武汉大学2012年数学分析考研试题及解答
数学分析与高等代数考研真题详解--武汉大学卷
⎪⎩4x1 + 5x2 − 5x3 = −1
与
Ⅱ）
⎩⎧⎨2axx11
+ −
bx2 − x3 x2 + ax3
= =
0 3
同解，求其通解和 a, b ．
⎛1
6．（20
分）设
A
=
⎜ ⎜⎜⎝1
1⎞
⎟ 1⎟⎠⎟
是
n
阶矩阵，
⑴ 求 A 的特征值和特征向量；
⑵ 求可逆矩阵 P ，使 P−1AP 为对角矩阵．
7．（12 分）设 A 、 C 是 n 阶实正定矩阵， B 是矩阵方程 AX + XA = C 的唯一解，证
校教师，硕博研究生报名参与本丛书的编写工作，他们在工作学习的过程中挤时间，编写审
稿严肃认真，不辞辛苦，这使我们看到了中国数学的推广和科研的进步，离不开这些默默无
闻的广大数学工作者，我们向他们表示最崇高的敬意！
国际数学大师陈省身先生提出：“要把中国建成 21 世纪的数学大国。”每年有上万名数
学专业的学生为了更好的深造而努力考研，但是过程是艰难的。我们为了给广大师生提供更
+∞
∫ ∫ ∵ f (x)dx 绝对收敛 ∴∀ε > 0, ∃A0 > 0, 使 A > A0 时有 2 f (x)dx < ε 2
0
0
∫ ∫ ∫ +∞
∴2
f
(x)
sin
x( y1
−
y2 )
dx
=
A
2
f
(x)
sin
x( y1
−
y2 )
dx
+
+∞
2
f
(x)
2012年考研(数学三)真题试卷(题后含答案及解析)
2012年考研（数学三）真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．曲线渐近线的条数为( )．A．0B．1C．2D．3正确答案：C2．设函数f(x)＝(ex－1)(e2x－2)…(enx－n)，其中n为正整数，则fˊ(0)＝( )．A．(－1)n－1(n－1)!B．(－1)n(n－1)!C．(－1)n－1n!D．(－1)nn!正确答案：A3．设函数f(t)连续，则二次积分A． B． C． D． 正确答案：B4．已知级数条件收敛，则α的取值范围为( )．A．0＜α≤1／2B．1／2＜α≤1C．1＜α≤3／2D．3／2＜α＜2正确答案：D5．设其中c1，c2，c3，c4为任意常数，则下列向量组线性相关的是( )．A．α1，α2，α3B．α1，α2，α4C．α1，α3，α4D．α2，α3，α4正确答案：C6．设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且若P＝(α1，α2，α3)，Q＝(α1＋α2，α2，α3)，则Q－1AQ＝( )．A． B． C． D． 正确答案：B7．设随机变量X与Y相互独立，且都服从区间(0，1)上的均匀分布，则P ｛X2＋Y2≤1｝＝( )．A．1／4B．1／2C．π／8D．π／4正确答案：D8．设X1，X2，X3，X4为来自总体N(1，σ2)(σ＞0)的简单随机样本，则统计量服从的分布为( )．A．N(0，1)B．t(1)C．x2(1)D．F(1，1)正确答案：B填空题9．正确答案：10．正确答案：11．正确答案：12．由曲线y＝4／x和直线y＝x及y＝4x在第一象限中所围图形的面积为________．正确答案：如右图，阴影部分面积即为所求，由直线z：l将阴影分为两部分，则所求面积13．设A为3阶矩阵，｜A｜＝3，A*为A的伴随矩阵，若交换A的第一行与第二行得到矩阵B，则｜BA*｜＝_________．正确答案：根据题意，设则由题知PA＝B，A为3阶矩阵，又｜A｜＝3，所以｜A*｜＝｜A｜2＝9．因此｜BA*｜=｜B｜｜A*｜＝｜PA｜｜A*｜＝｜P｜｜A｜｜A*｜＝－27．14．设A，B，C是随机事件，A，C互不相容，P(AB)＝1／2，P(C)＝1／2，则P(AB｜C￣)＝________．正确答案：解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2012年考研数学试题详解及评分参考
P{X < Y} =
(A)
1 5
(B)
1 3
(C)
2 3
(D)
4 5
【答】 应选 (A) .
【解】 由题设，知 X 与Y 的概率密度分别为
f
X
(
x)
=
ìe- x
í î
0,
,
x > 0, x£0
fY
(
y)
=
ì4e-4
í î
0,
y
,
又 X 与Y 相互独立，所以 X 与 Y 的联合密度函数为
y >0， y£0
æ1 0 0ö
(A)
ç ççè
0 0
2 0
0 1
÷ ÷÷ø
æ1 0 0ö
(B)
ç ççè
0 0
1 0
0 2
÷ ÷÷ø
æ2 0 0ö
(C)
ç ççè
0 0
1 0
0 2
÷ ÷÷ø
æ2 0 0ö
(D)
ç ççè
0 0
2 0
0 1
÷ ÷÷ø
【答】 应选 (B) .
【解法一】 显然 Q 是将 P 的第 2 列加到第 1 列得到的，所以有 Q = PE(1)+(2) ，因而
(A) a1,a2 ,a3
(B) a1,a2 ,a4
(C) a1,a3,a4
(D) a2 ,a3,a4
【答】 应选 (C) .
【解】 由 a1,a2 ,a3 = - c1 ，知 c1 ¹ 0 时，a1,a2 ,a3 线性无关，故排除(A)；
同理，由 a1,a2 ,a4 = c1 ，知 c1 ¹ 0 时，a1,a2 ,a4 线性无关，故排除(B)；
2012年全国硕士研究生入学统一考试考研数学一真题及详解【圣才出品】
【考点】考查向量的相关性的判断
【解析】由已知得
0 1 1
1 1
1,3,4 0
1
1 c1 1
0 1
c1 c3 c4
可知 α1，α3，α4 线性相关。
6．设 A 为三阶矩阵，P 为三阶可逆矩阵，且
1 0 0
P1
AP
0
1
0
0 0 2
若 P＝（α 1，α 2，α 3），Q＝（α 1＋α 2，α 2，α 3），则 Q－1AQ＝（ ）。
1 0 0
A．
0
2
0
0 0 1
1 0 0
B．
0
1
0
0 0 2
2 0 0
C．
0
1
0
0 0 2
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2 0 0
D．
0
2
0
0 0 1
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2012 年全国硕士研究生入学统一考试考研数学一真题及详解
一、选择题（1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有
一个选项符合题目要求。）
1．曲线 y＝（x2＋x）/（x2－1）的渐近线的条数为（ ）。
f y
(0,
2
0)
g
x2 y2
y 0
0
由可微的定义可知 f（x，y）在点（0，0）处可微。因此，B 项正确。
4．设
Ik
kπ ex2 sin xdx(k 1, 2,3)
0
则有（ ）。
A．I1＜I2＜I3
B．I3＜I2＜I1
C．I2＜I3＜I1
D．I2＜I1＜I3
2012考研数学一真题及详解
2012年全国硕士研究生统一考试数学一试题及答案一、选择题：共8小题，每题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定的位置上。
1、曲线221x x y x +=-渐近线的条数（ ）（A ）0； （B ）1； （C ）2； （D ）3。
解：（C ）：22211lim lim 1111x x x x x x x→∞→∞++==--，可得有一条水平渐近线1y =；222112lim 1lim 1x x x x x x →→+==∞--，可得有一条铅直渐近线1x =；22111(1)1lim lim lim 1(1)(1)12x x x x x x x x x x x x →-→-→-++===--+-，可得1x =-不是铅直渐近线，故答案为（C ）。
2、设函数2()(1)(2)()x x nx y x e e e n =--- ，其中n 为正整数，则'(0)y =（ ） （A ）1(1)(1)!n n ---；（B ）(1)(1)!n n --；（C ）1(1)!n n --；（D ）(1)!n n -。
解：（A ）：(0)(11)(12)(1)0y n =---= ；则22000()(0)(1)(2)()(2)()'(0)lim lim lim0x x nx x nx x x x y x y e e e n x e e n y x x x→→→------===- 1(12)(1)(1)(1)!n n n -=--=-- 。
故答案为（A ）。
3．如果函数(,)f x y 在(0,0)处连续，那么下列例题正确的是（ ）（A ）若极限(,)(0,0)(,)lim ||||x y f x y x y →+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微；（B ）若极限22(,)(0,0)(,)limx y f x y x y →+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微；（C ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限(,)(0,0)(,)lim||||x y f x y x y →+存在；（D ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限22(,)(0,0)(,)limx y f x y x y →+存在。
武汉大学《数学分析》《高等代数》历年考研真题(2009-2018汇总)
4
8! ( K 14 ©) lim an = +∞, y²:
n→∞
Ô! ( K 14 ©) ¼ê
1n
lim n→∞ n
ak = +∞.
k=1
(x2 + y2) sin f (x, y) =
0,
1 , x2 + y2 = 0; x2 + y2
x2 + y2 = 0.
1. ¦ fx(0, 0), fy(0, 0); 2. y²: fx(0, 0), fy(0, 0) 3 (0, 0) ØëY; 3. y²: f (x, y) 3 (0, 0) Œ‡, ¿¦ df (0, 0).
l! ( K 15 ©) z(x, y) ëY
Œ‡, 釩•§
1
∂2z
∂2z ∂2z
1
∂z ∂z
(x2 + y2)2
∂x2
+
2 ∂x∂y
+
∂y2
− (x2 + y2)3
+ ∂x ∂y
= 0.
ŠCþ“† u = xy, v = x − y. 1. ¦“† •§; 2. •ÑCþ“†” :8, ¿`²”
4. OŽ F (α), Ù¥:
eα
x+3α
F (α) = dx
f (x, y)dδ.
D
¦ f (x, y).
Ê! ( K 14 ©) f (x) ´ {(x, y)|x2 + y2 1} þ gëYŒ‡¼ê, …÷v
∂2f ∂x2
+
∂2f ∂y2
= (x2 + y2)2,
Á¦È©
x2+y2 1
x ∂f
2012年考研数学一真题解析
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 曲线221x xy x +=-渐进线的条数（A ）0 (B)1 (C)2 (D)3【考点分析】：曲线的渐近线条数。
【求解过程】：C⏹ 方法一：利用函数图像的平移，将已知的函数的渐近线条数转化为简单的基本函数的渐进线条数。
由于22(1)111(1)(1)11x x x x x y x x x x x ++====+--+--， 可知，221x x y x +=- 的图像是由1y x=的图像向由右平移一个单位，再向上平移一个单位所得。
由于图像平移并不改变其渐进线的条数。
1y x=有两条渐进线，其中一条为水平渐近线0y =，一条为垂直渐近线0x =。
所以221x xy x +=-也有两条渐近线，选择C 。
【相关补充】：函数平移口诀：上加下减，左加右减。
例如，把函数()y f x =依次做以下四次的平移：（1）向上平移1个单位，（2）向下平移2个单位（3）向左平移1个单位（4）向右平移2个单位。
则新函数的解析式为(12)12(1)1y f x f x =+-+-=--。
⏹ 方法二：直接求解函数的渐近线。
因为 22lim 1,1x x xx →∞+=- 所以1y = 为水平渐进线。
又由于有水平渐进线，所以一定不存在同一趋向下的斜渐进线。
又因为221lim ,1x x xx →+=∞-所以1x =为垂直渐进线。
综上所述，221x xy x +=-也有两条渐近线，选择C 。
【相关补充】：斜渐进线的求解步骤：1) 考察是否有lim ()x f x →±∞=∞？若是，则转2）2) 考察是否有()limx f x a x→±∞=（常数）？，若是，则转3） 3) 是否有lim[()]x f x ax b →±∞-=存在？若是，则()y f x =有斜渐进线y ax b =+，上述任何一个步骤中，若否，则无斜渐进线。
数学分析与高等代数考研真题详解--武汉大学卷
−
n+1
n
−
x x x x l xl x xl x =
−
n+ p
n+ p−1 +…+
－
n+1
< 2[
n
2 n+ p
1
+ ... +
−
] 2
1
n +1
l x x l l l x x <
2( − 2 l −1
)
1
1
n
=M
−n
(M=
2− 2 l −1
1)
显然由柯西收敛准则知，对于 ∀ε > 0 ， ∃N > 0 ，使得 n>N 时
wwwboss163com博士家园二零一零年二月博士家园系列内部资料数学分析与高等代数考研真题详解武汉大学考研数学专卷目录9501年数学分析试题解答电子版在随书附赠的光盘中2002年招收硕士研究生入学考试数学分析试题2002年招收硕士研究生入学考试数学分析试题解答2002年招收硕士研究生入学考试高等代数试题2002年招收硕士研究生入学考试高等代数试题解答2003年招收硕士研究生入学考试数学分析试题及解答2003年招收硕士研究生入学考试高等代数试题及解答2004年招收硕士研究生入学考试数学分析试题及解答2004年招收硕士研究生入学考试高等代数试题及解答2005年招收硕士研究生入学考试高等代数试题及解答2005年招收硕士研究生入学考试数学分析试题及解答2006年招收硕士研究生入学考试数学分析试题及解答2007基础数学复试题2008年招收硕士研究生入学考试数学分析试题及解答2008年招收硕士研究生入学考试线性代数试题及解答2009年数学分析试题及解答电子版在随书附赠的光盘中2009年高等代数试题及解答电子版在随书附赠的光盘中2009博士家园系列内部资料武汉大学博士家园系列内部资料2002年数学分析答案由归纳法知n123
[考试必备]武汉大学数学分析考研试题集锦(1992,1994-2012年)
![[考试必备]武汉大学数学分析考研试题集锦(1992,1994-2012年)](https://img.taocdn.com/s3/m/58bacf00bb68a98271fefa54.png)
（3）在 (0,0) 附近，是否存在过在 (0,0) 的唯一连续隐函数？为什么？
（3）若存在隐函数过 (0,0) 点，问其导函数为何？
武汉大学数学分析 1996
1．设 an → a(n → +∞) ，令
a
+ n
=
⎩⎨⎧a0n,,
an an
> ≤
0 ，a
0
=
⎧a, ⎩⎨0,
a>0 a≤0
证明：
a
+ n
4．设 u = u(t, x, y, z) 有二阶连续偏导数， Ω 为 (x, y, z) 空间的一有界闭集，它有光滑边界
∂Ω ， ∂Ω 处的单位外法向矢量为 ν ，证明：
∫∫∫ Ω
∂u ∂t
⋅
∆udxdydz
=
∫∫
∂Ω
∂u ∂t
⋅
∂u ∂ν
dS
−
1 2
d dt
∫∫∫ Ω
∇u
2
dxdydz
(外侧）
其中 N > 0 为一常数，且逐点有 fn (x) → f (x) （当 n → +∞ ）。证明： （1） f (x) 在[a,b] 上连续。
（2） fn (x)→ f (x) 。
6．设
f
(x,
y)
=
⎪⎪⎧ g ( x, ⎨
y ) sin
⎪0,
⎪⎩
1, x2 + y2
(x, y) ≠ (0,0)
，证明
→
a+ (n
→
+∞) 。
( ) 2．设 lim ( x, y)→( x0 , y0 )
f
(x,
y)
2012年考研数学真题(完整版)
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题:1:8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 曲线221x x y x +=-渐近线的条数 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2) 设函数2()(1)(2)()xxnx y x e ee n =---L ,其中n 为正整数,则(0)y '= ( )(A) 1(1)(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n -- (D) (1)!n n -(3) 如果函数(,)f x y 在(0,0)处连续,那么下列命题正确的是 ( )(A) 若极限00(,)limx y f x y x y→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微(B) 若极限2200(,)limx y f x y x y→→+存在,则(,)f x y 在(0,0)处可微 (C) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则 极限00(,)limx y f x y x y →→+存在(D) 若(,)f x y 在(0,0)处可微,则 极限2200(,)limx y f x y x y→→+存在 (4)设2sin (1,2,3)k x K e xdx k π==⎰I 则有 ( )(A)123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D)213I I I <<(5)设1100C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,2201C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ,3311C α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭ ,4411C α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,其中1234,,,C C C C 为任意常数，则下列向量组线性相关的为( )(A)123,,ααα (B) 124,,ααα (C)134,,ααα (D)234,,ααα(6) 设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1100010002p AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.若P=（123,,ααα），1223(,,)ααααα=+，则1Q AQ -= ( )(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(C) 200010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(D)200020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(7)设随机变量X 与Y 相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则{}p X Y <=( )(A)15 (B) 13(C) 25 (D) 45 (8)将长度为1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为 ( )(A) 1 (B) 12 (C) 12- (D)1-二、填空题：9:14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)若函数()f x 满足方程'''()()2()0f x f x f x +-=及''()()2f x f x e +=，则()f x =(10)2x =⎰(11)(2,1,1)()|zgrad xy +y=(12)设(){},,1,0,0,0x y z x y z x y z ∑=++=≥≥≥，则2y ds ∑=⎰⎰(13)设X 为三维单位向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵T E XX -的秩为 (14)设A ,B ,C 是随机变量，A 与C 互不相容，()()()11,,23p AB P C p AB C === 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)证明21ln cos 1(11)12x x x x x x ++≥+-<<-(16)求函数222(,)x y f x y xe +-=的极值(17)求幂级数22044321nn n n x n ∞=+++∑的收敛域及和函数 (18)已知曲线(),:(0),cos 2x f t L t y tπ=⎧≤<⎨=⎩其中函数()f t 具有连续导数，且'(0)0,()0(0).2f f t t π=><<若曲线L的切线与x 轴的交点到切点的距离恒为1，求函数()f t 的表达式，并求此曲线L 与x 轴与y 轴无边界的区域的面积。
2012年武汉大学数学与统计学院432统计学[专业硕士]考研真题及详解【圣才出品】
![2012年武汉大学数学与统计学院432统计学[专业硕士]考研真题及详解【圣才出品】](https://img.taocdn.com/s3/m/3f61feb2680203d8ce2f24c4.png)
2012年武汉大学数学与统计学院432统计学[专业硕士]考研真题及详解武汉大学2012年攻读硕士学位研究生入学考试试题（专业学位）（满分值150分）科目名称：统计学（B卷）科目代码：432注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。
一、单项选择题（本题包括1～30题共30个小题，每小题2分，共60分。
在每小题给出的四个选项中选择一个正确选项，且将题号和你的相应选项前的字母一并按顺序写在答题纸上）。
1．将一颗质地均匀各面上分别标有数1，2，3，1，2，3的正方体先后抛掷2次，则至少出现一次3点向上的概率是（）A．4／9B．5／9C．25／36D．11／36【答案】B【解析】记A表示事件“抛两次至少出现一次3点向上”，则A表示事件“抛两次均不出现3点向上”。
事件“一次抛掷中，不出现3点向上”的概率为46，故445()1()1669P A P A =-=-⨯=2．离散型随机变量ξ的分布列为-1011/22αα⎛⎫ ⎪⎝⎭，则α＝（ ）。
A ．1／6B ．1／3C ．1／2D ．1／5【答案】A【解析】由α＋1/2＋2α＝1，得α＝1/6。
3．对于随机变量ξ，有D （－2ξ）＝1，则D （ξ）＝（），其中D （ξ）表示随机变量ξ的方差。
A ．－1／2B ．1／2C ．－1／4D ．1／4【答案】D【解析】D （－2ξ）＝ 4D （ξ）＝1，则D （ξ）＝1/4。
4．数学期望和方差相等的两个随机变量（ ）。
A ．同分布B ．相等C ．有相等的二阶矩D ．有相同的密度函数【答案】C 【解析】数学期望和方差描述的是随机变量的二阶矩，即()()()X E X D X E 22+=。
总体分布可以确定随机变量的各阶矩，但是一般情况下，二阶矩不能确定总体的分布。
5．设在矩形[－1，1]×[－2，2]上，f （x ，y ）＝（α＋βsin x sin y ）；且在此矩形之外f（x ，y ）＝0。
数3--12真题答案
2012年考研数学(三)试卷答案速查一、选择题（1）C （2）A （3）B （4）D （5）C （6）B （7）D （8）B 二、填空题 （9）2e− （10）1e − （11）2d d x y − （12）4ln 2（13）27− （14）34三、解答题（15）112. （16）12.（17）（Ⅰ）22(,)2061000042x y C x y x y =++++.（Ⅱ）24,26x y ==,最小成本(24,26)11118C =.（Ⅲ）边际成本为32万元,表示当甲产品产量为24件时，每增加一件甲产品,其成本增加32万元. （18）略.（19）（Ⅰ）()e xf x =.（Ⅱ）(0,0).（20）（Ⅰ）41a −.（Ⅱ）T T1,(1,1,1,1)(0,1,0,0)a k =−=+−x ,k 为任意常数.（21）1a =−，正交变换矩阵11132611132612036⎛⎫ ⎪ ⎪−⎪=⎪ ⎪− ⎪ ⎪⎝⎭Q ，标准形222326f y y =+. （22）（Ⅰ）14.（Ⅱ）23−.（23）（Ⅰ）22e ,0,()0v V v f v −⎧>=⎨ , ⎩其他.（Ⅱ）2.2012年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）参考答案一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． （1）【答案】C ．【解答】由曲线方程及渐近线的定义可知,22(1)1(1)(1)x x x x y x x x ++==−−+,故1lim ,x y →=∞所以1x =为垂直渐近线;又由lim 1x y →∞=,故1y =为水平渐近线,无斜渐近线,故曲线渐近线的条数为2.（2）【答案】A.【解答】因为2100()(0)(e 1)(e 2)(e )(0)lim lim(1)(1)!x x nx n x x f x f n f n x x−→→−−−−'===−−，所以选A. （3）【答案】B. 【解答】由二重积分π22202cos d ()d f r r r θθ⎰⎰可知，被积函数22()f x y +，积分区域为22π{()2cos 20}={()2402}2D r,|r ,x,y |x x y x ,x θθθ=−−，所以π22202cos d ()d f r r r θθ=⎰⎰22242202d ()d x x xx f x y y −−+⎰⎰，故答案选B.（4）【答案】D. 【解答】由11(1)sin na n n n ∞=−∑绝对收敛，知1121(1)na n n ∞−=−∑绝对收敛，故32a >； 再由211(1)nan n ∞−=−∑条件收敛，有021a <−，即12a <. 综合得322α<<，故选D. （5）【答案】C.【解答】由已知可得134,,0,=ααα134,,ααα线性相关,所以选C. （6）【答案】B.【解答】1223123100(,,)(,,)110001Q ααααααα⎛⎫ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭,所以,11100110,001−−⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭Q AQ1100100100100100110110010110010001001002001002−⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪=−= ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭P AP ，所以选B.（7） 【答案】D.【解答】由条件可知,X Y 的概率密度函数,又二者独立所以其联合密度函数为1,0,1,(,)()()X Y x y f x y f x f y ⎧==⎨0 , ⎩其他.从而{}22221π1(,)d d d d 4Dx y P x y f x y x y x y ++===⎰⎰⎰⎰，所以选D. （8）【答案】B.【解答】由条件可知212~(0,2)X X N σ−,12~(0,1)2X X N σ−, 2342~(0,2)X X N σ+−,342~(0,1)2X X N σ+−,化简即可.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （9）【答案】2e−.【解答】原式()2ππ44tan 1sec tan 1limlim1cos sin cos sin cos sin 2tan 1π4lim 1tan 1e ee x x x xx x x x x x xx x x →→−−−−−−−−→⎡⎤=+−===⎢⎥⎣⎦.（10）【答案】1e −.【解答】因为(())y f f x =，所以e ed (())()((e))(e)d x x yf f x f x f f f x==''''==，而e1(e)=ln 2x f x==，121((e))=()=(21)22x f f f x ='''−=，()e1(e)=ln 2e x f x =''=， 故ed 112d 2e ex y x==⋅=. 【注】可以先求出复合函数的表达式，再求导.因为22ln ln ,e ,ln (),()1,(())2ln 1,1e ,2()1,() 1.2(21)1, 1.x x f x f x y f f x x x f x f x x x ⎧>⎪⎧⎪⎪===−<⎨⎨−<⎪⎪⎩−−<⎪⎩所以ed d x yx==1e −.（11）【答案】2d d x y −. 【解答】由于()2(,)(0,1)2(,)22lim01x y f x y x y x y →−+−=+−,可知[](,)(0,1)lim(,)220x y f x y x y →−+−=,由于(,)z f x y =连续,可得(0,1)1f =. 又()2(,)(0,1)2(,)(0,1)2(1)lim01x y f x y f x y x y →−−+−=+−,由微分定义可知,函数在该点可微分,且2,1x y f f ''==−,故可知答案.（12）【答案】4ln 2. 【解答】曲线4y x =与y x =交点为(2,2),4y x=与4y x =交点为(1,4),故平面图形的面积1d 4ln 2DS σ==⎰⎰.（13）【答案】27−.【解答】由初等矩阵的性质可知010100001⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭B PA A ,所以,**27==−BA PAA .（14）【答案】34. 【解答】,A C 互不相容,()0P ABC =,()()()3(|)1()4()P ABC P AB P ABC P AB C P C P C −===−.三、解答题：15～23小题,共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （15）（本题满分10分）解：()2222cos 2cos 222cos 4400e e 1e e limlimx xx x xx x x x −+−−→→−−=3243300012cos 2sin 16lim lim lim 2212x x x xx x x x x x x →→→+−−====.（16）（本题满分10分） 解：如图所示，11e d d e d d xxx Dxxy x y x x y y =⎰⎰⎰⎰()12011e d 2xx x =−⎰ ()112001e 1e d 2x x x x x =−+⎰110011e e d 22xx x x =−+−=⎰.（17）（本题满分10分） 解：（Ⅰ）由条件可知(,)20,2C x y xx ∂=+∂所以 20(,)20d ()20()24xt x C x y t y x y ϕϕ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭⎰,再由(,)6C x y y y ∂=+∂,所以2()6,()62y y y y y c ϕϕ'=+=++,再由固定成本为10000,得10000c =,于是22(,)2061000042x y C x y x y =++++.（Ⅱ）若50x y +=,带入成本函数可得()()222503()20650100003611550424y x x C x x y x −=++−++=−+,所以令3'()36,24,262xC x x y =−==,此时成本为11118. （Ⅲ）总产量为50件且总成本最小时甲产品的数量为24,其边际成本为32万元. 经济意义为当甲产品产量为24件时,每增加一件甲产品,其成本增加32万元.（18）（本题满分10分）yxO1 1D y x =1y x=证明：令21()ln cos 1(11)12x x f x x x x x +=+−−−<<−，则有()()f x f x =−，为偶函数.所以只需讨论0x >即可.()2211212()lnsin ln sin 11111x x x x f x x x x x x x x x x x +−+'=+−−=+−−−+−−−， ()()22422416(1)()cos 1,()sin 11x x f x x f x x x x −'''''=−−=+−−.当01x <<时，()0f x '''>，则()f x ''单调递增，且(0)2f ''=，所以()0f x ''>. 所以，当01x <<时，()f x '单调递增，且(0)0f '=，所以()f x 递增，且(0)0f =， 所以，当01x <<时，结论成立.同理，在10x −<<时，结论成立.（19）（本题满分10分）解:（Ⅰ）由()()2()0,f x f x f x '''+−=可知特征方程为220λλ+−=,通解为212e e x x y C C −=+,将其带入方程()()2e f x f x ''+=,可得2122e 5e 2e x x x C C −+=， 121,0C C ==.所以()e x f x =.（Ⅱ）由220()()d xy f x f t t =−⎰,得22'2e e d 1,xxt y x t −=+⎰2222202ee d 4ee d 2xxx t x t y t x t x −−''=++⎰⎰,令0,0y x ''==,当0x >时，0y ''>；当0x <时，0y ''<. 所以(0,0)为其拐点.（20）（本题满分11分）解：（Ⅰ）4221(1)(1)A =−=−+a a a ；（Ⅱ）由题可知当0A =时，解得1=a 或1=−a .当1a =时，增广矩阵作初等变换得，()1100101101|0011000002⎛⎫⎪− ⎪→ ⎪⎪−⎝⎭A β，()()|r r <A A β，故方程组无解；当1a =−时，增广矩阵作初等变换得，()1001001011|0011000000−⎛⎫⎪−−⎪→ ⎪− ⎪⎝⎭A β， ()()|3r r <=A A β，方程组有解，并可求得通解为T T (1,1,1,1)(0,1,0,0)x =+−k ，其中k 为任意常数.（21）（本题满分11分）解: （Ⅰ）由二次型的秩为2,知T()2r =A A ,故()2r =A ，对A 作初等变换，1011010110111000101000aa a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪−+ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭A ， 可得1a =−.（Ⅱ）当1a =−时，得T202022224⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A A .()()T 2020*******λλλλλλλ−−⎛⎫ ⎪−=−−=−− ⎪ ⎪−−−⎝⎭E A A ，可得TA A 的特征值1230,2,6λλλ===.当10λ=时，解方程组T(0)−E A A x =0，得相应的特征向量()T11,1,1=−α；当22λ=时，解方程组T(2)−E A A x =0，得相应的特征向量()T21,1,0=−α；当36λ=时，解方程组T(6)−E A A x =0，得相应的特征向量()T31,1,2=α.因为特征值各不相等，所以特征向量相互正交，故只需单位化，得()T 111,1,13=−β，()T 211,1,02=−β，()T311,1,26=β.于是得到正交矩阵11132611132612036⎛⎫ ⎪ ⎪−⎪=⎪ ⎪− ⎪ ⎪⎝⎭Q . 在正交变换=x Qy 下，二次型的标准型为222326f y y =+. （22）（本题满分11分）解：（Ⅰ）由二维离散随机变量的分布律可知1{2}{0,0}{2,1}4P X Y P X Y P X Y ====+===. （Ⅱ）X 的概率分布为X 0 1 2 P121316故23EX =.XY 的概率分布为XY 0 1 2 4P712 13112故23EXY =.Y 的概率分布为Y 0 1 2 P131313故1EY =,可得252,33EY DY ==,而 2(,)3Cov X Y Y EXY EXEY DY −=−−=−.（23）（本题满分11分）解：（Ⅰ）X 的概率密度函数为e ,0,()0x X x f x −⎧>=⎨ , ⎩其他.分布函数为1e ,0,()0x X x F x −⎧−>=⎨ , ⎩其他.又,X Y 独立同分布,V 的分布函数2()1[1()]V X F v F v =−−,所以V 的概率密度22e ,0,()0v V v f v −⎧>=⎨ , ⎩其他.同理可得U 的概率密度2(1e )e ,0,()0u u U u f u −−⎧−>=⎨ , ⎩其他.（Ⅱ）200312(1)e d ,2e d 22u u v EU u e u EV v v +∞+∞−−−=−===⎰⎰,所以()2E U V +=.。
2012考研数学一真题+答案解析
f ( x, y ) 存在，则必有 f (0, 0) = lim f ( x, y ) = 0 x →0 x2 + y2 y →0
这样， lim
x →0 y →0
f ( x, y ) f (Δx, Δy ) − f (0, 0) f (Δx, Δy ) − f (0, 0) 就可以写成 lim ，也即极限 lim 存在，可知 2 2 2 2 Δx →0 Δx → 0 Δx + Δy Δx 2 + Δy 2 x +y Δy → 0 Δy → 0 = 0 ，也即 f (Δx, Δy ) − f (0, 0) = 0Δx + 0Δy + o
的是（ ） （B） α1 , α 2 , α 4 （C） α1 , α 3 , α 4 （D） α 2 , α 3 , α 4 （A） α1 , α 2 , α 3 【答案】 ： （C）
0
【解析】 ：由于
( α1 , α 3 , α 4 ) =
0 c1
1 −1 −1 1 = c1 = 0 ，可知 α1 , α 3 , α 4 线性相关。故选（C） −1 1 c3 c4
（7）设随机变量 X 与 Y 相互独立，且分别服从参数为 1 与参数为 4 的指数分布， 则 P{X < Y} = （A） ( )
1 1 2 4 （B） （C） （D） 5 3 5 5 （8）将长为 1m 的木棒随机的截成两段，则两段长度的相关系数为( ) 1 1 （A）1 （B） （C） − （D） −1 2 2 二、填空题：9~14 小题，每小题 4 分，共 24 分。请将答案写在答题纸指定位置上 （9）若函数 f ( x) 满足方程 f '' ( x) + f ' ( x) − 2 f ( x) = 0 及 f '' ( x) + f ( x) = 2e ，则 f ( x) = （10） ∫ x 2 x − x 2 dx =
2012年考研数学真题及参考答案(数学二)
(B) I2< I2< I3.
(C) I1< I3 <I1,
(D) I1< I2< I3.
【答案】：(D)
∫ 【 解 析 】：：
Ik =
k ex2 sin xdx
e
看为以
k
为自变量的函数，则可知
∫ Ik ' = ek2 sin k ≥ 0, k ∈(0,π ) ，即可知 Ik =
k ex2 sin xdx 关于 k 在(0,π ) 上为单调增
=
(
y3
+
C
)
1 y
又因为 y = 1时 x = 1，解得 C = 0 ，故 x = y2 .
（13）曲线 y = x2 + x(x < 0) 上曲率为
2
的点的坐标是________。
2
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又因为,当 x → 0 时， x − sin x 与 1 x3 等价，故 f (x) − a ~ 1 x ，即 k = 1
6
6
（16）（本题满分 10 分）
求 f ( x, y) = xe − x2 + y2 的极值。
2
【解析】： f ( x, y) = xe − x2 + y2 ，
2
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(C) x1< x2, y1< y2.
(D) x1< x2, y1> y2.
【答案】：(D)
【解析】： ∂f (x, y) > 0 ， ∂f (x, y) < 0 表示函数 f (x, y) 关于变量 x 是单调递增的，关于变
2012考研数学三真题及答案解析
2012年研究生入学考试数学三真题解析（纯word ）版一、 1. 解析：C 由lim 1,1x y y →∞==得为水平渐近线 由1lim 1x y x →=∞=得为垂直渐近线由11lim ,12x y x →-=≠∞=-得非垂直渐近线，选（C ）2. 解析： A2221()(2)(2)(1)2()(1)(2)(0)1(1)(1)(1)(1)!x x nx x x nx x x nxn f x e e e e e e n e e ne f n n ''-=--+-⋅-+--∴=⨯-⨯⨯-=--选（A ） 3. 解析：B原式=2220()dx f x y dy+⎰4. 解析：D1211~,n n αα-且11(1)nn n α∞--∑绝对收敛.131.22α-α∴>>即又21(1)n n n α∞-=-∑条件收敛.02112αα∴<-≤⇒≤<322α∴<<，选D5. 解析：C343400c c αα⎛⎫⎪+= ⎪⎪+⎝⎭,34αα+ 与1α成比例.1α∴与3α+4α线性相关,134ααα∴，，线性相关，选C或134134011,,0110c c c ααα-=-=134,,ααα∴线性相关，选C6. 解析：B111100100100110110110000001001Q P Q AQ P AP , ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭100110011011100012001⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪=- ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭100100100110110010002001002⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=-= ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，选B.7. 解析：D1,0,1)()()0,x y x y f x y f x f y <<⎧==⎨⎩（，其他22{1}(,)4D DS P X Y f x y d D S πΩ+≤=σ==⎰⎰，选8. 解析：B212~(0,2)~(0,1)X X X X N N --σ⇒23422~(0,2)~(0,1)X X X X N N +-+-σ⇒~(1)X X t -即1234~(1),2X X t X X -+-选B二、 9.解析：e解：原式=tan 11cos sin tan 14lim (1(tan 1))x x xx x x π---→⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦=41sin cos limcos cos sin x x x x x ee π→-⋅-=10. 解析： 40[()]()(1)(0)x dyf f x f x dx dyf f dx ''''===-而1()2x f x '<=时，(1)(0) 2. 4.x dyf f dx=∴-===于是11. 解析：2x dzdx dy==-解：令ρ=则(,)220(),(0,1)1f x y x y f ρ-+-==(,)12(1)0()f x y x y ρ-=--+(0,1)(0,1)2,(0,1)1,2.x y f f dzdx dy ''==-∴=-12. 解析：4 ln2 解：12014(4)S x x dx x dxx ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭⎰⎰1324ln 24ln 222=-+-=13. 解析：-27 解：|||| 3.B A =-=-**2||||||3||27.BA B A A =⋅=-⋅=-14.解析：34解：()()()(|)1()()P ABC P AB P ABC P AB C P C P C -==- AC φ= ，ABC φ∴=.1()32(|)21()43P AB P AB C P C ∴===-.三、 15.解析：原式222cos 22cos 41lim x xx x ee x -+-→-=⋅2430022cos 2(sin )lim lim 4x x x x x x x x →→-+-==2011cos 1lim .2312x x x →-==16.解析：xDe xydxdy⎰⎰1xxe dx ydy=⎰1122001111(1)0222xx x x e dx e x e dx =-=-⎰⎰ 2111121(22)022222x e e e x x e ---=--+=-=.17.解析：1）设成本函数为(,),C x y 则(,)202,x x C x y '=+对x 积分得，2(,)20(),4x C x y x y +ϕ=+再对y 求导有，(,)()6y C x y y y'ϕ'==+，再对y 积分有，21()62y y y c ϕ=++所以，221(,)20642x C x y x y y c=++++ (0,0)10000,10000,C c =∴= 于是221(,)2061000042x C x y x y y =++++2）若50x y +=，则50(250)y x x =-≤≤，代入到成本函数得221()206(50)(50)1000042x C x x x x =++-+-+=2336115504x x -+所以，令3()360,24,26,2C x x x y '=-===得总成本最小为(24,26)11118C =3）总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际成本为(24,26)32,x C '=即在要求总产量为50件时，在甲产品为24件时，改变一个单位的产量，成本会发生32万元的改变。
2012年考研数学三真题及解析
1 x 2x
ln 1x
1 x2
sin x
x
1 x 1 x2
ln 1x
1
x2 x
sin x
当0
x
1时，有 ln 1 x 1x
0，1 1
x2 x2
1 ，所以 1 1
x2 x2பைடு நூலகம்x
sin x
0，
故 f' x
0 ，而 f 0
1x
x2
0，即得 x ln
cos x 1
0
1x
2
所以 x ln 1 x cos x x2 1 。
【答案】：（ B）
f (x2
y 2 )dy
【解析】： 由 x x 2 y 2 解得 y 的下界为 2x x 2 ，由 x 2 y 2 2 解得 y 的上界为 4 x 2 .故排
除答案（ C）（ D） . 将极坐标系下的二重积分化为 X 型区域的二重积分得到被积函数为
f (x2 y2) ，
故选（ B） .
10000（万元），设该企
业生产甲、乙两种产品的产量分别为
x（件）和（ y 件），且固定两种产品的边际成本分别为
x 20 （万元
2
/件）与 6 y （万元 /件）。
1）求生产甲乙两种产品的总成本函数 C (x, y) (万元 )
2）当总产量为 50 件时，甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小？求最小的成本。
4
1 , P(C)
2
1 ,则 P( ABC )
3
________。
【解析】： 由条件概率的定义， P AB C
P ABC
，
PC
其中 P C
1 PC
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2012-数一真题、标准答案及解析
2012 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.x2 +x（1）曲线 y =（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【答案】：C 【解析】：limx→1x2 -1x2 +xx2 -1渐近线的条数为（）=∞，所以x = 1 为垂直的lim x2 +x = 1，所以y = 1为水平的，没有斜渐近线故两条选Cx→∞x2 -1（2）设函数 f (x) = (e x -1)(e2 x - 2)L (e nx -n) ，其中n 为正整数，则 f ' (0) =（A）(-1)n-1 (n -1)!（B）(-1)n (n -1)!（C）(-1)n-1 n!（D）(-1)n n!【答案】：C【解析】：f ' (x) =e x (e2 x - 2)L (e nx -n) + (e x -1)(2e2 x - 2)L (e nx -n) +L (e x -1)(e2 x - 2)L (ne nx -n) 所以 f ' (0) = (-1)n-1 n!（3）如果f (x, y) 在(0, 0)处连续，那么下列命题正确的是（）（A）若极限limx→0y→0f (x, y)f (x, y)存在，则f (x, y) 在(0, 0) 处可微（B）若极限limx→0y→02 +y2存在，则f (x, y) 在(0, 0) 处可微x +yxx +y→ ⎰（C ） 若 f (x , y ) 在(0, 0) 处可微，则极限limf (x , y ) 存在x →0 y →0f (x , y ) （D ） 若 f (x , y ) 在(0, 0) 处可微，则极限limx →0 y →02 + y 2存在【答案】：f (x , y ) 【解析】：由于 f (x , y ) 在(0, 0) 处连续，可知如果limx 0 y →02+ y存在，则必有 f (0, 0) = lim f (x , y ) = 02x →0y →0f (x , y ) f (⊗x , ⊗y ) - f (0, 0)f (⊗x , ⊗y ) - f (0, 0)这样， limx →0 y →02 + y 就可以写成 lim⊗x →0 ⊗y →0⊗x 2 + ⊗y 2，也即极限 lim⊗x →0⊗y →0⊗x 2 + ⊗y 2存在，可知limf (⊗x , ⊗y ) - f (0, 0)= 0 ，也即 f (⊗x , ⊗y ) - f (0, 0) = 0⊗x + 0⊗y + o⊗x →0⊗y →0。
2012考研真题及答案
2012考研真题及答案2012年的考研真题是许多考生备战考研的重要资料，了解这些真题并熟悉其中的答案对于备考考研的同学来说是至关重要的。
在本文中，将为您介绍2012年的考研真题及其答案。
第一部分：数学一2012年的考研数学一科目主要涵盖了数学分析、高等代数和概率论等内容。
以下是部分考题及其答案的概要。
题一：设函数f(x)在区间[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，证明：在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f(b)-f(a)=(b-a)f' ( ξ )。
解析：根据罗尔定理，由于f(x)在[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，那么在[a,b]上有f(a)=f(b)。
根据拉格朗日中值定理，存在一点ξ∈(a,b)，使得f' ( ξ )=(f(b)-f(a))/(b-a)。
所以，f(b)-f(a)=(b-a)f' ( ξ )。
题二：已知数列{a_n}的通项公式为a_n=2^n-3^n+4^n-5^n，求证数列{a_n}是等差数列。
解析：我们可以通过数学归纳法来证明这个结论。
当n=1时，a_1=2-3+4-5=-2。
当n=k时，假设a_k=2^k-3^k+4^k-5^k成立。
当n=k+1时，我们需要证明a_(k+1) =2^(k+1)-3^(k+1)+4^(k+1)-5^(k+1)也成立。
根据等差数列的性质，我们有a_(k+1)-a_k = (2^(k+1)-3^(k+1)+4^(k+1)-5^(k+1)) - (2^k-3^k+4^k-5^k)。
化简后可得a_(k+1)-a_k= -2 × 3^k + 3^(k+1) -2 × 5^k + 5^(k+1)。
通过整理和变换，我们得到a_(k+1)-a_k = -3^k (2-3) + 5^k (5-2) = 0。
因此，数列{a_n}是等差数列。
通过以上两道题目，我们可以看出2012年考研数学一科目的难度适中，考察了数学分析和代数的基本概念和推导方法。
数2--12真题答案
2012年考研数学(二)试题答案速查一、选择题（1）C （2）A （3）B （4）D （5）D （6）D （7）C （8）B 二、填空题（9）1 （10）π4（11）0 （12）x （13）(1,0)− （14）27− 三、解答题（15）（Ⅰ）1a =.（Ⅱ）1k =. （16）(1,0)为极大值点,极大值为12e −.(1,0)−为极小值点,极小值为12e−−.（17）()22π2,e 13S V ==−. （18）1615. （19）（Ⅰ）()e xf x =.（Ⅱ）(0,0). （20）略.（21）（Ⅰ）略. （Ⅱ）1lim 2n n x →∞=. （22）（Ⅰ）41a −.（Ⅱ）当1a =时无解.当1a =−时,TT(1,1,1,1)(0,1,0,0)k =+−x ，k 为任意常数.（23）（Ⅰ）1a =−.（Ⅱ）正交变换矩阵11132611132612036⎛⎫ ⎪ ⎪−⎪=⎪ ⎪− ⎪ ⎪⎝⎭Q ，标准形222326f y y =+.2012年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）参考答案一、选择题:1～8小题,每小题4分,共32分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． （1）【答案】C ．【解答】由题可知,22(1)1(1)(1)x x x x y x x x ++==−−+,故1lim ,x y →=∞所以1x =为垂直渐近线; 又由lim 1x y →∞=,故1y =为水平渐近线,无斜渐近线,故曲线渐近线的条数为2.（2）【答案】A.【解答】因为2100()(0)(e 1)(e 2)(e )(0)lim lim(1)(1)!x x nx n x x f x f n f n x x−→→−−−−'===−−，所以选A. （3）【答案】B.【解答】因为0(1,2,)n a n >=，所以数列{}n S 单调递增.如果{}n S 有界，由单调有界收敛准则知数列{}n S 极限存在，而1n n n a S S −=−，则1lim lim()0n n n n n a S S −→∞→∞=−=，即数列{}n a 收敛. 由此可知数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的充分条件. 反之，若{}n a 收敛，{}n S 未必收敛，例如，取1n a =(1,2,)n =，n S n =无上界，故选B. （4）【答案】D. 【解答】因为22π21πe sin d 0,x I I x x −=<⎰故21I I <；222π3π31π2πe sin d e sin d x x I I x x x x −=+⎰⎰22ππ(π)(2π)0esin d e sin d 0x x x x x x ++=−+>⎰⎰，故31I I >.所以选D.(5)【答案】D. 【解答】因为(,)0,f x y x∂>∂所以,固定y 值由12>x x 得1121(,)(,)>f x y f x y ，同理当(,)0,f x y y∂<∂固定x 值由12<y y 得2122(,)(,)>f x y f x y ,所以有答案D.（6）【答案】D.【解答】由二重积分的区域对称性可知π1552πsin 2(1)d d d (1)d πDxx y x y x x y y −−=−=−⎰⎰⎰⎰.(7)【答案】C.【解答】由已知可得134,,0,=ααα所以134,,ααα线性相关,选C. (8)【答案】B.【解答】1223123100(,,)(,,)110001Q ααααααα⎛⎫ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭，故11100110001−−⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭Q AQ ，1100100100100100110110010110010001001002001002−⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪ ⎪=−= ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭P AP ，所以选B.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （9）【答案】1.【解答】方程21e yx y −+=两边分别对x 求导，得d d 2e d d y y yx x x−= ①， 由0=x ，0=y ，得d 0d x yx==. 对①式两边再对x 求导，得22222d d d 2e e d d d y y y y y x x x ⎛⎫−=+ ⎪⎝⎭， 由0=x ，0=y ，d 0d x yx==，得22d 1d x yx==.（10）【答案】π4. 【解答】2222111lim ()12n n n n n n →∞++++++122222*********πlim ...lim d 14121111n n n i x n n x n i n n n n →∞→∞=⎛⎫ ⎪ ⎪=++=== ⎪+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑⎰. （11）【答案】0. 【解答】因为1(ln ),z f x y =+所以211,z z f f x x y y ∂∂−''==⇒∂∂20z zx y x y∂∂+=∂∂.（12）【答案】x .【解答】由题知该方程可化为d 3d x xy y y+=,为一阶线性微分方程,带入公式求解可得 3xy y C =+,带入初始条件可得0C =,最终可得结果.（13）【答案】(1,0)−. 【解答】由曲率公式()3/221y k y ''='+，曲线方程代入公式可得.（14）【答案】27−.【解答】由初等矩阵的性质可知010100001B PA A ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭,所以,**27BA PAA ==−.三、解答题：15～23小题,共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （15）（本题满分10分） 解:（Ⅰ）0011sin lim 1lim 1sin sin x x x x x x x x x →→+−⎛⎫−=−=⎪⎝⎭,1a =.（Ⅱ）221000sin 1()sin sin sin lim lim lim sin k k k x x x x x xf x a x x x x x x x x x x x+→→→+−−−+−−== 22110001(sin )(1)1cos 2lim lim lim (2)(2)k k k x x x xx x x x x k x k x +++→→→−+−===++， 因为它们为同阶无穷小量，所以1k =.（16）（本题满分10分）解:()()22222221e0,e0x y x y ffx xy xy++−−∂∂=−==−=∂∂，可解得1,0.x y =⎧⎨=⎩或1,0.x y =−⎧⎨=⎩. 因为22222222222222222(3)e,(1)e ,(1)e xy x y x y f f f x x x y y x xyx y+++−−−∂∂∂=−=−=−∂∂∂∂，所以当1,0.x y =⎧⎨=⎩时,11222e ;0;e A B C −−=−==−.又因为20,0AC B A −><,所以(1,0)为极大值点,极大值为12e−.同理当1,0.x y =−⎧⎨=⎩时,验证可得其为极小值点,极小值为12e −−.（17）（本题满分12分）解:设切点(,)A a b ,切线方程斜率为k ，则1k a=,ln b a =,并且(0,1)与A 两点共线,直线方程为1b ka −=,由此解得221e ,2,ea b k ===.切线方程:211,e y x =+与x 轴交于B 坐标为(1,0),直线AB 的方程22:(1)e 1AB l y x =−−,则 区域D 的面积22e 2e2222112(1)2ln d ln e 1e 12e 1e 1D x x x S x x x x x ⎛⎫−−⎡⎤=−=−−=+−+= ⎪⎢⎥−−⎣⎦⎝⎭⎰区域D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积()()22e 22212(1)2ππln d e 1e 13x V x x ⎡⎤−⎛⎫=−=−⎢⎥⎪−⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰.（18）（本题满分10分）解:如图，利用极坐标计算，由cos ,sin .x r r r θθ=⎧⎨=⎩，得π1cos 0d d cos sin d Dxy r r r r θσθθθ+=⎰⎰⎰⎰π401sin cos (1cos )d 4θθθθ=+⎰ π401cos (1cos )d cos 4θθθ=−+⎰141116cos (1)d 415t t t t θ−=+=⎰.（19）（本题满分10分）解:（Ⅰ）由()()2()0,f x f x f x '''+−=可知特征方程为220λλ+−=,通解为yxO2πD1cos r θ=+212e e x x y C C −=+,将其带入方程()()2e f x f x ''+=,可得2122e 5e 2e x x x C C −+=， 121,0C C ==.所以()e x f x =.（Ⅱ）由220()()d xy f x f t t =−⎰,得22'2e e d 1,xxt y x t −=+⎰2222202e e d 4e e d 2xxxt xt y t x t x −−''=++⎰⎰,令0,0y x ''==,当0x >时，0y ''>；当0x <时，0y ''<. 所以(0,0)为其拐点.（20）（本题满分11分）证明：令21()ln cos 1(11)12x x f x x x x x +=+−−−<<−，则有()()f x f x =−，为偶函数.所以只需讨论0x >即可.()2211212()lnsin ln sin 11111x x x x f x x x x x x x x x x x +−+'=+−−=+−−−+−−−， ()()22422416(1)()cos 1,()sin 11x x f x x f x x x x −'''''=−−=+−−.当01x <<时，()0f x '''>，则()f x ''单调递增，且(0)2f ''=，所以()0f x ''>. 所以，当01x <<时，()f x '单调递增，且(0)0f '=，所以()f x 递增，且(0)0f =， 所以，当01x <<时，结论成立.同理，在10x −<<时，结论成立.（21）（本题满分11分） 解: （Ⅰ）令1()1,nn n F x x x x −=+++−则12()(1)21n n n F x nx n x x −−'=+−+++，所以该函数在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增.因为1111()102222n n n F =++−=−<, (1)10n F n =−>,所以有零点定理可知方程在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内至少有一个实根.又函数单调,所以有且仅有一个实根. （Ⅱ）先证明单调性.()()11111111(1)(1)00n n n n n n n n n n n n n n n n F x F x x x x x x x x −−++++++−=++−−++−=+>,而函数()n F x 单调,所以1n n x x +>,所以数列{}n x 单调递减.又1,12n x ⎛⎫∈⎪⎝⎭,所以数列是有界的.因此数列收敛,且lim 0n n n x →∞=.所以由1(1)1101nn n n n n nn nx x x xx x −−++−=−=−,两端取极限可得1lim 2n n x →∞=.（22）（本题满分11分）解：（Ⅰ）4221(1)(1)A =−=−+a a a ；（Ⅱ）由题可知当0A =时，解得1=a 或1=−a .当1a =时，增广矩阵作初等变换得，()1100101101|0011000002⎛⎫⎪−⎪→ ⎪⎪−⎝⎭A β，()()|r r <A A β，故方程组无解；当1a =−时，增广矩阵作初等变换得，()1001001011|0011000000−⎛⎫⎪−−⎪→ ⎪− ⎪⎝⎭A β，()()|3r r <=A A β，方程组有解，并可求得通解为T T (1,1,1,1)(0,1,0,0)x =+−k ，其中k 为任意常数.（23）（本题满分11分）解: （Ⅰ）由二次型的秩为2,知T()2r =A A ,故()2r =A ，对A 作初等变换，1011010110111000101000a a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪=→⎪ ⎪−+ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭A ，可得1a =−.（Ⅱ）当1a =−时，得T202022224⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A A .()()T 2020*******λλλλλλλ−−⎛⎫ ⎪−=−−=−− ⎪ ⎪−−−⎝⎭E A A ，可得T A A 的特征值1230,2,6λλλ===.当10λ=时，解方程组T(0)−E A A x =0，得相应的特征向量()T11,1,1=−α；当22λ=时，解方程组T(2)−E A A x =0，得相应的特征向量()T21,1,0=−α；当36λ=时，解方程组T(6)−E A A x =0，得相应的特征向量()T31,1,2=α.因为特征值各不相等，所以特征向量相互正交，故只需单位化，得()T111,1,13=−β，()T 211,1,02=−β，()T 311,1,26=β.于是得到正交矩阵11132611132612036⎛⎫ ⎪ ⎪−⎪=⎪ ⎪− ⎪ ⎪⎝⎭Q . 在正交变换=x Qy 下，二次型的标准型为222326f y y =+.。