数列通项公式与求和讲解与习题(含答案)

数列通项与求和

一．求数列通项公式

1．定义法（①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。）

例．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，2

55a S =．求数列{}n a 的通项

公式．

答案：35

n a n =

2．公式法：已知n S （即12()n a a a f n ++

+=）求n a ，用作差法：11,(1)

,(2)

n n n a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩

例．设正整数数列{}n a 前n 项和为n S ，满足21

(1)4

n n S a =+，求n a 答案：21n a n =-

3．作商法：已知12

()n a a a f n =求n a ，用作商法：(1),(1)()

,(2)

(1)

n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩。

如数列}{n a 中，,11=a 对所有的2≥n 都有2

321n a a a a n = ，则=+53a a ；

答案：

6116

4．累加法：若1()n n a a f n +-=求n a ：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-+

+-1a +(2)n ≥。

例．已知数列，且a 1=2，a n +1=a n +n ，求a n ．

答案：24

2

n n n a -+=

5．累乘法：已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：12

112

1

n n n n n a a

a a a a a a ---=⋅⋅⋅

⋅(2)n ≥ 例．已知数列{}n a 满足321=

a ，n n a n n a 1

1+=+，求n a 。

答案：23n a n

=

6．已知递推关系求n a ，用构造法（构造等差．等比数列）。

（1）形如()n f pa a n n +=+1只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异．其中()n f 有多种不同形式 ①()n f 为常数，即递推公式为q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。

解法：转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p

q

t -=

1，再利用换元法转化为等比数列求解。 例． 已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a ．

答案：1

23n n a +=-

②()n f 为一次多项式，即递推公式为s rn pa a n n ++=+1 例．设数列{}n a ：)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ，求n a ．

答案：1

631n n a n -=⋅--

③ )(n f 为n 的二次式，则可设C Bn An a b n n +++=2

；

（2）递推公式为n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。（或1n

n n a pa rq +=+，

其中p ，q ， r 均为常数）

解法：该类型复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以1

+n q

，得：

q

q a q p q a n n n n 1

11+•=++ 引入辅助数列{}n b （其中n

n n q

a b =

），得：q b q p b n n 1

1+=+再应用类型（1）的方法解决。 例．已知数列{}n a 中，651=

a ，11)2

1

(31+++=n n n a a ，求n a 。 答案：1

13()2()23

n n n a =⋅-⨯

（3）递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。

解法：先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++其中s ，t 满足⎩

⎨⎧-==+q st p

t s ，再应用前面类型（2）

的方法求解。

例． 已知数列{}n a 中，11=a ，22=a ，n n n a a a 3

1

3212+=

++，求n a 。 答案：1

731()443

n n a -=

-- 7． 形如1

1n n n a a ka b

--=

+或11n n n n a ba ka a ---=的递推数列都可以用倒数法求通项。

例．1,13111

=+⋅=

--a a a a n n n

答案：1

32

n a n =

-

8.利用平方法、开平方法构造等差数列

例1．数列{}n a

的各项均为正数，且满足11n n a a +=+，12a =，求n a 。

答案：2

(1)n a n =

例2

．已知()f x x =

<，求：

（1）1

()f

x -；（2）设111

1

1,

()()n n a f a n N a -++==-∈，求n a 。 答案：（1

）1

()0)f

x x -=>（2

）n a = 9．r

n n a p a ⋅=+1型

该类型是等式两边取对数后转化为前边的类型，然后再用递推法或待定系法构造等比数列求出通项。 两边取对数得