勾股定理--最短距离问题

蚂蚁爬行的最短路径

正方体

4.如图,一只蚂蚁从正方体的底面A点处沿着表面爬行到点上面的B点处，它爬行的最短路线是( )

A．A⇒Ｐ⇒B B.A⇒Q⇒ＢC．A⇒R⇒B D．A⇒Ｓ⇒Ｂ

解：根据两点之间线段最短可知选A．ﻫ故选A.

2．如图，边长为１的正方体中,一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的

最短距离是

.

解:如图将正方体展开，根据“两点之间,线段最短”知，线段ＡB即为最短路线.

AB＝5

1

22

2=

+．

8．正方体盒子的棱长为2，ＢＣ的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到Ｍ点的最短距离为.

解:将正方体展开,连接M、Ｄ１，

根据两点之间线段最短，

MD＝MＣ+CD=１+2=３，

MＤ１=13

2

32

2

2

1

2=

+

=

+DD

MD．

第6题

第7题

A

B

12

1

5.如图,点Ａ的正方体左侧面的中心，点B 是正方体的一个顶点,正方体的棱长为2,一蚂蚁从点Ａ沿其表面爬到点B的最短路程是( ）

解：如图，AＢ=()10

1

2

12

2=

+

+.故选C.

9.如图所示一棱长为3cｍ的正方体,把所有的面均分成3×３个小正方形．其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用２.5秒钟．

解:因为爬行路径不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线.ﻫ(1)展开前面右面由勾股定理得AB== ｃｍ;

（２）展开底面右面由勾股定理得AB= =5ｃm;

所以最短路径长为5cm，用时最少:5÷2=2．5秒.

长方体

10．(2009•恩施州)如图,长方体的长为1５,宽为１０,高为20,点B离点Ｃ的距离为５,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点Ａ爬到点B,需要爬行的最短距离是。

解：将长方体展开，连接Ａ、Ｂ，根据两点之间线段最短，AB＝＝25.

11. 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发,沿长方体的表面爬到对角顶点Ｃ1处（三条

A B

A

1

B

1

D C

D

1

C

1

2

1

4

棱长如图所示）,问怎样走路线最短?最短路线长为.

解：正面和上面沿A1B1展开如图，连接AC1，△ＡBC1是直角三角形,

∴ＡC1=(

)5

3

4

2

1

42

2

2

2

2

1

2=

+

=

+

+

=

+BC

AB

1８.(２011•荆州）如图，长方体的底面边长分别为2ｃｍ和4cm，高为5ｃm．若一只蚂蚁从P点开始经过４个侧面爬行一圈到达Ｑ点,则蚂奴爬行的最短路径长为cm.

解:

ﻫ∵PA=2×(4＋2）=1２,ＱA＝5

∴PQ＝13．ﻫ故答案为：１3．

19.如图，一块长方体砖宽AN=5ｃm，长ND=1０cm，CＤ上的点B距地面的高BＤ=8ｃm，地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食,需要爬行的最短路径是多少？

解：如图1，在砖的侧面展开图２上,连接AB,

则AＢ的长即为A处到B处的最短路程.

解：在Rt△ABD中,

因为AＤ=AN+ND=5+1０＝15,BD=8,

所以AB 2=AD 2+BD ２

=152+82=289=１72．ﻫ所以AB ＝17cm.ﻫ故蚂蚁爬行的最短路径为17c ｍ． 49、如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别12ｃm ，8cm,3０ｃm ．

（１)在ＡB 中点Ｃ处有一滴蜜糖,一只小虫从Ｄ处爬到C 处去吃,有无数种走法，则最短路程是多少？

(2)此长方体盒子(有盖)能放入木棒的最大长度是多少?

１２.如图所示：有一个长、宽都是２米，高为３米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从Ａ点爬到

Ｂ点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为 米。

解：由题意得， 路径一：A Ｂ= = ;ﻫ路径二：A Ｂ= =5;

路径三：AB ＝

＝

;

∵ >5，ﻫ∴5米为最短路径．

1３.如图,直四棱柱侧棱长为4ｃｍ，底面是长为5cm 宽为3cm 的长方形

.一只蚂蚁从顶点Ａ出发沿棱柱的表面爬到顶点Ｂ.求：ﻫ(１）蚂蚁经过的最短路程； (2)蚂蚁沿着棱爬行(不能重复爬行同一条棱）的最长路程.

解:(1）AB 的长就为最短路线．

然后根据 若蚂蚁沿侧面爬行,则经过的路程为 (cm ）;ﻫ若蚂蚁沿侧面

和底面爬行,则经过的路程为 （cm),

或

（cm ）所以蚂蚁经过的最短路程是

c ｍ．ﻫ(2) 5cm ＋4cm+５ｃｍ＋4cm+3cm+4cm+5cm ＝30cm ，最长路程是30ｃm.

A

B

C D

.

128

30

1５.如图,长方体的长、宽、高分别为６cm,8cｍ，4cｍ．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A 爬到点Ｂ.则蚂蚁爬行的最短路径的长是。

解：第一种情况:把我们所看到的前面和上面组成一个平面,

则这个长方形的长和宽分别是12cm和6cｍ，ﻫ则所走的最短线段是=6cm；ﻫ第二种情况:把我们看到的左面与上面组成一个长方形,

则这个长方形的长和宽分别是10ｃm和８cm,ﻫ所以走的最短线段是=

cm；

第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形,ﻫ则这个长方形的长和宽分别是１

4cm和4cm,ﻫ所以走的最短线段是=2 cm;

三种情况比较而言,第二种情况最短．

５１．圆柱形坡璃容器，高1８cm，底面周长为6０cm，在外侧距下底1cm点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1ｃm的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度。

１６．如图是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为２0cm、3cｍ、2ｃm．A和B 是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点Ｂ处去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬行到点Ｂ的最短路程为cｍ

解:三级台阶平面展开图为长方形，长为20ｃm，宽为（2+3)×3ｃm，ﻫ则蚂蚁沿台阶面爬行到Ｂ点最短路程是此长方形的对角线长．

可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为ｘcm，

由勾股定理得：x2=２０2+[(２＋３）×3]２=252,

解得x=25．

故答案为2５.