数值计算方法总结计划复习总结提纲.docx
计算方法总复习word版
计算方法复习一、期末考试试题期末考试主要考核：●基本概念；●基本原理；●基本运算。
必须带简易计算器。
总成绩=平时成绩*30%+期末成绩*70%二、考核知识点、复习要求1 误差(一) 考核知识点●误差的来源类型；●绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；●绝对误差的传播。
(二) 复习要求1. 产生误差的主要来源。
2. 了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字等概念以及它们之间的关系。
2 方程求根(一) 考核知识点二分法；迭代法；牛顿法；弦截法。
(二) 复习要求1. 知道有根区间概念，和方程f(x)=0在区间 (a,b)有根的充分条件。
2. 掌握方程求根的二分法，知道其收敛性；掌握二分法迭代次数公式;掌握迭代法，知道其收敛性。
3. 熟练掌握牛顿法。
掌握初始值的选择条件。
4. 收敛阶和收敛速度3 线性方程组的数值解法(一) 考核知识点高斯顺序消去法，列主元消去法,LU分解法；消去法消元能进行到底的条件;雅可比迭代法，高斯―赛德尔迭代法。
(二) 复习要求1. 掌握线性方程组雅可比迭代法和高斯――赛德尔迭代法。
2. 知道高斯消去法的基本思想，熟练掌握高斯顺序消去法和列主元消去法。
3. 知道解线性方程组的高斯消去法消元能进行到底的条件，迭代解收敛性的充分条件。
4. Cond(A)的概念和性质4 函数插值与最小二乘法(一) 考核知识点●插值函数，插值多项式；●拉格朗日插值多项式;插值基函数；●牛顿插值多项式；差商表;●分段线性插值、线性插值基函数(二) 复习要求1. 了解插值函数，插值节点等概念。
2. 熟练掌握拉格朗日插值多项式的公式，知道拉格朗日插值多项式余项。
3. 掌握牛顿插值多项式的公式，掌握差商表的计算，知道牛顿插值多项式的余项。
4. 掌握分段线性插值的方法和线性插值基函数的构造。
6. 了解曲线拟合最小二乘法的意义和推导过程，掌握法方程组的求法，以及线性拟合和二次多项式拟合的方法。
数值计算期末复习指南(整理版)
数值计算期末复习指南(整理版)
本文档旨在为数值计算的期末复提供指导。
以下是一些重要的复要点，帮助您进行有针对性的复。
1. 数值计算的基础知识
- 理解计算机中的数值表示方法和数值精度问题。
- 掌握计算机中数值的舍入误差和截断误差概念。
- 理解机器精度和有效数字的概念，并能计算有效数字。
2. 数值计算中的误差分析
- 熟悉误差分析的基本概念和方法。
- 掌握绝对误差和相对误差的计算方法。
- 理解截断误差和舍入误差在数值计算中的作用和影响。
3. 插值与逼近
- 理解插值和逼近的基本概念。
- 掌握常见的插值方法，如拉格朗日插值、牛顿插值等。
- 了解最小二乘逼近的原理和方法。
4. 数值积分
- 掌握数值积分的基本方法，如梯形公式、辛普森公式等。
- 理解数值积分的误差分析方法。
- 了解自适应积分和复化积分规则。
5. 数值微分方程的求解
- 熟悉常见数值求解常微分方程的方法，如欧拉法、龙格-库塔法等。
- 了解常微分方程初值问题和边值问题的数值求解方法。
- 掌握求解偏微分方程的基本方法。
请注意，本文档仅提供了数值计算复的基本要点，建议您结合教材和课堂笔记进行综合复。
祝您期末复顺利！。
(完整word版)《数值计算方法》复习资料全
《数值计算方法》复习资料课程的性质与任务数值计算方法是一门应用性很强的基础课，在学习高等数学，线性代数和算法语言的基础上，通过本课程的学习及上机实习、使学生正确理解有关的基本概念和理论，掌握常用的基本数值方法，培养应用计算机从事科学与工程计算的能力，为以后的学习及应用打下良好基础。
第一章数值计算方法与误差分析一考核知识点误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；绝对误差的传播。
二复习要求1. 知道产生误差的主要来源。
2. 了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字等概念以及它们之间的关系。
3. 知道四则运算中的误差传播公式。
三例题例1设x*= =3.1415926…近似值x=3.14＝0.314×101,即m=1，它的绝对误差是－0.001 592 6…，有即n=3，故x=3.14有3位有效数字.x=3.14准确到小数点后第2位.又近似值x=3.1416，它的绝对误差是0.0000074…，有即m=1,n＝5，x=3.1416有5位有效数字.而近似值x=3.1415，它的绝对误差是0.0000926…，有即m=1,n＝4，x=3.1415有4位有效数字.这就是说某数有s位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s位有效数字；例2 指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限：2.000 4 －0.002 00 9 000 9 000.00=2.000 4＝0.200 04×101, 它的绝对误差限0.000 05=0.5×10 1―5，即解因为x1m=1,n=5,故x=2.000 4有5位有效数字. a=2，相对误差限1x 2=－0.002 00，绝对误差限0.000 005，因为m =－2，n=3，x 2=－0.002 00有3位有效数字. a 1=2，相对误差限εr ==0.002 5x 3=9 000，绝对误差限为0.5×100，因为m =4, n=4, x 3=9 000有4位有效数字，a =9，相对误差限εr ＝＝0.000 056x 4=9 000.00，绝对误差限0.005，因为m =4，n=6，x 4=9 000.00有6位有效数字，相对误差限为εr ＝＝0.000 000 56由x 3与x 4可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的. 例3 ln2=0.69314718…，精确到10－3的近似值是多少？解 精确到10－3＝0.001，意旨两个近似值x 1,x 2满足，由于近似值都是四舍五入得到的，要求满足，近似值的绝对误差限应是ε＝0.0005,故至少要保留小数点后三位才可以。
数值分析计算方法复习提纲
数值分析总复习提纲数值分析课程学习的内容看上去比较庞杂，不同的教程也给出了不同的概括，但总的来说无非是误差分析与算法分析、基本计算与基本算法、数值计算与数值分析三个基本内容。
在实际的分析计算中，所采用的方法也无非是递推与迭代、泰勒展开、待定系数法、基函数法等几个基本方法。
一、误差分析与算法分析误差分析与算法设计包括这样几个方面： （一）误差计算 1、截断误差的计算截断误差根据泰勒余项进行计算。
基本的问题是(1)1()(01)(1)!n n f x x n，已知ε求n。
例1．1：计算e 的近似值，使其误差不超过10－6。
解：令f(x)=e x ,而f （k)(x)=e x ,f （k)(0)=e 0=1。
由麦克劳林公式，可知211(01)2!!(1)!n x xn x x e e x x n n当x=1时，1111(01)2!!(1)!e e n n故3(1)(1)!(1)!n e R n n 。
当n＝9时，R n (1)<10－6，符合要求。
此时， e≈2.718 285。
2、绝对误差、相对误差及误差限计算绝对误差、相对误差和误差限的计算直接利用公式即可。
基本的计算公式是：①e(x)＝x *－x ＝△x ＝dx② *()()()ln r e x e x dxe x d x x x x③(())()()()e f x f x dx f x e x ④(())(ln ())r e f x d f x⑤121212121122121122((,))(,)(,)(,)()(,)()x x x x e f x x f x x dx f x x dx f x x e x f x x e x ⑥121212((,))((,))(,)f x x f x x f x x⑦ x注意：求和差积商或函数的相对误差和相对误差限一般不是根据误差的关系而是直接从定义计算，即求出绝对误差或绝对误差限，求出近似值，直接套用定义式()()r e x e x x或x， 这样计算简单。
数值分析(计算方法)总结
第一章 绪论误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差ε(x )=|x −x ∗|是x ∗的绝对误差，e =x ∗−x 是x ∗的误差，ε(x )=|x −x ∗|≤ε，ε为x ∗的绝对误差限（或误差限） e r =ex =x ∗−x x为x ∗ 的相对误差，当|e r |较小时，令 e r =ex ∗=x ∗−x x ∗相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：εr 即：|e r |=|x ∗−x||x ∗|≤ε|x ∗|=εr绝对误差有量纲，而相对误差无量纲若近似值x ∗的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到x ∗的第一位非零数字共有n 位，则称近似值 x ∗有n 位有效数字，或说 x ∗精确到该位。
例：设x=π=3.1415926…那么x ∗=3,ε1(x )=0.1415926…≤0.5×100,则x ∗有效数字为1位，即个位上的3，或说 x ∗精确到个位。
科学计数法：记x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m (其中a 1≠0),若|x −x ∗|≤0.5×10m−n ，则x ∗有n 位有效数字，精确到10m−n 。
由有效数字求相对误差限：设近似值x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m （a 1≠0）有n 位有效数字，则其相对误差限为12a 1×101−n由相对误差限求有效数字：设近似值x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m （a 1≠0）的相对误差限为为12（a 1+1）×101−n 则它有n 位有效数字令x ∗、y ∗是x 、y 的近似值，且|x ∗−x|≤η(x )、|y ∗−y|≤η(y)1. x+y 近似值为x ∗+y ∗,且η(x +y )=η(x )+η（y ）和的误差（限）等于误差（限）的和2. x-y 近似值为x ∗−y ∗,且η(x +y )=η(x )+η（y ）3. xy 近似值为x ∗y ∗,η(xy )≈|x ∗|∗η(y )+|y ∗|∗η(x)4. η(xy )≈|x ∗|∗η(y )+|y ∗|∗η(x)|y ∗|21．避免两相近数相减2．避免用绝对值很小的数作除数 3．避免大数吃小数 4．尽量减少计算工作量 第二章 非线性方程求根1.逐步搜索法设f (a ) <0, f (b )> 0，有根区间为 (a , b )，从x 0=a 出发， 按某个预定步长(例如h =(b -a )/N )一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f (x k )=f (a +kh )的符号，若f (x k )>0(而f (x k -1)<0),则有根区间缩小为[x k -1,x k ] (若f (x k )=0，x k 即为所求根), 然后从x k -1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：|x k -x k -1|< 为止，此时取x *≈(x k +x k -1)/2作为近似根。
(完整)数值计算方法复习
2016计算方法复习务必通过本提纲例子和书上例子掌握如下书本内容：1. 会高斯消去法；会矩阵三角分解法；会Cholesky 分解的平方根法求解方程组2. 会用插值基函数；会求Lagrange, 会计算差商和Newton 插值多项式和余项3. 会Jacobi 迭代、Gauss —Seidel 迭代的分量形式，迭代矩阵,谱半径,收敛性4. 会写非线性方程根的Newton 迭代格式；斯蒂芬森加速5. 会用欧拉预报-校正法和经典四阶龙格—库塔法求解初值问题6. 会最小二乘法多项式拟合7. 会计算求积公式的代数精度；（复化)梯形公式和(复化)辛普生公式求积分；高斯-勒让德求积公式第1章、数值计算引论（一）考核知识点误差的来源类型;绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；误差的传播。
（二) 复习要求1。
了解数值分析的研究对象与特点。
2。
了解误差来源与分类,会求有效数字； 会简单误差估计. 3.了解误差的定性分析及避免误差危害。
（三）例题例1. 设x =0.231是精确值x *=0。
229的近似值，则x 有2位有效数字。
例2. 为了提高数值计算精度, 当正数x 充分大时, 应将)1ln(2--x x 改写为)1ln(2++-x x .例3. 3*x 的相对误差约是*x 的相对误差的1/3 倍.第2章、非线性方程的数值解法(一）考核知识点对分法;不动点迭代法及其收敛性；收敛速度； 迭代收敛的加速方法；埃特金加速收敛方法;Steffensen 斯特芬森迭代法；牛顿法；弦截法. (二） 复习要求1.了解求根问题和二分法.2。
了解不动点迭代法和迭代收敛性;了解收敛阶的概念和有关结论。
3。
理解掌握加速迭代收敛的埃特金方法和斯蒂芬森方法。
4。
掌握牛顿法及其收敛性、下山法, 了解重根情形. 5.了解弦截法. (三）例题1。
为求方程x 3―x 2―1=0在区间［1.3,1.6］内的一个根，把方程改写成下列形式,并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是（ ）(A ）11,1112-=-=+k k x x x x 迭代公式 (B ）21211,11kk x x x x +=+=+迭代公式(C ） 3/12123)1(,1k k x x x x +=+=+迭代公式 (D ）231x x =-迭代公式11221+++=+k k kk x x x x 解：在（A)中，2/32)1(21)(,11)(,11--='-=-=x x x x x x ϕϕ2/3)16.1(21->=1.076故迭代发散。
数值计算方法复习提纲
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2) 解之即得(1）的最小二乘解
2021/3/1
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02:59
❖ 一般曲线拟合
利用最小二乘原理求矛盾方程组的最小二乘解（会 计算） （★）
❖ 插值条件、插值点
❖ 插值多项式
插值多项式的存在、唯一性：
❖ 故Ln(x)与Nn(x)等价
Lagrang插值多项式（★）
❖ 构造
f (
x)
n
lk (
k0
x )yk
n
(
k0
n i0
(x ( xk
xi xi
) )
yk
ik
❖ 余项
n
lk ( x ) 1
k0
❖ 线性插值、抛物插值公式及其截断误差
复习
2021/3/1
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02:59
第一章 绪论及误差估计
误差的来源、分类（★） 误差的估计（★）
❖ 绝对误差、绝对误差限 ❖ 相对误差、相对误差限 ❖ 有效数字 ❖ 和、差、积、商的误差
数值计算（近似计算）的基本原则（★）
2021/3/1
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02:59
第2章 非线性方程求根
非线性方程求根的基本步骤（★）
第5章 最小二乘法与曲线拟合
最小二乘原理及正规方程组的构造（计算） （★）
❖ 多项式拟合： y=a0+a1x+…+amxm （1）
1) 对应的正规方程组：CTCa=CTy
n
n
xi
CTC
i0 n
xi2
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....
n
xim
n
xi
i0 n
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《数值计算方法》复习资料
《数值计算方法》复习资料课程的性质与任务数值计算方法是一门应用性很强的基础课，在学习高等数学，线性代数和算法语言的基础上，通过本课程的学习及上机实习、使学生正确理解有关的基本概念和理论，掌握常用的基本数值方法，培养应用计算机从事科学与工程计算的能力，为以后的学习及应用打下良好基础。
第一章数值计算方法与误差分析一考核知识点误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；绝对误差的传播。
二复习要求1. 知道产生误差的主要来源。
2. 了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字等概念以及它们之间的关系。
3. 知道四则运算中的误差传播公式。
三例题例1设x*= π=3.1415926…近似值x=3.14＝0.314×101,即m=1，它的绝对误差是－0.001 592 6…，有即n=3，故x=3.14有3位有效数字.x=3.14准确到小数点后第2位.又近似值x=3.1416，它的绝对误差是0.0000074…，有即m=1,n＝5，x=3.1416有5位有效数字.而近似值x=3.1415，它的绝对误差是0.0000926…，有即m=1,n＝4，x=3.1415有4位有效数字.这就是说某数有s位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s位有效数字；例2 指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限：2.000 4 －0.002 00 9 000 9 000.00解因为x1=2.000 4＝0.200 04×101, 它的绝对误差限0.000 05=0.5×10 1―5，即m=1,n=5,故x=2.000 4有5位有效数字. a1=2，相对误差限x2=－0.002 00，绝对误差限0.000 005，因为m=－2，n=3，x2=－0.002 00有3位有效数字. a1=2，相对误差限εr==0.002 5x3=9 000，绝对误差限为0.5×100，因为m=4, n=4, x3=9 000有4位有效数字，a=9，相对误差限εr＝＝0.000 056x4=9 000.00，绝对误差限0.005，因为m=4，n=6，x4=9 000.00有6位有效数字，相对误差限为εr＝＝0.000 000 56由x3与x4可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的.例3ln2=0.69314718…，精确到10－3的近似值是多少？解精确到10－3＝0.001，意旨两个近似值x1,x2满足，由于近似值都是四舍五入得到的，要求满足，近似值的绝对误差限应是ε＝0.0005,故至少要保留小数点后三位才可以。
数值计算方法期末总结
数值计算方法期末总结导言数值计算是近年来发展迅速的一门学科，它研究如何利用数字近似计算数学方程和问题的解。
在科学计算、工程分析、金融建模等领域都有广泛应用。
本文将对数值计算方法进行总结，包括数值逼近、插值与外推、数值微积分、线性方程组解法、非线性方程解法、数值积分与数值微分以及随机数生成与蒙特卡洛方法。
通过总结这些方法的基本原理、优缺点和应用领域，可以帮助读者更好地理解和运用数值计算方法。
一、数值逼近数值逼近是指通过有限次数的计算，利用某一数列逐步逼近函数的值。
数值逼近可以分为插值和外推。
插值是在给定的有限个数据点之间找到一个函数，使得函数经过这些数据点。
而外推是利用已知数据点的决策逐渐增加，以获得更精确的近似值。
在实际应用中，数值逼近被广泛应用于数据处理和数据分析中，常用于构造曲线拟合、图像处理和信号处理中。
数值逼近的方法有拉格朗日插值、牛顿插值和埃尔米特插值等。
二、插值与外推插值与外推是数值计算中用于估计未知函数值的重要工具。
插值是在给定数据点之间构造一个模型函数，使得函数经过这些数据点。
外推是利用一些已知数据点的决策逐渐逼近未知函数的方向。
常用的插值与外推方法有多项式外推、样条插值、最小二乘法、有限差分法等。
它们可以用于函数逼近、数据拟合和数值求解等问题。
三、数值微积分数值微积分是一种利用数值方法来近似计算积分和求解微分方程的方法。
数值微积分广泛应用于工程计算、金融建模和科学研究等领域，是计算机辅助设计和分析的关键技术之一。
在数值微积分中，常用的方法有数值积分和数值微分。
数值积分主要用于求解曲线下面积和计算函数的平均值等问题，常用方法有复合梯形公式、复合辛普森公式、复合高斯公式等。
而数值微分主要用于近似计算函数的导数，常用方法有有限差分法、龙贝格公式和微分方程的数值解法等。
四、线性方程组解法线性方程组是科学计算中的重要问题之一，其求解方法的好坏直接影响到计算结果的精度和稳定性。
线性方程组的求解方法有直接法和迭代法两种。
2019年数值计算方法复习提纲
基本原理 误差估计
－3－
22:16
简单迭代法
迭代原理 迭代格式的收敛性判断 收敛速度的度量
Newton迭代法
原理 算法步骤（★） 收敛的阶 手工计算（★） newton迭代法的改进
1) 重根时的改进 2) 避免求一阶导数的改进：弦截法
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1) 对称性 f[x 0 , ,x k]f[x i0, ,x ik]
2) f[x 0 , ,x n ] i n 0 (x i x 0 ) (x i x i f 1 ( )x ix ) i( x i 1 ) (x i x n )
f[x0,,xn]
f
(n)()
(n)!
22:16
第3章 线性方程组求解
线性方程组的求解方法： （★）
直接法 迭代法
直接法：（各种方法的适用条件、手工计算）
Guass顺序消元法
1) 适用条件： a) 系数矩阵A是严格对角占优的矩阵
n
||aii| |aij|,A的每行主对值 角同 元行 的其 绝余 对元之 素和 的绝 ji i1 b) 顺序阶主子式为正
最小二乘原理及正规方程组的构造（计算） （★）
多项式拟合： y=a0+a1x+…+amxm （1）
1) 对应的正规方程组：CTCa=CTy
n
n
xi
CTC
i0 n
xi2
i0
....
n
xim
n
xi
i0 n
xi2
i0
n
xi3
i0
....
3) 会手工计算（★）
数值计算方法总结.
运算量
1 1 分解A LR需 (n3 n)次, 解Ly b需 (n 2 n)次, 3 2 1 2 n3 n 解Rx y需 (n n)次, 共N n 2 2 3 3
第2章 解线性代数方程的直接法
2.2 三角分解法 2.2.2 克洛特分解法
对A进行杜里特尔分解时, A=LR, L为单位下三角阵, R为上三角阵
1i n j 1
2
( AT A), 称为谱范数
第2章 解线性代数方程的直接法
2.3 舍入误差对解的影响 2.3.1 向量和矩阵的范数
这些系数的绝对值称为求y问题的条件数，其值很大时的问题 称为坏条件问题或病态问题
凡是计算结果接近于零的问题往往是病态问题。
应避免相近数相减,小除数和大乘数
第1章 数值计算方法的一般概念
1.2.3 数据误差影响的估计
由误差估计式(1 1)可知 (x1 x2 ) x1 x2 x1 x2 (x1 x2 ) x x x1 x x x2 1 2 1 2 (x1 x2 ) x2 x1 x1x2 (x1 x2 ) x1 x2 x1 x1 x1 ( ) 2 x 2 x x2 x2 2 ( x1 ) x x 1 2 x 2
2.[回代] 按相反顺序求解上三角形方程组,得到方程组的解
第一步得到xn ,第二步得到xn1,...,第n步得到x1
将方程组写成增广矩阵的形式,将有利于计算机实现
A A b
第2章 解线性代数方程的直接法
2.1 高斯消去法 2.1.2 运算量估计 高斯消去法运算量估计 1.消去算法运算量
第1章 数值计算方法的一般概念
1.2.3 数据误差影响的估计
数值计算方法总复习.docx
数值计算方法总复习第一章算法与误差 第二章非线性方程求解 第三章线性代数方程求解 第四章函数插值与曲线拟合 第五章数值积分与数值微分 第六章當微分方程的数值解法 Chap. 1 （1）关于数值计算方法，What,特点教窗才算方法是应用数学的一个分支, 又称数值分析或计算方法,它是研究数字计算机求解各种数学问题的数值方法及其理论的一门科学，是程序设计 和对数值结果进行分析的依据和基础。
应用计算机解决科学计算问题包括以下几个过程：提出实际问题；建立数 学模型；选用数值计算方法；程序设计和上机计算。
可见数值计算方法是进行 科学计算全过程的一个重要环节。
计算机计算的特点：（1）运算速度快；（2）但只能完成加、减、乘、除和 一些逻辑运算。
所以，各种复朵的数学问题 T 归结为四则运算 ------------- 9 编程指令。
把对数学问题的解法归纳为有加、减、乘、除等基本运算，并对运算顺序 有完整而准确的描述的算法称为数值计算方法或简称数值算法。
研究各种算法 和和关理论的一门课程。
§1.2误差一、 误差的来源数分为两类：精确数（准确数、真值）； 近似数/近似值。
1） 模型课差或描述误差2） 测量误差（观测误差）3） 截断误并（方法误并）4） 舍入误差（计算误差）:数值计算关心的是截断谋差（方法谋差）和舍入谋差（计算谋差） 二、误差限和有效数字1. 误差限的定义设Z 是准确值Z 的某个近似值，如果根据具体测量或计算的情况，可以事 先估计出误差的绝对值不超过某个正数5即：关于《数值计算方法》IZ - Z| W £则称£为近似值的谋差限。
或称在允许谋差£的情况下，结果z是“准确的”・2.误差限和有效数字在表示一个近似数时，常常用到“有效数字”，有效数字和谋差限都是用来定量表示误差的大小，且它们之间有对应关系。
有效数字的定义：设数x的近似值T=0內兀2…乙xl（T ,其中灯是0到9之间的任一个数，但力工0门二1,2,3.・・，n正整数，刃整数，若lx-x* l< jxlO,n-n则称x*为x的具有n位有效数字的近似值，准确到第n位，x 1x2...xn是/ 的有效数字。
数值计算方法复习提纲
数值计算方法复习提纲第一章 数值计算中的误差分析 1．了解误差及其主要来源，误差估计；2．了解误差(绝对误差、相对误差)和有效数字的概念及其关系；3．掌握算法及其稳定性，设计算法遵循的原则。
1、 误差的来源 模型误差 观测误差 截断误差 舍入误差 2误差与有效数字绝对误差 E （x ）=x-x *绝对误差限ε εε+≤≤-**x x x相对误差 ***/)(/)()(x x x x x x x E r -≈-=有效数字m n a a a x 10.....021*⨯±=若n m x x -⨯≤-1021*，称*x 有n 位有效数字。
有效数字与误差关系（1） m 一定时，有效数字n 越多，绝对误差限越小； （2）*x 有n 位有效数字，则相对误差限为)1(11021)(--⨯≤n r a x E 。
选择算法应遵循的原则1、 选用数值稳定的算法，控制误差传播； 例 ⎰=101dx e x eI xn n eI nI I n n11101-=-=- △!n x n=△x 02、 简化计算步骤，减少运算次数；3、 避免两个相近数相减，和接近零的数作分母； 避免第二章 线性方程组的数值解法1．了解Gauss 消元法、主元消元法基本思想及算法； 2．掌握矩阵的三角分解，并利用三角分解求解方程组； （Doolittle 分解；Crout 分解；Cholesky 分解；追赶法） 3．掌握迭代法的基本思想，Jacobi 迭代法与Gauss-Seidel 迭代法；4．掌握向量与矩阵的范数及其性质,迭代法的收敛性及其判定 。
本章主要解决线性方程组求解问题，假设n 行n 列线性方程组有唯一解，如何得到其解？⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a (22112222212111212111)两类方法，第一是直接解法，得到其精确解；第二是迭代解法，得到其近似解。
《数值分析复习提纲》word版
数值分析第一部分线性方程组的数值解法一、基本要求1、掌握每一种解法的基本思想，适用范围，收敛条件，计算公式以及误差估计.2、在应用中不同解法的异同、优劣，加深对算法的理解，最好能上机计算.二、主要概念及结果主要概念定义1.1 对于方程通过某种方法建立了迭代法（2.1.1）如果对于任何使得极限成立，则称该迭代法是收敛的.定义1.2 如果，对于，都有成立，则称A是严格对角占优的.主要算法与定理高斯(Gauss)消去法假设A的所有顺序主子式都不等于零，原来的方程组为计算步骤为1） 把上面的第一个方程除以，在分别乘上后与第k 个方程相加（）,得到于是我们从第2到第n 个方程中消去了.2） 把上面的第二个方程除以，再分别乘上后与第k 个方程相加（）得到于是我们从第3到第n 个方程中消去了.3） 继续这个过程直到我们得到4） 由上面的最后一个方程很容易得到，然后按相反次序回代逐一计算出方程的解.高斯(Gauss)列主元消去法 假设A 的所有顺序主子式都不等于零，原来的方程组为（1） 消元过程.对，进行以下运算： 1） 选主元.找行号，使得； 2） 交换中的ki k ,两行；3） 消元：对于； 对.（2） 回代过程.按下述公式；回代求解即可得到方程组的解.定理1.1 对于，如果A 的所有顺序主子式都不为零，则存在唯一的上三角矩阵U 和对角元素为1的下三角矩阵L,使得Doolittle 分解 根据定理1.1，对于，如果A 的所有顺序主子式都不为零，则存在唯一的上三角矩阵U 和对角元素为1的下三角矩阵L,使得.可以直接计算分解式中的诸元素.为此，我们假设⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-11111,21323121n n n n l l l l l l L，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-----nn n n n n n n n n u u u u u u u u u u U ,11,121,22211,11211用U 的第k 列（）乘L ，然后与A 的相应列比较，可以逐列（逐行）计算出L(U)的元素.定理1.2 设A 是一个对称正定矩阵，则存在唯一的下三角阵L ，其对角元素都是正的，使得定理1.3 设A 是一个对称正定矩阵，则存在一个单位下三角阵L和对角矩阵D，使得定理1.4 迭代法对于任意收敛的充分必要条件是，其中是迭代矩阵的谱半径.如果及假设A的对角元素，令A=D-L-U,其中D是A 的对角部分构成的矩阵.L和U分别是A的严格下（上）三角矩阵，则有以下几个具体算法：雅可比迭代法高斯-赛德尔迭代法关于这两个算法的收敛性有如下定理：定理1.5 如果方程组Ax=b的系数矩阵是严格对角占优的，则雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法都收敛.定理1.6 如果方程组Ax=b的系数矩阵是对称正定的，则高斯-赛德尔迭代法收敛.第二部分非线性方程的数值解法一、基本要求掌握每种方法的基本思想、迭代公式、收敛条件以及与其他方法的差异.二、主要概念及结果主要概念定义2.1 对于方程，通过某种方法建立了迭代法（2.1）如果存在使得极限，则称该迭代法是收敛的.主要算法与定理定理2.1 设有方程，如迭代函数在有根区间[a，b]上满足：（1）当时，；（2）在[a，b]上可导，且有，则有：（1）方程在[a，b]上有唯一的根*x；（2）对任意初值，迭代公式产生的数列收敛于方程的唯一根*x，即；（3）误差估计定理2.2 设*x是方程的根，在*x的某个邻域内连续，且有，则必存在*x的一个邻域，对于任意选取的初值，迭代公式产生的数列收敛于方程的根*x.二分法假设的隔根区间为，取，计算.如果，则取，否则取.继续这个过程直到取见足够的小，就可以把最后区间的中点作为方程的近似根.此法称为二分法.牛顿法计算公式定理 2.3 如果，且在*x的某个邻域内连续，则牛顿法是局部收敛的.弦截法计算公式第三部分插值法一、基本要求1、在算法上要求熟练掌握拉格朗日插值法，等距节点插值法，牛顿插值法.2、要求能按所给条件，选用适当的近似公式求出近似函数或计算出函数的近似值，并会估计其误差.二、主要概念及结果主要概念定义3.1 设在区间上有定义，且在上的个不同的点的函数值为，若存在一个代数多项式（3.1）其中为实数，使得成立，则称为函数的插值多项式，点称为插值节点.主要算法与定理定理3.1 在个互异节点上满足插值条件的次数不高于的插值多项式存在且唯一.拉格朗日插值多项式的一般形式 其中为插值基函数， 插值余项为其中是区间中的某一个值，且和x 有关，所以牛顿插值多项式及余项)())(](,,,[))(](,,[)](,[)()(11010102100100----++--+-+=n n n x x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x N余项牛顿前插公式牛顿后插公式第四部分数值积分与数值微分一、基本要求掌握梯形求积公式、辛普森求积公式以及复化的梯形公式、复化的辛普森公式和龙贝格公式的构造方法.二、主要概念及结果主要概念定义4.1 若求积公式对于任意不高于次的代数多项式都准确成立，而对于次多项式却不能准确成立，则称该求积公式具有次代数精度.定义 4.2 将个节点的具有次代数精度的插值型求积公式称为高斯型求积公式，节点称为高斯点，称为高斯系数.主要算法与定理插值型求积公式其中牛顿-柯特斯公式其中梯形公式辛普森公式柯特斯公式其中复化梯形公式复化辛普森公式复化柯特斯公式其中龙贝格求积公式定理4.1 节点为高斯点的充分必要条件是以这些点为零点的多项式与任意次数不大于的多项式在上正交，即.第五部分常微分方程的数值解法一、基本要求掌握欧拉公式、经典的龙格-库塔公式二、主要概念及结果主要算法和定理显式欧拉方法隐式欧拉方法梯形公式预报-校正方法预估校正龙格-库塔方法二阶龙格-库塔公式经典的四阶龙格-库塔公式。
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数值计算方法复习提纲第一章数值计算中的误差分析12．了解误差 ( 绝对误差、相对误差 )3．掌握算法及其稳定性，设计算法遵循的原则。
1、误差的来源模型误差观测误差截断误差舍入误差2误差与有效数字绝对误差E（x）=x-x *绝对误差限x*x x*相对误差E r (x) ( x x* ) / x ( x x* ) / x*有效数字x*0.a1 a2 ....a n10 m若x x*110m n ，称x*有n位有效数字。
2有效数字与误差关系（ 1）m 一定时，有效数字n 越多，绝对误差限越小；（ 2）x*有 n 位有效数字，则相对误差限为E r (x)110 (n 1)。
2a1选择算法应遵循的原则1、选用数值稳定的算法，控制误差传播；例I n 11n xdxex eI 0 11I n1nI n1e△ x n n! △x02、简化计算步骤，减少运算次数；3、避免两个相近数相减，和接近零的数作分母；避免第二章线性方程组的数值解法1．了解 Gauss 消元法、主元消元法基本思想及算法；2．掌握矩阵的三角分解，并利用三角分解求解方程组；（Doolittle 分解； Crout分解； Cholesky分解；追赶法）3．掌握迭代法的基本思想，Jacobi 迭代法与 Gauss-Seidel4．掌握向量与矩阵的范数及其性质, 迭代法的收敛性及其判定。
本章主要解决线性方程组求解问题，假设n 行 n 列线性方程组有唯一解，如何得到其解？a11x1a12x2...a1nxn b1a21x1a22x2...a2nxn b2...an1x1an 2x2...annxn b n两类方法，第一是直接解法，得到其精确解；第二是迭代解法，得到其近似解。
一、Gauss消去法1、顺序Ｇ auss 消去法记方程组为：a11(1) x1a12(1) x2... a1(1n) x n b1(1)a21(1) x1a22(1) x2... a2(1n) x n b2(1)...a n(11) x1a n(12) x2... a nn(1) x nb n(1)消元过程：经ｎ－１步消元，化为上三角方程组a11(1) x1b1(1)a 21(2) x1a22(2 ) x2b2( 2 )...a n(1n) x1a n(n2) x2...a nn(n ) x nb n( n )第ｋ步若a kk(k)0( k 1)( k)a ik(k )(k )( k 1)( k )a ik(k )( k)aij aij a kk(k )akj bi b i a kk(k )b k k 1,...n 1 i, j k 1,....,n回代过程：x n b n(n)/ a nn(n)nx i (b i(i )a ij(i ) x j ) / a ii(i)(i n 1, n 2,...1)j i 1２、Ｇ auss—Ｊｏｒｄａｎ消去法避免回代，消元时上下同时消元３、Ｇ auss 列主元消去法例：说明直接消元，出现错误0.00001x12x22x1x23由顺序Ｇ auss 消去法，得x21, x10 ；Ｇa uss 列主元消去法原理：每步消元前，选列主元，交换方程。
算法：将方程组用增广矩阵 A b aij n( n 1)表示。
（1）消元过程：对 k=1,2,n-1,选主元，找 i k{ k, k 1,, n} 使得a i k, k max a ikk i n如果a i k,k0，则矩阵 A 奇异，程序结束；否则执行3。
如果i k k，则交换第 k 行与第i k行对应的元素位置，a k j a k i , j j,k , n 1.消元，对 i=k+1,,n,计算lik a ik, 对j=L+1,,n+1,计算akka ij a ij l ik a kj（2）回代过程：1．若a nn0, 则矩阵A奇异，程序结束；否则执行。
2x nan,n 1a nn;对in 1,,2,1,计算nai , n1jaijxjx i i 1aii举例说明。
4、消元法应用（ 1）行列式计算；（ 2）矩阵求逆。
二、利用矩阵三角分解求解线性方程组1、求解原理线性方程组写成矩阵形式为： AX=b若 A=LU ，则 LUX= b ，记 UX=Y 则 LY= b若 L 、 U 为特殊矩阵，则求解线性方程组变为解两个特殊线性方程组问题。
2、 Doolittle 分解L 为下三角矩阵 , U 为上三角矩阵 ,不一定能分解 ,分解也不一定唯一 ; 设 L 或 U 是单位三角矩阵 , 若能分解 ,则可分解唯一 .L 是单位下三角矩阵 ,称为 Doolittle 分解 ; U 是单位上三角矩阵 ,称为 Crout 分解； 定理 : n 阶矩阵 A 有唯一分解的充要条件为A 的前 n-1 阶主子式都不为0.Doolittle 分解算法：a11a12...a1n1u 11u12...u1na21a22...a2n l211u22... u2 n ... ... ... ...... ... ...... ...an1an2...annln1ln2 (1)unn由矩阵乘法：naijl ikukjk 1得到：k 1ukjakjl krurjjk, k 1,...n;r 1k 1lik( a ikl iru rk) / ukkik, k 1,...nr 1算法特点：先计算 U 的行，再计算 L 的列，交替进行；存储时可用紧凑格式。
矩阵分解后，解两个三角方程组：LY= b ，UX=Yi 1 y 1 b 1y ib il ik yki2,3,...nk 1nx i( y iu ik x k ) / u iiin, n1, (1)k i 13、 Crout 分解若 L 为下三角矩阵， U 是单位上三角矩阵，则称 Crout 分解；算法特点：先计算L 的列，再计算U 的行，交替进行。
4、正定对称矩阵的平方根法（ Cholesky 分解）（1） 正定对称矩阵性质与判定：定义：是 n 阶对称矩阵，若对任意非零向量XR n ，有 X T AX0 ，则称 A 为正定对称矩阵；判定： A 为 n 阶正定对称矩阵充要条件A 的各阶顺序主子式大于 0。
（ 2） Cholesky 分解定理：设 A 为 n 阶正定对称矩阵，则存在唯一主对角线元素都是正数的下三角阵L ，使得A LL T .Cholesky 分解算法：a 11 a 12 ... a 1nl 11ll 11 l 12 ... l 1na 21 a 22 ... a 2nl 21l22l22... l 2n ... ... ... ...... ... ...... ...an1an2...ann ln1l n 2 ...lnnlnnj 1 1ljj(a jjk 1 l 2jk ) 2j 1l ij( a ijl ik l jk ) / l jjk 1j 1,2,...n;ij 1, j2,...n5、 追赶法三对角矩阵的特殊分解b 1c 1 1u 1 c 1a 2b 2c 2l 2 1u 2 C 2a 3b 3c 3....l 3 1... ...... ...u n 1cn-1a n 1bn 1cn 1l n1u na nb nu 1 b 1l i a i / u i 1i 2,3,...nu ib il i c i1三对角方程组的追赶法： 追的过程 LY=Dy 1d 1y id il iyi 1i2,3,...n赶的过程UX=Yx n y n / u nx i ( y i c i x i 1 ) / u ii n 1, n 2,....,1§ 2 线性方程组的迭代解法一、 Jacobi 迭代公式例：x 11 x2 122其解为 x 1 1, x 211 x 1 x 2122 方程变形得到迭代公式(k 1)1(k )1x 12 x 22给初值 X( 0)0 计算，观察解的变化。
( k 1)1(k )1x 22 x 1 2一般地，对线性方程组a 11 x1a 12x2...a 1n xn b 1 a 21 x 1 a 22 x 2... a 2n x n b 2...a n1 x 1 a n2 x 2 ... a nn x nb n若a ii0 ，则可从第 i 个方程中解出 x i ,得到 Jacobi 迭代公式：x 1( k1)(b 1 a 12 x 2(k) ... a 1n x n (k) ) / a 11... x i ( k 1)(b ia i1 x 1(k ) ....... a in x n (k ) ) / a ii...x n (k 1)(b n a n1x 1(k ) ... a nn x n (k 1) ) / a nn简记为：nx i( k 1)(b i a ij x j( k) ) / a ii i 1,2,..., nj1j i二、 Gauss--Seidel迭代公式i1nx i( k 1)(b i a ij x j( k 1)a ij x(j k) ) / a ii i 1,2,...,nj1j i 1三、 SOR迭代公式四、迭代公式的矩阵表示X (k 1)GX ( k )D§ 3迭代公式的收敛性一、向量与矩阵的范数与性质1、向量范数定义：向量X R n，对应非负实数X ，满足三条件：（1）非负性（2）齐次性X0,X 0, X0 kX k X（3）三角不等式X Y X Y 称 X 为向量范数2、常见向量范数1 范数X 1x1x2...x n2 范数X 2x12x22. . . x n2∞范数Xmaxnxi 1i3、矩阵范数定义：方阵A R n n，对应非负实数 A ，满足三条件：A 0,A0, A0（ 2）齐次性（ 3）三角不等式kAk A A BAB（4）绝对值不等式AB A B称 A 为矩阵范数；向量范数与矩阵范数相容性：AX A X4、常见矩阵范数n1 范数，列范数： A 1maxaij1 j ni 1n∞范数，行范数：Amaxaij1 in1j 2 范数，谱范数：nna ij 2F范数：A Fi 1 j1举例计算二、 迭代公式收敛性的判定1、 向量的极限2、 矩阵的谱半径：( A) maxii为特征值；1 i n3、收敛性的判定 收敛的充要条件：迭代公式X (k 1) GX ( k )D 收敛的充要条件为谱半径(G ) 1。
判定定理 1：若 G1, 则迭代公式 X (k 1)GX (k )D 收敛。
判定定理 2：若对方程 AX=b 的系数矩阵 A 为对角占优，则 Jacobi 迭代公式， Gauss--Seidel 迭代公式收敛；判定定理 3：若对方程 AX=b 的系数矩阵 A 为对称正定，则 Gauss--Seidel 迭代公式收敛；Jacobi 迭代公式收敛与 Gauss--Seidel 迭代公式收敛关系举例：第三章非线性方程的数值解法1．了解二分法的原理与算法；2．掌握一般迭代法的基本思想及其收敛性判定；3．掌握 Newton 切线法、弦截法，并用它们求方程近似根的方法。