人教版九年级数学上册教案《点和圆的位置关系》

《点和圆的位置关系》

《点和圆的位置关系》是在学习了圆的有关性质的基础上进行的，它是继续学习直线和圆以及圆与圆的位置关系的基础。点和圆的位置关系这节内容在以后的几何证明中有着十分

重要的作用。

本节教材首先结合射击问题，给出了点和圆的三种不同位置关系，然后讨论了过三点的圆和三角形的外接圆，并结合“过同一直线上的三点不能作圆”介绍了反证法。反证法是证明几何问题的一种重要的证明方法，它不同于直接证法，是一种间接证明问题的方法，使用反证法，一定要注意反证法的三大步骤，即先假设，再找矛盾，最后得出正确的结论。 【知识与能力目标】

1、探索并掌握点和圆的三种位置关系对应的圆的半径与点到圆心的距离之间的关系；

2、探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆，了解不在同一直线上的三点确定一个圆；

3、了解三角形的外接圆和三角形的外心的概念；

4、了解反证法的基本思路和一般步骤。

【过程与方法目标】

在探索点与圆的三种位置关系时体会数学分类讨论思考问题的方法。 【情感态度价值观目标】

在探索点与圆的三种位置关系及过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆的过程中，渗透数形结合的思想和运动变化的观点。

【教学重点】

点和圆的三种位置关系；不在同一直线上的三个点确定一个圆。

【教学难点】

反证法的教学。

多媒体课件、教具等。

一、创设情境，引入新课

问题1 我国射击运动员许海峰是中国奥运会历史上的首枚金牌得主，打破了中国奥运史上金牌“零”的纪录，为祖国赢得了荣誉。你知道射击靶是如何构成的吗？如图，是射击靶示意图，它是由许多同心圆构成的，你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？

要解决上面的问题需要研究点与圆的位置关系，这就是本节课所要研究的内容。 设计意图：通过许海峰在奥运会历史上金牌“零”的突破，激发学生的爱国热情，同时通过射击靶的构成，引出本节所学内容——点和圆的位置关系。

二、探索发现，形成新知

问题2 观察图中点A ，点B ，点C 与圆的位置关系？

点A 在圆内，点B 在圆上，点C 在圆外，即点与圆的位置关系有三种：点在圆内；点在圆上；点在圆外。

问题3 在纸上画一个圆，再在圆上任取一点，该点到圆心的距离有何特点？如果在圆外取一点呢？圆内呢？

结论：圆上的点到圆心的距离都等于半径；圆外的点到圆心的距离大于半径；•圆内的点到圆心的距离小于半径。

设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离为OP =d ，则

点P 在圆外⇒d >r ；点P 在圆上⇒d =r ；点P 在圆内⇒d r ⇒点P 在圆外；d =r ⇒点P 在圆上；d

综合可得：设⊙O 的半径为r ，点P 到圆的距离为d ，则有：点P 在圆外⇔d >r ；点P 在圆上⇔d =r ；点P 在圆内⇔d

问题4 （1）如图，作经过已知点A 的圆，这样的圆你能作出多少个？

（2）如图作经过已知点A 、B 的圆，这样的圆你能作出多少个？他们的圆心分布有什么特点？

（3）经过不在同一条直线上的三点做一个圆，如何确定这个圆的圆心？

分析：如图 三点A 、B 、C 不在同一条直线上，因为所求的圆要经过A 、B 、C 三点，所以圆心到这三点的距离相等，因此这个点要在线段AB 的垂直的平分线上，又要在线段BC 的垂直的平分线上。

①分别连接AB 、BC 、AC ；

②分别作出线段AB 的垂直平分线1l 和2l ，设他们的交点为O ，则OA =OB =OC ；

C

B

A O r

· · ·

③以点O 为圆心，OA （或OB 、OC ）为半径作圆，便可以作出经过A 、B 、C 的圆。 由于过A 、B 、C 三点的圆的圆心只能是点O ，半径等于OA ，所以这样的圆只能有一个，即：不在同一条直线上的三点确定一个圆。

经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。

问题5 经过同一条直线上的三个点能不能作出一个圆？

证明：（反证法）如图，假设过同一直线l 上的A 、B 、C 三点可以作一个圆，设这个圆的圆心为P ，那么点P 既在线段AB 的垂直平分线1l 上，又在线段BC 的垂直平分线2l 上，即点P 为1l 与2l 的交点，而1l l ⊥，2l l ⊥，这与我们以前所学的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾。所以，过同一直线上的三点不能作圆。

上面的证明方法与我们前面所学的证明方法思路不同，它不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立（即假设过同一直线上的三点可以作一个圆），由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到命题成立。这种证明方法叫做反证法。在某些情形下，反证法是很有效的证明方法。

三、运用新知，深化理解

例1：某地出土一古代残破圆形瓷盘，如图所示。为复制该瓷盘确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心。

分析：圆心是一个点，一个点可以由两条直线交点而成，且圆心到圆上任意一点的距离都等于圆的半径，所以圆心在弦的垂直平分线上。因此，只要在残缺的圆盘上任取两条线段，作线段的中垂线，交点就是该圆的圆心。

例2：如图在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，BC =3，AC =4，以B 为圆心。以BC 为半径做⊙B 。问点A 、C 及AB 、AC 的中点D 、E 与⊙B 有怎样的位置关系？

解：∵5AB ==，∴AB >3，∴点A 在圆外； ∵BC =3，∴点C 在圆上；

∵

5

2.5

22

AB

BD===，∴AD<3，∴点D在圆内；

∵BE=BE>3，∴点E在圆外。

四、学生练习，巩固新知

练习1 已知圆的半径等于5厘米，A、B、C三点到圆心的距离分别为8厘米、4厘米、5厘米，请你说一说各点与圆的位置关系。

练习2 矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，以点A为圆心作圆，如果B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则圆A的半径r的取值范围是多少？

练习3 已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆，它们外心的位置有怎样的特点？

解：如下图。

O为外接圆的圆心，即外心。锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边上，钝角三角形的外心在三角形的外部。

练习4 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角。

五、课堂小结，梳理新知

本节课学到那些知识？发现了什么？在运用所学的知识解决问题时应注意什么？

1、点和圆的位置关系；

2、不在同一直线上的三个点确定一个圆；

3、三角形外接圆和三角形外心的概念；

4、反证法的证明原理。

六、布置作业，优化新知

1、教科书习题24.2第1题，第2题；（必做题）

2、教科书习题24.2第7题，第8题。（选做题）