指数、对数函数基本知识点.doc

基本初等函数知识点 1.指数函数概念
知识点一：指数及指数幂的运算
一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数1.根式的概念
的定义域为 .
的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其
2.指数函数函数性质：
中函数名称指数函数当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为；定义函数且叫做指数函数
当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为.
负数没有偶次方根， 0 的任何次方根都是0.
式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数 .
次方根的性质：
图象
(1)当为奇数时，；当为偶数时，
(2)
3.分数指数幂的意义：
定义域
值域
；
注意： 0 的正分数指数幂等与 0，负分数指数幂没有意义 . 过定点图象过定点，即当时， .
4.有理数指数幂的运算性质：奇偶性非奇非偶
单调性在上是增函数在上是减函数
(1) (2) (3)
知识点二：指数函数及其性质
函数值的②减法：③数乘：
变化情况
变化对图在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向
④⑤
象的影响看图象，逐渐减小 .
知识点三：对数与对数运算
1. 对数的定义⑥换底公式：
(1)若，则叫做以为底的对数，记作，知识点四：对数函数及其性质
1.对数函数定义
其中叫做底数，叫做真数 .
(2)负数和零没有对数 . 一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函
(3)对数式与指数式的互化：.
数的定义域.
2. 几个重要的对数恒等式 2.对数函数性质：
，，. 函数名称对数函数
3. 常用对数与自然对数
定义函数且叫做对数函数常用对数：，即；自然对数：，即(其中).
图象
4. 对数的运算性质
如果，那么①加法：
2.幂函数的性质
(1)图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象
限无图象 .幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称 )；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象
关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限.
定义域
值域
过定点
奇偶性
单调性
函数值的变化情况
变化对图象的影响
(2) 过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点 .
(3) 单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数 .
如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近
轴与轴 .
(4) 奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数.当
图象过定点，即当时，.
非奇非偶
(其中
在上是增函数在上是减函数互质，和)，若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为
偶数时，则
是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数 .
(5) 图象特征：幂函数，当时，若，其图象在直线
在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向
下方，若，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，
其图象在直线下方 .
看图象，逐渐减小 .
知识点六：幂函数
1.幂函数概念形如的函数，叫做幂函数，其中
为常数 .
①分母不为0；
②偶次根式中被开方数不小于0；
③实际问题要考虑实际意义
④零指数幂的底数不等于零；
⑤对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；
⑥注意同一表达式中的两变量的取值范围是否相互影响
4.函数值域：
3
① y
②y 2x x 3
补充：函数
1. 映射定义：设A， B 是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对集合 A 中任一元素x，在集合 B 中有唯一元素y 与之对应，则称 f 是从集合 A 到集合B 的映射。

这时，称y 是 x 在映射 f 的作用下的象记作f（ x）。

x 称作 y 的原象。

2. 函数定义：函数就是定义在非空数集A，B 上的映射，此时称数集 A 为定义域，象集 C={f(x)|x ∈ A}为值域。

定义域，对应法则，值域构成了函数的三要素
3. 求函数的定义域常涉及到的依据为
5 x
5、函数图像变换知识
①平移变换：
形如： y=f(x+a)：把函数 y=f(x)的图象沿ｘ轴方向向左或向右平移｜a｜个单位，就得到 y=f(x+a)的图象。

形如： y=f(x)+a：把函数 y=f(x)的图象沿ｙ轴方向向上或向下平移｜a｜个单位，就得到 y=f(x)+a 的图象
② .对称变换y=f(x)→ y=f( － x),关于ｙ轴对称y=f(x) → y=－f(x) ,关于ｘ轴对称
③ .翻折变换
y=f(x)→ y=f|x|, (左折变换 )
把ｙ轴右边的图象保留，然后将ｙ轴右边部分关于ｙ轴对称
y=f(x)→ y=|f(x)| （上折变换）
把ｘ轴上方的图象保留，ｘ轴下方的图象关于ｘ轴对称
在第一象限内，底数越大，图像（逆时针方向）越靠近y 轴。

6 函数的表示方法
①列表法：通过列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方法叫列表
法
②图像法：如果图形 F 是函数y f (x) 的图像，则图像上的任意点的坐标满
足函数的关系式，反之满足函数关系的点都在图像上.这种由图形表示函数的方法叫做图像法 .
③如果在函数 y f (x) ( x A) 中， f ( x) 是用代数式来表达的，这种方法叫
做解析法
7．分段函数
在函数的定义域内，对于自变量 x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数。

8 函数单调性及证明方法 :
①增函数：一般地,设函数 f(x) 的定义域为 D,如果对于定义域 D 内的某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2 , 当 x1<x2 时 , 都有 f(x1)< f(x2), 那么就说 f(x) 在这个区间上是增函数。

此区间就叫做函数f(x) 的单调增区间。

②减函数：一般地,设函数f(x) 的定义域为 D,如果对于定义域 D 内的某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2 , 当 x1<x2 时 ,都有 f(x1)> f(x2), 那么就说 f(x) 在这个区间上是减函数。

此区间叫做函数f(x) 的单调减区间。

③证明方法
第一步：设 x1、 x2 是给定区间内的两个任意的值，且x1<x2；
第二步：作差 f(x2)-f(x1) ，并对“差式”变形，主要采用的方法是“因式分解”或“配方法”；
第三步：判断差式f(x2)-f(x1) 的正负号，从而证得其增减性
9.函数的奇偶性
⑴奇函数
①设函数y=f（ x）的定义域为D，如果对 D 内的任意一个x，都有 -x∈ D，且f(-x)=-f(x) ，则这个函数叫做奇函数。

②奇函数图象关于原点（0， 0）中心对称。

③奇函数的定义域必须关于原点（ 0，0）中心对称，否则不能成为
奇函数。

④若 F(X)为奇函数，且X 在零处有定义，则F(0)=0.
⑤定义域关于原点对称。

（ 2）偶函数①设函数 y=f（ x）的定义域为 D，如果对 D 内的任意一个 x，都有 -x∈ D，且 f(-x)= f(x)，则这个函数叫做偶函数。

②如果知道图像,偶函数图像关于y 轴（直线x=0）对称 .
③定义域关于原点对称。

（ 3）奇函数偶函数运算
①两个偶函数相加所得的和为偶函数.
②两个奇函数相加所得的和为奇函数.
③ 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非
偶函数 .
④两个偶函数相乘所得的积为偶函数.
⑤两个奇函数相乘所得的积为偶函数.
⑥一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.
⑦奇函数不一定f(0)=0 ，也不一定有f(0)=0 推出奇函数
⑧定义在R 上的奇函数 f （ x）必满足 f （ 0） =0 ；
（ 4）奇偶函数图象。

①奇函数的图象关于原点成中心对称。

②偶函数的图象关于Y 轴成轴对称。

③奇偶函数的定义域一定关于原点对称！
④奇函数的偶数项系数等于0，偶函数的奇数项系数等于0。

⑤ Y=0 即是 X 轴，既是奇函数也是偶函数~！
10.一次函数二次函数
（ 1）一次函数
①函数 y kx b k 0 叫做一次函数，定义域为R，值域为R。

k 叫做直线的斜率， b 叫做该直线在y 轴上的截距。

一次函数又叫线性函数。

②当 b=0 时 (即 y=kx) ，一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特
殊的一次函数 .
③当k>0,b>0,这时此函数的图象经过第一、二、三象限。

当k>0,b<0, 这时此函数的图象经过第一、三、四象限。

当k<0,b>0, 这时此函数的图象经过第一、二、四象限。

当 k<0,b<0, 这时此函数的图象经过第二、三、四象限。

④解析式类型
一般式：ax+by+c=0
斜截式：y=kx+b（k为直线斜率， b 为直线纵截距；其中正比例函数
b=0 ）
点斜式：y-y1=k(x-x1)（k为直线斜率,(x1,y1) 为该直线所过的一个点）
两点式： (y-y1) / (y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1) （已知直线上（ x1,y1 ）与（ x2,y2 ）两点）
截距式： x/a + y/b=1 （ a、 b 分别为直线在 x、 y 轴上的截距）
⑤当 k>0 时，函数为增函数；当 k<0 时，函数为减函数。

（ 2）二次函数
①函数 y ax 2 bx c (a 0) 叫做二次函数，定义域为R
② a 决定抛物线的开口方向和大小。

当 a＞ 0 时，抛物线向上开口；当 a＜ 0 时，抛物线向下开口。

|a| 越大，则抛物线的开口越小。

③抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线x = -b/2a。

④定点坐标：（ -b/2a ， (4ac-b^2)/4a ）；
⑤抛物线与x 轴交点个数：
=b^2-4ac＞ 0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点。

=b^2-4ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点。

= b^2-4ac ＜ 0 时，抛物线与x 轴没有交点。

11．待定系数法
①定义：一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式，可先把所求
函数写成为一般的形式，其中系数为待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数，这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法。

②一般过程：首先确定所求问题含待定系数的解析式；其次根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；. 最后解方程或消去待定系数。

12、函数与方程
①函数的思想：函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数
量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。

②方程的思想：方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。

方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系；
③零点：对于函数y=f( α )，使得f( α )=0 的实数α叫做函数f(x) 的零点 . 。