思修说课教案(爱国主义)

2016～2017学年度第一学期

一、导入新课

1.提问数学分析中聚点、孤立点、边界点、有(无)界集概念.

2.回忆上节提到的线段、直线等，它们都是复平面的点集，后续课中讲到解

析函数，其定义域、值域均为复平面上某点集.

二、讲授新课

（一）平面点集基本概念

1.点集的基本概念

(1)

z的-

ρ邻域,

z的去心邻域

(2)聚点、内点、孤立点、外点、边界点、边界

(3)闭集、开集；有界集、无界集

(4)区域、闭域

充分理解上述定义，得出以下结论：

1)内点必为聚点；2)聚点可能属于E，可能不属于E；3)孤立点必为边界点；4)有

边界的不一定是有界集，无边界的必为无界集.

例1.7(1)带形区域

2

1

Im y

z

y<

<(图1-3)；(2)同心圆环区域R

z

r<

<(图1-4)

图1-3 图1-4

2.若当曲线

图1-5非简单曲线图1-6简单曲线图1-7非简单闭曲线

邻域为复数列与

极限论的基础

此部分内容师生

共同讨论完成

对于若当曲线，

给出图形举例，

省去繁琐而抽象

的定义赘述

图1-8简单闭曲线 图1-9光滑曲线 图1-10 光滑闭曲线

（二）复变函数 1.定义(图1-11)

单值z w =，2z w = 多值n z w Argz w ==, 图1-11 2.代数式()()y x iv y x u w ,,+=，指数式()()θθ,,r iQ r P w +=

例1.8 设有函数，2z w =试问它把z 平面上的下列曲线分别变成w 平面上的何种

曲线？(1)以原点为心,2为半径,在第一象限例的圆弧；(2)倾角3

πθ=的直线；(3)

双曲线422=-y x .

解 设()()ϕϕθθsin cos ,sin cos 2i R z w i r z +==+=，则θϕ2,2==r R (1)对应w 平

面的图形为以原点为心，4为半径，在u 轴上方的半圆周(2)射线3

2πϕ=(3) 2z w =

xyi y x 222+-=，故22y x u -=，所以在w 平面上的像为直线4=u .

三、课堂练习 设函数，22+=z w (1)时当iy x z += (2)时当θ

i re z =,w 分别写成什么形式？

四、课堂小结 若当曲线与区域的概念；复变函数的概念

五、布置作业

P43—10、11

对比数学分析中 函数的概念,找

到异同点

解释复变函数的图象需要四维空间，不能形象描述

提示学生前两题考虑模与辐角，

三题考虑代数关 系，师生共同讨

论完成

学生总结本堂课知识，不足的教

师补充

板 书 设 计

()()()()

⎰

⎰

⎰

⎰+

+

+

=

n

C

C

C

C

dz

z

f

dz

z

f

dz

z

f

dz

z

f

2

1

由定理3.2知柯西积分定理的结论依然成立.

图3-1

推论 3.4()z f在z平面的单连通区域D内解析,则()z f在D内积分与路径无

关，即()

⎰

∈

∀1

,

,

1

z

z

dz

z

f

D

z

z之值不依赖于D内连接

1

,z

z的曲线.

图3-2

证

2

1

,C

C是连接

1

,z

z任意两曲线(如图3-2),则-

2

1

C

C与衔接成D内一闭曲线.

于是有()()()()()

⎰

⎰

⎰

⎰

⎰-

=

+

=

=

-

2

1

2

1

C

C

C

C

C

dz

z

f

dz

z

f

dz

z

f

dz

z

f

dz

z

f，移项即得证

（二）不定积分

1.变上限积分()()ζ

ζd

f

z

F z

z⎰

=

(定点D

z∈

，动点D

z∈)

2.()()z f

z

F与的关系.

定理3.5()z f在单连通区域D内解析,则()z

F在D内解析，且()()z f

z

F=

'.

分析证明()()z f

z

F=

'，即证

()()()

z

f

z

z

F

z

z

F

z

=

∆

-

∆

+

→

∆0

lim，即证下式成立

()()()

ε

<

-

∆

-

∆

+

z

f

z

z

F

z

z

F

.

证以z为心作一个含于D内的小圆，在小圆内取动点z

z∆

+，于是

()()()()()

⎰

⎰

⎰∆+

∆

+

=

-

=

∆

-

∆

+z

z

z

z

z

z

z

z

d

f

d

f

d

f

z

z

F

z

z

F

ζ

ζ

ζ

ζ

ζ

ζ

(3.1)

又因为()()

⎰∆+

∆

=z

z

z

d

z

f

z

z

fζ

1

教材中未给出证

明,教师提示思

路，由学生完成

类比数学分析相

应知识得出

证明过程需要用

到数学分析的大

量知识，由于学生

基础不同，采取分

层次教学，有兴趣

和能力的学生，建

议他们尽量掌握

证明思路与方法