概率论与数理统计知识总结之第一章

的和事件。
3.事件A B ={x|x A且x B}称为事件A与事件B的积事件。当且仅当A,B同时发生时，事件A B发生。A B记作AB。
类似地，称IAk为n个事件A11A21…，宀的积事件；称|Ak为可列个事件k1k1
A,A2,…的积事件。
4.事件A B {x|x A且x B}称为事件A与事件B的差事件。当且仅当A发生、B不发生时事件A B发生。
频率的基本性质：
1.0三fnA三1
2.fnS=1
3.若A，A2,…人是两两互不相容的事件，则
fn(A A2…Ak)=fn(A1)fn(Ak)
概率：
设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一事件A赋予一个实数，记
为P(A)，称为事件A的概率，如果集合函数P(-)满足下列条件：
1.非负性
2.规范性：对于必然事件S,有P(S)=1
j1
实际推断原理：
人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发
生的”
条件概率
事件A已发生的条件下事件B发生的概率
设A,B是两个事件，且P(A)>0,称P(B|A)=P(AB)/P(A)为在事件A发生的条件
下事件B发生的条件概率•
条件概率P(-|A)的性质：
1.非负性:P(B| A)>0
4.对于任一事件A，P(A)<1
5.对于任一事件A，有P(A)=1-P(A)
6.对于任意两事件A,B有P(A B )=P(A)+P(B)-P(AB)
一般地，对于任意n个事件A,A2,…，宀，可以用归纳法得出
n
P(A A2…An)=P(Ai)-P(AAj)+AAjAk+…
i11i j n1 i j k n
ji
先验概率： 根据以往数据分析得到的概率 后验概率：
在得到信息之后再重新加以修正的概率
独立性：
5.若A B，则称事件A与B是互不相容的，或互斥的。这指的是事件A与
事件B不能同时发生。基本事件是两两互不相容的
6.若A B S且A
B，则称事件A与事件B互为逆事件。又称事件A与事
件B互为对立事件。
这指的是对每次试验而言，事件A,B中必有一个发生。A的
对立事件A.A S
A.
设代B,C为事件，则有
交换律:
第一章 概率论的基本概念
确定性现象： 在一定条件下必然发生的现象
随机现象： 在个别试验中其结果呈现出不确定性， 在大量重复试验中其结果又具 有统计规律性的现象
随机试验：
来自百度文库具有下述三个特点的试验：
1.可以在相同的条件下重复地进行
2.每次试验的可能结果不止一个，且能事先明确试验的所有可能结果
3.进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现
2.规范性：对于必然事件S,有P(S| A)=1
3.可列可加性：设B,, B2,…是两两互不相容的事件，则有
P(UBi|A)P(Bi|A)
1 1i i
对于任意事件B,C,有
P(BUC|A)=P(B|A)+P(C|A)-P(BC|A)
乘法定理：
设P(A)>0，则有P(AB)=P(B|A)P(A)
一般，设AA,…,An为n个事件，n》2,且代J >0,则有
样本空间：
将随机试验E的所有可能出现的结果组成的集合称为E的样本空间，记为S样本点：
样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点 样本空间的元素是由试验的目的所确定的。
随机事件：
一般，我们称试验E的样本空间S的子集为E的随机事件，简称事件 在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。 基本事件：
由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。
必然事件： 样本空间S包含所有的样本点，它是S自身的子集，在每次试验中它总是发生的, 称为必然事件。
不可能事件：
空集 不包含任何样本点， 它也作为样本空间的子集， 在每次试验中， 称为不可 能事件。
事件间的关系与运算：
设试验E的样本空间为S,而A,B,Ak(k=1,2,…)是S的子集。
1.若A B，则称事件B包含事件A，这指的是事件A发生必然导致事件B发 生。
若A B且B A,即A=B，则称事件A与事件B相等。
2.事件A B x|x A或x B称为事件A与事件B的和事件。当且仅当A,B中至少有一个发生时，事件A B发生。
n
类似地，称u Ak为事件Ai,A2,…，An的和事件；称U Ak为可列个事件…k1k1
A B
B
A; A
B
B
A.
结合律:
A (B
C)
(A
B)
C；
A (B
C)
(A
B)
C.
分配律:
A (B
C)
(A
B)
(A
C)；
A (B
C)
(A
B)
(A
C).
德•摩根律:
A
B
A
B:
A
B
A
B.
频率与概率
频率：
在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数nA，
称为事件A发生的频数，比值nA/n称为事件A发生的频率，并记成fnA
3.可列可加性：P(A1A2…)=P(A1)+P(A2)+…
概率的性质：
1.P()=0
2.(有限可加性)若A1，A2，…，代是两两互不相容的事件，则有
P(A A2…An)=P(A) + P(A2)+…+P(An)
3.设A,B是两个事件，若A B，则有
P(B-A)=P(B)-P(A),P(B)> P(A)
+( 1)n1P(AAAAJ
等可能概型(古典概型)
定义：
具有以下两个特点的试验称为等可能概型：
1.试验的样本空间只包含有限个元素
2.试验中每个基本事件发生的可能性相同
事件概率计算公式：
若事件A包含k个基本事件，即A q e2八eij
k
P(A)=P(e ) =kn=(A包含的基本事件数)/(S中基本事件的总数)
P(A!A2AAn) P(An|几人2八An i)P(An 1|几几八乓2)八P(A?| A)P(A)
划分：
设S为试验E的样本空间，Bi,B2,ABn为E的一组事件，若
1.BiBj,i j,i, j1,2,a,n
2.B1B2ABnS,
则称Bi, B2, A Bn为样本空间S的一个划分
全概率公式：
设试验E的样本空间为S, A为E的事件，Bi,B2,ABn为S的一个划分，且
P(Bi) 0(i 1,2,A,n)，则
P(A) P(A B1)P(B1) P(A B2)P(B2) A P(A Bn)P(Bn)
贝叶斯公式：
设试验E的样本空间为S,A为E的事件，Bi,B2,ABn为S的一个划分，且P(A)>0,
P(Bi) 0(i 1,2,A,n),则
n
P(BiA) P(A Bi)P(Bi)/ P(ABj)P(Bj)