含有绝对值不等式的解法典型例题

含绝对值不等式的解法

例1? 解绝对值不等式｜x+3｜>｜x-5｜．

解：由不等式｜x+3｜>｜x-5｜两边平方得

｜x+3｜2>｜x-5｜2，

即（x+3）2>（x-5）2,

x>1．

∴? 原不等式的解集为｛x｜x>1｝．

评析? 对于两边都含“单项”绝对值的不等式依据｜x｜2＝x2，可在两边平方脱去绝对值符号．当然，此例可按绝对值定义讨论脱去绝对值符号，但解题繁琐．

例2? 对任意实数x，若不等式｜x+1｜-｜x-2｜>k恒成立，则实数k的取值范围是（??? ）A．k<3????? ???? B．k<-3????? ??????? C．k≤3????? ??????? D．k≤-3

分析? 要使｜x+1｜-｜x-2｜>k对任意实数x恒成立，只要｜x+1｜-｜x-2｜的最小值大于k．因｜x+1｜的几何意义为数轴上点x到-1的距离，｜x-2｜的几何意义为点x到2的距离，｜x+1｜-｜x-2｜的几何意义为数轴上点x到-1与2的距离的差，其最小值为-3，∴? k<-3,∴? 选B．

评析? 此例利用绝对值的几何意义使问题迅速得解，若采用其他方法则解答过程冗长．例3? 解不等式｜3x-1｜>x+3．

分析? 解此类不等式，要分x+3≥0和x+3<0两种情况讨论．

解：当x+3≥0，即x≥-3时，原不等式又要分-3≤x< 和x≥ 两种情况求解：

当-3≤x< 时，-3x+1>x+3，即x<- ，此时不等式的解为-3≤x<- ;①

当x≥ 时，3x-1>x+3，即x>2，此时不等式的解为x>2．②

又当x+3<0，即x<-3时，不等式是绝对不等式．③

取①、②、③并集知不等式的解集为

｛x｜x<- ，或x>2｝．

例4? 解不等式? ｜x-5｜-｜2x+3｜<1

解：x＝5和x＝- 分别使上式两个绝对值中代数式的值为零，它们将数轴分成三段：

于是，原不等式变为

（Ⅰ）?

或（Ⅱ）

或（Ⅲ）

解（Ⅰ）得? x<-7，解（Ⅱ）得

解（Ⅲ）得? x>5；

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）的并集｛x｜x<-7或x> ｝即为原不等式的解集．

说明? 解这类绝对值不等式（仅限绝对值符号里面是一次式）可分如下几个步骤：第一步令每个绝对值号里的一次因式等于零求出相应的根；第二步把这些根按从小到大的顺序排号并把数轴分成相应的若干个区间；第三步根据所分区间去掉绝对值符号，组成若干个不等式组，最后分别解每个不等式组，取结果的并集就是原不等式的解．例5? 解不等式1≤｜2x-1｜<5．

解法一：原不等式等价于

① 或②

解①得? 1≤x<3;

解②得? -2

∴? 原不等式的解集为

｛x｜-2

解法二：原不等式等价于

1≤2x-1<5，? 或? -5<2x-1≤-1，

即? 2≤2x<6，? 或? -4<2x≤0，

解得? 1≤x<3，? 或? -2

∴? 原不等式的解集为

｛x｜-2

评析? 比较两种解法，第二种解法比较简单，在解法二中，去掉绝对值符号的依据是

a≤｜x｜≤b a≤x≤b，或-b≤x≤-a（a≥0）．

这一规律对我们今后解题很有作用，要在理解的基础上加以记忆．本例亦可用图像法求解，不妨一试．

例6 解不等式｜x+3｜+｜x-3｜>8．

分析? 这是一个含有两个绝对值符号的不等式，为了使其转化为解不含绝对值符号的不等式，要进行分类讨论．

解法一：由代数式｜x+3｜、｜x-3｜知，-3和3把实数集分为三个区间：x<-3,-3≤x<3，x≥3．

当x<-3时，-x-3-x+3>8，即x<-4，此时不等式的解为x<-4；①

当-3≤x<3时，x+3-x+3>8，此时无解；②

当x≥3时，x+3+x-3>8，即x>4，此时不等式的解为x>4．③

取①、②、③的并集得原不等式的解集为

｛x｜x<-4，或x>4｝．

点评? 解这类绝对值符号里是一次式的不等式，其一般步骤是：

（1）令每个绝对值符号里的一次式为零，并求出相应的根；

（2）把这些根由小到大排序并把实数集分为若干个区间；

（3）由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集；

（4）取这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集．

模仿例1，我们还有

解法二：不等式｜x+3｜+｜x-3｜>8表示数轴上与A（-3），B（3）两点距离之和大于8的点，而A，B两点距离为6．因此线段AB上每一点到A、B的距离之和都等于6．如下图，要找到A，B距离之和为8的点，只须由点B向右移1个单位（这时距离之和增加2个单位），即移到点B1（4），或由点A向左移1个单位，即移到点A1（-4）．

可以看出，数轴上点B1（4）向右的点或者点A1（-4）向左的点到A、B两点的距离之和均大于8．

∴? 原不等式的解集为｛x｜x<-4，或x>4｝．

解法三：分别画出函数y1＝｜x+3｜+｜x-3｜和y2＝8的图像，如下图．

y1＝

不难看出，要使y1>y2，只须x<-4，或x>4．

∴? 原不等式的解集为｛x｜x<-4，或x>4｝．

点评? 对于形如｜x-a｜+｜x-b｜>c，或｜x-a｜-｜x-b｜