多元积分计算方法总结

�x′2(t)+y′2(t)+z′2(t)
第二类曲面积分的向量值函数定义：设 Σ 是定向的光滑曲面，曲面上每一点指定了单位法向量 n=（cosα, cosβ, cosγ），
若 f （ x,y,z ） =P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k 是 定 义 在 Σ 上 的 向 量 值 函 数 ， 则 称 ∬Σ f ∙ ndS = ∬Σ [P(x, y, z)cosα +
L
L
L
= 球面 Ω {(x, y, z) | x= 2 + y2 + z2 R2}上，
∫∫ xdydz + ydzdx + xdydz = 4π R3 Σ
∫∫ x2dydz= ∫∫ y2dzdx= ∫∫ z2dxdy= ∫∫ x2dydz + y2dzdx + z2dxdy=
Σ
Σ
Σ
Σ
第一类曲线积分
（cosα,
cosβ,
cosγ）=±
1 √EG−F2
(∂(y,z)
∂(u,v)
,
∂(z,x) ∂(u,v)
,
∂∂((ux,,yv))),dS=√EG
−
F2dudv,则
若向量值函数 f 在 L 上连续，则
� Pdx + Qdy + Rdz = � [P(x, y, z)cosα + Q(x, y, z)cosβ + R(x, y, z)cosγ]ds
例如，光滑曲面Σ 的方程为z=z(x,y), (x,y)∈ D,其中 D 为平面区域。那么
n
=
(cosα,
cosβ,
cosγ)
=
1 ±�1+zx2 (x,y)+zy2 (x,y)
（
−
zx,
−zy,
1），如果取正号，则cosγ
>
0，这时法向量与
z
轴成锐角，意味着
取定了曲面的上侧，反之则取下侧。
dydz dzdx dxdy
2、Gauss 公式计算第二类曲面积分
设空间闭区域 Ω 是由分片光滑的闭曲面Σ所围成，函数 P、Q、R 在 Ω 上具有一阶连续偏导数，则有
∂P ∂Q ∂Q
�
Ω
�∂x
+
∂y
+
∂z �
dxdydz
=
�
Σ
Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = �
Σ
[Pcosα + Qcosβ + Rcosγ] dS
算
b
方
� Pdx + Qdy = � [P(x, y(x)) + Q(x, y(x))y′(x)]dx
法
L
a
2、Green 公式计算平面第二类曲线积分
设 D 为平面上由光滑或分片光滑的简单封闭曲线 L 所围的单连通区域，若 P(x,y)、Q(x,y)在 D 上具有连续偏导数，则
∮L
Pdx
+
Qdy
=
∬D
Ω上的连续函数，则∭Ω f(x, y, z)dxdydz = ∫ef dz ∬Ωz f(x, y, z)dxdy。
∬T(D) f(x, y)dxdy = ∬D
f�x(u,
v),
y(u,
v)�|
∂（x,y） ∂(u,v)
|dudv。
2、三重积分的变量代换：
若
f(x,y,z)
是
T(Ω)
上
的
连
续
函
数
，
则
特别，极坐标变换:x=rcosθ,y=rsinθ,0≤ θ ≤ 2π，0≤ r < +∞的 Jacobi 行列式 J=∂（x,y） = r。
2π
dθ
R= r 3dr
π R4
一D
0
0
2
些
计 算
= 椭圆域 Ω
{(x,
y)
|
x2 a2
+
y2 b2
+
≤ 1}
结
∫∫ 论 (x2 + y2 )dσ = abπ (a2 + b2 )
D
4
椭= 球形区域 Ω
{(x,
y, z) |
x2 a2
+
y2 b2
+
z2 c2
≤ 1}
∫∫∫ ∫ ∫ ∫ = ( x2 + y2 + z2 )dv abc = 2π dθ π sinϕdϕ 1 r4dr 4π abc
∫Γ
Pdx
+
Qdy
+
Rdz
=∫∫ Σ

∂R ∂y
−
∂Q ∂z

dydz
+

∂P ∂z
−
∂R ∂x

dzdx
+

∂Q ∂x
−
∂P ∂y

dxdy
=∫∫ Σ
∂ ∂x
∂ ∂y
∂ ∂z
PQ R
cosα
由第一类曲线积分表达为∫Γ Pdx + Qdy + Rdz = ∫Σ∫ ∂∂x
第一类曲面积分
第一类曲线积分通常的计算方法是通过曲线在不同形式的 第一类曲面积分通常的计算方法是将其投影到某个坐标平面上计算相应的二重积分。
一侧的曲面称为定向曲面。
利用 Green 公式计算平面有界区域的面积 S=∮L xdy − ydx
3、Stokes 公式计算空间第二类曲线积分 设 Γ 为分段光滑的空间有向闭曲线，Σ 是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面，Γ 的正向与 Σ 的侧符合右手法则，函数 P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z)在曲面 Σ（连同边界 Γ）上具有一阶连续偏导数，则有
2π
dθ
π sin ϕdϕ = R r4dr
4π R5
Ω
Ω
0
0
Ω
0
15
对任意由坐标平面分成的半球面有
∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ 二重积分
= x2dv = y2dv = z2dv 2π R5
在圆= 域 D {(x, y) | x2 + y2 ≤ R2}(R > 0) 上， Ω
Ω
Ω
15
∫∫ ∫ ∫ (x2 + y= 2 )dσ
L
L
b
= � [P(x(t), y(t), z(t))x′(t) + Q(x(t), y(t), z(t))y′(t) + R(x(t), y(t), z(t))z′(t)]dt
a
二维情形：L:x=x(t),y=y(t)， t：a→b
b
� Pdx + Qdy = � [P(x(t), y(t))x′(t) + Q(x(t), y(t))y′(t)]dt
,
J=∂（x,y,z）
∂(r,φ,θ)
=
abcr2sinφ
对于旋转体，或由 z=e 和 z=f 截取的柱面，可考虑用先二后一法，也可考虑（广义）柱坐标变换。
椭球体x2
a2
+
y2 b2
+
zc22≤1可做广义球坐标代换，变换后区域为
{(r, φ, θ)|0 ≤ r ≤ 1，0 ≤ φ ≤ π，0 ≤ θ ≤ 2π}
∂(r,θ,z)
z = z，∞ < ������ < +∞
计
算 方
x = arcosθ, 0 ≤ θ ≤ 2π
(2)、广义柱坐标变换�y = brsinθ, 0 ≤ r < +∞
, J=∂（x,y,z） = abr
∂(r,θ,z)
z = z，∞ < ������ < +∞
法
x = rsinφcosθ, 0 ≤ θ ≤ 2π
(∂Q
∂x
−
∂P)dxdy
∂y
∬Σ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = ∬Σ [Pcosα + Qcosβ + Rcosγ] dS =
±
∬D
[P(x(u,
v,
),
y(u,
v),
z(u,
v))
∂(y,z) ∂(u,v)
+
Q(x(u,
v,
),
y(u,
v),
z(u,
v))
∂(z,x) ∂(u,v)
Q(x, y, z)cosβ + R(x, y, z)cosγ] dS为 f 在 Σ 上的第二类曲面积分。 1、 化为二重积分计算 (1)、曲面 Σ 的方程由参数方程给出：Σ：x=x(u,v),y=y(u,v) ，z=z(u,v), (u,v)∈D，其中 D 为 uv 平面上有分段光滑边界的 有界区域，P、Q、R 在 Σ 上为连续函数。
三重积分：
球= 形区域 Ω {(x, y, z) | x2 + y2 + z2 ≤ R2} 上，
∫∫∫ ∫ ∫ ∫ = (x2 + y2 + z2 )dv 2π d= θ π sinϕdϕ R r4dr 4π R5
Ω
0
0
0
5
∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ = x2dv
= y2dv = z2dv
函数，则称∫L f ∙ τds = ∫L [P(x, y, z)cosα + Q(x, y, z)cosβ + R(x, y, z)cosγ]ds为 f 在 L 上的第二类曲线积分。 1、化为定积分计算 (1)、曲线方程由参数方程给出：L:x=x(t),y=y(t),z=z(t),t：a→b