高中数学中点弦问题的解题方法

高中数学中点弦问题的解题方法

会泽县茚旺高级中学 顺武

解析几何中与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。“中点弦”问题是一类很典型、很重要的问题.

一、方法介绍（解圆锥曲线的中点弦问题的方法有）： 第一种方法：联立消元法即联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。

第二种方法:点差法即设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子， 可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方 法为“点差法”。

第三种方法：导数法即如果以圆、椭圆等图形的中心为中心，按比例缩小图形，则一定存在同类的圆、椭圆等与弦AB 中点M 相切（如下图）。此时缩小的曲线方程如()()()2

2

2

tR b x a x =-+-，

()

()

12

2

2

2

=±

tb y ta x ，

两边对x 求导，可发现并不改变原方程求导的结果。因此，利用导数法求中点弦的斜率，就是x y '在中点处的值。

二、题型示例

题型一 以定点为中点的弦所在直线的方程

例1、过椭圆

14

162

2=+y x 一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。

解法一：设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、),(22y x B

Θ )1,2(M 为AB 的中点 ∴421=+x x 221=+y y Θ又A 、B 两点在椭圆上，则1642

12

1=+y x ，1642

22

2=+y x

两式相减得0)(4)(222

12

22

1=-+-y y x x 于是0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x

∴

2

1

244)(421212121-=⨯-=++-=--y y x x x x y y

即21-

=AB k ，故所求直线的方程为)2(2

1

1--=-x y ，即042=-+y x 。 法二：由题意知所求中点弦斜率一定存在，设为k ，则该弦方程为()21-=-x k y

()⎪⎩⎪⎨⎧=+

-=-14

16212

2

y x x k y 消去y 得 例2.已知双曲线方程，求以A （2，1）为中点的双曲线的弦所在的直线方程；

（2）过点B （1，1），能否作直线，使与所给双曲线交于P 、Q 两点，且点B 是弦PQ 的中点？这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由。 解：对两边求导，得

（1）以A （2，1）为中点的弦的斜率，所以所求中点弦所在直线方程为

（2）以B （1，1）为中点的弦的斜率，所以所求中点弦所在直线方程为 即。

但与双曲线方程联立消去y 得，无实根。因此直线与双曲线无交点，所以满足条件的直线不存在。

注意：（1）求出的方程只是满足了必要性，还必须验证其充分性，即所求直线与双曲线确实有两个交点。

例3．已知直线2x y -=与抛物线2

4y x =交于A ，B 两点，那么线段AB 的中点的坐标为 ．

解析：设()()1122,,,A x y B x y ，由224x y y x

-=⎧⎨=⎩得2

480y y --=，从而

1212124,48y y x x y y +=+=++=，因此，线段AB 的中点的坐标为()4,2．

例4.过圆4:2

2

=+y x O 一点M ()1,1引一条弦，使弦被M 平分，求这条弦所在的直线方

程。

题型二 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹

例5.已知椭圆C ：13

42

2=+y x ，直线l 过点P （1,1）交椭圆C 于A 、B 两点，求AB 中点M 的轨迹方程。

分析：此题涉及到弦AB 的中点坐标，且弦的斜率等于MP 的斜率。故采用“点差法”。 解：设),,(),,(2211y x B y x A ),(y x M ，则

⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+12

4312

432

222121y x y x 0))((4))((321212121=+-++-y y y y x x x x 0)1(4)1(301

1

430432121=-+-⇒=--•+⇒=--•

+⇒y y x x x y y x x x y y y x

∵点P 在椭圆部，直线l 与椭圆恒有两个交点，∴点M 的轨迹方程为：

0)1(4)1(3=-+-y y x x

题型三、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题

例6.已知椭圆13

422=+y x ，试确定的m 取值围，使得对于直线m x y +=4，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。

解：设),(111y x P ，),(222y x P 为椭圆上关于直线m x y +=4的对称两点，),(y x P 为弦2

1P P 的中点，则12

432

12

1=+y x ，12

432

222=+y x 两式相减得，

0)(4)(32

2212221=-+-y y x x

即0))((4))((321212121=-++-+y y y y x x x x

Θx x x 221=+，y y y 221=+，

4

1

2121-=--x x y y