机械振动与噪声习题答案(1) 部分

振动与噪声习题解答（1）
1-4 一简谐振动频率为10Hz ，最大速度为4.57m/s, 求其振幅、周期和最大加速度。

解：简谐振动的一般形式为： x (t )=Asin(ωt +φ) 速度：ẋ(t )=Aωcos(ωt +φ) 其最大速度为Aω=4.57，A =
4.57ω
=0.7273 周期T=1/f=0.1s, ẍ(t )=−Aω2sin(ωt +φ)
ẍ(t )max =4.57ω=287.14 m/s 2
1-6 一台面以一定频率做垂直正弦运动，如要求台面上的物体保持与台面接触，则台面的最大振幅可有多大？
解： 台面上的物体受力分析如下
根据牛顿第二定律： mg −F =mẍ(t )=−mAω2sin(ωt +φ) 保持接触，则F ≥0，
ẍ(t )max ≤g →A max =
g ω2
1-7 计算两简谐运动x1=Xcos (ωt ),x2=Xcos(ω+ε)t 之和，其中ε≪ω。

如果发生拍振现象，求其振幅和拍频。

解：设x =x1+x2=X [cos (ωt )+cos (ω+ε)t ]=2Xcos (ε
2)t cos (ω+ε
2)t 上式可以看做是一个余弦函数，由于ε≪ω，频率可近似为ω：
x ≈2Xcos (ε
2
)t cosωt
振幅为可变振幅 2Xcos (ε
2)t ，当t: 0→ π
ε →2π
ε
, 振幅从 2X → 0 →2X , 每隔2π
ε时间重复一次，所以振幅的周期T =
2πε
，拍频为：T =ε
2π 1-11 阐明振动与声的关系和区别
答：声波是有振动引起的，这是声与振动的联系；
声与振动的区别：振动量是时间t 的函数，而声波的波动量则不仅是时间t 的函数，同时还是空间s 的函数，声波波动量存在的空间称为声场。

2-3. 如图2-33所示，质量为m 、半径为r 的圆柱体，可以沿水平面做纯滚动，它的圆心O 用刚度为k 的弹簧相连，求系统的振动微分方程。

解：采用能量法
1） 建立广义坐标。

取质量元件沿水平方向的位移作为广义坐标。

坐标原点O 设在弹簧平衡位置，方向向左为正。

2） 让质量元件m 沿广义坐标方向移动一个位移x ，由于圆盘纯滚
动，所以圆盘逆时针旋转θ=x/r 角度。

3） 势能： U =1
2
kx 2
动能：（包括质心平动动能和绕质心的转动动能）
V =mẋ2
2+Jθ2
2=mẋ2
2+mr 22x r 22
2=3mẋ24
能量守恒定律：d(U+V)=0，可得振动微分方程为：
(
3m
2
ẍ+kx)ẋ=0 3m
2
ẍ+kx =0
2-5 求图2-35所示弹簧-质量-滑轮系统的振动微分方程（假设换轮与绳索间无滑动） 解：力法(一)
1） 建立广义坐标。

取质量元件沿垂直方向的位移作为广义坐
标。

坐标原点O 设在质量元件平衡位置，方向向下左下为正。

2） 让质量元件m 沿广义坐标方向移动一个位移x ，由于圆盘
纯滚动，所以圆盘逆时针旋转θ=x/r 角度。

3） m 受到重力和拉力F ，对质量m 运用牛顿第二定律 mẍ=mg −F
4） 对质量M 运用动量矩定理
Jθ=Fr −k (∆x +x )r
Mr 2ẍ
2r =Fr −k (∆x +x )r Mẍ
2=F −k (∆x +x ) 静平衡时有： mg =k (∆x )
得微分方程：
(
M
2
+m)ẍ+kx =0 能量法(二)
1） 建立广义坐标。

取质量元件沿垂直方向的位移作为广义坐标。

坐标原点O 设在质量元
件平衡位置，方向向下左下为正。

2） 让质量元件m 沿广义坐标方向移动一个位移x ，由于圆
盘纯滚动，所以圆盘逆时针旋转θ=x/r 角度。

3） 势能（设平衡位置时的势能为0）
U =[12k (x +∆)2−mgx]−12k (∆)2=1
2
k (x )2
4） 动能
V =12mẋ2
+12Mr 22
θ2
能量守恒定律：d(U+V)=0，可得振动微分方程为：
(
M
2
+m)ẍ+kx =0
2-11 系统参数如图2-40所示，刚性杆质量可以忽略不计，求系统对于广义坐标x 的等效刚度。

解：对小车施加向左的里F ，产生向左的位移x ，向左为正。

则可利用刚度的定义有 F =k
e x
对小车在x 方向的受力进行分析：
弹簧1的伸长量∆1=xcosα，弹簧力在x 方向的分量为：F 1x =k 1∆1cosα=k 1xcos 2α
弹簧2的伸长量∆2=x
b
a ，弹簧力在x 方向为：k 2x
b
a
弹簧2与支点的上下力矩平衡， 设枝干作用在小车上的向右的力为F 2，则
k 2x
b aa =F 2b F 2=k 2
aax
bb
根据小车在x 方向的平衡条件
F =F 1x +F 2=k 1xcos 2
α+k 2a 2x
b
2
有效刚度为
k e =k 1cos 2
α+k 2a 2
b
2
2-15 用观察法建立图2-44所示的链式系统的振动微分方程。

简要说明必须注意的问题。

解：1）对质量元m
1和m 2建立广义坐标如图所示，坐标原点在系统平衡时各质量元的位置。

2）根据视察法，系统的振动微分方程具有如下形式
[M ]{ẍ}+[C ]{ẋ}+[K ]{x }={0}
则质量矩阵
[M ]=[m
1
00
m 2
] 阻尼矩阵
[C ]=[c 1
−c 1−c
1
c 1]
刚度矩阵
[K ]=[
k 1+k 2+k 3
−k 3
−k 3
k 3+k 4
]
[m 100
m 2]{ẍ1
ẍ2}+[c 1−c 1−c 1
c 1]{x 1ẋ2}+[k 1+k 2+k 3
−k 3
−k 3
k 3+k 4]{x 1x 2
}={0}
2-18 行车载重小车运动的力学模型如图2-47所示，小车质量m1，受到两根刚度为k 的
弹簧约束，悬挂物品质量为m2, 悬长为L, 摆角很小，求系统的振动微分方程。

解：利用拉格朗日方法求解
1）建立广义坐标x和θ，x为质量单元m1的位移，坐标原点在系统静平衡位置，方向向右为正，θ为单摆的摆杆偏离铅锤位置的转角，逆时针方向为正。

2）对系统做速度分析：质量m1的速度为ẋ，质量m2的牵连速度为ẋ，相对与m1的转动线速度为Lθ，所以m2的合速度为：
√(ẋ+Lθcosθ)2+(Lθsinθ)2
系统的动能V就为
V=1
2
m1ẋ2+
1
2
m2(ẋ2+L2θ2+2ẋLθcosθ)
系统的势能U为：（取平衡位置处势能为0）
U=m2gL(1−cosθ)+kx2拉格朗日函数=V-U=
Lag=V−U=1
2
m1ẋ2+
1
2
m2(ẋ2+L2θ2+2ẋLθcosθ)−m2gL(1−cosθ)−kx2
耗散函数D=0,其他非保守力为0.
3）对广义坐标x利用拉格朗日方程
ðLag
ðẋ
=m1ẋ+m2(ẋ+Lθcosθ)
d dt (
ðLag
ðẋ
)=m1ẍ+m2(ẍ+Lθcosθ−Lθsinθθ)
ðLag
ðx
=−2kx
得到第一个方程：
(m1+m2)ẍ+m2Lθcosθ−m2Lθsinθθ+2kx=0
θ很小，cosθ≈1,sinθ=θ
(m1+m2)ẍ+m2Lθ−m2Lθ2θ+2kx=0
4）对广义坐标θ利用拉格朗日方程
ðLag
ðθ
=m2(L2θ+ẋLcosθ)
d dt (
ðLag
ðθ
)=m2(L2θ+ẍLcosθ−ẋLθsinθ)
ðLag ðθ=
1
2
m2(−2ẋLθsinθ)−m2gL(sinθ)
得到第二个方程：
m2(L2θ+ẍLcosθ−ẋLθsinθ)+m2ẋLθsinθ+m2gLsinθ=0
θ很小，cosθ≈1,sinθ=θ
m2(L2θ+ẍL)+m2gLθ=0
5）线性化，略去高阶小量，得两个线性方程
(m 1+m 2)ẍ+m 2Lθ+2kx =0 m 2L 2θ+m 2ẍL +m 2gLθ=0
写成矩阵形式得
[
m 1+m 2m 2L m 2L
m 2L 2]{ẍθ
}+[2k
0m 2gL ]{x θ
}={0}。