3 向量的数乘运算河南省新乡市第一中学人教版高中数学必修四课件

练习
例7:若 3m 2n a m 3n b
其中a , b 是已知向量,求 m ，n
分析:此题可把已知条件看作向量的方程,通过 解方程组获得
解：记 3m 2n a ①，m 3n b ②
3②得 3m 9n 3b ③
①-③得
n
1a 11
3 b, 11
m 3 a 2 b 11 11
则MN=
1
…=
a
+
1
b
63
MC= … = 1 a+ b
A
2
D
C
N
M
B
例6.设两个非零向量 a、 b 不共线， 试确定实数k, 使得ka + b 与a + 2k 共线。 共线时同向还是反向？
解：设ka + b =λ（a + 2k）
k 则{
=λ
⇒k =λ=
1
1 = 2λ
2
∴当k = 1 时，ka + b 与a + 2k 共线同向。 2
13a
（2）3x 3a 2x 4a 4x 4a 4b 0
x 3a 4b 0 x 3a 4b
对于向量 a (a≠0), b ，以及实数λ。 问题1：如果 b=λa
那么，向量a与b是否共线？ 问题2：如果 向量a与b共线
那么，b=λa ？
向量 b 与非零向量 a 共线当且仅当有唯一个 实数λ，使得 b=λa
Ｂ Ｄ
则四边形ABEC是平行四边形,D是BC 中点，则D也是AE中点.
Ｃ 由向量加法平行四边形法则有
AB AC AE 2AD
E
AD 1 (AB AC) 2
例8. 在 ABC 中,设D为边ＢＣ的中点,求证:
(2)3AB 2BC CA 2AD
解：
Ａ （２）原式左边 AB 2AB 2BC CA
E
解： AE AD DE 3AB 3 BC
3AB BC
C
A B
3 AC
D
∴ AC与 AE 共线．
练习 如图，已知任意两个非零向量 a、 b，
试作OA = a + b，OB = a + 2b，OC = a + 3 b， 你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？ 为什么？
解：作图如右
依图猜想:A、B、C三点共 线∵ AB=OB-OA
MN 3 (a b) (a 1 b) 1 a 1 b 2
4
2
44
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课堂小结：
基础知识反馈
(1).设 a 是非零向量, 是非零实数,下列结论正确的
是( B ).
A.a与 a的方向相反 C. a a
B. a与2 a的方向相同 D. a a
(2).下列四个说法正确的个数有( C ).
对于实数m和向量a、b，恒有m（a b） ma mb; 对于实数m、n和向量a，恒有(m n)a ma na; 若ma mb(m R),则有a b; 若ma na(m、n R),a 0,则有m n;
一、①λa 的定义及运算律
②向量共线定理 (a≠0)
b=λa
向量a与b共线
二、定理的应用：
1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC 3. 证明 两直线平行:
A,B,C三点共线
AB=λCD AB∥CD AB与CD不在同一直线上
直线AB∥直线CD
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D
的联系，为此需要利用向量的加、减法数乘运算。b
E
a
A
解：因为A是BC的中点，所以
O
C
OA 1 (OB OC),即OC 2OA OB 2a b.
2
DC OC OD OC 2 OB 2a b 2 b 2a 5 b
3
3
3
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即 四边形ABCD是菱形
。
② 若 AB AD ， 则 AB AD AB AD ，
即
四边形ABCD是矩形
。
D
CD
C
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A
B
A
B
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(1)a 2e,b 2e
(2)a e1 e2 , b 2e1 2e2
(3)a e1 e2 , b e1 2e2
定理 向量 b 与非零向量 a 共线
有且仅有一个实数 ，使得 b a．
例3. 设AB=2(a+5b)，BC= 2a + 8b，CD=3(a b)，
求证：A、B、D 三点共线。
=a+2b-(a+b)=b
又 AC=OC-OA =a+3b-(a+b)=2b
∴ AC=2AB
C
b
B
b
A
ba
O
又 AB与AC有公共点A， ∴ A、B、C三点共线.
例5： 如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，点
1
N在线段BD上，且有BN= BD，求证：M、N、C
3
三点共线。
提示：设AB = a BC = b
则AD等于（ C ）
3
A
A. 1 (a b) 3
B. 1 (b a) 3
C. 1 (2a b) 3
D. 1 (2b a) B 3
D
C
(2) 在平行四边形ABCD中,AB a, AD b, AN 3NC,M为BC的
中点,则 MN 等于＿＿1＿a＿＿＿1 b
4
4
分析:由 AN 3NC,得4AN 3AC （3 a b）, AM a 1 b,所以
向量与三角形的“心”：
对于任意一个三角形， 三角形的三条高的交点叫做垂心， 三角形的三条中线的交点所为重心， 三角形的三条角平分线的交点叫内心， 三角形的三条中垂线的交点叫外心
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分析 要证A、B、D三点共线，可证 AB=λBD关键是找到λ
解： ∵BD=BC+CD= 2a + 8b+ 3(a b)=a+5b
∴AB=2 BD
AB∥ BD
且AB与BD有公共点B
∴ A、B、D 三点共线
定理 向量 b 与非零向量 a 共线
有且仅有一个实数 ，使得 b a．
例4.如图：已知 AD 3 AB ， DE 3BC ， 试判断 AC 与 AE 是否共线．
（2） 当 0, a与a的方向相同；当 0, a的方向与a的方向相反；当 0，a 0.
注意：比较两个向量时,主要看它们的长度和方向
a
数乘向量的几何意义就是把向量a 沿a 的方向或反 方向放大或缩短.若 a 0 ,当 1时，沿 a 的方
向放大了 倍.当〈0 〈1时，沿 a 的方向缩短了 倍.
a
3a
讲授新课
思考题1:已知向量 a, 如何作出 a a a 和(a) (a) (a)?
a
a
a
a
a a a
OA
B
C
N
M
QP
OC OA AB BC a a a 记: a a a 3a
即: OC 3a. 同理可得: PN (a) (a) (a) 3a
思考题2: 向量 3a 与向量 a 有什么关系? 向量 3a 与向量 a 有什么关系?
a 5b 2c
(4)(t1 t2 )(c b) (t1 t2 )(c b)
2t1b 2t2 c
练习：计算： （1）（2 2a 6b 3c) 3(3a 4b 2c);
(2)已知3(x a) 2(x 2a) 4(x a b) 0 求x.
解：（1）原式 4a 12b 6c 9a 12b 6c
向量与平面几何
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（1）在平行四边形 ABCD中
① 若 AB AD ， 则 (AB AD) (AB AD) ，
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
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(1)D是ABC中BC边上一点，且BD 1 BC，设AB a, AC b,
第二章 平面向量 及其应用
必修 四
2.2.3向量的数乘运算
新乡市一中 汤勇
旧知回顾
1.向量加法三角形法则:
2.向量加法平行四边形法则:
特点:首尾相接，连首尾
特点:同一起点,对角线
C
ab b
A
a
B
3.向量减法三角形法则:
B
C
b
ab
O
a
A
特点：共起点，连终点，方向指向被减向量
a
bB
BA a b
b
Oa A
1.向量加法三角形法则: 2.向量加法平行四边形法则:
特点:首尾相接，首尾连
C ab b
A
a
B
Ba
b
a
b
C
特点:共起点
b
O
a
A
3.向量减法三角形法则:
B
a
b
O
BA a b
aA
b 特点：共起点，连终点，方向指向被减数
实际背景
一物体作匀速直线运动，一秒钟的位移对应 向量a, 那么在同方向上3秒的位移对应的向量 用3a表示，试画出该向量。
（2）在 ABC中 ①| OA| | OB || OC |， O 是 ABC的 外心 ； ② AB AC 一定过边 BC 的中点；通过 ABC的 重心 ；
③ OA OB OC 0 ， O 是 ABC的 重心 ；
(3) (a b) a b.
特别地:（ ）a a a b a b
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算
例2：计算下列各式
(1)(3) 4a
12a
(2)3(a b ) 2(a b ) a
5b
(3)(2a 3b c) (3a 2b c)
AB 2AC CA
ＢＤ Ｃ
AB AC 2AD 右边
所以，所证等式成立
练习:如图，在 OAB 中,延长BA到C,使AC=BA,在OB上取
点D,使BD= 1 OB.DC与OA交于E,设 OA a，OB b， 请用
3
a，b表示向量 OC，DC .
B
分析: 解题的关键是建立 OC,OD与a，b
非零向量)，并进行比较。
(2) 已知向量 a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b，
并进行比较。 a
Biblioteka Baidu(2a)
b
a
3(2a)
=
6a
2a 2b
ab
2b
2(a b ) 2a 2b 2a
三、向量的数乘运算满足如下运算律：
，是实数，
（1）（ a) ( )a;
(2)( )a a a;
当 1时,沿 a 的反方向放大了 倍.当〈1 〈0时， 沿a 的反方向缩短了 倍.由其几何意义可以看出
用数乘向量能解决几何中的相似问题.
例1：已知向量 a,b,作出如下向量： （1） 2.5a; (2)2a 3b
b
a
解：（1）
（2）
3b
2.5a
2a
(1) 根据定义，求作向量3(2a)和(6a) (a为
(1)向量 3a 的方向与 a 的方向相同, 向量 3a 的长度是 a 的3倍,即 3a 3 a .
(2)向量3a的方向与 a 的方向相反, 向量3a的长度是 a 的3倍,即 3a 3 a .
一、向量的数乘运算的定义： 实数与向量a的积是一个确定的向量，记为 a,
其方向和长度规定如下：
（1） a a ;
练习：
1.把下列各小题中得向量b表示为实数与向 量a得积.
(1) a 3e, b 6e b 2a
(2) a 8e, b 14e b 7 a
4
(3) a 1 e,
b
2 e
3
3
b 2a
(4) a 3 e, b 3 e
4
3
b 2a
练习： 2.判断下列各小题中的向量a与b是否共线.
例8. 在 ABC 中,设D为边ＢＣ的中点,求证:
(1)AD 1 (AB AC) 2
解：因为 AD AB BD
Ａ AB 1 BC
2
AB
1 2
(AC
AB)
1 2
(AB
BC)
ＢＤ Ｃ
例8. 在 ABC 中,设D为边ＢＣ的中点,求证:
(1)AD 1 (AB AC) 2
解2:
Ａ
过点B作BE,使 BE AC 连接CE