§6.5函数的凸性与拐点数学分析课件(华师大四版)高教社ppt华东师大教材配套.ppt

x2 x1
x3 x1
x3 x2
注 (4) 式与 (1) 式是等价 y
的. 所以有些教材将 (4)
f (x3)
式作为凸函数的定义.
f (x1)
wenku.baidu.com
f (x2)
O x1
x2
对于凹函数，请读者自行写出相应的定理.
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
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x3 x
§5 函数的凸性与拐点
由数学归纳法不难证明：f 为 I 上的凸函数充要
(5)
(5) 式是凸函数最常用的不等式 . 下面举例说明凸函数的内在性质.
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
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§5 函数的凸性与拐点
例 1 设 f 为开区间 (a, b) 上的凸函数, 那么它在 (a, b) 中每一点的左、右导数存在. 特别是在 (a,b)
上处处连续. 证 对于任意的 x0 （a, b）, 0 h1 h2 ,使
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§5 函数的凸性与拐点
取x (a,b), x x , 由引理又得 0
f ( x0 ) f ( x) x0 x
f ( x0 h) h
f ( x0 ) ,
h (0, b x0 ).
这就证明了F(h)有下界. 所以
lim F(h) lim
h0
f ( x1 (1 )x2 ) f ( x1) (1 ) f ( x2 ), (2)
则称 f 为 I 上的一个凹函数. 如(1)和(2)式中的不等号改为严格不等号, 则相应 的函数称为严格凸函数和严格凹函数.
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
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§5 函数的凸性与拐点
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
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§5 函数的凸性与拐点
特别取

i

1 n
,
有
f

x1

x2
n

xn


1 n

f ( x1)
f ( x2)
f ( xn ),
即：
f
1

n
n i 1
xi

1 n
n i 1
f ( xi )
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§5 函数的凸性与拐点
定义1
设 f 为区间 I上的函数．若对于 I 上的任意两点
x1, x2 和任意实数 (0, 1), 总有 f ( x1 (1 )x2 ) f ( x1) (1 ) f ( x2 ), (1)
则称 f 为 I上的一个凸函数. 反之如果总有
由此可得 y x2 在 (， ) 上为严格的凸函数，
y x为 0， 上的严格凹函数 .
很明显，若 f (x)为(严格)的凸函数, 那么– f (x)就 为(严格) 凹函数，反之亦然.
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
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§5 函数的凸性与拐点
引理 f (x)为区间 I上的凸函数的充要条件是：
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§5 函数的凸性与拐点
( x3 x1 ) f ( x2 ) ( x3 x2 ) f ( x1 ) ( x2 x1 ) f ( x3 ),
即 ( x3 x2 ) f ( x2 ) ( x2 x1 ) f ( x2 )
( x3 x2 ) f ( x1 ) ( x2 x1 ) f ( x3 ), 整理后即为 (3) 式.
x0 x0 h1 x0 h2 b, 由引理的(4)式得到
f ( x0 h1) f ( x0 ) f ( x0 h2 ) f ( x0 ) .
h1
h2
令F (h)
f ( x h) 0 h
f(x ) 0,
则F (h)在(0,b x ) 0
上递增.
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
对于I中的任意三点x1 x2 x3 ,有
f ( x2 ) f ( x1) f ( x3 ) f ( x2 )
(3)
x2 x1
证（必要性）设
x3 x3

x2 x1
x3 x2 , 于是
y
x2 x1 (1 )x3 .

因为 f (x)为 I 上的凸函数，所以
所以 f 为 I 上的凸函数.
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
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§5 函数的凸性与拐点
同理可证 f 为 I 上的凸函数的充要条件是：对于
I 中的任意三点 x1 x2 x3 ,有
f ( x2 ) f ( x1) f ( x3 ) f ( x1) f ( x3 ) f ( x2 ) . (4)
f ( x2 ) f ( x1 (1 )x3 )

从而有
f ( x1 ) (1 ) f ( x3 ) O x1

x3 x2 x3 x1
f ( x1)
x2 x1 x3 x1
f ( x3 ).
x2 x3 x
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
§5 函数的凸性与拐点
§5 函数的凸性与拐点
从两个熟悉的函数 y x2 与 y x 的图象来看
凸性的不同：
y
A
O
y x2
B x
y y x
B A
O
x
y x2( y x )上任取两点 A, B, 弦 AB 恒在曲线
段 AB 的上方(下方) .
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
（充分性）对于任意 x1 x3 , (0, 1). 设
x2 x1 (1 )x3 ,
则
f ( x2 ) f ( x1) f ( x3 ) f ( x2 ) .
x2 x1
x3 x2
由于必要性的证明是可逆的，从而得到
f ( x1 (1 )x3 ) f ( x1) (1 ) f ( x3 ),
h0
f ( x0 h) h
条件是：任给 x1, xn I , 0 i 1, i 1,2, ,n, 1 2 n 1, 必有
f ( 1 x1 n xn ) 1 f ( x1 ) n f ( xn ).
这是著名的詹森不等式 .
詹森( Jensen,J.L. 1859-1925,丹麦 )