极值与凹凸性模板

x (, 3)3(3,2)2 (2,0) 0 (0,)
f(x) 0 不存在
f(x)
0
f (x)
拐点
3, 26
9
极小值
3
间 断 点
x(, 3)3(3,2)2(2,0) 0 (0,)
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f(x)4(xx 21)2
f(x)
f(x)
0
水平渐近线:
y2 f (x)
拐点
垂直渐近线: x0
作图
0 不存在
例3 判断曲线 y x3的凹凸性.
解
y3x2, y6x
当x0时 ， y0, 所,曲 以线 (, 0]上 在 是 ; 凸
当x0时 ， y0, 所,曲 以线 [0,) 上 在 是 . 凹 定义3.3 连续曲线上凹凸性发生变化的点称为曲线 的拐点.
定理3.8 (拐点的第一充分条件) 设函数 yf(x)在 x0的某邻域 U( x0)内连续，
f(p 1 x 1 p 2 x 2 p n x 2 ) p 1 f ( x 1 ) p 2 f ( x 2 ) p n f ( x n )
等号 x 1 x 2 仅 x n 当 时.成立
例6 证明当 0x2时 ,six n 2x.
证 设 f(x)six n 2x,x 0,2 . 则
注意: 可导函数的极值点必定是驻点, 但驻点不一定是极值点.
例如, yx3, yx00, 但x0不是极. 值点 另外: 连续函数的不可导点, 也可能是极值点. 例如, y x, 在 x0处不,但 可是 导极 . 小
定理3.5 (极值的第一充分条件) 设函数 f (x) 在 x0 处连续, 在 x0的某个空心
x
那y 么 a xb就y 是 f(x)的一条 . 斜
斜渐近线求法
若 lim f(x) a, 且 lim [f(x)a]x b.
x x
x
则 ya x b就 是 yf曲 (x)的 线 一 条 . 斜
注意: 如果
f (x) (1) lim
x x
不存在;
(2 )lim f(x)a ,但 lim [f(x)a]不x存在;
3.4 极值与凹凸性
3.4.1 函数的极值
y
yf(x)
a o x1
x2 x3
x4
b x 5 x 6
x
y
y
o
x0
x
o
x0
x
定义3.1 设 f (x)在 x0 附近有定义, 如果在 x0的 某个空心邻域内, 恒有
f(x)f(x0) (或 f(x)f(x0))
则称 f(x0)为函f(数 x)的一个极大值(或极小值),
函数的极大值与极小值统称为极值, 使函数 取得极值的点x0称为极值点. 注意: 极值的概念是一个局部性的概念, 它仅涉 及函数在一点附近的性质.
定理3.4 (极值的必要条件)
设 f (x)在点 x 0处可导, 且在 x 0处取得极值,
则必有 f(x0)0. 使得 f(x )为 导 零 ,称 数 的 为 f(x )的点 驻函 点. 数
x x
x
可以断定 yf(x)不存在斜渐近线.
例7 求 f(x)2(x2)x (3)的渐近线.
x1
解 定义域为 (,1 ) (1,) .
limf(x) x 1
所以, x1是曲线的铅直渐近线.
limf (x) lim 2(x2)(x3)2
x x
x x(x1)
x l i m 2(xx2 )1 (x3)2x
fx1x2f(x1)f(x2)
2
2
则称 f(x)在区 I上 间是向,上 或凸 称.的 凸的
定理3.7 设 f(x)在 [a,b]上连 ,在 (a,b 续 )内可 ,则导
( 1 ) 若 ( a ,b ) 内 在 f ( x ) 0 ,则 f ( x ) 在 [ a ,b ] 上;是
( 2 ) 若 ( a ,b ) 内 在 f ( x ) 0 ,则 f ( x ) 在 [ a ,b ] 上.是
3
x ( ,0) 0
不
f(x) 存
在
0 , 1 3
1 3
1 ,1 3
1
(1, )
不
0 存在
f (x)
无 极
值
极
大
值
极
小
值
极大值 f 1 3 4 , 极小值 f(1)0. 3 3
定理3.6 (极值的第二充分条件) 设 f (x)在 x 0 处具有二阶导数, 且 f(x0)0,
不
存
在
f (x)
拐点
凸的
1 5
,
6 5
3
215凹的
不是 拐点
凹的
例5 证明 x lx n y ly n x y lx n y ,(x 0 ,y 0 ,x y ) 22
证 令 f(t) tltn ,(t 0 ).
f(t)ln t1 , f (t) 1 0
t
所以曲线在 (0,)上是严格向下凸的.
x ,y ( 0 ,)x , y ,有
f(x)f(y)fxy
2
2
即 xln xyln yxyln xy. 22
性质 如果 f(x)在[a,b]上连,且 续其图形.是凸
则 x i [ a ,b ]p i, 0 ( i 1 , 2 , ,n ),
其中 p 1 p 2 p n 1 ,有
邻域内可导, 则
(1) 如果 x (x 0,x 0 )有,f(x)0， 而x (x0,x0),
有 f(x)0,则 f (x)在 x 0 处取得极大值;
(2) 如果 x (x 0,x 0 )有,f(x)0， 而x (x0,x0),
有 f(x)0, 则 f (x)在 x 0 处取得极小值;
(3) 如果当 x (x 0,x 0 )及 x (x 0 ,x 0)时,
曲线 yf(x)的拐点.
例4 求曲线 y(x1)3 x2的拐点及凹凸区间.
解 函数在其定义域 ( , )内连续.
y
5
2
x3
2x13,
33
y
2(5x1) 4 ,(x0)
9x3
在 x0处 ,y,y均不 ; 令 存 y在 0,得x1.
5
x
, 1
5
1 5
f(x) 0
1 ,0 5
0 (0,)
x l i m f(x)x l i m 4(x x 21)2 2
水平渐近线: y2.
4(x1) f(x) x2 2,
f(x)4(xx3 2),
f(x)8(xx4 3)
lx i0m f(x)lx i0m 4(x x 21)2,铅直渐近线 x0.
无斜渐近线.
列表确定函数单调区间,凹凸区间及极值点和拐点:
如果 lif m (x ) b 或 lif m (x ) b (b 为)常 , 数
x
x
那么 y直 b就线 y是 f(x)的一条.水
y
例如 yarc x,tan 2
O
x
2
有两条水平渐近线:
y , y .
2
2
3. 斜渐近线 如果 li[m f(x ) (a x b ) ]0 ,
x
或 li[m f(x ) (a x b ) ]0 , (a ,b 为)常 数
一条渐近线.
1. 铅直渐近线 (垂直于x 轴的渐近线)
如果 lif m (x ) 或 lif m (x ) ,
x x 0
x x 0
那么 x 直 x0就 线 y是 f(x)的一条铅 .
例如 y
1
,
(x2)(x3)
有两条铅直渐近线: x 2 , x 3 .
2. 水平渐近线 (平行于x 轴的渐近线)
和拐点. (4) 适当计算曲线上一些点的坐标,如极值, 拐点
的坐标, 注意曲线是否与坐标轴是否有交点.
例8 描绘函数 f(x)4(xx21)2的图形. 解 定义域为 (,0 ) (0,) ,函数非奇非偶.
f(x)4(xx 32), f(x)8(xx4 3)
令 f(x)0, 得驻 x2 点 , 令 f(x)0, 得x3.
在空心邻域 U ( x0 ) 内f(x) 存在,
(1) 若x0在 两f侧 (x)异 ,则 号 点 (x0, f(x0))即为拐 ; 点 (2) 若x 0在 两f侧 (x)同 ,则 号 点 (x0, f(x0))不是拐 . 点
定理3.9 (拐点的第二充分条件)
若 f(x 0 ) 0 ,f(x 0 ) 0 ,则(点 x0,f(x0)是 )
极小值
间 断
点
y
•6
极小值 f( 2) 3
拐点 3, 26
9
补充点
•1
(1 3,0)(,1 3,0),
1 •
3
•
2
•
O
•
1
•
2
x
(1,2)(,1,6), (2,1).
•2
•3
f(x)3x26x
令f(x)0， 得x 1 驻 0 ,x 2 点 2 . f(x)6x6
f(0 ) 6 0 ,故 极f(大 0)1,值
f(2 ) 6 0 ,故极 f(2 小 )3.值
3.4.2 曲线的凹凸性及拐点
问题: 如何研究曲线的弯曲方向?
y
yf(x) • •
O x 1 x x1 x 2 2 x
f(x)coxs2, f(x ) sx i n 0
f(x)的 图 形 是 . 又 凸f(0 的 )0, f 0,
2
因 此0当 x2时, t(0,1)使 , xt0(1t)2,
f(x )tf(0 ) (1 t)f 0 ,
2
即
s inx
2
x.
3.4.3 函数图形的描绘
当y 曲 f(x )上 线的 P 沿 一 着 动 曲 移向无穷点时, 如果点P到某定直线L 的距离 趋向于零, 那么 L 就 直 称 线 y 为 f(x )的 曲
li2 ( m x 2 )x ( 3 ) 2 x (x 1 )4
x
x 1
所以, y2x4是曲线的一条斜渐近线.
函数作图的具体步骤可归纳如下:
(1) 确定函数的定义域、间断点、奇偶性和周期性. (2) 确定曲线的渐近线, 把握函数的变化趋势. (3) 求出函数的单调性和极值, 确定曲线的凹凸性
2
图形上任意弧段 位于所张弦的下方
y
yf(x)
•
•
O x1 x1 x2 x2 x
2
图形上任意弧段 位于所张弦的上方
定义 3.2 设 f (x)在区间I 上连续, 如果 x1,x2I,
恒有
fx1x2f(x1)f(x2)
2
2
则称 f(x)在区 I上 间是向,下 或凸 称;的 凹的
如果 x1,x2I, 恒有
f(x0)0, 则 (1) 当 f(x0)0时, 函数 f (x) 在 x 0处取得极大值; (2) 当 f(x0)0时, 函数 f (x) 在 x 0处取得极小值.
注意: f(x0)0时 ,f(x)在x点 0处不一定 , 取 此时仍需用定理3.5.
例2 求函数 f(x)x33x21的极值.
解 定义域为 (, ).
f(x)符号相同,则 f (x)在 x 0 处无极值.
y
y
o x0
xo
x0
是极值点情形
x
y
y
o
x0
xo
x0
x
不是极值点情形
求函数极值的基本步骤:
(1) 求出 f ( x) 的所有可能的极值点, 即的不可导 的点和 f(x)0的点; (2) 对(1)中求得的每个点, 根据 f(x)0在其左、
右是否变号, 确定该点是否为极值点.
如果是极值点, 进一步确定是极大值点还是 极小值点; (3) 求出各极值点处的函数值, 得到相应的极值.
例1 求函数 f(x)3x(1x)2的极值.
解 函数在其定义域 ( , )内连续.
f(x) 13x ,(x0,1) 33x2(1x)
当 x0 与 x1 时 ,导数不存在; 令f(x)0， 得驻点x 1.