2015年高考数学圆锥曲线综合题型归纳解析

圆锥曲线综合题型归纳解析

【知识点精讲】 一、定值问题

解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决.证明过程可总结为“变量——函数——定值”，具体操作程序如下：

（1）变量——选择适当的量为变量；

（2）函数——把要证明为定值的量表示成变量的函数； （3）定值——化简得到函数的解析式，消去变量得到定值。 求定值问题常见的方法有两种：

（1）从特殊情况入手，求出定值，在证明定值与变量无关；

（2）直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定值。

二、求最值问题常用的两种方法

（1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形的性质来解决。 （2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，在求该函数的最值。求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法、和三角换元等，这是代数法。

三、求定值、最值等圆锥曲线综合问题的“三重视”

（1）重视定义在解题中的应用（优先考虑）；

（2）重视曲线的几何特征特别是平面几何的性质与方程的代数特征在解题中的作用； （3）重视根与系数的关系（韦达定理）在解题中的应用（涉及弦长、中点要用）。

四、求参数的取值范围

根据已知条件及题目要求建立等量或不等量关系，再求参数的范围。 题型一、平面向量在解析几何中的应用

【思路提示】解决平面向量在解析几何中的应用问题要把几何特征转化为向量关系，并把向量用坐标表示。常见的应用有如下两个：

（1）用向量的数量积解决有关角的问题： ①直角12120a b x x y y ⇔=+=；

②钝角12122222

1

22

10||||

a b

a b x x y ⇔-<

=

<++；

③锐角12122222

1

22

01||||

a b

a b x x y ⇔<

=

<++。

（2）利用向量的坐标表示解决共线、共面问题。

一、利用向量的数量积解决有关夹角（锐角、直角、钝角）的问题

其步骤是：弦写出向量的坐标形式，再用向量积的计算公式

12122222

1

22

cos ,||||

a b

a b a b x x y <>=

=

++。

【例10.44】过抛物线2

2(0)x py p =>的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，O 为坐标原点.求证：ABO ∆是钝角三角形.

【评注】若直线l 与抛物线2

2(0)x py p =>交于,A B 两点，则： （1）直线l 在y 轴上的截距等于2p 时，0

90AOB ∠=； （2）直线l 在y 轴上的截距大于2p 时，090AOB ∠<； （3）直线l 在y 轴上的截距大于0且小于2p 时，0

90AOB ∠>。

变式1 如题（20）图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ,左、右焦点分别为12,F F ,线段12,OF OF 的中点分别为1212,,B B AB B ∆且是面积为4的直角三角形 （1）求该椭圆的离心率和标准方程

（2）过1B 作直线l 交椭圆于P Q 、两点，使22PB QB ⊥,求直线l 的方程

变式2 设,A B 分别为椭圆22

143

x y +=的左、右顶点，P 为直线4x =上不同于点(4,0)的任意一点，若直线,AP BP 分别与椭圆交于异于,A B 的点

,M N .证明：点B 在以MN 为直径的圆内。

变式3 已知m ＞1，直线2:02m l x my --=，椭圆2

22:1x C y m

+=，1,2F F 分别为椭圆C 的左、右焦点.（Ⅰ）当直线l 过右焦点2F 时，求直线l 的方程；

（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，12AF F ，12BF F 的重心分别为,G H .若原点

O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围.

【例10.45】在平面直角坐标系中，点P 到两点(0,3),(0,3)-的距离之和等于4，设点P 的轨迹为C ，直线1y kx =+与C 交于,A B 两点.

（1）求C 的方程；（2）若OA OB ⊥，求k 的值.

变式1 椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的左、右、上、下顶点为12,A A ，12,B B ，焦点为12,F F ，

1122

1122

12||2.B A B A B F B F A B S

S

==（1）求椭圆C 的方程；（2）设m 为过原点的直线，直

线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且,m l m

l P ⊥=，||1OP =，是否存在上述直线l 使

0OA OB =成立，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由。

变式2 椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的一个焦点是(1,0)F ，O 为原点坐标。设过点F 的

直线l 交椭圆于,A B 两点，若直线l 交绕点F 任意转动，恒有2

2

2

||||||OA OB AB +<，求实数a 的取值范围。

二、利用向量的坐标表示解决共线问题

12211122,=(),=().a b a b x y x y a x y b x y λ⇔==共线或，其中，，

【例10.46】在平面直角坐标系中，经过点且斜率为k 的直线l 与椭圆2

212

x y +=有两个不同的交点,P Q 。（1）求k 的取值范围；（2）设,A B 是椭圆的右顶点和上顶点，是否存在常数k ，使OP OQ AB +与共线？若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由。

变式 1 设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点为12,F F ，离心率2e =，直线

2

:a l x c

=，,M N 是l 上的两个动点，120F M F N =。（1）若12||||25F M F N ==求,a b 的值；（2）证明：当||MN 取最小值时，1212F M F N F F +与共线。

【例10.47】设,A B 是椭圆2

212

x y +=上的两点，并且点(2,0)N -满足NA NB λ=，当11

[,]53

λ∈时，求直线AB 斜率的取值范围。

变式1 已知12,F F 分别为椭圆22

132

x y +=的左、右焦点，直线1l 过1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直于直线1l ，垂足为D ，线段2DF 的垂直平分线交2l 于点M 。