微分几何陈维桓习题答案

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习题答案2

p. 58 习题3.1

2. 在球面2222{(,,)|1}S x y z x y z =++=上,命(0,0,1)N =,(0,0,1)S =-. 对于赤道平面上的任意一点(,,0)p u v =,可以作为一的一条直线经过,N p 两点,它与球面有唯一的交点,记为p '.

(1) 证明:点p '的坐标是

2221u x u v =++,2221

v y u v =++,222211u v z u v +-=++, 并且它给出了球面上去掉北极N 的剩余部分的正则参数表示;

(2) 求球面上去掉南极S 的剩余部分的类似的正则参数表示;

(3) 求上面两种正则参数表示在公共部分的参数变换;

(4) 证明球面是可定向曲面.

证明. (1) 设(,)r u v Op '=. 如图,,,N p p '三点共线,故有t ∈R 使得

(1)Op tOp t ON '=+-. (1) 由于21Op ON ==',2

22u v Op =+,0Op ON '⋅=,0t ≠,取上式两边的模长平方,得222/(1)t u v =++. 从而

22222222221,,111u v u v u v u v u v ⎛⎫+-= ⎪++++++⎝⎭,2(,)u v ∈R . (2) 由(1)可知

(,,1)(0,0,1)(,,1)r Op tNp ON t u v tu tv t '==+=-+=-,

又2()dt t udu vdv =-+,所以

2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =--+,2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =--+,

22222(,,()1)(,,1)0t tu tv t u v t tu tv t t r =-+-=--=-≠. (3) 因此(,)r r u v =给出了2\{}S N 的正则参数表示.

(2)令(,,0)q u v =是,S p '两点连线与赤道平面的交点. 同理,有

(1)(,,1)Op t Oq t OS t u t v t '=+-=-,222/(1)t u v =++,

22222222221(,,),,111u v u v r x y z Op u v u v u v ⎛⎫--'=== ⎪++++++⎝⎭

,2(,)u v ∈R . (4) 2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =-+,2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =-+,

22222(,,1())(,,1)0t t u t v t u v t t u t v t t r =-+=-=≠. (5)

因此(4)给出了2\{}S S 的正则参数表示.

(3) 由(2)和(4)式可得2222()()1u v u v ++=,从而上面两种正则参数表示在公共部分2\{,}S N S 上的参数变换公式为

22u u u v =+,22v v u v

=+. (6) 由(3)和(5)可知

22222222222(,)(1)10(,)(1)()

u v t u v u v t u v u v ∂++=-=-=-<∂+++. 所以参数变换是可允许的,并且是改变定向的参数变换.

注. 如果采用复坐标,令,z u i v w u i v =+=-,则上面的参数变换可写成1/w z =. 这就是广义复平面上的共形变换.

(4) 在2\{}S N 上采用(1)式给出的正则参数表示,在2\{}S S 上采用正则参数表示 则在公共部分的参数变换公式为 22u u u v =+,22v v u v

-=+. (4) 由于{}22\{},\{}S N S S 构成2S 的开覆盖,并且 22222222222222222()()2222()()(,)10(,)()

v u uv u v u v uv v u u v u v u v u v u v -++--++∂==>∂+, 所以2S 是可定向的. □ 5 写出单叶双曲面2222221x y z a b c +-=和双曲抛物面22

222x y z a b

=-作为直纹面的参数方程. 解. (1) 对单叶双曲面,取腰椭圆

()(cos ,sin ,0)a u a u b u =,(0,2)u π∈

为准线. 设直母线的方向向量为()()(),(),()l u aX u bY u cZ u =. 则直纹面的参数方程为

()(,)()()(cos ()),(sin ()),()r u v a u vl u a u vX u b u vY u cvZ u =+=++.

由于(,)r u v 的分量满足单叶双曲面的方程,可得

222(cos ())(sin ())(())1u vX u u vY u vZ u +++-=,v ∀∈R .

由v 得任意性得到

cos ()sin ()0uX u uY u +=,222()()()X u Y u Z u +=.

因此():():()sin :cos :1X u Y u Z u u u =-±. 取()()sin ,cos ,l u a u b u c =-得

()(,)(cos sin ),(sin cos ),r u v a u v u b u v u cv =-+,(,)(0,2)u v π∈⨯R .

(2) 对双曲抛物面,令()x a u v =+,()y b u v =-,则2z uv =. 曲面的参数方程为

(,,0)(,,2)(,,0)(,,2)au bu v a b u av bv u a b v =+-=-+,2(,)u v ∈R .

p. 94 习题3.2

1. 证明:一个正则参数曲面S 是球面⇔它的所有法线都经过一个固定点.

证明. “⇒”设S 是球面,参数方程为(,)r u v ,球心为a ,半径为R . 则有

22((,))r u v a R -=,,u v D ∀∈. (1)

微分可得

()0u r r a -=,()0v r r a -=. (2)

所以()//u v r a r r -⨯,从而u v r a r r λ-=⨯,即有函数(,)u v λλ=使得

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