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数值计算方法复习提纲

第一章数值计算中的误差分析

1

2．了解误差 ( 绝对误差、相对误差 )

3．掌握算法及其稳定性，设计算法遵循的原则。

1、误差的来源

模型误差

观测误差

截断误差

舍入误差

2误差与有效数字

绝对误差E（x）=x-x *

绝对误差限x*x x*

相对误差E r (x) ( x x* ) / x ( x x* ) / x*

有效数字

x*0.a1 a2 ....a n10 m

若x x*110m n ，称x*有n位有效数字。

2

有效数字与误差关系

（ 1）m 一定时，有效数字n 越多，绝对误差限越小；

（ 2）x*有 n 位有效数字，则相对误差限为E r (x)1

10 (n 1)。

2a1

选择算法应遵循的原则

1、选用数值稳定的算法，控制误差传播；

例

I n 11n x

dx

e

x e

I 0 1

1

I n1nI n1

e

△ x n n! △x0

2、简化计算步骤，减少运算次数；

3、避免两个相近数相减，和接近零的数作分母；避免

第二章线性方程组的数值解法

1．了解 Gauss 消元法、主元消元法基本思想及算法；

2．掌握矩阵的三角分解，并利用三角分解求解方程组；

（Doolittle 分解； Crout分解； Cholesky分解；追赶法）

3．掌握迭代法的基本思想，Jacobi 迭代法与 Gauss-Seidel

4．掌握向量与矩阵的范数及其性质, 迭代法的收敛性及其判定。

本章主要解决线性方程组求解问题，假设n 行 n 列线性方程组有唯一解，如何得到其解？

a

11x

1

a

12

x

2...

a

1n

x

n b1

a

21x

1

a

22

x

2...

a

2n

x

n b2

...

a

n1x

1

a

n 2

x

2...

a

nn

x

n b n

两类方法，第一是直接解法，得到其精确解；

第二是迭代解法，得到其近似解。

一、Gauss消去法

1、顺序Ｇ auss 消去法

记方程组为：

a11(1) x1a12(1) x2... a1(1n) x n b1(1)

a21(1) x1a22(1) x2... a2(1n) x n b2(1)

...

a n(11) x1a n(12) x2... a nn(1) x n

b n(1)

消元过程：

经ｎ－１步消元，化为上三角方程组

a11(1) x1b1(1)

a 21(2) x1a22(2 ) x2b2( 2 )

...

a n(1n) x1a n(n2) x2...a nn(n ) x n

b n( n )

第ｋ步

若a kk(k)0

( k 1)( k)

a ik(k )(k )( k 1)( k )a ik(k )( k)

a

ij a

ij a kk(k )

a

kj b

i b i a kk(k )b k k 1,...n 1 i, j k 1,....,n

回代过程：

x n b n(n)/ a nn(n)

n

x i (b i(i )a ij(i ) x j ) / a ii(i)(i n 1, n 2,...1)

j i 1

２、Ｇ auss—Ｊｏｒｄａｎ消去法

避免回代，消元时上下同时消元

３、Ｇ auss 列主元消去法

例：说明直接消元，出现错误

0.00001x12x22

x1x23

由顺序Ｇ auss 消去法，得x21, x10 ；

Ｇa uss 列主元消去法原理：

每步消元前，选列主元，交换方程。

算法：

将方程组用增广矩阵 A b a

ij n( n 1)表示。

（1）消元过程：

对 k=1,2,n-1,

选主元，找 i k{ k, k 1,, n} 使得

a i k, k max a ik

k i n

如果

a i k,k0，则矩阵 A 奇异，程序结束；否则执行3。

如果

i k k，则交换第 k 行与第i k行对应的元素位置，

a k j a k i , j j,k , n 1.

消元，对 i=k+1,,n,计算l

ik a ik, 对j=L+1,,n+1,计算

a

kk

a ij a ij l ik a kj

（2）回代过程：

1．若a nn0, 则矩阵A奇异，程序结束；否则执行。

2x n

a

n,n 1a nn

;对i

n 1,,2,1,计算

n

a

i , n1

j

a

ij

x

j

x i i 1a

ii