相交线与平行线知识点+考点+典型例题

第二章相交线与平行线

【知识要点】

1.两直线相交

2.邻补角：有一条公共边，另一条边互为反向延长线的两个角互为邻补角。

3.对顶角

（1）定义：有一个公共顶点，且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角互为对顶角 (或两条直线相交形成的四个角中，不相邻的两个角叫对顶角) 。

（2）对顶角的性质：对顶角相等。

4．垂直定义：当两条直线相交所形成的四个角中，有一个角是90°那么这两条线互相垂直。

5.垂线性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②垂线段最短。

6．平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，“平行”用符号“∥”表示，如直线a，b是平行线，可记作“a∥b”

7．平行公理及推论

（1）平行公理：过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

（2）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

注：（1）平行公理中的“有且只有”包含两层意思：一是存在性；二是唯一性。

（2）平行具有传递性，即如果a∥b，b∥c，则a∥c。

8．两条直线的位置关系：在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行。

9．平行线的性质：

（1）两直线平行，同位角相等（在同一平面内）

（2）两直线平行，内错角相等（在同一平面内）

（3）两直线平行，同旁内角互补（在同一平面内）

10．平行线的判定

（1）同位角相等，两直线平行；（在同一平面内）

（2）内错角相等，两直线平行；（在同一平面内）

（3）同旁内角互补，两直线平行；（在同一平面内）

（4）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；

补充：（5）平行的定义；（在同一平面内）

（6）在同一平面内

．．．．．．，垂直于同一直线的两直线平行。

【典型例题】

考点一：对相关概念的理解

对顶角的性质，垂直的定义，垂线的性质，点到直线的距离，垂线性质与平行公理的区别等

例1：判断下列说法的正误。

（1）对顶角相等；（2）相等的角是对顶角；

（3）邻补角互补；（4）互补的角是邻补角；

（5）同位角相等；（6）内错角相等；

（7）同旁内角互补；（8）两直线不相交就平行；

（9）直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离；

（10）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

（11）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；

（12）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直。

练习：下列说法正确的是（）

A、相等的角是对顶角

B、直线外一点到直线的垂线段叫点到直线的距离

C、两条直线相交，有一对对顶角互补，则两条直线互相垂直。

D、过一点有且只有一条直线与已知直线平行

考点二：相关推理（识记）

（1）∵a ∥c ，b ∥c （已知） ∴______ ∥______（ ） （2）∵∠1=∠2，∠2=∠3（已知） ∴______ =______（ ） （3）∵∠1+∠2=180°，∠2=30°（已知） ∴∠1=______（ ） （4）∵∠1+∠2=90°，∠2=22°（已知） ∴∠1=______（ ） （5）如图（1），∵∠AOC=55°（已知） ∴∠BOD=______（ ） （6）如图（1），∵∠AOC=55°（已知） ∴∠BOC=______（ ） （7）如图（1），∵∠AOC=

2

1

∠AOD ，∠AOC+∠AOD=180°（已知） ∴∠BOC=______（ ）

（1）

（2） （3） （4） （8）如图（2），∵a ⊥b （已知） ∴∠1=______（ ） （9）如图（2），∵∠1=______（已知） ∴a ⊥b （ ）

（10）如图（3），∵点C 为线段AB 的中点 ∴AC=______（ ） (11) 如图（3），∵ AC=BC ∴点C 为线段AB 的中点（ ） （12）如图（4），∵a ∥b （已知） ∴∠1=∠2（ ） （13）如图（4），∵a ∥b （已知） ∴∠1=∠3（ ） （14）如图（4），∵a ∥b （已知） ∴∠1+∠4= （ ） （15）如图（4），∵∠1=∠2（已知） ∴a ∥b （ ） （16）如图（4），∵∠1=∠3（已知） ∴a ∥b （ ） （17）如图（4），∵∠1+∠4= （已知） ∴a ∥b （ ）

考点三：对顶角、邻补角的判断、相关计算

例题1：如图5－1，直线AB 、CD 相交于点O ，对顶角有_________对，它们分别是_________，

∠AOD 的邻补角是_________。

例题2：如图5－2，直线l 1，l 2和l 3相交构成8个角，已知∠1=∠5，那么，∠5是_________的对顶角，

与∠5相等的角有∠1、_________，与∠5互补的角有_________。

例题3：如图5－3，直线AB 、CD 相交于点O ，射线OE 为∠BOD 的平分线，∠BOE=30°，则∠AOE 为_________。

图5－1 图5－2 图5－3

考点四：同位角、内错角、同旁内角的识别

例题1：如图2-44，∠1和∠4是 、 被 所截得的 角，

a

b 1

1 2 3

4

a

b

.

.

.

A

C

B

∠3和∠5是 、 被 所截得的 角， ∠2和∠5是 、 被 所截得的 角， AC 、BC 被AB 所截得的同旁内角是 .

例题2：如图2-45，AB 、DC 被BD 所截得的内错角是 ，

AB 、CD 被AC 所截是的内错角是 ， AD 、BC 被BD 所截得的内错角是 ， AD 、BC 被AC 所截得的内错角是 。

例题3：如图10，DE∥BC，∠D∶∠DBC = 2∶1，∠1 =∠2，求∠DEB 的度数．

考点五：平行线的判定、性质的综合应用（逻辑推理训练）

例题1：如图9,已知DF ∥AC,∠C=∠D,要证∠AMB=∠2,请完善证明过程,•并在括号内填上相应依据:

∵DF ∥AC(已知),∴∠D=∠1( ) ∵∠C=∠D(已知),∴∠1=∠C( •) ∴DB ∥EC( ) ∴∠AMB=∠2( )

例题2：如图，已知∠ABE +∠DEB = 180°，∠1 =∠2，求证：∠F =∠G．

例题3：如图12，∠ABD 和∠BDC 的平分线交于E ，BE 交CD 于点F ，∠1 +∠2 = 90°．

求证：（1）AB∥CD； （2）∠2 +∠3 = 90°．

考点六：特殊平行线相关结论

21

(9)

D C

F

M

A

E

B

N

C 2

1 A B F G E

D 图10

2

1 B C

E

D C

图12

1 2

3

A

B D

F