历年名牌大学自主招生数学考试试题及答案

上海交通大学2007年冬令营选拔测试数学试题

一、填空题（每小题5分，共50分）

1．设函数()f x 满足2(3)(23)61f x f x x +-=+，则()f x = ． 2．设,,a b c 均为实数，且364a b ==，则11a

b

-= ． 3．设0a >且1a ≠，则方程2122x a x x a +=-++的解的个数为 ．

4．设扇形的周长为6，则其面积的最大值为 ． 5．11!22!33!!n n ⋅+⋅+⋅++⋅= ．

6．设不等式(1)(1)x x y y -≤-与22x y k +≤的解集分别为M 和N ．若M N ⊂，则k 的最小值为 ． 7

．

设

函

数

()x

f x x

=

，则

2112()3()()n S f x f x nf x -=++++= ．

8．设0a ≥，且函数()(cos )(sin )f x a x a x =++的最大值为

25

2

，则a = ．

9．6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位，则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为 ． 10．已知函数121

()1

x f x x -=

+，对于1,2,n =，定义11()(())n n f x f f x +=，若

355()()f x f x =，则28()f x = ．

二、计算与证明题（每小题10分，共50分）

11．工件内圆弧半径测量问题．

为测量一工件的内圆弧半径R ，工人用三个半径均为r 的圆柱形量棒

123,,O O O 放在如图与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺

水平面到中间量棒2O 顶侧面的垂直深度h ，试写出R 用h 表示的函数关系式，并计算当

10,4r mm h mm ==时，R 的值．

12．设函数()sin cos f x x x =+，试讨论()f x 的性态（有界性、奇偶性、单调性和周期性），求其极值，并作出其在[]0,2π内的图像． 13．已知线段AB 长度为3，两端均在抛物线2x y =上，试求AB 的中点

M 到y 轴的最短距离和此时M 点的坐标．

参考答案：

1. 21x -

2. 1

2- 3. 2 4. 94

5. ()1!1n +-

6. 2

7. ()()()1

10211210

4

n

n n x n x ⎧+>⎪⎪⎨+--⎪<⎪⎩

8. ± 9. 43

45 10. 2353x x -- 11.22

R r r h

=+，60R mm = 12.

⎡⎣；偶函数；11,224k k πππ⎡⎤

+⎢⎥⎣⎦

()k Z ∈；1

1,

242

k k πππ+⎡⎤

+⎢⎥

⎣

⎦

()k Z ∈；周期为2π

13. min 54d =

；5,42M ⎛± ⎝⎭

14.略；反证法 15. 2；3；232322n n --⨯+

2008年交大冬令营数学试题参考答案2008.1.1

一．填空题

1．若21()21x x f x -=+，1()()g x f x -=，则3

()_______5

g =．2

2．函数218x y x +=

+的最大值为__________．1

4

3．等差数列中，81353a a =，则前n 项和n S 取最大值时，n 的值为__________．20

4．复数||1z =,若存在负数a 使得2220z az a a -+-=，则

________a =

5．若1cos sin 2x x -=，则33cos sin ________x x -=．1116

6．数列{}n a

的通项公式为n a =，则这个数列的前99

项之和99_______S =．

910

7．2(1)(1)x x ++++……9899(1)(1)x x ++++中3x 的系数为________．4

100

C =3921225

8．数列{}n a 中，00a =，11

2a =-，26a =，334a =-，420a =，556

a =-，

642a =，77

8

a =-，872a =，此数列的通项公式为_______n a =．(1)

(1)(1)

n

n

n n --+

9．甲、乙两厂生产同一种商品．甲厂生产的此商品占市场上的80%，乙厂生产的占20%；甲厂商品的合格率为95%，乙厂商品的合格率为90%．若某人购买了此商品发现为次品，则此次品为甲厂生产的概率为__________．2

3

10．若曲线221:0C x y -= 与 222:()1C x a y -+=的图像有3个交点，则

a = ．1±

二．解答题

1．30个人排成矩形，身高各不相同．把每列最矮的人选出，这些人中最高的设为a ；把每行最高的人选出，这些人中最矮的设为b ． （１）a 是否有可能比b 高？ （２）a 和b 是否可能相等？ 1．

解：()1不可能

① 若a 、b 为同一人，有a b =； ② 若a 、b 在同一行、列，则均有a b ≤；

③ 若a 、b 不在同一行、列，同如图1以5*6的矩形为例，记a

所在列与b 所在行相交的人为x 。 因为a 为a 、x 列最矮的人，所以有a x <； 又因为b 为b x 、列最高的人，所以有b x >；