Chapter5线性微分方程组
第五章线性微分方程组
第五章：线性微分方程组本章教学目的和要求：使学生掌握线性微分方程组解的结构。
要求学生熟练掌握求解常系数线性问粉方程组。
熟练掌握常数变易法。
本章重点：解的性质与结构，常系数方程组的解法，常数变易法。
本章难点：向量函数组的线性相关性，一般理论中的定理证明。
本章课时安排：讲16学时，习题及总结测验2学时第五章：线性微分方程组说明：本章所讨论的线性微分方程组仅限与一阶微分方程，从讲义的开头所说的，方程组不仅能在实际中应用广泛，而且她对高阶方程的求解具有不可忽视的作用。
不仅如此，方程组的有关定理在近代微分方程理论中也占有重要地位。
本章内容：一．一阶微分线性方程组及其解的概念；初值问题解的存在和唯一性定理。
二.线性方程组及其解的一般理论/包括解的线线性相关性，基本解组和解的结构定理。
三.方程组的具体解法。
§5.1 存在唯一性定理5.1.1 记号和定义①引言：在第二章我们研究了含有一个未知函数的微分方程的解法以及它们的性质。
但是，在很多实际问题与理论问题中，还要求我们去求解含有多个未知数函数的微分方程组，或者研究它们的解的性质。
如空间运动质点P 的速度与t 以及坐标(,,)x y z 的关系式为：112232(,,,)(,,,)(,,,)x y z v f t x y z x f v f t x y z y f z f v f t x y z ⎧==⎧⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪==⎩⎩ 又如： 22sin d dt l θθθ=-令 sin d dtd dtl θωωθθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩化成一阶微分方程组。
用类似的方法，如果在 n 阶微分方程 ()(1)(,,...,)n n y x y y y -'=中，令(1)121.,,...,n n y y y y y y --'''=== 它就可以化成方程组 1212(1)121()(1),........(,,...,)n n n n n n y y y y y y y y y yy x y y y -----⎧'=⎪'''==⎪⎪⎨⎪'==⎪⎪'=⎩共同点：出现的未知函数的导数都是一阶的 它 们都是一阶微分方程组。
第五章 线性微分方程组
第五章 线性微分方程组[教学目标]1. 理解线性微分方程组解的存在唯一性定理，掌握一阶齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构，2. 理解n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系。
3. 掌握非齐次线性微分方程组的常数变易法，4. 理解常系数齐线性微分方程组基解矩阵的概念，掌握求基解矩阵的方法。
5. 掌握常系数线性微分方程组的Laplce 变换法。
[教学中难点]求解常系数非齐次线性微分方程组 [教学方法] 讲授，实践。
[教学时间] 16学时[教学内容] n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系，一阶线性微分方程组解的存在唯一性定理；齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构，求解非齐次线性微分方程组的常数变易法；常系数齐线性微分方程组的基解矩阵及求基解矩阵的方法；求常系数线性微分方程组的Laplce 变换法。
[考核目标]1.线性微分方程组解的性质与结构。
2.能够求解常系数线性微分方程组。
§5.1 存在唯一性定理5.1.1记号和定义 考察形如1111122112211222221122()()()()()()()()()()()()n n n n nn n nn n n x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t '=++++⎧⎪'=++++⎪⎨⎪⎪'=++++⎩ （5.1） 的一阶线性微分方程组，其中已知函数()(,1,2,,)ij a t i j n =和()(1,2,,)i f t i n =在区间a t b ≤≤上上是连续的。
方程组（5.1）关于12,,,n x x x 及12,,,nx x x '''是线性的. 引进下面的记号：111212122212()()()()()()()()()()n n n n nn a t a t a t a t a t a t A t a t a t a t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（5.2）这里()A t 是n n ⨯矩阵，它的元素是2n 个函数()(,1,2,,)ij a t i j n =.12()()()()n f t f t f t f t ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦12n x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 12n x x x x '⎡⎤⎢⎥'⎢⎥'=⎢⎥⎢⎥'⎣⎦ （5.3）这里()f t ，x ，x '是1n ⨯矩阵或n 维列向量。
常微分方程--第五章 线性微分方程组(5.1-5.2节)
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5.1微分实例及有关概念 多回路的电路问题 考虑多个回路的电路，
E (t )
L
C
R1
R2
E (t ) 是电源电压， L 是电感，C 是电容器电容,
R1 , R2 是电阻， i1 是通过 L 的电流， i2 是通过
T
A (aij ) nn
满足初始条件 x(t0 ) x0 , y(t0 ) y0 , z (t0 ) z0 的解 x(t ), y (t ), z (t ).
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事实上, 在第4 章中的高阶微分方程
y
( n)
( n 1) f ( x, y, y , y ).
令 y y1 , y y2 , y ( n1) yn1 , 则上式可以化为方程组
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通解及通积分 含有n个任意常数 c1 , cn 的解
x1 1 (t , c1 , cn ) x (t , c , c ) n 1 n n 为方程组的通解 . 这里 c1 , c2 ,, cn 相互独立.
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如果通解满足方程组
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上面方程组第二式两边对t求导得
di1 L R1 (i1 i2 ) E (t ) dt R ( di2 di1 ) R di2 1 i 0 1 2 2 dt dt dt c
解得
第五章,线性微分方程组-II
续
5.3.2 基解矩阵的计算公式
• 虽然我们可以计算矩阵级数来得到基解矩 阵，但是计算无穷级数，并不是一件简单 的事情。 • 因此我们还需要寻找另外的方法计算基解 矩阵。这个是本节内容，这个需要线性代 数的内容。
与第四章采取的措施基本相同。
• 设方程
dx = Ax dt
λt
−1
−1
t 1 t 1 0 3t 1 − t =e −1 1 = e −t 1 + t 1 1 + t
3t
也可以按照书上的公式（5.53）
t 1 − t e = e E + t ( A − 3E ) = e −t 1 + t
先看一个例子（例2）
2 1 • 方程为 x = Ax, A = ɺ 0 2
• 特征值是二重根2，特征向量是
0 1 u1 0 0 u = 0 ⇒ u 2 = 0 2 u1 1 ⇒ v1 = = α 0 u 2
−5i 5 u1 −5 −5i u = 0 2 −5iu1 + 5u2 = 0 ⇒ −5u1 − 5iu2 = 0 u2 = iu1 ⇒ u1 = −iu2 1 ⇒ u =α i
例4 试求矩阵的特征值和特征向量
2 1 A= −1 4
2t 1 2t 1 0 0 1 0 e , e + 0 0 t 1 0 0 1
•
e = 0
2t
te 这个与例2的结论是一样的。 2t e
2t
二重根，我们可以这样做，多重根怎么办？ • 根据前面二重根的情况，我们可以推测
最新常微分方程 第五章 线性微分方程组幻灯片课件精品课件
再代回通解或通积分中，就得到所求的初值问题的解.
第六页，共39页。
为了(wèi le)简洁方便，经常采用向量与矩阵来研究一阶微分方程组(1) 令n维向量函数
并定义(dìngyì)
则(1)可记成向量(xiàngliàng)形式
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初始条件可记为 其中(qízhōng)
(5.19）
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例1 求解(qiú jiě)方程组
解 向量(xiàngliàng)函数组
是对应齐次方程组的基本解组(jiě zǔ).现在求非齐次方程组形如
的特解，此时(5.18)的纯量形式为 解之得
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从而(cóng ér) 最后(zuìhòu)可得该方程组的通解为
则该解组(jiě zǔ)在I上必线性相关.
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实际上，这个(zhè ge)推论是定理5.4的逆否命题. 推论5.3 方程组(5.2)的n个解在其定义区间I上线
性无关的充要条件是它们的朗斯基行列式W(x)在I上 任一点不为零.
条件的充分性由推论5.1立即可以得到． 必要性用反证法及推论5.2证明是显然的．证毕． 2．一阶线性齐次微分方程组解空间的结构．
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5.4.2 拉格朗日常数变易法 在第一章我们介绍了对于一阶线性非齐次方程，可用常数变易法求其
通解.现在，对于线性非齐次方程组，自然要问，是否也有常数变易法求 其通解呢?事实上，定理5.10告诉我们，为了求解非齐次方程组(5.1)，只 需求出它的一个特解和对应(duìyìng)齐次方程组(5.2)的一个基本解组.而 当(5.2)的基本解组已知时，类似于一阶方程式，有下面的常数变易法可以 求得(5.1)的一个特解.
线性微分方程组
線性獨立 ( linear independence)
若Φ1 Φk 為X ′ = AX 的解， ，， 且無任一 解可為其他解的線性組合，則稱這些解 為線性獨立。
基本矩陣 ( fundamental matrix)
若Φ1 Φn 為X ′ = AX 的n 個解， ，， 且這些解為線性獨立，則矩陣 = [Φ1 Φ2， ，Φn ] ， 為方程組X ′ = Aann(t)
且微分一矩陣即微分其每一元素，所以
′ x1(t) ′ x2 (t) X ′(t) = x′ (t) n
於是原微分方程組可表示為
X ′(t) = A(t) X (t) + G(t)
或簡寫成
X ′ = AX + G
6t
或以分量表示為
x1(t) = 2c1e + c2e
t 6t
x2 (t) = 3c1et + c2e6t
[習題1] 求以下微分方程組的通解
1 4 X′ = X 0 3
c1e3t + c2et 答案: 3t c1e
[習題2] 求以下微分方程組的通解 [ 2]
4 2 X′ = X 2 1
αt
所以獨立解heλt 與heλt 可由eαt (U cosβt V sin βt) 與eαt (U sin βt +V cos βt) 代替！
記憶法
Φ1 αt cos βt sin βtU Φ = e sin βt cos βt V 2
[例題2] 求以下微分方程組的通解
2 0 1 ′ = AX，其中 = 0 2 2 X A 0 2 0
λ = α iβ 亦為 A 的特徵值
且其對應的特徵向量為 h
he 與he 為 個 性 立 二 線 獨 解
第五章 线性微分方程组I(修正)
t
命题5
• 设 t 是积分方程（5.8）的定义于 a t b 上的一个连续解，则： t t , a t b 证明：由 t A s t f s ds
t0 t
类似命题3，得到：
MLk k 1 k t t b t0 , k 1!
得证！
推论：
• 第四章的定理1 • 如果 a1 t , a2 t ,, an t , f t 在区间 • a t b 是连续函数，则对区间 a t b 上的任意t0，及任意的 1 ,2 ,,n ，方程
• 类似的可以定义可积的，如果每个元素可 积
定义1：方程的解
• 设 A t 是区间 a t b 上的连续 n n， 矩 阵，f t 是同一区间上的连续的n维向量。 方程组：
x ' t At x t f t
5.4
• 在区间 t 的解就是向量 u t ，他的 导数满足：
进一步
d I1 R 1 1 I1 E 1 I L 1 2 I L 0 dt 2 I t f
例2 验证
et u t t e
j 1
k
• 因为 A t 和 f t 在闭区间 上 连续，所以 A t 和 f t 均在 a t b 有 界，设L，和K是大于零的常数，使得：
A t L, f t K ,
at b
由（5.9）有
• 并取：M L K
1 t 0 t A s 0 s f s ds
t t0
常微分方程§5.2 线性微分方程组的一般理论5.2 线性微分方程组的一般理论
X (t) ( x1(t), x2 (t),, xn (t)) ( x1(t), x2 (t),, xn (t)) ( A(t) x1, A(t) x2 ,, A(t) xn ) A(t)( x1, x2 ,, xn ) A(t) X (t)
A(t)u(t) A(t) v(t) A(t)[ u(t) v(t)]
§ 5.2 General Theory of Linear ODEs
如果 x1(t), x2 (t),, xn (t) 是(5.15)的解，则
c1x1(t) c2 x2 (t) cn xn (t)
(t) (t)C A(t)(t)C A(t)(t) (t) 是解矩阵。
det (t) det (t) det C 0 a t b
(t)即(t)C 是(5.15)的基解矩阵。
证毕
§ 5.2 General Theory of Linear ODEs
1
0
x1(t0 ) 0 ,
x2
(t0
)
1,
0
0
x1(t), x2 (t),
0
xn
(t0
)
0
1
xn (t)
W (t0 ) 1 0, x1(t), x2 (t),, xn (t) 线性无关
定理得证。
§ 5.2 General Theory of Linear ODEs
设有 n 个定义在区间 a t b 上的向量函数
x11(t)
x1 (t )
x21
(t
),
常微分第五章
§5.1 存在唯一性定理
第 五 章 线 性 微 分 方 程 组
2. 一阶线性微分方程组
一阶线性微分方程组形如
x1 a11 (t ) x1 a12 (t ) x2 a1n (t ) xn f1 (t ), x a (t ) x a (t ) x a (t ) x f (t ), 2 21 1 22 2 2n n 2 (5.1) xn an1 (t ) x1 an 2 (t ) x2 ann (t ) xn f n (t ),
其中a1(t), a2(t), , an(t), f (t)是区间[a, b]上的已知
连续函数, t0[a, b], 1, 2, , n是已知常数.
若令
§5.1 存在唯一性定理
第 五 章 线 性 微 分 方 程 组
x1 x 1 0 x x 0 , f (t ) , 2 x x (t ) 2 ( n 1) f (t ) xn x n
由n个含有n个未知函数的微分方程组成.
§5.1 存在唯一性定理
第 五 章 线 性 微 分 方 程 组
令
a11 (t ) a12 (t ) a1n (t ) a (t ) a (t ) a (t ) 22 2n A(t ) 21 an1 (t ) an 2 (t ) ann (t )
§5.1 存在唯一性定理
第 五 章 线 性 微 分 方 程 组
如果bijபைடு நூலகம்t)(i, j1, 2, , n)都在区间[a, b]上
可微, 则称矩阵B(t)在区间[a, b]上可微;
Chapter5线性微分方程组
Chapter5线性微分方程组第五章线性微分方程组5.1 存在唯一性定理5.1.1 记号和定义考察形如(5.1)其中已知函数a ij(t)(i,j,=1,2,…,n)和f i(t)(i=1,2,…,n)在区间atb上是连续的,方程组关于x1,x2,…,x n及x1,x2,…,x n是线性的.引进记号则原方程(5.1)可写成形式x=A(t)x+f(t).概念一个矩阵(或向量)在区间atb上称为连续的,如果它的每一个元都是区间atb上的连续函数.一个nn矩阵B(t)或一个n维列向量u(t)在区间atb上称为可微的,如果它的每一个元都在区间atb上可微,且性质(1)[A(t)+B(t)]=A(t)+B(t);(2)[u(t)+v(t)]=u(t)+v(t);(3)[A(t)B(t)]=A(t)B(t)+A(t)B(t);(4)[A(t)u(t)]=A(t)u(t)+A(t)u(t).类似地, 矩阵B(t)或一个n维列向量u(t)在区间atb上称为可积的,如果它的每一个元都在区间atb上可积,且定义1设A(t)是区间atb上的连续nn矩阵,f(t)是同一区间上的连续n维向量.方程组x=A(t)x+f(t)(5.4) 在某区间t ([, ][a, b])的解就是向量u(t), 它的导数u(t) 在区间atb上连续且满足u(t)=A(t)u(t)+f(t), t.定义2初值问题x=A(t)x+f(t) x(t0)= (5.5) 的解就是方程组(5.4)在包含t0的区间t 上的解, 使得u(t0)=．例１试列出下图中经过L1及L2电路的电流I1及I2应满足的微分方程．例２验证向量是初值问题在区间-< t <+ 上的解.以下方法可将n阶线性微分方程的初值问题化为形如(5.5)的线性微分方程组的初值问题.考虑n阶线性微分方程的初值问题其中a i(t),i=1,2,…n,及f(t)都是a t b上的已知连续函数, t0[a, b], 1,…, n是已知常数.可通过以下变换x1=x, x2=x, x3=x, …, x n=x(n1)将上述n阶线性微分方程的初值问题化为以下线性微分方程组的初值问题:5.1.2 存在唯一性定理方程x=A(t)x+f(t) x(t0)=的解的存在唯一性定理.定理1如果A(t) 是nn矩阵, f(t) 是n维列向量,它们都在区间a t b上连续,则对于区间a t b上的任何数t0及任一n维常数列向量,方程组x=A(t)x+f(t) 存在唯一解(t) ,定义于区间a t b上,且满足初值条件(t0)= .5.2 线性微分方程组的一般理论讨论线性微分方程组x=A(t)x+f(t)(5.14)5.2.1 齐次线性微分方程组设矩阵A(t) 在区间a≤t≤b上连续设u(t) 和v(t) 是(5.15)的齐次型方程的任意两个解, , 是两个任意常数,根据向量函数的微分法则,有u(t)+v(t) 也是其解.定理2(叠加原理)如果u(t) 和v(t) 是齐次型方程的解,则它们的线性组合u(t)+v(t) 也是该方程的解.线性相关称定义在区间a≤t≤b上的向量函数x1(t), x2(t), …, x m(t) 是线性相关的,如果存在不全为零的常数c1, c2, …, c m, 使得等式c1x1(t)+ c2x2(t)+…+ c m x m(t) =0 成立;否则称为线性无关的.朗斯基行列式由n个向量函数x1(t), x2(t), …, x n(t) 构成的行列式称为朗斯基行列式.定理3如果向量函数x1(t), x2(t), …, x n(t) 在区间a≤t≤b上线性相关,则它们的朗斯基行列式W(t)=0.(证)定理4如果齐次型方程的解x1(t), x2(t), …, x n(t) 线性无关,则它们的朗斯基行列式W(t)0.(证)定理5齐次线性微分方程组一定存在n个线性无关的解x1(t), x2(t), …, x n(t) .(证)定理6如果x1(t), x2(t), …, x n(t) 是齐次型方程的n个线性无关的解,则该方程的任一解x(t) 均可表为这n个线性无关解的线性组合,即: x(t)=c1x1(t)+ c2x2(t)+ …+ c n x n(t) .(证)推论1齐次型方程的线性无关解的最大个数等于n.推论2如果已知齐次型方程的k个线性无关解,则该方程可以降低为含nk 个未知函数的线性微分方程组.如果已知n1 个线性无关解,则可得到齐次型方程的通解.基本解组n个线性无关的解x1(t), x2(t), …, x n(t).推论3如果x1(t), x2(t), …, x n(t) 是n阶微分方程x(n)+a1(t)x(n1) +…+ a n(t)x=0 (5.21)的n个线性无关解,其中a1(t), a2(t), …, a n(t) 是区间a≤t≤b 上的连续函数,则(5.21)的任一解x(t) 可表为这n个线性无关解的一个线性组合: x(t)=c1x1(t)+ c2x2(t)+ …+ c n x n(t) .基解矩阵解矩阵nn矩阵的每一列都是齐次线性微分方程组x=A(t)x 的解.基解矩阵解矩阵的列线性无关.定理1*齐次线性微分方程组x=A(t)x一定存在一个基解矩阵(t).如果(t)是方程的任意一个解,则有(t)=(t)c.定理2*齐次线性微分方程组x=A(t)x的一个解矩阵(t) 是基解矩阵的充要条件是|(t)|=0 , a≤t≤b; 且如果对某一t0有|(t0)|0,则|(t)|=0 , a≤t≤b.推论1*如果(t) 是齐次线性微分方程组x=A(t)x的基解矩阵, C是非奇异nn 常数矩阵,则 (t)C也是方程的基解矩阵.推论2* 如果 (t) , (t) 都是方程组x=A(t)x的基解矩阵,则存在非奇异nn 常数矩阵C ,使得 (t)=(t) C .5.2.2 非齐次线性微分方程组讨论非齐次线性微分方程组x=A(t)x+f(t)(5.14)的解的结构.矩阵A(t) 在区间a≤t≤b上连续, f(t) 是区间a≤t≤b上的已知n维连续列向量.性质1如果(t) 是(5.14)的解, (t) 是(5.14)对应的齐次型的解,则(t)+(t) 是(4.14)的解.性质2如果 (t) 和 (t) 是(5.14)的两个解,则 (t)(t) 是对应齐次型方程的解.定理7设 (t) 是对应齐次型方程的基解矩阵, (t) 是(5.14)的某一解,则(5.14)的任一解 (t) 都可表为 (t)= (t)c+(t) ,其中c是确定的常数列向量.(证)定理8如果是对应齐次型方程的基解矩阵,则向量函数是(5.14)的解,且满足初值条件 (t0)=0 .定理8 满足初始条件 (t0)= 的解 (t) 为:例2试求以下初值问题的解.推论3如果a1(t), a2(t), …, a n(t) , f(t) 是区间a≤t≤b上的连续函数, x1(t), x2(t), …, x n(t) 是区间a≤t≤b上齐次线性微分方程x(n)+a1(t)x(n1)+…+ a n(t)x=0 的基本解组,则非齐次线性微分方程x(n)+a1(t)x(n1)+…+a n(t)x= f(t) 的满足初值条件(t0)=0, (t0)=0, …, (n1)(t0)=0 的解由以下公式给出其中W[x1(s), w2(s), …, w n(s)] 是x1(s), w2(s), …, w n(s) 的朗斯基行列式, W k[x1(s), w2(s), …, w n(s)] 是在W[x1(s), w2(s), …, w n(s)] 中的第k列代以(0, 0, …, 0, 1)T后得到的行列式,且(5.28)的任一解u(t) 都具有形式u(t)=c1x1(t)+c2x2(t)+…+c n x n(t)+(t) ,其中c1, c2, …, c n是适当选取的常数.例3试求方程x+x=tan t的一个解.5.3 常系数线性微分方程组讨论常系数线性微分方程组x=Ax (5.33)其中A为nn常数矩阵.5.3.1 矩阵指数exp A的定义和性质设A是一个nn常数矩阵,定义矩阵的指数exp A为以下矩阵级数的和:矩阵指数的性质性质1如果矩阵A, B是可交换的,即AB=BA , 则 exp(A+B)=exp A exp B . (证)性质2对于任何矩阵A, (exp A)1存在,且 (exp A)1=exp(A) .(证) 性质3如果T是非奇异矩阵,则 exp(T1A T)= T1 (exp A) T .(证) 定理9矩阵 (t)=exp A t是(5.33)的基解矩阵,且 (0)=E.(证)例1如果A是以下形式的对角矩阵,试找出x=Ax 的基解矩阵.例2试求以下方程的基解矩阵.5.3.2 基解矩阵的计算公式类似于第四章的方法,寻求方程x=Ax的形如 (t)=e t c, c0 的解.代入(5.33)可得 e t c=A e t c .即c=Ac或 (E A)c =0上述方程有非零解的充要条件是 det(E A)=0.定义设A是一个nn常数矩阵,使得关于u的线性代数方程组(E A)u=0具有非零解的常数称为A的一个特征值.例3试求以下矩阵的特征值和对应的特征向量.例4试求以下矩阵的特征值和对应的特征向量.定理10如果矩阵A具有n个线性无关的特征向量v1,v2,…, v n ,它们对应的特征值分别为1, 2, …, n ,则矩阵是常系数线性微分方程组x=Ax的一个基解矩阵.(证)例5试求方程组x=Ax的一个基解矩阵,其中.例6试求例5的实基解矩阵(或计算 exp A t).讨论当A是任意的nn 矩阵时,基解矩阵的计算方法.有关线性代数的知识.设系数矩阵A有特征值1, 2,…, k, 重数分别为n1, n2, …, n k,则齐次线性微分方程组的满足初始条件解可表示为依次令 =e j, 可分别求出n个线性无关解j(t) ,从而可得基解矩阵:特别情形,如果矩阵A只有一个特征值,则例7设A是例4的矩阵,试解初值问题x=A x, (0)=,并求exp A t.例8设A是以下矩阵,试求exp A t.例9设方程组为系数矩阵为试求满足初值条件(0)=的解 (t) , 并求exp A t.定理11给定常系数线性微分方程组x=A x,则(1) 如果A的特征值的实部都是负的,则方程的任一解当t时都趋于零;(2) 如果A的特征值的实部都是非正的,且实部为零的特征值都是简单特征值,则方程的任一解当t时都保持有界;(3) 如果A的特征值至少有一个具有正实部,是方程至少有一个解当t时趋于无穷.。
常微分chapter 5.1存在唯一性定理
k 1
k 1
Ak (t ) 一致 同样，可以给出无穷矩阵函数级数 k 1
收敛的定义和有关结果。
定理1（存在唯一性定理） 如果 A(t ) 是 n n 矩阵，f (t ) 是
一阶线性微分方程组的标准形式
x1' a11 (t ) x1 a12 (t ) x2 a1n (t ) xn f1 (t ) ' x2 a21 (பைடு நூலகம் ) x1 a22 (t ) x2 a2 n (t ) xn f 2 (t ) x ' a (t ) x a (t ) x a (t ) x f (t ) n1 1 n2 2 nn n n n
函数列 { xik ( t )} 都在[a, b] 上一致收敛。
易知，区间 a t b 上的连续向量函数序列的 一致收敛极限向量函数仍然是连续的。 向量函数级数
x
k 1
k
(t ) 称为在区间
at b
上收敛（一致收敛）, 若其部分和作成的向量 函数序列在区间 a t b 上是收敛（一致收敛）。 积分号下取极限 如果连续向量函数序列 {xk (t )} 在区间 a t b b b xk (t )dt lim xk (t )dt 上是一致收敛的，则 lim a k k a
L1 L I1 L2 2 L I2 R1 R R2 3 R
II
含有n个未知函数 x1 , x2 ,
, xn 的一阶微分方程组
的一般形式 f1 ( t , x1 , x2 , , xn ) x1 x f ( t , x , x , , x ) 2 2 1 2 n f n ( t , x1 , x2 , , xn ) xn
线性微分方程组
bij (t (t ) ui (t ) 在区间 a t b 可微。 (t ))nn B(t ) (bij
(t ),u2 (t ),, un (t ))T u(t ) (u1
bij (t ) ui (t ) 在区间 a t b 可积。
a1n (t ) a2 n (t ) ann (t )
……….(5.2)
x1 x x 2 xn
x1 x dx x 2 ……(5.3) dt xn
………….(5.5)
定理1 如果 A(t )是n n 矩阵， f (t)是 n 维列向量， 它们都在区间
a t b 上连续，则对于区间
a t b 上的任何数 t 0 及任一常数向量
1 x (t 0 ) 2 η n
方程组(5.5)存在唯一解 (t )
第五章 线性微分方程组
本章主要内容
§ 5.1
线性微分方程组解的存在唯一性定理
§ 5.2 § 5.3
线性微分方程组的一般理论 常系数线性方程组的解法
本章要求
理解线性微分方程组解的存在唯一性定理。
掌握高阶线性微分方程与线性微分方程组的关系。 掌握线性微分方程组的解的代数结构。
dp dx 0 p x
x c2e
c1t
y c1c2ec1t
另外，由
p c1 x
dx c1 x dt
p0
xc y0
方程组的解为
x c2ec1t
y c1c2e
c1t
四 存在唯一性定理 初值问题(Cauchy Problem)
dx x A(t ) x f (t ) dt x (t0 ) η
高等数学线性微分方程组
i=1
2007年8月
南京航空航天大学 理学院 数学系
15
2 函数向量组线性相关与无关
定义 设 x1 (t), x2 (t),L, xm (t ) 是一组定义在区间 [a, b] 上的函数列向量，如果存在一组不全为零的常数 C1,
C2, ..., Cm , 使得对所有 a ≤ t ≤ b ，有恒等式
则(1)可写成
dx = A(t)x + f (t) dt
南京航空航天大学 理学院 数学系
(1)
6
2007年8月
例1 验证向量
是初值问题
e−t u (t ) = − t −e
'
0 1 1 x = x, x(0) = −1 1 0 在区间 − ∞ < t < +∞上的解.
L a1' n (t ) ' L a2 n (t ) . L L ' L ann (t )
4
南京航空航天大学 理学院 数学系
t x ( s )ds ∫t0 1 t t ∫t x2 ( s )ds ∫t0 x(s)ds = 0 M t ∫ xn ( s )ds t0
n × n函数矩阵A(t )定义为 a11 (t ) a12 (t ) L a12 (t ) a21 (t ) a22 (t ) L a2 n (t ) 每一aij (t )在I上有定义. A(t ) = L L L L a (t ) a (t ) L a (t ) n2 nn n1
南京航空航天大学 理学院 数学系 11
'
2007年8月
53常系数线性微分方程组
3 2 x
1 3
解 λE A 2 2 ( 1)( 2) 6
2 3 4 0
1 4, 2 1
(λ1E A)c 0
(λ2E A)c 0
§5.3 Coefficients Linear ODEs
(4E A)c 0
(5.41)
是(5.33) x Ax 的标准基解矩阵。(0) E
证明 (t) (exp At)
A A2t A3t 2 Akt k1 Ak1t k
1! 2!
(k 1)! k!
Aexp At A(t)
(t)是(5.33)的解矩阵，又因为 (0) E,
3 拉普拉斯变换在常系数线性微分方程组中的应用。
§5.3 Coefficients Linear ODEs
5.3.1 矩阵指数 expA 的定义和性质
无穷矩阵级数
Ak A1 A2 Ak
k 1
(ai(j1) )nn (ai(j2) )nn (ai(jk) )nn
a(k) ij
Mk
而级数
M k 收敛，
j1 i1
k 1
则 Ak 收敛。
k 1
同理，可给出 Ak (t) 在区间 I 上的一致收敛的定义，
k 1
和函数等类似的结果。
§5.3 Coefficients Linear ODEs
定义1 矩阵指数
exp A Ak E A A2 Am (5.34)
(ai(j1)
a(2) ij
a(k) ij
)nn
如果每个
线性微分方程组
线性微分方程组
线性微分方程组是高中数学的一个重要内容，也是高考必考内容之一。
因此我们有必要对其进行深入理解和掌握。
方程组通常可以表示为：
(x-a)+(y-b)=0
(x-a)=(y-b)
(x-a)(y-b)两边都乘以同一个不为0的实数的积分子或者分母
可以等于0。
所以称它为方程组。
一般来说方程组有两种情况：(1)有且只有一个方程；(2)有多个方程。
，一个重要的类型是线性微分方程组。
在线性微分方程组中，有两个或两个以上的线性微分方程，这里将方程的解称为“根”，即线性微分方程的根(或线性方程的根)的集合就是方程组。
这些根之间是相关联的，具有相同的增减性和线性特征。
通常有下列几种情况：(1)一个方程无解。
( 2)一个方程有唯一解。
(3)存在无穷多个解。
4.1基本形式:((x-a)+(y-b))=0(x-a)=(y-b)(x-a)(y-b)4.2解法：利用定义、建立坐标系，根据变量的取值范围选择恰当的解法，一般求出各方程的一个解即可。
如：例1：设二次函数： ax2+bx+c=0解析：利用一次、二次函数的解析式可求得： a=4， b=6， c=1，故当c=1时， x=0，当c=-4时， x=4，当c=-6时， x=-12，解方程可得： 0=4， 1=-4， -12=-8，解得： x=4。
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第五章 线性微分方程组5.1 存在唯一性定理5.1.1 记号和定义考察形如(5.1)其中已知函数a ij(t)(i,j,=1,2,…,n)和f i(t)(i=1,2,…,n)在区间atb上是连续的,方程组关于x1,x2,…,x n及x1,x2,…,x n是线性的.引进记号则原方程(5.1)可写成形式x=A(t)x+f(t).概念一个矩阵(或向量)在区间atb上称为连续的,如果它的每一个元都是区间atb上的连续函数.一个nn矩阵B(t)或一个n维列向量u(t)在区间atb上称为可微的,如果它的每一个元都在区间atb上可微,且性质(1)[A(t)+B(t)]=A(t)+B(t);(2)[u(t)+v(t)]=u(t)+v(t);(3)[A(t)B(t)]=A(t)B(t)+A(t)B(t);(4)[A(t)u(t)]=A(t)u(t)+A(t)u(t).类似地, 矩阵B(t)或一个n维列向量u(t)在区间atb上称为可积的,如果它的每一个元都在区间atb上可积,且定义1设A(t)是区间atb上的连续nn矩阵,f(t)是同一区间上的连续n维向量.方程组x=A(t)x+f(t)(5.4) 在某区间t ([, ][a, b])的解就是向量u(t), 它的导数u(t) 在区间atb上连续且满足u(t)=A(t)u(t)+f(t), t.定义2初值问题x=A(t)x+f(t) x(t0)= (5.5) 的解就是方程组(5.4)在包含t0的区间t 上的解, 使得u(t0)=．例１ 试列出下图中经过L1及L2电路的电流I1及I2应满足的微分方程．例２验证向量是初值问题在区间-< t <+ 上的解.以下方法可将n阶线性微分方程的初值问题化为形如(5.5)的线性微分方程组的初值问题.考虑n阶线性微分方程的初值问题其中a i(t),i=1,2,…n,及f(t)都是a t b上的已知连续函数, t0[a, b], 1,…, n是已知常数.可通过以下变换x1=x, x2=x, x3=x, …, x n=x(n1)将上述n阶线性微分方程的初值问题化为以下线性微分方程组的初值问题:5.1.2 存在唯一性定理方程x=A(t)x+f(t) x(t0)=的解的存在唯一性定理.定理1如果A(t) 是nn矩阵, f(t) 是n维列向量,它们都在区间a t b上连续,则对于区间a t b上的任何数t0及任一n维常数列向量,方程组x=A(t)x+f(t) 存在唯一解 (t) ,定义于区间a t b上,且满足初值条件 (t0)= .5.2 线性微分方程组的一般理论讨论线性微分方程组x=A(t)x+f(t)(5.14)5.2.1 齐次线性微分方程组设矩阵A(t) 在区间a≤t≤b上连续设u(t) 和v(t) 是(5.15)的齐次型方程的任意两个解, , 是两个任意常数,根据向量函数的微分法则,有u(t)+v(t) 也是其解.定理2(叠加原理)如果u(t) 和v(t) 是齐次型方程的解,则它们的线性组合u(t)+v(t) 也是该方程的解.线性相关称定义在区间a≤t≤b上的向量函数x1(t), x2(t), …, x m(t) 是线性相关的,如果存在不全为零的常数c1, c2, …, c m, 使得等式c1x1(t)+ c2x2(t)+…+ c m x m(t) =0 成立;否则称为线性无关的.朗斯基行列式由n个向量函数x1(t), x2(t), …, x n(t) 构成的行列式称为朗斯基行列式.定理3如果向量函数x1(t), x2(t), …, x n(t) 在区间a≤t≤b上线性相关,则它们的朗斯基行列式W(t)=0.(证)定理4如果齐次型方程的解x1(t), x2(t), …, x n(t) 线性无关,则它们的朗斯基行列式W(t)0.(证)定理5齐次线性微分方程组一定存在n个线性无关的解x1(t), x2(t), …, x n(t) .(证)定理6如果x1(t), x2(t), …, x n(t) 是齐次型方程的n个线性无关的解,则该方程的任一解x(t) 均可表为这n个线性无关解的线性组合,即: x(t)=c1x1(t)+ c2x2(t)+ …+ c n x n(t) .(证)推论1齐次型方程的线性无关解的最大个数等于n.推论2如果已知齐次型方程的k个线性无关解,则该方程可以降低为含nk 个未知函数的线性微分方程组.如果已知n1 个线性无关解,则可得到齐次型方程的通解.基本解组n个线性无关的解x1(t), x2(t), …, x n(t).推论3如果x1(t), x2(t), …, x n(t) 是n阶微分方程x(n)+a1(t)x(n1) +…+ a n(t)x=0 (5.21)的n个线性无关解,其中a1(t), a2(t), …, a n(t) 是区间a≤t≤b 上的连续函数,则(5.21)的任一解x(t) 可表为这n个线性无关解的一个线性组合: x(t)=c1x1(t)+ c2x2(t)+ …+ c n x n(t) .基解矩阵解矩阵nn矩阵的每一列都是齐次线性微分方程组x=A(t)x 的解.基解矩阵解矩阵的列线性无关.定理1*齐次线性微分方程组x=A(t)x一定存在一个基解矩阵(t).如果(t)是方程的任意一个解,则有(t)=(t)c.定理2*齐次线性微分方程组x=A(t)x的一个解矩阵(t) 是基解矩阵的充要条件是 |(t)|=0 , a≤t≤b; 且如果对某一t0有|(t0)|0,则|(t)|=0 , a≤t≤b.推论1*如果 (t) 是齐次线性微分方程组x=A(t)x的基解矩阵, C是非奇异nn 常数矩阵,则 (t)C也是方程的基解矩阵.推论2* 如果 (t) , (t) 都是方程组x=A(t)x的基解矩阵,则存在非奇异nn 常数矩阵C ,使得 (t)=(t) C .5.2.2 非齐次线性微分方程组讨论非齐次线性微分方程组x=A(t)x+f(t)(5.14)的解的结构.矩阵A(t) 在区间a≤t≤b上连续, f(t) 是区间a≤t≤b上的已知n维连续列向量.性质1如果 (t) 是(5.14)的解, (t) 是(5.14)对应的齐次型的解,则(t)+(t) 是(4.14)的解.性质2如果 (t) 和 (t) 是(5.14)的两个解,则 (t)(t) 是对应齐次型方程的解.定理7设 (t) 是对应齐次型方程的基解矩阵, (t) 是(5.14)的某一解,则(5.14)的任一解 (t) 都可表为 (t)= (t)c+(t) ,其中c是确定的常数列向量.(证)定理8如果是对应齐次型方程的基解矩阵,则向量函数是(5.14)的解,且满足初值条件 (t0)=0 .定理8 满足初始条件 (t0)= 的解 (t) 为:例2试求以下初值问题的解.推论3如果a1(t), a2(t), …, a n(t) , f(t) 是区间a≤t≤b上的连续函数, x1(t), x2(t), …, x n(t) 是区间a≤t≤b上齐次线性微分方程x(n)+a1(t)x(n1)+…+ a n(t)x=0 的基本解组,则非齐次线性微分方程x(n)+a1(t)x(n1)+…+a n(t)x= f(t) 的满足初值条件 (t0)=0, (t0)=0, …, (n1)(t0)=0 的解由以下公式给出其中W[x1(s), w2(s), …, w n(s)] 是x1(s), w2(s), …, w n(s) 的朗斯基行列式, W k[x1(s), w2(s), …, w n(s)] 是在W[x1(s), w2(s), …, w n(s)] 中的第k列代以(0, 0, …, 0, 1)T后得到的行列式,且(5.28)的任一解u(t) 都具有形式u(t)=c1x1(t)+c2x2(t)+…+c n x n(t)+(t) ,其中c1, c2, …, c n是适当选取的常数.例3试求方程x+x=tan t的一个解.5.3 常系数线性微分方程组讨论常系数线性微分方程组x=Ax (5.33)其中A为nn常数矩阵.5.3.1 矩阵指数exp A的定义和性质设A是一个nn常数矩阵,定义矩阵的指数 exp A为以下矩阵级数的和:矩阵指数的性质性质1如果矩阵A, B是可交换的,即AB=BA , 则 exp(A+B)=exp A exp B . (证)性质2对于任何矩阵A, (exp A)1存在,且 (exp A)1=exp(A) .(证)性质3如果T是非奇异矩阵,则 exp(T1A T)= T1 (exp A) T .(证)定理9矩阵 (t)=exp A t是(5.33)的基解矩阵,且 (0)=E.(证)例1如果A是以下形式的对角矩阵,试找出x=Ax 的基解矩阵.例2试求以下方程的基解矩阵.5.3.2 基解矩阵的计算公式类似于第四章的方法,寻求方程x=Ax的形如 (t)=e t c, c0 的解.代入(5.33)可得 e t c=A e t c .即c=Ac或 (E A)c =0上述方程有非零解的充要条件是 det(E A)=0.定义设A是一个nn常数矩阵,使得关于u的线性代数方程组 (E A)u=0具有非零解的常数称为A的一个特征值.例3试求以下矩阵的特征值和对应的特征向量.例4试求以下矩阵的特征值和对应的特征向量.定理10如果矩阵A具有n个线性无关的特征向量v1,v2,…, v n ,它们对应的特征值分别为1, 2, …, n ,则矩阵是常系数线性微分方程组x=Ax的一个基解矩阵.(证)例5试求方程组x=Ax的一个基解矩阵,其中.例6试求例5的实基解矩阵(或计算 exp A t).讨论当A是任意的nn 矩阵时,基解矩阵的计算方法.有关线性代数的知识.设系数矩阵A有特征值1, 2,…, k, 重数分别为n1, n2, …, n k,则齐次线性微分方程组的满足初始条件解可表示为依次令 =e j, 可分别求出n个线性无关解j(t) ,从而可得基解矩阵:特别情形,如果矩阵A只有一个特征值,则例7设A是例4的矩阵,试解初值问题x=A x, (0)=,并求exp A t.例8设A是以下矩阵,试求exp A t.例9设方程组为系数矩阵为试求满足初值条件(0)=的解 (t) , 并求exp A t.定理11给定常系数线性微分方程组x=A x,则(1) 如果A的特征值的实部都是负的,则方程的任一解当t时都趋于零;(2) 如果A的特征值的实部都是非正的,且实部为零的特征值都是简单特征值,则方程的任一解当t时都保持有界;(3) 如果A的特征值至少有一个具有正实部,是方程至少有一个解当t时趋于无穷.。