数学抽象思想方法论文
数学的毕业论文范文（2）
数学的毕业论文范文(2)数学的毕业论文范文篇二《义务教育数学课程标准》指出：数学的知识、思想和方法必须由学生在现实的数学实践活动中理解和发展，而不是单纯地依靠教师的讲解去获得。
因此，教师要以学生的生活和现实问题为载体和背景，以学生的直接体验和生活信息为主要内容，把教科书中的数学知识巧妙而灵动地转化为数学活动。
引领学生通过自主探究、合作交流等实践活动，发现、理解、掌握数学知识，并在运用所学知识解决实际问题的过程中形成技能，提升能力。
下面结合自己的教学实践，谈几点粗浅做法与思考。
一、走进生活，应用有价值的数学知识数学来源于生活，离开了生活，数学将是一片死海，没有生活的数学是没有魅力的。
同样，生活离开了数学，那将是一个无法想象的世界。
因此，在教学中，应从学生的生活经验和已有知识出发，巧妙创设真实的生活场境，提供大量的数学信息。
这样，既让学生感受到了数学与生活的密切联系，又彰显了数学鲜活的生命力，促使学生萌生主动运用数学解决实际问题的意识。
(一)课前调查，萌发应用意识教师要善于把日常生活中遇到的问题呈现在学生面前，引领学生用数学的眼光观察生活，为数学知识的学习收集素材，让学生在生活的每个角落都感受到数学的存在，切实体会到数学渗透在我们生活的方方面面，促使学生自觉地将数学与生活联系起来，萌发应用意识。
例如，教学“百分率”这一内容，课前，我设计了让学生开展调查活动，了解我们生活中哪些地方可以用百分数，是怎样用的?由此，学生收集了大量的资料：衣物成分含棉量、某种酒的度数、工厂产品的合格率、树木的成活率等。
并且由于兴趣盎然，一些学生通过上网查阅或请教父母，了解了其中的意义及在生活中怎样应用。
课上，一张张记录着学生收集调查结果信息的纸条，喜滋滋地摆在桌面上，这些是他们对生活知识的收集和提炼。
学生结合课前收集的信息和老师提出的问题积极投入到探究知识的过程中，直接切入本课知识重点。
在收集信息中，学生了解的是社会，深入的是生活实践，观察能力、逻辑能力和推理能力得以明显提高，求百分率这个知识重点，在学生头脑中也就水到渠成地理解了。
高中数学抽象的特征、评价与培养
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2.构建数学结构问题链
概括是把抽象出来的若干事物的共同属性归 结出来进行考察的思维方式，以抽象为基础，是抽 象的发展冈。数学抽象性在逐级抽象、逐次提高的过 程中，总是伴随着概括。
例如在推导两角差的余弦公式的教学中，通过 两个诱导公式：
cos( tt-ol )=-cosa①
引导学生探究特殊角“7T”和“岁”的去向，猜想
3.量化特征
数学抽象是从数量关系上揭示客观事物的本 质及规律的一种研究方法，是逐层抽象不断发展 的。如函数概念的抽象，就经历了从客观世界中的 事物对应关系量化为数量的对应关系，再从初中变 量对应关系转变到高中的非空数集上的实数对应 关系的过程。具体事物量化为变量是量化的结果。 变量抽象为实数,变量说过渡到实数对应说，是函 数概念分层抽象的结果。数学教学中数学抽象的量 化特征能够促进学生高阶思维的产生，促进创新思 维的发展。
用准确的数学语言予以表达
能结合实际情境解释 能用一般的概念解释 用数学原理解释自然现象和社
交流
相关的抽象概念
具体现象
会现象
按照《课程标准》给出的三级水平标准和喻平 教授的构想，在实际操作层面,我们可以把数学抽 象素养的评价简化为表2的三级形态。这三级形态 是呈金字塔的进阶形态，基层底部是数学抽象对基
二、数学抽象的基本特征
1. 符号化特征
数学抽象研究事物或现象的量的关系和空间 形式,其结果就是用数学符号作为数学思维活动的 载体,进行数学思想交流与传播,使得事物或现象 关系表述变得统一、简洁、有序。例如，研究一个对 象随着另一个对象的变化而变化的变化规律，就抽 象为函数的单调性，具体的符号化语言就描述为 “设函数f(x)的定义域为I,区间DCI：如果办x2e D,当 Xi® 时都有 f(xi)<f(x2)(f(xi)>f(x2))那么 称函数f(x)在区间D单调递增(减)”。在数学教学 中，数学抽象的符号化特征可以培养学生抽象思维 能力。学生在具体的学习环境中逐步感受和理解抽 象的符号化特征,感受数学抽象以简驭繁高度概括 的能力，并能在问题解决过程中合理地使用数学符 号,合乎逻辑地进行数学推理。
做有深度的数学教学——关于数学抽象、逻辑推理、数学建模的教学案例分析
做有深度的数学教学摘要：深度数学教学应着意从数学抽象、逻辑推理、数学建模的角度展开.发展抽象能力，重在营造探究氛围，强调变式教学，关注数学交流，引导学生理解本质、活跃思维、语言“互译”；发展推理能力，要注重归纳通性、通法，把合情推理和演绎推理结合起来，引导学生“悟”数学；发展建模能力，要处理好建模过程与结果之间的关系，强化建模意识，发展学生的信息转化与化归能力.关键词：数学抽象；逻辑推理；数学建模；深度教学收稿日期：2020-03-15作者简介：苑建广（1973—），男，正高级教师，主要从事中学数学教育教学及试题研究.——关于数学抽象、逻辑推理、数学建模的教学案例分析苑建广数学思想是数学科学发生、发展的根本，是探索、研究数学的基础，是数学课程教学的精髓，是将具体的数学知识都忘掉以后剩下的东西.数学的基本思想主要指数学抽象思想、逻辑推理思想、数学建模思想.人类通过数学抽象，从客观世界中得到数学的概念和法则，建立了数学学科；通过数学推理，进一步得到大量结论，数学科学得以发展；通过数学建模，把数学应用到客观世界中，产生了巨大效益，又反过来促进数学科学的发展.数学教师应对此有深刻的认识，切实落实这些内容的教学，做有深度地数学教学.深度教学关注知识的“前世”和“今生”，关注方法和技能的适用性，关注数学思想的感悟和思维品质的发展，关注数学活动经验的积累.为了实现这些目标，日常教学可着意从抽象、推理、建模的角度予以深度展开.本文结合笔者亲历的一些教学案例进行解读.蝉翼之论，权为抛砖.一、引导学生感悟数学抽象由数学抽象思想派生出分类思想、数形结合思想、变中有不变思想、符号表示思想、对称思想、对应思想等.就数学抽象的深度而言，大体上分为三个层次：第一层次，把握事物的本质，把繁杂的问题简单化、条理化，能够清晰地表达，我们称其为简约阶段；第二层次，去掉具体的内容，利用概念、图形、符号、关系表述包括已经简约化了的事物在内的一类事物，我们称其为符号阶段；第三层次，通过假设和推理建立法则、模式或模型，并能够在一般意义上解释具体事物，我们称其为普适阶段.案例1：足球射门.如图1，从数学角度分析影响足球射门的因素是什么？P 图1通过分析可知，影响足球射门的关键因素是射点P 对球门AB 的张角（∠APB ）的大小，张角越大，越容易射门成功.而影响这个张角大小的因素又是什么呢？容易联想到圆周（心）角的相关知识，取AB 的中··43点O ，我们分类（层次）探究，作射线OP ，在OP 上取点P 1，P 2，P 3，容易判断∠AP 1B ＞∠AP 2B ＞∠AP 3B ，似乎射点P 离点O 越远，张角越小，射门越难成功.是这样吗？作出以AB 为直径的半圆O ，在半圆O 上取任意点，显然这些点到点O 的距离是相等的，且这些点对球门AB 的张角是相等的.但是，作出过点A ，B ，P 3的⊙O ′，在⊙O ′上取另一点P 4，又容易知道点P 3，P 4对球门AB 的张角是一样的，而这两个射点到点O 的距离不一定相等，但是到点O ′的距离却一定是相等的.由此，从数学的角度看，可以抽象出影响射门的因素是由射点P 与球门两端A ，B 所确定的弧（APB ）的度数所决定的，度数越大，则张角（∠APB ）越小，越不容易射门成功.案例2：糖水的甜淡.为什么一杯糖水越加水越淡，越加糖越甜？这促使我们思考，决定糖水甜淡度的关键因素是什么？是糖水的浓度（糖水中糖的质量所占的百分比）.设一杯糖水的质量为m 克，其中所溶解的糖的质量为n 克，这时糖水的浓度为P =n m ·100%.若往里面加入a 克糖（假设所加的糖能够全部溶解），则糖水的浓度变为P 1=n +a m +a·100%.利用“作差与0比”的方法：由m ＞n ，可知n +a m +a -n m =()mn +ma -()mn +na ()m +a m =()m -n a()m +a m＞0，即P 1＞P .则此时糖水变甜.因而一杯糖水中，越加糖越甜；若往里面加入b 克水，则糖水的浓度变为P 2=n m +b ·100%<n m·100%=P ，因而一杯糖水中，越加水越淡.这与生活经验也是相符的.【点评】抽象是思维的基础，只有具备了一定的抽象能力，才可能从感性认识中获得事物的本质特征，从而上升到理性认识.通过抽象，我们可以从对数学的感性认识能动地飞跃到理性认识，透过现象揭示本质.案例1中既有数学建模，又有数学抽象，是一个以问题解决为典型特征的深度思考的综合与实践过程，展现了数学抽象在几何直观上的内涵，利用图形描述和分析问题，使复杂的问题变得简单、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果.由案例2可见，生活中的问题可以通过抽象成数学问题来解释或解决，从而体现数学源于生活，高于生活，反过来又服务和指导生活的应用价值，展现了数学抽象在符号意识上的内涵，运用符号表示数量关系和变化规律，借助符号进行运算和推理，实现了具体与抽象的和谐统一.一个代数、一个几何，均展现了明显的“弱抽象”特征，以“概念扩张式抽象”为表现形式，从原型（或已有概念）中选取某一特征（侧面）加以抽象，从而获得比原结构更广的结构，使原结构成为后者的特例，从而完成对问题的深入认识，得到一般结论.要正确认识数学的抽象性，一方面，认识抽象是数学的基本特征，认识数学抽象不同于其他学科之处，认识数学抽象在培养人的理性思维能力上所具有的特殊功能，从而消除对数学抽象的疏远，甚至畏惧心理，加强通过数学学习培养数学思维的自觉意识；另一方面，要认识数学抽象与现实世界的辩证关系，看到数学在抽象的外表下的丰富多彩和广泛应用.两个案例促使我们思考，数学抽象的教学可以从以下角度进行.第一，营造探究氛围，引导学生理解本质.建议采用“微探究”的教学形式，从局部着手，针对某些环节有侧重地探究，学生相对自主，开放程度小，不刻意追求探究过程的完整性，便于教学实施.第二，强调变式教学，引导学生活跃思维.重视知识、方法、能力并举，强调信息转化与综合应用，拓展思维空间，让数学思维更加生动.第三，关注数学交流，引导学生运用语言“互译”.数学解题就是信息转化与化归的过程，不断抽象数量关系与变化规律，运用数学符号表示，理解符号所代表的数量关系和意义，进行信息和语言间的“互译”，选择适当的数学公式、定理、法则，并能选择适当的方法解决数学问题.二、引导学生体验逻辑推理由数学推理思想派生出归纳思想、演绎思想、代换思想、逐步逼近思想、转化与化归思想、联想与类比思想、特殊与一般思想等.数学推理分为合情推理··44（或然性推理）和演绎推理（必然性推理）.人们往往通过直观来预测数学结果，然后通过证明来验证数学结果.教学中，教师可以有意识地设计一些教学过程来培养学生的这两种能力.案例3：函数解析式中的系数对图象形状和位置的影响作用分析.以二次函数y=ax2+bx+c为例.教材中通常采用从简单到一般的研究过程：先研究y=ax2图象的性质，再研究y=ax2+c图象的性质，之后研究y= a()x-h2+k图象的性质，最终把对y=ax2+bx+c图象性质的研究归结为y=a()x-h2+k.在每个研究层次中，又采用从特殊到一般的研究模式，对系数a，b，c 赋以具体数值，画出图象，观察特征，最后概括为“实际上，对于一般情形，有如下性质……”，归纳得出一般规律.学生总会感觉有一点不舒服：老师经常说特殊情形成立的结论是否能推广到一般情形，是需要证明的，不能简单地“想当然”.那么，能否在了解y= ax2+bx+c的图象是抛物线的基础上，把系数a，b，c 对图象形状和位置的影响作用进行一下推理分析呢？经过配方，容易知道y=ax2+bx+c=aæèöøx+b2a2+ 4ac-b24a，要想知道抛物线的开口方向，必然需要对a进行分类讨论.当a＞0时，y=ax2+bx+c=aæèöøx+b2a2+ 4ac-b24a≥4ac-b24a，y有最小值，抛物线必然有最低点，此时取x=-b2a，则y=4ac-b24a，即顶点是æèçöø÷-b2a，4ac-b24a，图象向上发展，抛物线开口向上.类似地，可推得a＜0时的情形.学生从中容易理解系数a对抛物线开口方向的影响，也容易理解抛物线的顶点坐标公式.如何推证抛物线的对称性，或如何说明抛物线的对称轴是x=-b2a呢？只需要说明当x=-b2a±t时，所对应的y值是相等的，难度不大，不再赘述.对于c对图象与纵轴交点位置的影响，可以通过点()0，c进行说明，也是非常容易的.对一次函数y=kx+b的图象为什么是一条直线，k对图象（直线）走向的影响，k对直线陡峭程度（斜率）的影响，以及k对反比例函数y=kx图象分布，k 对图象位置的影响，甚至任何函数图象平移的一般规律也可以进行类比研究.案例4：举反例.要说明一个命题是正确的，需要给出证明；要说明一个命题是错误的，找到一个反例，会让人更加信服.这也是深度数学教学所追求的.命题：周长和面积相等的两个三角形全等.我们都知道这是个假命题，如何举出让学生信服的反例呢？先作一个Rt△ABC，使∠C=90°，BC=6cm，AC=8cm.再取线段MN=9cm，EF=15cm，在线段EF上取合适的点G（何为合适？为什么合适？留给读者思考），分别以点M，N为圆心，以EG，FG为半径作圆弧，两弧相交于点P（点P1，P2），调整点G的位置，可以得到更多的点P，点P所形成的轨迹是一个椭圆，连接PM，PN，则△PMN满足了周长是24cm （与Rt△ABC的周长相同）；作一条与MN平行的直线l，使MN与l之间的距离为489cm，设直线l与椭圆相交于点P，则△PMN的面积是24cm2（与Rt△ABC的面积相同），但显然△PMN与△ABC是不全等的.【点评】案例3中，完美地体现了合情推理与演绎推理的有序推进与深度融合，展示了思维的目的性、依据性和顺序性，实现了“数”的分析对“形”的预见，从最一般的角度认识了系数对函数图象的影响，有助于学生对数学问题本质的理解.案例4中的反例不仅能让学生深入体悟命题错误的原因，还了解了椭圆的作法，其中充满了数学推理与有目的的作图，可谓是一举多得.在教学中发展学生的逻辑推理能力可以从以下几个方面着手：第一，引导学生经历观察、实验、猜想、验证、推理与交流等过程，探究上要给足空间和时间，让学生主动“悟”数学；第二，设计动手操作和实践运用环节，把合情推理和演绎推理结合起来，通过合情推理预测结果，再利用演绎推理对所发现的结论或方法进行证明；第三，注重归纳通法，总结解··45题规律.采用一题多思、一题多解、一题多问、一题多变的方式来得到类型题的思考方式与方法.三、引导学生建立数学模型由数学建模思想派生出简化思想、量化思想、函数思想、方程思想、优化思想、随机思想、抽样统计思想等.数学建模多需要经历“明确问题—合理假设—搭建模型—求解模型—分析检验—模型解释”的过程.数学建模需要学生运用已有的数学知识、方法和理论进行思考，解决一些现实问题或数学问题，是一个学数学、做数学和用数学的过程，建模意识充盈其中.教师要引导学生运用数学思维观察、分析和表示各种事物或数学中的数量关系、空间关系和数学信息，从纷繁复杂的具体问题中抽象出我们熟悉的数学模型，进而运用数学模型来分析和解决问题.案例5：引导数学思考的模型.例1（2019年辽宁·沈阳卷）思维启迪：（1）如图2（1），A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达点B的点C，连接BC，取BC的中点P（点P 可以直接到达点A），利用工具过点C作CD∥AB交AP 的延长线于点D，此时测得CD=200米，那么A，B之间的距离是.思维探索：（2）在△ABC和△ADE中，AC=BC，AE=DE，且AE＜AC，∠ACB=∠AED=90°，将△ADE绕点A顺时针方向旋转，把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为α，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE.①如图2（2），当△ADE在起始位置时，猜想：PC与PE的数量关系和位置关系分别是；②如图2（3），当α=90°时，点D落在AB边上，试判断PC与PE的数量关系和位置关系，并证明你的结论；③当α=150°时，若BC=3，DE=1，试直接写出PC2的值.丁丁丁丁丁丁（1）EB CPAD（2）E ADPB C（3）图2题目的意图是让学生借助图2（1）这个模型进行思考，对应方法也是标准答案所给，此处不再赘述.三道小题均是特殊情形，比较简单.若条件逐渐弱化，则可以探究变化过程中的一般情形，这便是题目的构造特征，因此可以直接针对一般情形完成推证.这里的重点是抽象出题目中暗含的数学模型.模型1：如图3所示.C′ABCOPMNTKA′B′图3（1）基本图形：若△OAB∽△OA′B′，则△AOA′∽△BOB′.（2）基本图形之拓展.已知：△OAB∽△OA′B′，AC=BC，A′C′=B′C′，PA=PB′.结论：PC′PC=OA OB=OA′OB′，∠CPC′=180°-∠AOB.以上模型及其结论容易证明.规定：在△OAB绕点O旋转一定角度α（α=∠AOA′=∠BOB′），并放大（缩小）到△OA′B′的过程中，随之而变的是，△OAA′绕点O旋转一定角度β（β=∠AOB=∠A′OB′），并放大（缩小）到△OBB′，旋转角β称为△OAA′的公转角；这个过程中，线段AA′旋转到BB′，转过的角度∠AKB 称为线段AA′的自转角.可以证明：AA′的自转角等于△OAA′的公转角.模型中，PC，PC′的数量与位置关系转化为AA′与BB′的关系，即PC′∶PC=OA∶OB （或OA′∶OB′），∠CPC′=∠AKB′=180°-线段AA′的自转角（或△OAA′的公转角）=∠180°-∠AOB（或∠A′OB′）.··46为了更好地体会模型与具体题目之间的内在联系，可以借助几何画板等软件制作动态图形，使其中的点A 可以控制△OAB 的大小与位置，点C 可以控制△OAB 的形状，点C ′可以控制△OA ′B ′的大小与位置.将之应用到本例的解答中，调整模型中点C ′的位置，使A ′B ′呈水平位置.调整模型中点C 的位置，使∠AOB ＝90°，OA =OB ，再调整点A 的位置，使点A 落在OB ′上，如图4所示，此时的模型1与图2（3）整体构造无异，且图形已经完善好，只是字母不同罢了.借助模型1的处理思路，易知PC ∶PC ′=OB ∶OA =1，∠CPC ′=180°-∠AOB =90°.对于图2（3），则有PC ∶PE =1，PC ⊥PE .对于图2（2）和α=150°的情形，可以进行类似调整，容易得到结论.作为模型的三个特例，此例解题所需辅助线自然浮出水面，而且方法简洁、思路清新.P A ′B ′C ′A B C O图4EAB CD MN P 图5模型2：在图5中，有△DMB ∽△BNE .延长BM 到点A ，使MA =MB ；延长BN 到点C ，使NC =NB ；取AC 的中点P ，连接PM ，PN ，PD ，PE ，DE.则有△DPE ∽△DMB ∽△BNE .模型2及其结论容易证明.为了体会模型与具体题目之间的内在联系，可以借助几何画板等软件制作动态图形，使其中的点D 可以控制△DMB 的形状，点A 可以控制△DMB 的大小与位置，点E 可以控制△BNE 的大小与位置.将之应用到此例的解答中.调整模型中点D 的位置，使∠DMB =90°，DM =MB ，再调整点E 的位置，使点N 落在BC 上，如图6所示，此时的模型与例1中图2（3）整体构造无异，且图形已经完善好，只是字母不同罢了.借助模型的处理思路，易知△DPE ∽△DMB ∽△BNE ，而△DMB 和△BNE 均为等腰直角三角形.对于图2（3），自然有△EPC 是等腰直角三角形.对于图2（2）和α=150°的情形，可以进行类似调整，容易得到结论.作为模型的特例，此例解题所需辅助线自然浮出水面.而且，方法比标准答案所提供的方法要简洁、清晰.图6案例6：思维路线图.数学的思考过程是有规律的，也是有目的、有顺序、有依据的，我们不妨把这种思考的过程（或说成是思维路线图）也称为一个数学（思维）模型.例2（2018年河北卷）图7是轮滑场地的截面示意图，平台AB 距x 轴（水平）18米，与y 轴交于点B ，与滑道y =k x ()x ≥1交于点A ，且AB =1米（信息1）.运动员（看成点）在BA 方向获得速度v 米/秒后，从A 处向右下飞向滑道，点M 是下落路线的某位置.忽略空气阻力，实验表明：点M ，A 的竖直距离h （米）与飞出时间t （秒）的平方成正比，且t =1时h =5（信息2）；点M ，A 的水平距离是vt 米（信息3）.图7（1）求k ，并用t 表示h ；（2）设v =5（信息4）.用t 表示点M 的横坐标x 和纵坐标y ，并求y 与x 的关系式（不写x 的取值范围），及y =13时运动员与正下方滑道的竖直距离（信息5）；（3）若运动员甲、乙同时从点A 处飞出，速度分别是5米/秒、v 乙米/秒.当甲距x 轴1.8米（信息6），且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时（信息7），直接写出t 的值及v 乙的范围.审题的过程就是信息（包括图形、图象、符号等数学语言）逐渐生长和丰满的过程.与原有解题形式不同，这里采用“边审题，边思考，边在图形（图象）上标注或书写解题过程”的方法，而不是将整个··47题审完后，再整体处理，可以节省大量时间.对于一些较难的问题，可以反复精细审题，打开思路.下面，我们展示解题过程中完整的思维路线图，如图8所示.图8【点评】案例5展示了数学抽象模型的重要价值.能够在复杂的数学信息（包括图形、图象、表格、符号等其他数学或自然语言）环境中迅速识别出基本数学（代数、几何、统计或概率）模型，并利用它打开思路，熟练掌握其在运用中的格式化语言，进行快速、有序地表达，是总结数学基本模型的重要目的和价值.案例6给出了2018年中考河北卷压轴题的思维路线图，各思维步骤紧密承接，凸显思维的顺序，具有普适性.在教学中发展学生的建模能力可以从以下几方面着手：第一，提高学生的主体意识，培养学生的探究能力和独立解决问题的能力；第二，处理好建模的过程与结果之间的关系，引领学生围绕某个问题自主学习与探究，体验相关的知识和方法的综合应用；第三，强化建模意识，发展学生的信息转化与化归能力，突出创新思考，积累建模方法.数学抽象、逻辑推理和数学建模是数学发展中最本质的三个数学思想.这三个核心的数学思想是数学课程的聚焦点，有利于我们把握课程内容的线索和层次，抓住教学中的关键，并在数学内容的教学中有机地去发展学生的数学素养，实现有深度的、高效的数学教学.参考文献：［1］教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读［M ］.北京：北京师范大学出版社，2012.［2］苑建广.感悟初中数学之道［M ］.西安：陕西师范大学出版总社，2017.［3］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M ］.北京：北京师范大学出版社，2012.··48。
例谈小学数学教学中的抽象
例谈小学数学教学中的抽数学思想是数学发生、发展的根本，是探索、研究数学所依赖的基础，也是数学教学的精髓。
提到数学思想，我们就会想到是转化、数形结合、对应、函数、分类等。
《课标》（2011年版）经过专家组讨论，明确了数学的“基本思想”主要有数学抽象的思想、数学推理的思想和数学模型的思想，因为这些思想既是数学产生与发展所依赖的思想，也是学习数学以后具有的思维能力。
本文想结合教学实践谈谈对数学抽象的理解。
一、对于数学抽象的理解——多角度数学是一门抽象的学科，无论概念、运算律还是公式等都是高度概括的结果。
数学抽象就是把与数学有关的知识引入数学内部。
人类通过数学抽象，从客观世界中得到数学的概念和法则，建立了数学学科。
如1、2、3、4等数是从具体实物抽象的结果，a-1、a、a+1这三个连续的自然数（a∈N且a≥1）也是从大量确定的实例中抽象出来的结果，点、线、面、体也是抽象出来的。
那么对于数学抽象可以从哪几个维度去理解呢？我认为数学抽象从教学内容上分可以分为概念抽象、关系抽象、规律抽象和方法抽象等。
1．概念抽象概念抽象从教学内容分包括：数的抽象、图形的抽象、概念、法则、定律的抽象以及规律的抽象等。
经历数的抽象过程：“2”是由“2个苹果、2支笔、2粒扣子、2张桌子”等具体实物抽象出来的；分数是测量或者分东西得不到整数的情况下产生的；负数表示意义相反的量，从生活中的温度计中的零下5℃、电梯的地下2层、珠穆朗玛峰的海拔高度和吐鲁番盆地的海拔高度、工资卡收入和支出的钱数等实例抽象出负数和整数表示的量是一样的，只不过意思相反。
经历图形的抽象过程：空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，这句话中道出了几何图形也是抽象出来的。
如前面提到的点、线、面、体都是从生活中抽象出来的；像毛巾的形状、课桌的形状、窗户的形状，有四条边，对边相等，四个角都是直角就是长方形；而直角三角形、等边三角形、锐角三角形、等腰三角形、钝角三角形等都属于三角形，它们是三角形的其中一种情况。
关于数学思想的论文
关于数学思想的论文数学思想方法产生于数学认知活动，又反回来对数学认知活动起重要指导作用，它是数学知识的精髓和灵魂，是知识转化为能力的桥梁。
在数学认知结构中，数学思想方法和科学的思维方法起着决定战略方向的作用。
下文是店铺为大家搜集整理的关于数学思想的论文的内容，欢迎大家阅读参考!关于数学思想的论文篇1试谈小学数学的数学思想数学思想是指人们对数学理论和内容的本质的认识，数学方法是数学思想的具体化形式，实际上两者的本质是相同的，差别只是站在不同的角度看问题。
通常混称为“数学思想方法”。
而小学数学教材是数学教学的显性知识系统，看不到由特殊实例的观察、试验、分析、归纳、抽象概括或探索推理的心智活动过程。
而数学思想方法是数学教学的隐性知识系统。
数学思想是从某些具体数学认识过程中提炼和概括，在后继的认识活动中被反复证实其正确性，带有一般意义和相对稳定的特征。
它揭示了数学发展中普遍的规律，对数学的发展起着指引方向的作用，它直接支配着数学的实践活动，是数学的灵魂。
而数学方法则体现了数学思想，在自然辩证法一书的导言中，恩格斯叙述了笛卡儿制定了解析几何，耐普尔制定了对数，来布尼茨和牛顿制定了微积分后指出：“最重要的数学方法基本上被确定了”，对数学而言，可以说最重要的数学思想也基本上被确定了。
一、方程和函数思想在已知数与未知数之间建立一个等式，把生活语言“翻译”成代数语言的过程就是方程思想。
笛卡儿曾设想将所有的问题归为数学问题，再把数学问题转化成方程问题，即通过问题中的已知量和未知量之间的数学关系，运用数学的符号语言转化为方程(组)，这就是方程思想的由来。
在小学阶段，学生在解应用题时仍停留在小学算术的方法上，一时还不能接受方程思想，因为在算求解题时，只允许具体的已知数参加运算，算术的结果就是要求未知数的解，在算术解题过程中最大的弱点是未知数不允许作为运算对象，这也是算术的致命伤。
而在代数中未知数和已知数一样有权参加运算，用字母表示的未知数不是消极地被动地静止在等式一边，而是和已知数一样，接受和执行各种运算，可以从等式的一边移到另一边，使已知与未知之间的数学关系十分清晰，在小学中高年级数学教学中，若不渗透这种方程思想，学生的数学水平就很难提高。
以“10 的分与合”为例,谈抽象思想的培养
以“10 的分与合”为例，谈抽象思想的培养摘要】数学知识是人类文化的重要组成部分 , 数学核心素养是现代公民应该具备的重要素养。
作为小学数学教师，应当根据数学教学内容，结合学生的实际情况，优化课堂教学设计，加强学生核心素养培养，构建高效数学课堂，实现学生的全面发展。
【关键词】抽象思想研读教材重视引领一、发展学生核心素养的意义什么是数学核心素养呢？数学核心素养——指人用数学观点、数学思维方式和数学方法观察、分析、解决问题的能力及其倾向性，包括数学意识、数学行为、数学思维习惯、兴趣、可能性、品质等等。
数学知识的学习过程，必须遵循数学学科特性，通过不断地分析、综合、运算、判断推理来完成。
吴正宪老师的课主要以数学核心素养的培养为主，着重在培养学生基本的数学素养，为学生提供基本的数学思维方式，引导学生学会用数学的眼光观察世界，以数学的思维方式分析解决问题。
很多老师纠结：教师抓住数学核心素养的培养，但一节课的教学内容就完成不了。
吴正宪老师是这样子回答的：“数学核心素养与教不完的内容比较，数学核心素质的培养更为重要，教不完的内容下节课接着教。
”二、何为数学思想所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。
数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识；基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想，含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且是历史地发展着。
通过数学思想的培养，数学的能力才会有一个大幅度的提高。
掌握数学思想，就是掌握数学的精髓。
常见的数学思想有：函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、抽象思想等等。
三、怎样在小学数学课堂中渗透抽象思想抽象思想是数学的基本思想之一。
在小学阶段，抽象有两种方法，一是对应；二是定义。
小学数学教学一开始是用对应的方法，后来慢慢向定义的方法过渡。
下面就以《10的分与合》为例，谈谈怎样在小学数学课堂中渗透抽象思想。
数学小论文
解决数学问题要从多角度思考伊山中心小学 六（1） 孙忻悦解决数学问题是从实际问题中获取有用的信息，能够抽象出数学问题，也就是分析数量关系，我有意识的尝试了一些自己的办法。
一、从条件入手解决问题注重探索的过程，获得亲身体验，形成思维表象。
注重学会寻找应用题的条件与问题，并形成由已知条件到问题解决的途径的意识和毅力. 在学习应用题时，要全面、深入理解题意，会判断分析出“条件”与“问题”，这是解答应用题的基础。
全面深入的理解题意即了解题目的条件和问题；了解已知条件和未知条件之间的关系；要思索解题途径。
通过再造想象，把题意转化为图形，借助图形用想象和感知活动来支持抽象的思维活动。
(一) 在课堂上，注重和同学探讨，获取更多解决问题途径。
在分数除法的教学中曾有一道这样的题目：第一兴趣小组做了8个蝴蝶结，完成本组计划的52。
问第一兴趣小组计划做多少个蝴蝶结？提出这个问题的之后，老师让我们小组内讨论应该怎样解决这个问题，我们通过讨论交流对比，分析有效条件与问题之间的内在联系与区别，锻炼了分析问题、解决问题的能力，并获得多种解法。
①我们用的是数份数的方式：已经做的8个占了总数的52，也就是说一份4个，一共5份，所以再用4×5=20（个）（用份数来做，思路很清晰）；②我们用的画图的方式：8÷2×5=20（跟①原理一样，方法不一样）；③我们用方程：计划做的个数×52=已做的个数，我们也是先画图，然后设第一兴趣小组计划做x 个蝴蝶结，总计划的52就是已做的个数，所以我们列式子x ×52=8 。
我们通过对同一个问题积极寻求多种不同的解法，拓展了思维，学会多角度分析问题，从而在解决问题的过程中探究能力和创新精神得到了培养。
(二)在进一步的练习中不断思考总结，体会到解决应用题的关键是找准数量关系。
通过实际操作、思考讨论，寻找问题中所隐含的数量关系，强调对问题实际意义和数学意义的真正理解，进入更深层次的学习做好充分的准备。
抽象思想方法在小学数学教学中的渗透
抽象思想方法在小学数学教学中的渗透作者：周榕榕来源：《小学科学·教师版》2017年第07期通常，在小学数学课堂上，教师对知识点可以游刃有余地进行讲解，学生也可以就问题给出正确答案，可学生对问题的来龙去脉只是一知半解，抓不住问题的本质。
所以，我们必须反思，在数学教学中，我们应该教给学生什么？《义务教育数学课程标准（2011版）》（以下简称《课标》）中明确指出：“数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的不可替代的作用。
”那么，在小学数学教学中，有意识地渗透抽象思想，对小学生深度学习数学可以起到事半功倍的效果。
一、小学数学学习的现状反思随着知识经济的迅速发展，新旧知识的更新也是日新月异，对人才培养的要求不可避免地变高。
基础教育中数学是重要的学科之一，新课程改革对数学学习提出了新的要求。
在课程内容方面，除了数学结果以及数学结果的形成过程以外，还包含众多的数学思想，从某种程度上说，课程内容还要贴近学生的生活实际，这使得学习目标更加明确，学习的内容较以往更加广泛多元。
在学习活动方面，学习方式有很多，例如自主探索、合作交流等。
在学习过程中，不仅要求学生能理解和掌握数学的基础知识与基本技能，还要求能体会和运用数学的基本思想和方法，提升能力，获得基本活动经验。
但是，我们不得不面对现实。
首先，尽管新课程改革为教学提出了更利于学生发展的新要求，可教学期望与教学现实之间仍旧存在着一条没有被跨越的鸿沟。
对于小学数学教师而言，专业成长之路任重而道远，仅浮于数学知识表面的教学显然不能被赞许。
其次，对小学生而言普遍存在学习力不足的现象，学生一直处于“要我学”的状态中，没能够真正地走进数学。
此外，在功利社会背景下，家长们一边谩骂应试教育，一边以分数的高低来评判孩子学习能力的高低，以不让孩子输在起跑线上为由，强迫孩子高负荷学习。
数学素养是学生全面发展的重要组成部分，尽管小学生学的数学很简单，但在其中依旧存在很多的数学思想，况且数学思想是数学的灵魂。
小学数学课堂中渗透的数学思想方法6篇
小学数学课堂中渗透的数学思想方法6篇第1篇示例：在小学数学课堂中，教师不仅仅是传授知识，更重要的是要培养学生的数学思想和方法。
数学思想方法是指数学知识的理解、运用、推理和解决问题的方式和方法。
只有通过培养学生正确的数学思想方法，才能使他们真正掌握数学知识，提高数学学习的效率。
在小学数学课堂中，教师可以通过一些渗透式的教学方法来培养学生的数学思想和方法：教师可以在教学中强调问题的发现和提出。
在解决数学问题时，学生需要首先发现问题，并提出相应的解决方法。
教师可以在课堂上设计一些富有启发性的问题，引导学生思考，帮助他们发现问题的本质。
通过这种方式，学生可以逐渐培养自己的问题意识和解决问题的能力。
教师可以在教学中注重数学概念的建立和理解。
数学是一门抽象而严谨的学科，理解数学概念对于学生来说至关重要。
教师可以通过具体的例子和实际问题，帮助学生建立起数学概念的意义和内涵，让他们深刻理解数学概念的本质和联系。
在教学中，教师还可以引导学生注重数学方法的选择和运用。
在解决数学问题时，学生需要根据具体情况选择合适的解题方法，并灵活运用。
教师可以通过一些案例分析和练习，引导学生学会分析问题，选择合适的方法，并熟练运用，从而提高他们的问题解决能力。
教师还可以在教学中激发学生的学习兴趣和思维方法。
数学是一门需要逻辑思维和创造性思维的学科，教师可以通过一些趣味性的数学问题和活动，激发学生的学习兴趣，培养他们的思维能力。
通过培养学生的主动学习和探索精神，可以逐步提高他们的数学综合素养，使他们在学习和生活中都能够灵活运用数学知识和方法。
在小学数学课堂中，教师要通过渗透式的教学方法，培养学生的数学思想和方法。
只有注重问题的发现和解决、建立数学概念的理解、选择和运用数学方法、激发学生的兴趣和思维，才能真正培养学生的数学素养，使他们在数学学习中不仅能够掌握知识，更能够发展自己的批判性思维和创造性思维，提高解决问题的能力和水平。
通过这样的教学方法，可以让学生爱上数学，享受数学，更好地发挥数学的作用，成为具有数学素养的终身学习者。
数学核心素养“数学抽象”的认识及思考
1、函数图像的对称性（核心是中点的坐标公式）：
①若函数 y f (x) 满足 f (x) f (2 x) ，则函数 y f (x) 图像关于 x0 1对称；
②若函数 y f (x) 满足 f (x) f (2 x),则函数 y f (x) 图像关于(1,0) 对称；
2
积 S 1 lr （其中 l 是弧长， r 是半径），其中，三角形的底 a 和
2
高 h 是垂直关系，扇形的弧 l 和半径 r 也具有“垂直”关系。 若将扇形的弧 l 和半径 r 类比地看成三角形的“底”和“高”， 则两者结论是一致的。也就是说，数学对象变化而关系相似，
则结论具有统一性。进而，我们可以利用数学知识的这种联
数学抽象（内涵、价值、表现、水平）
数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽 象，得到数学研究对象的素养。主要包括：从数量 与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及 概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般 规律和结构，并用数学语言予以表征。
数学抽象是数学的基本思想，是形成理性思维 的重要基础，反映了数学的本质特征，贯穿在数学 产生、发展、应用的过程中。数学抽象使得数学成 为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系 统。
对数学核心素养“数学抽 象”的认识及思考
本次课标修订（2017年版）是对2014 年版的继承和发展，在2014年版课标基础 上，凝练提出了本学科的6个核心素养，即 数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想 象、数学运算和数据分析。如何理解和认 识这6个核心素养，结合昨天鲍教授和章建 跃主编提出的要有具体样例支撑、要注意 数学学科核心素养与具体教学内容的关联 的思想（显性化），以核心素养“数学抽 象”为例，谈一点我个人的粗浅认识。
数学的抽象_史宁中
2008年第5期东北师大学报(哲学社会科学版)N o .5 2008总第235期Journal of No rtheast N ormal U niversity (Philosophy and Social Sciences )Sum N o .235 [编者按] 《数学的抽象》这篇论文,将会成为作者一本关于数学思想的著作的一章,其讨论的问题是我们这个时代特别需要解决的,论文自始至终贯穿着强烈的问题意识和文化的针对性。
因此我们对这篇文字进行了整理,并发表于本刊,以飨读者。
严格地说,数学是一种西学,作者大概是出于对思想史的尊重,出于寻找数学抽象的思想源流和资源的意图,仿佛怀旧式地对西方思想史进行了一次游历,作者在与柏拉图、亚理士多德、培根、笛卡尔、洛克、休谟、康德、叔本华等经典哲学家的对话间,以一双敏锐的现代数学家的眼睛,时而以十分虔敬的心情充分欣赏思想家们的伟大观点,时而尖刻而亲切地指出思想家们的历史局限,时而又以操纵式姿态调侃着某些思想家的某些观点,这种对话和攀谈如同发生在老熟人、老同行、老朋友之间一样,这让我们好像在观看名为“数学的抽象”的一场精彩表演,在一种轻松的,然而又严肃的心情中了解到作者所谈论的话题的论证过程和观点。
读来令人颇多回味和想象。
[收稿日期]2008-07-10 [作者简介]史宁中(1950-),男,江苏宜兴人,东北师范大学校长,教授,博士生导师。
数学的抽象史宁中(东北师范大学,吉林长春130024) [摘 要]数学在本质上研究的是抽象的东西,数学的发展所依赖的最重要的基本思想也就是抽象,只有通过抽象才能得到抽象的东西。
在柏拉图的理念论之下,数学的概念就不应当是经验意义上的存在,而应当是一种永恒的存在;亚里士多德不赞成柏拉图的想法,认为一般概念是人们在日常生活的经验中,通过对于许多具体存在事物的共同性质抽象而得到的,所以一般概念不可能是真正的存在。
亚里士多德的观点仍然需要补充,数学研究所涉及的基本概念并不一定都是直接从现实的具体的存在中抽象出来的,也可以借助符号与类比得到更高层次的抽象,这里既包括感性具体也包括理性具体。
关于数学的论文(11篇)
关于数学的论文（11篇）数学的论文篇1一、引导同学学会识图，让同学感受数学的“形之美”在教学有关“圆”的学问时，老师可以举例，把“圆”比作太阳、苹果等有形的东西，加深同学对“圆”的熟悉。
老师还可以利用多媒体来展现和我们的日常生活有紧密联系的有关“圆”的东西，如水面上激起的涟漪，既有静感又有动感，使同学如身临其境，有所感受，比老师单纯在课堂上用圆规画圆要形象得多、生动得多、鲜亮得多。
这样的课堂教学自然能激发同学的学习爱好，使同学深刻感受到数学的美。
二、让同学学会鉴赏，在鉴赏中感受数学的“和谐美”美是人们所憧憬和追求的，美感不但表达在艺术领域，在数学教学中也有肯定的美。
所以，老师要教给同学如何发觉和鉴赏数学之美，要让同学学会用审美的视角来观看数学，深化挖掘数学的结果美、过程美。
首先，老师要引导同学树立在数学中发觉和鉴赏数学美的观念，调动同学的主动性。
例如，在讲解“黄金分割”时，同学一开头会很生疏，不知道什么是黄金分割，这时，老师可以让同学测量一下自己身体的黄金分割点，并讲解有关黄金分割点的意义，让同学在实际生活中去找黄金分割点。
这样，同学自然会发觉其中存在的美感，从而产生深厚的学习爱好，由被动学习变为主动主动学习。
再如，老师在讲授数学应用题时，可以借助线段图形让同学理解题意。
同学在线段的引导下既能理解应用题的题意，又能感受到数学学问的系统性和关联性，感受到数学深层次的体系美。
总之，数学的美表达在方方面面，只要老师擅长引导，使同学树立发觉美的观念，就肯定能使同学感受到数学的美。
三、让同学在嬉戏中体验数学的“趣味美”传统的数学教学过分重视学问，缺乏对同学力量的培育，主要以老师为中心，同学只是被动地接受学问，严峻抑制了同学独特的进展。
新课程改革对数学教学提出了更高的要求，对教学方式进行了大胆的改革和创新，更加注意同学的参加性和主动性。
所以，数学老师应转变教学观念，尽量让同学主动参加到数学教学中。
其中，一种重要的参加方式就是让同学在数学课堂上参加嬉戏，在嬉戏中感受数学的趣味美。
数学思想之数学抽象
数学思想之数学抽象在我们的日常生活和学术研究中，数学扮演着至关重要的角色。
而数学抽象作为数学思想中的核心之一，更是为我们理解和解决各种问题提供了强大的工具。
什么是数学抽象呢？简单来说，数学抽象就是从现实世界中抽取数量关系和空间形式，舍去其他非本质的属性，从而得到数学研究的对象。
比如说，当我们看到一群羊时，我们不会去关注每只羊的颜色、大小、性格等具体特征，而是只关注羊的数量，这就是一种简单的数学抽象。
数学抽象具有多个显著的特点。
首先，它具有概括性。
通过抽象，我们能够将复杂多样的具体事物概括为简洁明了的数学概念和规律。
例如，从各种不同形状和大小的三角形中，抽象出三角形的共同本质特征——由三条线段首尾相连组成的封闭图形，内角和为 180 度。
其次，数学抽象具有理想化的特点。
在现实世界中，很难找到完全符合数学定义的完美图形或现象，但通过抽象，我们可以假设存在这样的理想状态，从而便于进行研究和推理。
再者，数学抽象是逐级递进的。
从对具体事物的初步抽象，到对抽象概念的再次抽象，不断深化我们对数学的理解。
数学抽象在数学的发展历程中发挥了不可替代的作用。
从古代的算术到现代的高等数学，每一次重大的突破都离不开抽象思维的运用。
例如，数的概念的形成就是一个逐步抽象的过程。
最初，人们只能用手指、石子等来表示数量，后来发明了符号来表示特定的数。
随着数学的发展，从自然数扩展到整数、有理数、实数、复数，每一次数域的扩充都是对原有概念的抽象和推广。
在几何领域，欧几里得通过对现实世界中物体形状和位置关系的抽象，建立了经典的欧几里得几何体系。
而后来非欧几何的出现，则是对传统几何观念的进一步抽象和突破，使我们对空间的认识更加深入和全面。
数学抽象不仅在数学内部有着重要意义，在其他学科和实际生活中也有着广泛的应用。
在物理学中，牛顿通过对天体运动的观察和分析，抽象出了万有引力定律。
爱因斯坦则凭借其卓越的抽象思维，提出了相对论，彻底改变了我们对时间和空间的认识。
小学数学数形结合思想方法的灵活妙用论文
小学数学数形结合思想方法的灵活妙用论文[内容摘要]“数”和“形”是数学中两个最基本的概念，它们既是一种重要的思想方法，又是解决问题的有效方法。
数形结合就是把抽象难懂的数学语言、数量关系与直观形象的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，使抽象问题具体化，使复杂问题简单化，，从而起到优化解题途径的目的。
[关键词]数形数形结合我国著名数学家华罗庚对“数”与“形”之间的密切联系有过一段精彩的描述：“数与形本相依，焉能分作两边飞，数缺形少直觉，形少数难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。
切莫忘，几何代数流一体，永远联系莫分离。
”数形结合符合人类认识自然，认识世界的客观规律。
“数”和“形”是数学的两个基本概念，全部数学大体上就是围绕这两个概念逐步展开的。
“数”与“形”的结合就是把抽象难懂的数学语言、数量关系与直观形象的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使相对的复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。
数形结合思想在小学数学中有着广泛的应用，本文谈谈小学数学中“数形结合”思想方法的运用。
一、以形助数----用图形的直观，帮助学生理解数量关系，提高教学效率。
用数形结合策略表示题中量与量之关系，可以达到化繁为简、化难为易的目的。
“数形结合”通过借助简单的图形，符号和文字所作的示意图，促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。
它是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。
众所周知，学生从形象思维向抽象思维发展，一般来说需要借助于直观。
例如：例1：把一根绳子对折三次，现在的绳子占原来绳子总长的几分之几？分析与解：这道题条件虽少，对于大部分学生单从字面上很难弄清现在绳子与原来绳子之间的关系。
如果画出线段图，思路就豁然开朗了。
北京4中高三学生的一篇论文《数学,科学,哲学》
数学，科学，哲学北京四中韩准感谢：数学教研组李建华李晋渊老师高三（二）班王虹同学内容提要：数学是一门有着广泛应用的基础科学，对社会生产和生活起到了重要的作用。
一般来讲，数学经常作为工具出现；而事实上，数学是一个完整、严密的思想体系。
研究数学体系的规律，对于新的数学发现是有着重要的作用的。
本文浅显地分析了数学的特点、数学与科学的关系和数学与哲学思想之间的关系。
关键词：数学、科学、哲学、科学方法论（一）数学是一门有着广泛应用的基础科学。
它是各门科学，尤其是自然科学发展和进步的有力工具。
对数学的研究有多个侧面，其中比较重要的是数学的工具性和数学作为思想体系的特征。
正如“电子计算机之父”冯·诺意曼(von Neumann)所说的：“数学处于人类智能的中心区域”。
数学的研究对于整个科学的发展都有着巨大的推动作用，同时，对数学作为思想体系研究的不断深入，也将促进人类认识思维的产生原因和作用方式。
▲数学的历史和特点数学是产生较早的一门科学，最初的数学经历了长期的实践检验和丰富发展后才形成今天我们所见到的数学。
最初的数学，是人类对自然现象一种经验性的描述，随后发展为一个逻辑严密的思想体系，而后又在各个方向开枝散叶，形成了庞大的数学体系。
在数学不断发展的过程中，数学的许多特征也表现出来：数学的概念和方法具有很高的抽象性，数学的体系具有极强的逻辑严密性。
这样两个基本的特征决定了数学应用的广泛性。
▲数学的起源数学是一门研究空间形式和数量关系的科学，所以最初的数学概念就是“形”和“数”的概念。
人们在长期的生产实践和生活实践中发现，事物之间是存在着区别的。
一方面，它们的形态各不相同；另一方面，外在形态相同或相似的事物其多寡也不一样。
所以经过实践和思考后，人们的头脑中产生了“形”和“数”的概念。
这两个数学概念的产生，标志着人类认识水平的一次飞跃，因为这两个概念都是抽象性很强的概念。
虽然事物的外在形态是可见的，但当点、线、面作为数学概念出现后，它们就已经脱离客观事物的外形而存在了。
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数学抽象思想方法论文摘要：数学抽象的基本特征，尤其是形式化、符号化的特征，使得作为数学研究对象的思想材料，不只是以普通的自然语言形式存在和被描述，而是被进一步形式化、符号化。
通过符号形式进行推理和运算，给数学理论的表述和论证带来极大的方便，甚至是必不可少的。
1.数学抽象方法的概念19世纪末到二十世纪初，德国数学家康托建立了集合论，借助集合论，人们可以简洁地概括出数学的研究内容是结构与模式。
事实上，现实世界千变万化，千差万别。
数学的目标是要发现各种事物的本质，寻找不同事物的联系，找出不同事物的共性，探索事物发展的规律，揭示事物现象的奥秘，用以描述与理解自然和社会现象，以便对发展方向进行判断、控制、改良和预测。
数学要透过现象看本质，通过个性看共性，在混沌中寻找秩序，在变化中寻找恒定。
比如，一个苹果加两个苹果是三个苹果，一个梨加两个梨是三个梨，一棵树加两棵树是三棵树，虽然物质对象发生了变化，但数量关系却保持不变，其本质都是1+2=3;a+b2=a2+2ab+b2，a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3，虽然两个公式看起来不同，但这两个公式都蕴藏着同样的规律——二项式定理;再比如下面两个例子：例1著名的哥尼斯堡“七桥问题”：18世纪的哥尼斯堡是德国的一个美丽城市，布勒尔河穿城而过，它有两个支流，在哥尼斯堡城中心汇成大河，河中间有一个小岛，河上有七座桥，岛上有一座古老的大学，一座教堂，还有哲学家康德的墓地和塑像。
当地的居民，特别是大学生们常常到七桥附近散步。
渐渐地大家热衷于一个问题：一个人如何能不重复地一次走遍这七座桥而返回出发点？很多人做过尝试，但都未能实现，这便产生了数学史上著名的“七桥问题”。
1735年，一群大学生写信给著名的数学家欧拉，希望欧拉能够解决这个问题。
欧拉首先从千百人次的失败中猜想，也许根本不可能不重复地一次走遍这七座桥，但如何来证明它呢？欧拉想，既然岛与岛无非是桥的连接地点，两岸陆地也是通过桥通往的地点，那么就不妨把这四处地点抽象成四个点，并把七座桥抽象成七条线，这样既不改变问题的实质，问题也就成了一个关于几何图形的问题，即人们步行走过这些地方和七座桥时，就相当于用笔画出此图。
于是问题转化为：能否用笔不重复地一笔画出此图。
接着欧拉探讨了这个一笔画问题的结构特征。
一笔画有一个起点和一个终点，他们重合时称为封闭图形，否则称为开放图形。
除起点和终点外，一笔画中间可能出现一些曲线的交点，在这些交点处曲线一进一出，通过的曲线总是偶数条，这些交点就称为“偶点”;而只有起点和终点通过的曲线可能是奇数条，这些起点和终点称为“奇点”，特别地，当起点和终点重合时，便成为一个偶点，不再是奇点。
通过上面的探究，欧拉断言：任何一个一笔画问题，要么没有奇点，要么有两个“奇点”，而在“七桥问题”所对应的图形中，四个点都是“奇点”，因此，它不能一笔画成，从而人们不可能不重复地一次走过所有哥尼斯堡的七座桥。
在“七桥问题”之后，欧拉又继续深入研究，终于用严密的数学语言证明了一个可鉴别任何一个图形能否一笔画的“一笔画定理”：一个网络（任意一个由有限条弧线构成的图形，且每条弧线都具有两个相异的端点）是一笔画，当且仅当该网络是连通的，并且奇顶点的个数是0与2。
欧拉解决这个问题所用的思维方法，就是抽象方法，即由感性认识到理性抽象，再由理性抽象上升到理性认识，这也是人们认识事物常用的一种抽象思维方法。
“七桥问题”有力地说明了数学抽象将实际关系中许多无关紧要的东西（如桥的大小、形状，岛的大小、形状等）舍掉，而紧紧抓住其中带有本质特征的东西，从而构造出一些在逻辑上无矛盾的“纯粹的”数学关系。
在两千多年的数学发展过程中，数学由无数次渐变和少数几次突变才形成目前如此庞大的科学体系。
数学发展的历史是数学问题的提出、探索与解决的历史。
其中具体——抽象——具体的基本模式始终贯穿始终。
数学抽象是抽象方法在数学中的具体运用，也是利用抽象方法把大量生动的关于现实世界空间形式和数量关系的直观背景材料进行去伪存真，由此及彼，由表及里的加工和制作，提炼数学概念，构造数学模型，建立数学理论。
由于数学中大部分研究对象并非建立在对于真实事物的直接抽象之上，而是在抽象对象上的再抽象的结果，即由相对初级概念逻辑地抽象或定义出新的抽象度更高的概念。
这就决定了数学抽象的程度远远高于自然科学中的一般抽象。
比如：正比例函数是物理学中匀速直线运动的再抽象;正（余）弦函数是物理中的简谐运动的再抽象;再比如1、2、3、4等较小的自然数是建立在对真实事物的直接抽象之上的，但那些较大的自然数如2×1033，1055等远远超出了我们的经验范围，显然不是直接抽象的结果，而是建立在已有数的概念的抽象思维基础之上的，即人们从较小数的概念中抽象出序的的特性——一个数加1就可得到一个比它大1的数，才可能构建像1055，2×1033这样大的数的概念，进而才能形成一般自然数和任何可能的数的概念。
而这个过程也正反映了数学概念形成的基本规律：数学概念是以先前积累起来的抽象概念为基础，通过一系列的抽象概括而产生的。
2.数学抽象思想方法的本质数学来源于实践，又反过来对人们的各类实践活动进行指导，如通过数量、各种数学运算以及各类图形来表示不同的客观事物，充分体现了数学中的矛盾。
宏观世界中的事物和动物纷繁复杂，各具特色，如何从具体的事物中找到表达其共性的方法，这就需要将事物的具体特点进行简化，去掉次要因素，抓住主要特征和主要因素，这种简化过程就是数学抽象过程。
如用“1”来表达若干个个体事物，一个本子，一根木头，一个人，一只鸡，一辆汽车，一座山，一条河……等等，尽管这些事物的具体特点各不相同，但其共同特点是单个的个体。
按照同样的方法，就可以表达其他的数量形式了。
又如在图形表达中用一条线来表达一条路、一根柱、一根梁……等等，在图形表达过程中，这些“路、柱、梁”的整体形状及表面特征、物质成分等具体特点就被简化而忽略了。
因此，数学抽象思想方法的本质就是将具体的事物进行弃异求同、去表求里的特殊思维处理过程，数学抽象思想方法就是对事物进行抽象简化的思维方法。
2.1.数学抽象思想方法的特征2.1.1.理想化特征对于来源于现实原型的数学对象来说，数学抽象的过程往往包含了对于现实客体或现象的必要简化、纯化和完善。
它强调和夸张了现实原型的某一些特征，同时，又完全舍弃了它的另外一些特征，甚至虚构一些在与问题相关的方面同客体相合，但又不具有现实客体的其他各种复杂性质的“理想对象”。
比如：在几何中，为了便于探讨现实事物的形状、大小和空间关系，就把形态各异的物体抽象成空间几何图形：把针尖、笔头、雨点、起点抽象为没有大小的点，以此来强调它所占的空间位置很小;把一根杆、一根绳子、一根铁丝等抽象为没有宽度的线;把一张纸、一块板等抽象为没有厚度的面等。
事实上，点、线、面这样的理想客体在现实中是不存在的，人们至多只能找到它们的近似对应物。
所以，几何概念都是理想化的产物。
一般地，数学抽象都具有理想化的特征。
2.1.2.模式化特征“数学就是模式的科学，数学家在数中、在空间中，在科学中、在计算中以及在想象中寻找模式，数学理论解释模式间的关系;函数和映射、算子和映射将一类模式与另一类模式联系起来，产生稳定的数学结构。
数学应用则是利用这些模式‘解释’和预测符合它们的自然现象。
原有的模式可以启发新的模式，常常导致模式的模式。
数学正是通过这种方式，按照其自身的逻辑，从科学的模式开始，通过添加由先前模式导出的所有模式，而更加完备。
”数学的本质特征就是在从模式化的个体作抽象的过程中对模式进行研究，数学抽象表现为借助明确的定义方式去构造产生新的模式的过程，即模式建构过程。
通过数学抽象而成的抽象物，当不考虑它与现实原型之间的联系时，它就获得了独立的存在性，成为一种真实的“数学客体”。
相对于原型而言，它具有更普遍的意义，它所反映的已不是原型这一特定事物或现象的特征，而是更大一类事物的共同特征，即事实上它已成为一种模式。
比如：在高等数学中，我们知道瞬时速度可以看成是距离对时间的导数，即v=dsdt;同样，电流强度I是电量Q对时间t的导数，表示为I=dQdt;切线斜率是曲线y=yx的纵坐标y对横坐标x 的导数，记为tanα=dydx。
如果将距离、电量、曲线等一类事物都抽象成关于x的函数fx，那么刻画函数变化率这一普遍意义的现象，可以用导数这一标准形式——模式来表示。
这样，数学概念都可以看成是量化模式。
2.1.3.形式化特征对客观事物或现象的数学抽象就是在数量上和空间上将其形式与内容分离，舍弃内容，保留形式。
所以，数学抽象物可看成是脱离现实内容的纯形式的东西，数学研究对象是纯形式化的思想材料，整个数学是一个纯形式化的思想体系。
如函数，客观世界中并没有函数，它是人们从现实世界中根据数量相依关系中抽象出来的思想材料。
没有抽象，就不会有函数。
再比如：下面两个问题，如果从质的方面看，显然是两个不同的问题，但若从量的属性角度来看，却是同一个标准形式。
（1）某人有两套不同的西装和三条不同颜色的领带，问共有多少种搭配方法？（2）有两个军官和三个士兵，现由一个军官和一个士兵组成巡逻队，问共有多少种组成方式？这类问题，如果舍去它们质的内容，那么它们就可以抽象成如图所示的形式：2.1.4. 符号化特征作为数学研究对象的抽象的思想材料，不只是以普通的自然语言形式存在和被描述，而是被进一步符号化。
尤其在现代数学中，每抽象出一个概念，几乎都要赋予符号表示。
正如怀海特所说：“这些术语和符号的引入，往往是为了理论的易于表达和解决问题。
特别是在数学中，只要细加分析，即可发现符号化给数学理论的表述和论证带来极大的方便，甚至是必不可少的。
”其实，“如果没有合适的数学符号就不能将算术推向前进;没有专门的符号和公式就不可能有现代数学”，符号是形式化的高级表现形态。
数学符号是数学共同体专门约定的一种人工语言符号，用以表达和交流数学信息。
它不仅可以通过事先约定的含义来简化或代替某些数学理论的语言叙述，而且给出了抽象数学概念的具体含义，可以直接标志数学所研究的对象，还能以符号和符号公式的方式简明地概括其思维过程中的复杂推理和定理。
数学符号按其结构可分为基本符号、组合符号和公式符号。
基本符号是表示基本概念的符号，如+表示相加，x表示未知数，a表示某一个数等;若干个基本符号的组合就形成了组合符号，它表示复杂的数学概念，a+b2表示a与b的和的平方，a2+b2表示a与b的平方和;如果组合符号中的关系符号按一定规则相连，就形成公式符号，它表达一个判断或一个命题，如a+b2=a2+2ab+b2。
多个公式符号就组成数学中的推理。
由于任何符号都是由基本符号组成的，而每个基本符号都是充分简缩的词或句子，所以用符号表达的概念、判断、命题、推理，要比自然语言简洁和明确得多。