小化成本、最大化效益等多种目标。
维数理论解析复杂网络结构特性
维数理论解析复杂网络结构特性一、维数理论概述维数理论是数学中用于描述和分析复杂系统和网络结构特性的一个重要工具。
它起源于拓扑学中的维数概念，但随着研究的深入，已经扩展到了更广泛的领域，包括网络科学、物理学、生物学等。
维数理论的核心在于通过量化的方式来揭示系统的内在复杂性，从而为理解和预测系统行为提供理论基础。
1.1 维数理论的基本概念维数是描述一个对象或系统复杂性的量度。
在传统的几何学中，维数是一个直观的概念，例如点是零维的，线是一维的，平面是二维的，而三维空间则包含了我们日常生活中所接触的大部分物体。
然而，在复杂网络结构中，维数的概念需要被重新定义和扩展。
1.2 维数理论的应用领域维数理论在多个领域都有广泛的应用。
在物理学中，它被用来研究分形和多体系统；在生物学中，用于分析生物网络的结构和功能；在网络科学中，维数理论则帮助我们理解网络的拓扑特性和动态行为。
通过维数理论，我们可以量化网络的复杂性，预测其可能的演化趋势。
二、复杂网络结构特性分析复杂网络是一类由大量节点和边组成的系统，其结构特性通常表现出非线性、自组织和动态演化等特点。
维数理论在分析这些网络结构特性时发挥着重要作用。
2.1 复杂网络的结构特性复杂网络的结构特性包括节点度分布、聚类系数、路径长度、小世界特性、无标度特性等。
这些特性共同决定了网络的全局和局部行为。
例如，节点度分布可以揭示网络中节点连接的不均匀性；聚类系数则反映了网络中节点群聚的程度；路径长度和小世界特性则描述了网络中信息传播的效率。
2.2 维数理论在复杂网络中的应用维数理论在复杂网络中的应用主要体现在以下几个方面：- 度量网络的复杂性：通过计算网络的维数，可以量化网络的复杂性，为网络的分类和比较提供依据。
- 揭示网络的自相似性：分形维数是描述网络自相似性的一个重要指标，它揭示了网络在不同尺度上的重复模式。
- 预测网络的动态演化：维数理论可以帮助我们理解网络结构如何随时间演化，预测网络可能的发展趋势。
复杂网络的动力学特性及应用研究
复杂网络的动力学特性及应用研究随着互联网的发展，人们之间的联系已经超越了地域和时间的限制。
然而，在这个物质流动非常便利的时代里，人们之间的信息流动似乎还有着很多瓶颈。
为了更好地了解网络中信息的流动规律，提高网络传播的效率，科学家们开始研究复杂网络的动力学特性和应用。
一、复杂网络的概念与特征复杂网络是由大量的节点和连接构成的网络结构，它在生物系统、社交系统、交通系统、通信系统等各个领域中都有广泛应用。
复杂网络的性质因应用场景而异，但它们都有以下三个基本特征：复杂度、自组织性和小世界性。
1. 复杂度复杂网络中的节点数目非常大，且它们之间的联系非常复杂，数据的传输和处理都需要高度的复杂性和优化策略。
例如，互联网就是一个全球性的复杂网络，它的节点数目可能达到数十亿，而且这些节点之间存在着极为复杂的联系和交互。
2. 自组织性复杂网络中的每一个节点都有着自己的行为规律，但是它们之间的联系却是非常自然地形成的，而这种联系通常有自己的优化机制，使得网络的结构很好地适应了不同应用场景。
例如，社交网络中的“朋友圈”就是通过节点间的自发联系而形成的，它不需要特别的设计或规划。
3. 小世界性复杂网络中的节点之间的联系非常复杂，但是他们之间的距离也非常短。
也就是说，一个任何两个随机节点之间的路径长度是非常短的，甚至只需要经过少量的中间节点就能够到达。
例如，六度分隔理论就是基于这一特性而提出的。
二、复杂网络的动力学模型在复杂网络中，节点的状态和节点之间的连接关系都会不断地变化，因此必须建立动力学模型来描述网络的发展规律。
其中著名的动力学模型有ER模型和BA模型。
1. ER模型ER模型是最早的随机网络模型，它是由Erdős和Rényi在1959年提出的。
该模型假设节点之间是随机互联的，每个节点间的连边是等概率的。
这种简单模型可以用来产生随机网络，但是它缺乏现实的应用背景。
2. BA模型BA模型是由Barabási和Albert在1999年提出的，它放弃了ER模型的随机互联假设，而提出了“富人愈富”的思想。
复杂网络建模及其应用研究
复杂网络建模及其应用研究随着互联网的快速发展，我们的生活中出现了越来越多的网络，这些网络包括社交网络、物流网络、电力网络等等。
这些网络的结构和功能十分复杂，只有建立准确的数学模型，才能深入探究其内在规律和特性。
因此，复杂网络建模及其应用研究成为了当今科学中的热点问题。
一、复杂网络的定义与特点复杂网络是指结构和功能上极其复杂的网络系统，其特点有以下几点：1.结构复杂：复杂网络拥有大量的节点和连接，其拓扑结构呈现出高度非线性、小世界性、无标度性等。
2.动态复杂性：复杂网络在时间和空间上都具有不断演化的复杂性，节点和链接的数量、位置、状态等都在不断变化。
3.自组织性：复杂网络呈现出自组织性，网络中的节点和链接会根据一定的规律和机制进行自发的组合和重组。
4.异常性：复杂网络在面对外部环境的干扰和攻击时，往往会呈现出非线性、不可预测的异常行为。
二、复杂网络建模的方法对于复杂网络的研究，建立准确的数学模型是十分必要的。
目前常用的复杂网络建模方法有以下几种：1.随机图模型：随机图模型将节点和连接随机分布在网络中，可以有效地模拟小世界网络。
2.无标度网络模型：无标度网络模型则注重模拟网络中较少的超级节点，如社交网络中的明星用户等，以解释无标度网络的存在。
3.时空网络模型：时空网络模型则在考虑网络随时间变化的同时，也注重网络节点位置的变换，以用于模拟真实网络的变化。
4.演化网络模型：演化网络模型可以模拟网络中节点的重复和删除，以对网络中指数级增长的节点进行解释。
三、复杂网络模型的应用复杂网络模型不仅可以用于理解网络中的内在规律和特性，也可以应用于实际场景中，有以下几个应用方向：1.社交网络分析：社交网络分析可以利用无标度网络模型来解释社交网络中明星用户的影响力以及节点的重要性等问题。
2.电力网络稳定性分析：电力网络是关系到人们日常生活的关键性网络之一，利用复杂网络模型可以分析电力网络在外部环境变化时的稳定性问题。
复杂网络中的自组织行为
复杂网络中的自组织行为自组织是一种广泛存在于自然界中的现象，它涉及复杂系统中的相互作用和适应性过程，使系统能够在没有外部指导或中央控制的情况下自动调整和形成有序的结构或行为。
而复杂网络作为一种常见的自组织系统，表现出了许多独特的行为。
本文将重点探讨复杂网络中的自组织行为，包括其定义、特征和实际应用。
首先，什么是自组织行为？自组织行为是指在复杂网络中，系统中的个体或节点通过相互作用和调整机制而形成的协同行为。
这种行为的特点是无需外部指导、没有中央控制，而是通过节点之间的相互影响和适应性调整来实现。
自组织行为可以使整个网络在适应环境变化的同时保持稳定性，并表现出更高级别的集体行为。
复杂网络中的自组织行为具有以下几个特征。
首先，它是分布式的，没有中央控制，并且节点之间通过相互作用和通信来实现信息的传递和共享。
其次，自组织行为具有非线性特性，即小的变化可能会导致系统的显著变化，这是由于节点之间的相互影响和累积效应所导致的。
最后，自组织行为常常呈现出自相似性和尺度特性，即在不同的层次上，系统的行为模式和结构都具有相似的特征。
自组织行为在实际应用中有着广泛的应用价值。
首先，自组织行为可以帮助我们更好地理解和研究现实世界中的复杂系统。
例如，在生物学中，自组织行为可以用来解释群体行为，如鸟群的迁徙、蚁群的觅食行为等。
其次，自组织行为在社会科学中有着重要的应用，例如交通系统的流量调度、城市规划中的人流分布等。
再次，自组织行为在工程领域中也有着广泛的应用，如无线传感器网络中的数据聚集、物流系统中的路径优化等。
在研究复杂网络中的自组织行为时，人们通常采用建模和仿真来验证理论，并通过实验来验证模型的准确性。
其中，图论和网络科学是常用的分析工具，可以用来描述和分析网络结构和拓扑特性。
另外，复杂网络模型的构建和参数调整也是非常重要的。
例如，人们通常使用小世界网络和无标度网络来模拟实际网络，并利用随机和优化算法来生成节点之间的连接。
复杂网络结构演化规律理论分析
复杂网络结构演化规律理论分析概述复杂网络结构是实际现象中普遍存在的一种网络形态，它由多个节点和节点之间的连接组成。
在复杂网络中，节点可以代表各种实体，例如人际关系、物理系统中的原子或分子、互联网中的网页等。
复杂网络具有复杂的拓扑结构和动态的演化过程，因此深入研究复杂网络结构演化规律对于理解网络的特性和功能具有重要意义。
规律分析复杂网络结构演化的过程中存在一些共性规律，这些规律使得复杂网络的拓扑结构呈现出独特的特性。
以下将根据已有的研究成果，对复杂网络结构演化规律进行分析。
1. 优先连接规律：复杂网络的演化过程中，倾向于优先选择与已有节点连接度较高的节点进行连接。
这意味着节点的连接度会随着时间的推移而逐渐增长，形成长尾分布的连接度分布。
这种优先连接规律可以解释现实中许多网络的实际现象，如社交网络中一些人关系网的扩张过程。
2. 群聚效应：复杂网络中存在着聚集在一起的节点群体，这被称为群聚效应。
这种效应表明，节点之间的连接更容易在同一群体内形成，而群体之间的连接则较为稀疏。
举个例子，社交网络中，人们倾向于与亲密的朋友形成紧密的联系，而与其他人之间的联系相对较少。
3. 结构重组：复杂网络结构在演化过程中会发生结构的重组，这包括节点的添加与删除，连接的建立与断裂等。
这种结构的重组使得网络的拓扑结构不断变化。
此外，复杂网络还会呈现出模块化的特点，即网络的拓扑结构可以被划分成多个相对独立的模块，这些模块具有一定的内部连通性和较弱的模块间连通性。
4. 异质性：复杂网络中的节点和连接往往是具有异质性的。
这意味着网络中的节点和连接不是完全相同的，它们具有不同的属性和特征。
异质性可以通过节点的度分布、节点属性之间的关联以及连接的权重等来表现。
5. 尺度无关性：复杂网络的拓扑结构在不同的尺度上表现出相似的特性。
这种尺度无关性意味着网络的结构在不同的层次上都具有相似的统计特性。
例如，复杂网络中小规模子图的拓扑结构与整个网络的拓扑结构具有相似性。
复杂系统与网络科学
1.网络脆弱性主要来源于网络结构、协议、软件等方面的缺陷。 2.脆弱性的表现形式包括网络瘫痪、数据泄露、服务中断等。 3.针对不同的脆弱性来源，需要采取不同的防范措施。
网络的鲁棒性与脆弱性
▪ 网络鲁棒性与脆弱性的关系
1.网络鲁棒性和脆弱性是相互对立的两个概念。 2.提高网络的鲁棒性可以降低脆弱性带来的风险。 3.在网络设计和运维过程中，需要平衡鲁棒性和其他性能指标 的关系。
复杂系统与网络科学
目录页
Contents Page
1. 复杂系统基本概念与特性 2. 网络科学基础与图论简介 3. 复杂系统的建模与分析 4. 网络中心度与结构洞理论 5. 网络动力学与演化机制 6. 网络的鲁棒性与脆弱性 7. 复杂系统与网络的应用 8. 前沿方向与未来挑战
复杂系统与网络科学
复杂系统基本概念与特性
复杂系统与网络科学
网络动力学与演化机制
网络动力学与演化机制
▪ 网络动力学模型
1.网络动力学是研究网络结构和功能随时间变化的行为和规律，对网络的设计、优 化和控制具有重要意义。 2.网络动力学模型主要包括网络演化模型、网络传播模型和网络流模型等。 3.通过分析网络动力学模型，可以揭示网络的稳定性、鲁棒性和演化规律等关键指 标，为网络科学提供重要的理论基础。
网络科学基础与图论简介
网络科学基础
1.网络科学的定义和研究范畴，包括复杂网络的结构、行为和演化。 2.网络科学在数学、物理学、计算机科学和社会科学等领域的应用。 3.网络科学的基础理论和方法，包括图论、统计物理和信息论等。 网络科学是一门研究复杂网络结构、行为和演化的跨学科科学，涉及数学、物理学、计算机科学和 社会科学等多个领域。网络科学的研究对象是各种具有复杂结构的系统，如互联网、社交网络、生 物网络和大脑网络等。网络科学的基础理论和方法包括图论、统计物理和信息论等，这些理论和方 法为网络科学的研究提供了有力的支持。通过对复杂网络的研究，网络科学可以帮助我们更好地理 解网络的结构和行为，进而设计和控制网络，为实际应用提供指导。
复杂网络的演化模型研究
复杂网络的演化模型研究复杂网络的演化模型研究摘要：复杂网络是由大量相互连接而成的节点所构成的网络，在许多现实世界的系统中都能够找到其应用。
复杂网络的研究主要集中在探索网络的结构特征和演化模型。
本文将综述复杂网络的演化模型研究，包括随机演化模型、优化演化模型和动态演化模型。
并结合现实应用，分析各种演化模型在不同系统中的适用性和局限性。
第一章引言复杂网络的研究领域，是近几十年来网络科学中最为重要的研究方向之一。
复杂网络在社交网络、生物网络、信息网络等多个领域都有广泛应用。
研究人员通过分析复杂网络的拓扑结构和演化规律，能更好地了解网络的性质和行为，为网络设计、优化和管理提供理论指导。
第二章复杂网络的基本特征复杂网络具有许多独特的结构特征，对于研究网络的演化模型具有重要意义。
本章将介绍复杂网络的一些基本特征，如度分布、聚类系数、平均路径长度等，并分析这些特征对网络演化模型的影响。
第三章随机演化模型随机演化模型是最早被研究的网络演化模型之一，其主要思想是通过随机生成网络节点和连接，来模拟复杂网络的演化过程。
本章将介绍经典的随机网络模型，如ER模型和BA模型，并分析它们的优缺点和适用范围。
第四章优化演化模型优化演化模型是在随机演化模型基础上发展起来的，其主要思想是通过优化算法来调整网络的拓扑结构，使网络更加符合实际需求。
本章将介绍一些常见的优化演化模型，如小世界网络和核心-边缘网络，并分析它们的特点和应用场景。
第五章动态演化模型动态演化模型主要考虑网络在时间上的演化过程，研究网络的结构随时间变化的规律。
本章将介绍一些常见的动态演化模型，如时空演化网络和复杂系统演化网络，并分析它们在描述现实世界中网络演化过程时的适用性和不足。
第六章复杂网络的应用本章将结合实际应用，探讨复杂网络在不同领域中的应用情况。
例如，在社交网络中，可以利用复杂网络的结构特征，分析用户的行为和社交关系，为推荐系统和广告投放提供支持。
在生物网络中，可以通过复杂网络模型研究蛋白质相互作用网络，进而理解生物系统的功能和调控机制。
大规模复杂网络的研究与应用
大规模复杂网络的研究与应用随着互联网的普及和数字化时代的到来，网络已经成为我们日常生活中不可或缺的一部分。
大规模复杂网络作为一种网络形态，近年来受到了广泛的研究和应用。
本文将对大规模复杂网络的研究和应用进行探讨。
一、大规模复杂网络的定义大规模复杂网络是指由大量节点和连接组成的网络系统，节点之间的连接关系较为复杂，其结构具有复杂性、随机性和自组织性等特点。
大规模复杂网络是一种抽象的数学模型，可以用来描述现实生活中的许多网络形态，如社交网络、交通网络、通讯网络等。
二、大规模复杂网络的特点1.复杂性大规模复杂网络的节点数量很大，连接关系也较为复杂，具有非线性、不连续、不可预测等特点，因此其分析和研究相对较为困难。
2.随机性大规模复杂网络的节点连接关系具有一定的随机性，可能出现一些非常规的行为模式。
3.自组织性大规模复杂网络的结构和性质是由网络中各个节点的自组织行为所决定的，具有自发性和非线性的动态演化特征。
三、大规模复杂网络的研究内容1.复杂网络的结构和演化复杂网络的结构和演化是复杂网络研究的核心内容之一。
研究复杂网络的结构和演化规律，可以揭示网络的发展和变化趋势，为网络设计和优化提供理论基础。
2.复杂网络的动力学和控制复杂网络的动力学和控制是针对网络的各个节点之间的非线性关系，以及整个网络的自组织特性进行研究。
通过研究复杂网络的动力学模型和变化规律，可以有效地控制网络的行为和发展方向。
3.复杂网络的信息处理和传输复杂网络的信息处理和传输是指在复杂网络中实现信息传输和处理的方法和技术。
研究复杂网络的信息处理和传输技术，可以为网络应用及其安全、性能、可靠性提供支持。
四、大规模复杂网络的应用1.社交网络随着社交网络的兴起，大规模复杂网络已经成为社交网络研究的重要方向。
通过深入研究社交网络的结构和性质，可以更好地理解人类社会和行为模式，并为社会政策和商业运营提供支持。
2.交通网络交通网络是现代城市的重要组成部分，其高效运作对城市的发展和经济的增长起着重要作用。
复杂网络的动态演化研究
复杂网络的动态演化研究在当今这个高度互联的世界中，复杂网络的概念已经渗透到了各个领域，从生物系统中的神经网络和基因调控网络，到社会系统中的人际关系网络和交通网络，再到技术领域的互联网和电力网络等等。
复杂网络并非是一成不变的，它们会随着时间的推移而不断演化，这种动态演化对于理解和预测网络的行为、性能以及潜在的风险具有至关重要的意义。
那么，什么是复杂网络的动态演化呢？简单来说，就是网络的结构、节点的属性以及节点之间的连接关系在时间尺度上的变化过程。
这种演化不是随机的，而是受到多种因素的驱动和影响。
首先，节点的加入和退出是导致网络动态演化的一个重要因素。
以社交网络为例，每天都有新用户注册加入，同时也有一些用户因为各种原因停止使用而退出。
新节点的加入可能会带来新的连接和信息传播路径，而节点的退出则可能导致局部网络结构的改变甚至是信息的丢失。
其次，节点之间连接的建立和断开也在不断塑造着网络的演化。
在商业合作网络中，企业之间的合作关系可能会因为市场变化、竞争压力或者战略调整而建立或解除。
这种连接的变化会直接影响网络的连通性和信息传播效率。
再者，节点属性的变化也不容忽视。
比如在科研合作网络中，研究人员的研究兴趣、学术影响力等属性会随着时间发生改变，这将影响他们在网络中的地位和与其他节点的连接关系。
复杂网络的动态演化具有一些显著的特点。
其中之一是自组织性。
网络在演化过程中往往会自发地形成一些特定的结构和模式，而不是完全由外部因素决定。
例如，在社交网络中，人们会自然地形成具有相似兴趣和背景的社群，这些社群内部的连接较为紧密，而社群之间的连接相对稀疏。
另一个特点是适应性。
网络能够根据环境和内部的变化进行调整和优化。
比如在交通网络中，当某条道路出现拥堵时，车辆会自动选择其他路径，从而导致网络中的流量分布发生改变，以适应新的情况。
复杂网络的动态演化研究具有广泛的应用价值。
在疾病传播的研究中，通过分析人际接触网络的动态演化，可以更好地预测疾病的传播趋势，制定有效的防控策略。
复杂网络
Figure 14.SW模型(1)
34
3.3 影响复杂网络拓扑结构的性能的因素是什么
• SW: SW:
Figure 15.SW模型(2)
35
3.3 影响复杂网络拓扑结构的性能的因素是什么
• CAVE:与SW模型类似，只不过CAVE模型首先会将拥有N个节 CAVE: SW模型类似 只不过CAVE模型首先会将拥有N 模型类似， CAVE模型首先会将拥有
MF（Most Frequent Contacts）方法： Contacts）方法： MF（
• 任意一对节点（u和v）都保存有一个计数器c｛u,v｝，该 任意一对节点（ 都保存有一个计数器c u,v｝
计数器记录着这个相遇在过去发生的次数。 计数器记录着这个相遇在过去发生的次数。
• c｛least,n｝记录着网络中具有最少次数的相遇的ID和次 least,n｝记录着网络中具有最少次数的相遇的ID ID和次
Figure 7.药物复杂网络带权图
18
1.3 复杂网络的主要表现方面
Figure 8.社会关系网
19
1.3 复杂网络的主要表现方面
• 动力学复杂性： 节点集可能属于非线性动力学系统， 例 动力学复杂性： 节点集可能属于非线性动力学系统，
如节点状态随时间发生复杂变化。 如节点状态随时间发生复杂变化。
如果不存在外部指令，系统按照相互默契的某种规则， 织 ； 如果不存在外部指令 ， 系统按照相互默契的某种规则 ， 各尽其责而又协调地自动地形成有序结构，就是自组织。 各尽其责而又协调地自动地形成有序结构，就是自组织。
Figure 1.网络自组织
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1.1 复杂网络的概念
复杂网络的融合与演化研究
复杂网络的融合与演化研究随着互联网技术的飞速发展，网络已经成为现代社会中不可或缺的组成部分。
越来越多的人依赖网络进行工作、学习和娱乐。
但是，随着网络的发展，网络结构也变得越来越复杂。
复杂网络已经成为一个重要的研究领域，对于我们理解网络的演化和发展以及网络中各种聚集现象、振荡现象等具有重要的意义。
本文将从复杂网络的融合和演化两个方面进行探讨。
复杂网络的融合随着移动互联网时代的到来，人们的生活越来越离不开网络，不论是商业、文化、娱乐还是社交活动，网络已经成为最重要的载体之一。
通过数据通信技术，网络将人与人、人与物、物与物紧密联系在一起。
因此，在现实生活中，不同的网络可能会相互融合，形成一个更加复杂的系统，如电信网络、供水系统、交通系统等。
而在研究领域中，也有很多学者对于网络的融合进行了深入的研究。
一个网络的融合通常被定义为两个或多个不同类型网络之间的相互作用。
融合后的网络将具有更高的复杂性和新的性质。
比如，物联网（Internet of Things，IoT）就是一个由多个网络组成的复杂系统。
它由物理、网络、计算和应用四个层次构成，其特点在于设备分布广泛、连接协议多样、数据处理能力强大。
更进一步的研究表明，融合网络的复杂性并不可避免地会带来一些问题。
因其复杂性而导致的灾难性失灵事件是人们关注的重点之一。
面对这种现象，一些学者通过建立数学模型，来探究网络失灵的原因、发展以及预测，以便提出相应的对策和优化方案。
复杂网络的演化除了融合之外，复杂网络的另一个研究领域是它的演化。
网络的演化是指网络变量随时间的变化规律。
例如，一个互联网公司可能会随着时间的推移而获得越来越多的用户和数据，这些变化可能导致该公司在行业中的地位发生变化。
同样，物理网络随着时间的变化，也会出现节点的增减、连通性的变化等现象。
在研究网络演化的过程中，网络拓扑结构的变化越来越被人们关注。
网络拓扑结构是指网络中节点和边的空间排列形式。
较为典型的网络结构包括随机网络、小世界网络和无标度网络。
复杂网络的演化模型
复杂网络的演化模型陈琴琴 复杂网络是具有复杂拓扑结构和动力学行为的大规模随机网络的总称,它可以用来描述自然界及社会中的许多系统。
1、引言自然界中存在着很多复杂系统,这些复杂系统由大量的元素构成。
由于网络的规模庞大,相互作用复杂,目前用来处理这类问题的主要工具包括三大方面:(1)非线性动力学(2)统计物理学(3)网络理论。
近年来,通过对这三个问题的研究已经使人类对自然界的认识产生了新的飞跃,并取得了重要的进展,如何把复杂网络理论、动力系统理论和现代控制理论三者有机的结合起来,深入研究复杂动力网络的分析是十分重要的。
网络是点和边的集合,节点和边分别表示元素和元素之间的相互作用。
许多自然和人造系统都可以用复杂网络来表示,如生态系统中,物种之间的相互关联可以描述为复杂的食物链网络;细胞被完美地描述为通过化学反应连接化学物的复杂网络等。
为了表征网络结构和行为的统计属性,人们提出网络结构的几个度量标准:度分布、平均路径长度和集群系数。
网络的度分布P(k)是随机选择的节点具有k条边的概率;网络中两个节点的距离定义为连接它们的最短路径的边数,平均路径长度是网络中所有节点对的距离的平均值;网络的集群系数定义为一个节点的两个邻居之间也是邻居的概率,它反应了网络内在的群聚倾向。
2、发展历程(1)规则网络复杂网络的研究传统上属于图论的范畴。
图论的研究最初集中在规则图上,人们认为真实系统各元素之间的关系可以用规则网络来表示,如一维链等。
常见的规则网络是由N个节点组成的环状网格,网格内每个节点与它最近的k个节点相连接,左右两边各有k/2条边。
在这种规则网格中,集群系数高,但平均路径长度大。
显然,用规则网络刻画复杂的现实网络在很多情况下都是不合理的。
(2)随机网络随着网络的结构越来越复杂,人们开始用系统的眼光来看待这些巨大的数据集合,以图论的形式来研究实际问题。
图论的产生源于两名著名的数学家:Eule r和Erd?s。
这个概念是由Eule r提出来的,并用它解决了“科尼斯堡”的七桥问题,即在科尼斯堡的一个公园里,有七座桥将普雷格尔河中两个岛和河岸连结起来,问是否可能从这四块陆地中任一块出发,恰好通过每座桥一次再回到起点? Euler把问题归结为点表示岛和陆地,边表示连结它们的桥,将河流、小岛和桥简化为一个网络,把问题转化为图论的问题,并证明了上述的走法是不可能的。
复杂网络实验报告
一、实验目的1. 熟悉复杂网络的拓扑结构及其特点。
2. 掌握复杂网络的基本分析方法。
3. 理解复杂网络在现实世界中的应用。
4. 提高网络实验操作技能。
二、实验原理复杂网络是由大量节点和连接组成的网络，具有高度的非线性、自组织、无标度等特性。
本实验以复杂网络的基本理论为基础，通过构建和模拟复杂网络，分析其拓扑结构、演化规律和功能特性。
三、实验内容1. 复杂网络的构建（1）选择合适的网络模型，如无标度网络、小世界网络等。
（2）根据实验需求，设置网络参数，如节点数量、连接概率等。
（3）利用网络构建工具，如NetLogo、Gephi等，生成复杂网络。
2. 复杂网络的拓扑分析（1）计算网络的基本拓扑参数，如度分布、聚类系数、平均路径长度等。
（2）分析网络的拓扑结构，如网络连通性、模块化等。
（3）比较不同网络模型的特点和差异。
3. 复杂网络的演化分析（1）研究网络节点的加入和删除过程，分析网络演化规律。
（2）研究网络连接的动态变化，分析网络演化过程中的特征。
（3）研究网络功能的演化，如网络社区的演化、网络拓扑结构的演化等。
4. 复杂网络的功能分析（1）分析网络节点的功能，如中心节点、边缘节点等。
（2）分析网络的传输性能，如信息传播速度、路由选择等。
（3）研究网络的安全性能，如攻击者入侵、病毒传播等。
四、实验步骤1. 安装实验软件，如NetLogo、Gephi等。
2. 构建复杂网络，选择合适的网络模型和参数。
3. 利用实验软件进行网络拓扑分析和演化分析。
4. 分析网络的功能特性，如节点功能、传输性能、安全性能等。
5. 撰写实验报告，总结实验结果和心得体会。
五、实验结果与分析1. 复杂网络的拓扑结构通过实验，我们得到了不同网络模型的拓扑结构，如无标度网络、小世界网络等。
结果表明，无标度网络具有高度的非线性、自组织特性，而小世界网络则具有较小的平均路径长度和较高的聚类系数。
2. 复杂网络的演化规律实验结果显示，网络节点的加入和删除过程对网络拓扑结构有显著影响。
复杂系统中的自组织现象研究
复杂系统中的自组织现象研究自组织现象是指在一个复杂系统中，无需外部干预，系统内部的元素能够根据一定的规律，自发地形成某种有序结构或功能的现象。
这种现象在自然界和人类社会中广泛存在，如群体行为、交通流动、脑功能等。
对于复杂系统中的自组织现象的研究，可以帮助我们更好地理解系统的行为规律和规模效应，从而为优化和管理复杂系统提供理论基础和实践指导。
自组织现象的研究起源于20世纪50、60年代的系统科学和控制论。
研究者以反馈机制为基础，提出了系统论和网络理论，并发现了复杂系统具有自我组织、自适应和自修复的能力。
此后，随着计算机科学、信息科学和复杂网络等学科的迅速发展，自组织现象的研究得到了进一步的拓展和深化。
在复杂系统中，自组织现象的出现往往是由系统内部的相互作用和协同行为所导致的。
这些相互作用可以是元素之间的直接交互，也可以是通过某种媒介传播的间接影响。
例如，蚂蚁群体的行为是通过信息素的扩散和反馈机制实现的，城市交通流动是由驾驶员之间的协作和交互所驱动的。
这些相互作用的特征和规模都对自组织现象的产生和发展有着重要的影响。
复杂系统中的自组织现象具有许多独特的特性。
首先，自组织现象通常呈现出分布不均匀、非线性且随机的特性。
这意味着在系统中的不同位置、不同时间和不同尺度下，自组织现象可能呈现出不同的表现形式。
例如，城市交通流动的自组织现象表现为拥堵和通畅的交替出现；脑功能的自组织现象表现为局部区域的同步活动与整体的异步活动之间的相互作用。
其次，自组织现象具有复杂性和多样性。
不同类型的复杂系统呈现出不同的自组织现象。
例如，生物系统中的自组织现象包括细胞分裂、群体分化等；社会系统中的自组织现象包括种族分化、社会阶层形成等。
这些自组织现象之间存在着相互作用和演化关系，共同构成了复杂系统的整体行为。
再者，自组织现象通常表现出一定的稳定性和韧性。
即使系统内部发生了一些微小的变化或扰动，自组织现象往往能够自动调整和适应，保持一定的稳定状态。
复杂网络结构演化与稳定性研究
复杂网络结构演化与稳定性研究在当今信息时代，互联网、社交媒体等网络平台已经成为人们日常活动中不可或缺的一部分。
与此同时，不断增长的网络规模和复杂性也给我们带来了许多挑战。
如何研究复杂网络的结构演化和稳定性，已经成为复杂系统理论中的重要问题。
复杂网络指的是由大量节点和连接构成的一种复杂结构。
其中节点表示网络中的元素，如个人、网站、物品等；连接则表示节点之间的关系或相互作用。
复杂网络的形态各异，例如社交网络、生物网络、交通网络、金融网络等。
复杂网络的结构演化与稳定性是我们研究问题的重点。
在复杂网络中，一个节点的状态可以被影响到其相邻节点，从而产生级联效应。
因此，一个网络的稳定性是我们考虑的重要因素。
一个网络的稳定性能否受到保障，取决于其结构的演化规律。
研究复杂网络结构的演化，不仅有助于我们理解网络的形成过程，还可以预测网络未来的状态。
复杂网络的结构演化受到许多因素的影响，例如节点的加入和删除、连接的建立和断开等。
其中最常见的一种模型是BA模型，它是由Barabasi和Albert提出的。
BA模型认为新节点有更大的概率连接到已有节点度数较高的节点，因此度数越高的节点越容易连接更多的节点。
这种“富者愈富”的效应在许多自然和社会现象中都有体现，例如富人越富和物种多样性的分布等。
除了BA模型外，还有许多其他的复杂网络演化模型。
例如RL模型考虑了节点之间的距离，以及长距离的链接可能需要更多的费用与时间；PF模型则刻画了节点的相互作用可能导致网络的相互依赖性增加，从而影响网络的演化规律等等。
除了探究复杂网络的结构演化规律外，我们还需要考虑复杂网络的稳定性。
在复杂网络中，若一些节点或连接断裂，则可能导致整个网络的崩溃。
因此，我们需要对网络的鲁棒性进行研究。
网络鲁棒性是指网络在遭受攻击或节点故障时，仍能保持运行的能力。
研究鲁棒性可以帮助我们更好地了解网络的演化与稳定性。
例如，按照网络节点度数从大到小的排序，删除其中若干比例的节点后，研究网络的连通性。
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复杂网络演化的自组织现象outline◆复杂网络的基本理论1.复杂网络的定义2.复杂网络研究简史3.复杂网络研究现状4.复杂网络的研究对象5.一些实际的复杂网络系统6.复杂网络的拓扑性质7.复杂网络的静态几何量8.复杂网络的特征9.复杂网络的重要特征10.网络拓扑的基本模型及其性质规则网络、随机网络、Small World网络、Scale Free网络（重点）等◆复杂网络演化的自组织理论1.SF网络及其模型构造算法2.无标度网络中的无标度3.为什么无标度网络的度分布满足幂律分布？4.SF网络符合SOC的条件5.复杂网络的网络拓扑熵和标准结构熵6.复杂网络的自组织演化的表现7.复杂系统、复杂网络自相似结构的涌现规律的统一复杂网络（complex network)•定义：复杂网络是指大量具有紧密联系和彼此间相互作用的单元所组成的网络。
•网络化的研究方法将现实复杂系统中的研究对象的元素抽象为节点（vertice)，将元素之间的关系抽象为网络中的边(edge).•复杂网络已经成为一门新兴的交叉学科。
从自然界到人类社会,从物理科学到生命科学, 从自然科学到社会科学,以至技术科学、工程技术等众多领域, 网络科学普遍受到了空前的关注和广泛重视, 具有广泛的应用和发展前景.•复杂网络被称为“网络的新科学”（new science of network）.复杂网络研究简史•从七桥问题谈起（1736年欧拉）•随机图理论（1959年Erdos和Renyi ）•小世界实验（1967年Milgram)•弱连接的强度（1973年Granoveretter)•小世界模型（1998年Watts和Strogatz ）•无标度网络（1999年Barabási 和Albert）复杂网络的研究现状1.复杂网络作为复杂系统研究领域的一个分支，近年来得到科学界前所未有的关注，网络研究的新成果不断地在一些学术刊物上发表。
2.近10 年来迅猛发展起来的复杂网络理论为研究复杂性与复杂系统科学提供了一个重要支撑点, 它高度概括了复杂系统的重要特征, 无论是在理论还是在应用方面都具有很强的生命力, 而且在各个方面都得到了很大发展.3.复杂网络的研究成为了近10 年来全世界不同学科（包括力学、物理、生物、系统控制、工程技术、经济、社会、军事等）科学家研究的热点课题。
统计物理与复杂性研究•非线性科学（孤子、湍流、斑图、混沌应用、混沌同步、量子混沌和其它(混沌计算、耦合振子、低维与高维混沌、时间序列等等)•复杂性研究（复杂性定义、复杂系统性质、元胞自动机、复杂网络）•其他相关研究（统计物理基本方法与问题、随机过程、晶格理论、输运过程、自组织(临界)现象、热力学、金融物理、社会物理、交通流、相变、有机材料、其它）近几年来,大量关于复杂网络的文章发表在Science ,Nature ,PRL , PNAS 等国际一流的刊物上,从一个侧面反映了复杂网络已经成为物理界的一个新兴的研究热点.香港城市大学的陈关荣教授统计了几年来被SCI 收录的关于复杂网络的文章数量，从中可以看出明显的增长趋势。
一些实际的复杂网络系统•Web•Internet 网络,•电影演员合作网络,•科学家合作网络,•论文引用网络•电话呼叫网络•语言学网络,•电力网络•经济网络,•交通网络•疾病传播•神经网络•人类性关系网络,•蛋白质互作用网络,•蛋白质折叠关系网络•……..其他一些复杂网络•电话线路•电影演员合作网络•交通网•供电系统•人际关系网•论文引用网络网络的拓扑性质•数学家和物理学家在考虑网络的时候,往往只关心节点之间有没有边相连,至于节点到底在什么位置,边是长还是短,是弯曲还是平直,有没有相交等等都是他们不在意的.•网络的拓扑性质：在这里,我们把网络不依赖于节点的具体位置和边的具体形态就能表现出来的性质叫做网络的拓扑性质,相应的结构叫做网络的拓扑结构.复杂网络的特征绝大多数实际的复杂网络具有以下5个特征•(1) 网络的大规模性和行为的统计性:网络节点数可以有成百上千万,甚至更多,大规模性的网络行为具有统计特性·•(2) 节点动力学行为的复杂性:各个节点本身可以是个非线性系统(可以有离散的和连续微分方程描述) ,具有分岔和混沌等非线性动力学行为·•(3) 网络连接的稀疏性:一个有N 个节点的具有全局耦合结构的网络的连接数目为O ( N的平方) ,而实际大型网络的连接数目通常为O ( N) ·•4) 连接结构的复杂性:网络连接结构既非完全规则也非完全随机, 但却具有其内在的自组织规律·•(5) 网络时空演化的复杂性:复杂网络具有空间和时间的演化复杂性, 展示出丰富的复杂行为,特别是网络节点之间不同类型的同步化运动,包括出现周期、非周期(混沌) 和阵发行为等运动·•大多数实际的网络系统同时具有3 个主要特征:小世界、无标度和高群聚性·描述网络的拓扑结构的物理量（1）A 度(degree)：与网络点相连的边的条数B 聚集系数(clustering coefficient )：与同一点相连的两点也相连的概率的统计平均。
C 平均路径长度（average path length ）：网络中任意两个节点之间的距离的平均值。
D介数(between)：经过给定边（点）的最短路径的条数（包括边的介数及点的介数）。
A 度分布（degree distribution）• 一个顶点的度是指与此顶点连接的边的数量。
• 在有向网络中，分为：出度，入度• 研究包括：度及其分布特征，度的相关性。
• 度值的分布特征是网络的重要几何性质。
• 规则网络各顶点度值相同，因而符合delta 分布 • 随机网络符合泊松分布•大量实际网络存在幂律(power-law)形式的度分布，即无标度网络（Scale Free Networks ）。
• 在聚集反应中，速率核的表达式也与度有关B 聚类系数(clustering coefficient)• 来源于社会学中的“三倍传递比”(fraction of transitive triples)• 在朋友关系网中，你的两个朋友很可能彼此也是朋友。
这种属性称为网络的聚类特性。
• 用数学化的语言来说，对于某个节点i ，它的聚类系数C i 被定义为它所有相邻节点之间连的数目占可能的最大连边数目的比例。
• 整个网络的聚类系数C 则是所有节点聚类系数的平均值。
• 在随机网络中，C=p, （由于边的分布是随机的）C 平均路径长度(average path length)• 网络中两个顶点i ，j 之间的最短路径定义为所有连通(i,j) 的通路中, 所经过的其他顶点最少的一条或几条路径。
• 两个顶点i ，j 之间的距离d ij 定义为i ，j 之间最短路径上的边数。
• 网络的直径(diameter),定义为网络中任意两个顶点之间距离的最大值。
• 网络的平均路径长度(average path length), 定义为网络中任意两个顶点之间距离的平均值。
即：ν)();|;(11-);|;(lj i Jk j i l k K j i l k j i l k K j i l k vu A A A A =++−−−→−+，，，，2/Nji ij C d L ∑>=描述网络的拓扑结构的物理量（2）•权(weight)：边的重要性的量化•匹配（mixing）性：考察度值大的点倾向于和度值大的点连接,还是倾向于和度值小的点连接。
•连接方向性：连接是否有方向性（有向或无向）[WWW网是有向网络，涉及了IN 度与OUT度及它们的关联]。
复杂网络的重要特征1.小世界效应2.无标度特性•两者之间的关系：无标度网络一定是小世界网络，小世界网络不一定是无标度网络复杂网络的重要特征(1)•小世界效应（Small World Effect）•大的集聚系数和小的平均最短距离•“六度分离”（Six Degrees of Separation）理论[ Milgram, Psychology Today 1: 61-67. (1967) ]2001年哥伦比亚大学社会学系的一个研究小组建立了一个实验网站，终点是分布在不同国家的18个人（包括纽约的一位作家、澳大利亚的一名警察以及巴黎的一位图书管理员等等），志愿者通过这个网站把电子邮件发给最可能实现任务的亲友。
结果一共有384个志愿者的邮件抵达了目的地，电子邮件大约只花了五到七步就传递到了目标。
复杂网络的重要特征(2)•无标度特性(Scale-free)点的度分布服从无标度的幂律分布.其中P(k) 代表与k 条边关联的点的个数小世界现象:小的网络平均距离和大的聚众节点的存在;无标度特性: 网络节点扩张,强者越强的规律“The rich get richer”网络拓扑的基本模型及其性质•规则网络•随机网络•Small World网络•Scale Free网络（亦称BA无标度网络或SF网络）比如美国的公路网是随机网络，但是其航空网却是无标度网络规则网络γ-k kP~)(•规则网络是指平移对称性晶格,任何一个格点的近邻数目都相同。
•各个节点的具有相同的度值•规则网络各顶点度值相同，因而符合delta分布•如图为最近邻耦合网络：每个节点都与它左右的K/2个节点相连。
•对大的N, K, 有：聚类系数C~3/4,平均路径长度L~无穷大•一般地，规则网络具有大的簇系数和大的平均距离。
随机网络•ER随机图模型：顶点的度值服从Poisson distribution，也称Poisson随机图•平均度：k~p*N•平均路径长度L~ln(N)/ln(k)•聚类系数: C=p <<1 (由于极度稀疏)•随机网络具有小的簇系数和小的平均距离Small World模型•一个同时具有高的集聚程度,小的最短路径网络•如果实际网络同时存在宽的广度和大的深度的话,在这样的网络上的传染病传播显然将大大高于规则网络与随机网络。
•1998年Watts和Strogatz为我们找到了这样的网络模型—Small World 网络（发表在Nature上）.•度分布服从Poisson distribution•现在常称为：WS model•一般地，小世界网络具有大的簇系数和小的平均最短距离。
复杂网络演化的自组织现象——以无标度网络为例SF网络及其模型构造算法无标度网络中的无标度为什么无标度网络的度分布满足幂律分布？SF网络符合SOC的条件复杂网络的网络拓扑熵和标准结构熵复杂网络的自组织演化的表现复杂系统、复杂网络自相似结构的涌现规律的统一Scale Free网络•节点度服从幂律分布，就是说具有某个特定度的节点数目与这个特定的度之间的关系可以用一个幂函数近似地表示。