初中数学锐角三角函数应用优质课教案教学设计

《锐角三角函数应用》教学设计

一、内容和内容解析

1.内容

北师大版《义务教育课程标准实验教科书·数学》九年级下学期中考专项复习—“锐角三角函数应用”.

2.内容解析

“锐角三角函数”是《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中“空间与图形”领域的重要内容，初中阶段主要研究锐角三角函数、解直角三角形及运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题，其知识结构如图1所示,它是高中数学三角学的基础,起着承上启下的作用，因此这部分也是中考必考内容，在中考复习中必须给予重视.这其中，锐角三角函数应用是中考命题的重点和热点，“不上高山，能测山高；不下湖泊，能量河宽”正是三角函数应用的独特魅力所在，通常以应用题的形式出现，命题背景与生活密切联系，主要涉及测量、航空、航海、工程等方面，是运用数学方法解决实际问题的一类典型问题.这类问题在考查三角函数基础知识的同时对学生构建数学模型有了更高的要求，解决问题的关键是要善于从复杂的图形中识别和构造出基本图形，把错综复杂的问题简化，抽象为合理的数学模型的过程.因此，本节课的教学重点为：从实际问题中抽象出基本图形，掌握并灵活应用各种数学关系解直角三角形. 通过学习，学生进一步把形和数结合起来，提高分析问题和解决问题的能力.另外，在建立数学模型过程中，会更有利于发挥学生的主动性和创造性，把学知识、用知识、探索发现有机地结合起来.

图1

二、目标和目标解析

1.目标

（1）掌握并灵活应用直角三角形边角关系和勾股定理解直角三角形.

（2）经历从实际情境中抽象出数学基本图形和数学关系的过程，感受“模型、抽象”的基本思想在锐角三角函数中的应用，积累数学建模的经验.

（3）经历观察、讨论等数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点.

（4）在解决具体问题过程中，体会数与形之间的联系，感悟数学思想，积累解这类问题的经验，发展应用意识和解决问题的能力.

2.目标解析

目标（1）解决三角函数实际问题时要运用转化的思想方法，把实际问题转化为数学模型，进而找出要解的直角三角形（对于非直角三角形问题，需要添加适当的辅助线将其转化为直角三角形问题），然后根据锐角三角函数，选择合适的关系，解出所求的未知数的值，因此掌握并灵活应用各种关系解直角三角形是锐角三角函数实际应用的解题工具和基础，为本节课的目标．

目标（2）《课程标准》对学生数学学习的总体目标规定“获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识”.本节通过对实际问题的讨论，培养学生的问题意识，让其经历从实际问题中抽象出两类基本图形和数学关系的过程，引导学生感受当两个目标直角三角形都不可解时，用方程思想来解决,会产生柳暗花明之效.体验运用数学知识解决实际问题的同时，渗透“数学建模”的思想.

目标（3）“动手实践、自主探索与合作交流是学习数学的重要方式”.给学生自主探索的时间，让学生在观察、讨论等数学活动过程中，发展合情推理能力；给学生宽松和谐的氛围，让学生在探索知识的过程中，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，学得更主动、更轻松，这样不仅激发学生学习数学的积极性、主动性，还培养了其探索能力、创新精神、合作精神.

目标（4）数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学知识的精髓,是将知识转化为能力的桥梁.数学思想方法的渗透使学生的思维能力发展先于知识能力，从而促进学生分析问题、解决问题能力的提高，应用意识的发展. 锐角三角函数实际应用中蕴含了丰富的数学思想方法，如转化、方程、建模、数形结合等.在解决具体问题的过程中让学生去归纳总结数学方法，从而深化成数学思想，是一种有效的教学手段.因此以经典范例为载体，逐渐渗透数学思想方法为本节课教学目标.

三、教学预测诊断分析

在知识层面上，九年级学生已经牢固掌握了勾股定理，三角形相似，也已经学习过锐角三角函数、特殊角度的三角函数值，并且掌握了直角三角形中各边和各角的关系，在此基础上，解直角三角形难度并不大，但在深入研究几何图形的基础上，根据已知条件，灵活恰当地选择直角三角形边角之间的关系，要达到熟练运用的程度还有一定困难.

在心理层面上，九年级学生经过近三年的初中学习和生活，逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力，记忆能力和想象能力也随着迅速发展，他们思维活跃，有较强的接受能力和推理能力，同时还具备一定的数学探究活动经验和应用数学的意识.但学生抽象概括能力有限，综合运用所学知识解决问题，同时把实际问题抽象为数学问题以及将实物图形抽象为几何图形的能力有待提高，因此需要通过观察、思考、交流，进一步体会“航海”、“物体测量”等实际问题与锐角三角函数之间的联系，感悟数学思想、积累解题经验，提高应用数学和合作交流的能力.

基于以上分析，本节课的教学难点是：从实际问题中抽象出基本图形，掌握并灵活应用各种数学关系解直角三角形.

四、教学支持条件分析

（1）学习工具单的使用避免了“老师讲学生听”满堂灌的学习，使学生有了一个思维空间，学习效率更高，以问题形式呈现给学生，给了学生一个路标，

N 让学生知道学习的方向在哪里，带着问题去学习，去思考，自己解决，品尝到了学习的快乐.

（2）在设计并应用PPT 课件整合教学资源的同时，运用几何画板帮助学生直观理解三角函数应用的基本图形之间的关系.

（3）各小组用答题版展示学习成果，这样便于各小组之间的交流，也能直接观察到学生解决问题时出现的亮点和错误，有助于教师了解学生的学情；这种集体展示形式极大地调动了学生的学习积极性和主动性，增强了学生的集体荣誉感，同时还锻炼了学生的心理承受能力，提高了思维能力，起到了榜样示范的作用.

（4）本节课以典型范例为载体，按照启发、吸收、消化和发展的认识规律进行总体策划，分阶段、有步骤地渗透数学思想方法，在解题过程中，充分发挥数学思想方法对发现解题途径的定向、联想和转化功能，举一反三，触类旁通.

（5）为了充分发挥学生的主观能动性，让学生通过小组交流讨论，大胆地发表意见，提高了学生学习数学的兴趣.学生自己能构造实际问题中的直角三角形，并注重运用方程思想通过解直角三角形来解决实际问题，是一个质的飞跃.

五、教学过程设计

1．提出问题，引出课题

老师有一个问题想请同学们帮忙解决

引例：八中分校和老师家都位于东湖的堤坝线MN 上，它们相距2000m ，主校、分校及老师家构成了一个三角形ABC ，测得∠ACB 约为30°，∠ABM 约为60°，我想知道主校到东湖堤坝线MN 的距离是多少？

追问：你想用什么知识解决这一问题？

师生活动：教师提出问题，引导学生抽象出数学图形，运用启发式追问让学生积极思考后引出课题.

【设计意图】注重学生的心理历程，利用与生活实际有关的具体情境，搭起数学与实际问题的桥梁，让学生体验由生活情境抽象出数学问题，感受数学建模思想的运用，提高应用数学的能力.

2.课前整理，复习回顾

问题1：三角函数有什么作用？（求线段长或求角度）

问题2：你还学过哪些求线段长的方法？

追问：哪种方法更简便？

问题3：在解决问题的过程中，你发现三角函数的应用有哪些类型？ 师生活动：在教师的引导下学生积极思考回答.总结求线段长度常用的基本方法（勾股定理、相似、三角函数），发现三角函数应用的常见类型.

【设计意图】通过学习工具单上的课前练习和本环节层层递进的问题串，首先使学生进一步感受到三角函数是求线段长度的有利工具，在原有求线段长度的经验的基础上，进一步深化理解三角函数方法的简便性，并从中总结出三角函数