专题数学思想方法一
国开电大数学思想与方法第一关参考答案
国开电大数学思想与方法第一关参考答案题目1.巴比伦人是最早将数学应用于（）的。
在现有的泥板中有复利问题及指数方程。
A.农业B.运输C.工程D.商业【答案】：商业题目2.《九章算术》成书于（），它包括了算术、代数、几何的绝大部分初等数学知识。
A.商朝B.战国时期C.西汉末年D.汉朝【答案】：西汉末年题目3.金字塔的四面都正确地指向东南西北，在没有罗盘的四、五千年的古代，方位能如此精确，无疑是使用了（）的方法。
A.几何测量B.占卜C.代数计算D.天文测量【答案】：天文测量题目 4.在丢番图时代(约250)以前的一切代数学都是用（）表示的，甚至在十五世纪以前，西欧的代数学几乎都是用（）表示。
A.文字，文字B.文字，符号C.符号，文字D.符号，符号【谜底】：文字，文字题目5.古埃及数学最光辉的成便可以说是（）的发现。
A.球体积公式B.圆面积公式C.进位制的发明D.四棱锥台体积公式【谜底】：四棱锥台体积公式题目6.《几何原本》中的素材并不是是XXX所独创，大部分材料来自同他一起进修的（）。
A.XXX大学派B.XXX学派C.XXX学派D.爱奥尼亚学派【答案】：XXX学派题目7.古印度人对时间和空间的看法与现代天文学十分相像，他们认为一劫（“劫”指时间长度）的长度就是（），这个数字和现代人们计算的宇宙年龄十分接近。
A。
100亿年B。
1亿年C。
1000亿年D。
10亿年【谜底】：100亿年题目8.根据XXX的设法主意，一个完整的理论体系应该是一种演绎体系的布局，知识都是从（）中演绎出的结论。
A.最终原理B.一般原理。
人教A版高考数学(文)复习课件 专题 数学思想方法第1部分专题7第2讲
设 lg(log210)＝t，则 lg(lg2)＝－t.由条件可知 f(t)＝5，即 f(t)＝ at3＋bsin t＋4＝5，所以 at3＋bsin t＝1，所以 f(－t)＝－at3－bsin
t＋4＝－1＋4＝3.
答案 C
规律方法 复杂的数学问题常用换元法实现化归与转化，运用 “换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，或者把较复杂 的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题．
▪分类讨论的常见类型：
▪(1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身 就是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、 对数函数等．
▪(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论： 有的定理、公式、性质是分类给出的，在不同 的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公 式、函数的单调性等．
▪(3)由数学运算和字母参数变化引起分类；如偶 次方根非负，对数的底数与真数的限制，方程 (不等式)的运算与根的大小比较，含参数的取 值不同会导致所得结果不同等．
3a1＋3d＝6， 8a1＋28d＝－4，
解得ad1＝＝－3，1.
故 an＝3－(n－1)＝4－n.
(2)由(1)可得 bn＝n·qn－1，于是 Sn＝1·q0＋2·q1＋3·q2＋…＋n·qn－1. 若 q≠1，将上式两边同乘 q，得 qSn＝1·q1＋2·q2＋…＋(n－1)·qn－1＋n·qn. 两式相减，得(q－1)Sn＝nqn－1－q1－q2－…－qn－1 ＝nqn－qqn－－11＝nqn＋1－qn－＋11qn＋1. 于是，Sn＝nqn＋1－q－n＋112qn＋1. 若 q＝1，则 Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝nn2＋1.
▪历年高考中，化归与转化思想无处不在，我们 要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于 提高解决数学问题的应变能力，提高思维能力 和技能、技巧.
数学思想方法专题试题(含详细答案)
数学思想方法试题一、选择题1．当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，则a 的范围是 ( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(1,2] D.⎝⎛⎭⎫0，12 解析：设f 1(x )＝(x －1)2，f 2(x )＝log a x ，要使当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，只 需f 1(x )＝(x －1)2在(1,2)上的图象在f 2(x )＝log a x 的下方即可．当0<a <1时，显然不成立．当a >1时，如图，要使在(1,2)上，f 1(x )＝(x －1)2的图象在f 2(x )＝log a x 的下方，只需f 1(2)≤f 2(2)，即(2－1)2≤log a 2，log a 2≥1，∴1<a ≤2.答案：C2．设函数f (x )＝x 3＋sin x ，若0≤θ≤π2时，f (m cos θ)＋f (1－m )>0恒成立，则实数m 的取 值范围是( )A ．(0,1)B ．(－∞，0)C ．(－∞，1) D.⎝⎛⎭⎫－∞，12 解析：易知f (x )为奇函数、增函数，f (m cos θ)＋f (1－m )>0，即f (m cos θ)>f (m －1)，∴m cos θ>m －1，而0≤θ≤π2时，cos θ∈[0,1]， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m >m －1，0>m －1得m <1. 答案：C3．方程x 2－32x －m ＝0在x ∈[－1,1]上有实根，则m 的取值范围是 ( )A ．m ≤－916B ．－916<m <52C ．m ≥52D ．－916≤m ≤52解析：m ＝x 2－32x ＝⎝⎛⎭⎫x －342－916≤52， 又当x ＝34时，m 最小为－916， ∴－916≤m ≤52. 答案：D4．已知函数f (x )＝3－2|x |，g (x )＝x 2－2x ，构造函数F (x )，定义如下：当f (x )≥g (x )时，F (x )＝g (x )；当f (x )<g (x )时，F (x )＝f (x )．那么F (x ) ( )A ．有最大值3，最小值－1B ．有最大值7－27，无最小值C ．有最大值3，无最小值D ．无最大值，也无最小值解析：画图得到F (x )的图象：为射线AC 、抛物线弧AB 及射线BD 三段，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋3y ＝x 2－2x 得x A ＝2－7， 代入得F (x )最大值为7－27，由图可得F (x )无最小值，从而选B.答案：B5．已知函数y ＝xf ′(x )的图象如图所示(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，以下四个图象中，y ＝f (x )的大致图象是 ( )解析：函数y＝xf′(x)是y＝f′(x)与y＝x的复合函数，当y＝0且x∈R时，必有f′(x) ＝0.因而其图象与x轴交点即为f′(x)＝0两根．由图象提供的信息，函数y＝f(x)在x＝1和x＝－1处取得极值．观察图象，只有C项合适．答案：C6．已知x，y∈R，且2x＋3y>2－y＋3－x，那么() A．x＋y<0 B．x＋y>0C．xy<0 D．xy>0解析：设f(x)＝2x－3－x.因为2x，－3－x均为R上的增函数，所以f(x)＝2x－3－x是R上的增函数又由2x－3－x>2－y－3y＝2－y－3－(－y)，即f(x)>f(－y)，∴x>－y，即x＋y>0.选B.答案：B二、填空题7．已知：f(x)＝x1－x，设f1(x)＝f(x)，f n(x)＝f n－1[f n－1(x)](n>1且n∈N*)，则f3(x)的表达式为________，猜想f n(x)(n∈N*)的表达式为________．解析：由f1(x)＝f(x)和f n(x)＝f n－1[f n－1(x)](n>1且n∈N*)，得f2(x)＝f1[f1(x)]＝x1－x1－x1－x＝x1－2x，f3(x)＝f2[f2(x)]＝x1－2x1－2x1－2x＝x1－22x，…，由此猜想f n (x )＝x 1－2n 1x(n ∈N *)． 答案：x 1－22x x 1－2n －1x8．若方程lg(x －1)＋lg(3－x )＝lg(a －x )只有一个根，则a 的取值范围是________．解析：原方程等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x －1>03－x >0a －x >0(x －1)(3－x )＝a －x即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－x 2＋5x －31<x <3， 构造函数y ＝－x 2＋5x －3(1<x <3)和y ＝a ，作出它们的图象，易知平行于x 轴的直线 与抛物线的交点情况为：①当1<a ≤3或a ＝134时，原方程有一解； ②当3<a <134时，原方程有两解； ③当a ≤1或a >134时，原方程无解． 因此，a 的取值范围是1<a ≤3或a ＝134. 答案：1<a ≤3或a ＝1349．若曲线y 2＝|x |＋1与直线y ＝kx ＋b 没有公共点，则k 、b 分别应满足的条件是________．解析：y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥0－x ＋1，x <0，其图象如图所示，对直线y ＝kx ＋b ，k ≠0时，直线与曲线一定相交，只有当k ＝0，且－1<b <1时无交点．故填k ＝0；－1<b <1.答案：k ＝0，－1<b <110．若不等式x 2＋px >4x ＋p －3对一切0≤p ≤4均成立，则实数x 的取值范围为________．解析：∵x 2＋px >4x ＋p －3，∴(x －1)p ＋x 2－4x ＋3>0.令g (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3，则要使它对0≤p ≤4均有g (p )>0，只要⎩⎪⎨⎪⎧g (0)>0g (4)>0， ∴x >3或x <－1.答案：x >3或x <－1三、解答题11．若函数f (x )＝a ＋b cos x ＋c sin x 的图象经过点(0,1)和⎝⎛⎭⎫π2，1，且当x ∈[0，π2]时， －2≤f (x )≤2恒成立，试求a 的取值范围解：∵f (x )过(0,1)和⎝⎛⎭⎫π2，1，∴f (0)＝a ＋b ＝1，f ⎝⎛⎭⎫π2＝a ＋c ＝1，即b ＝c ＝1－a .∴f (x )＝a ＋(1－a )(cos x ＋sin x )＝a ＋2(1－a )sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴π4≤x ＋π4≤34π. ∴22≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤1. f (x )的取值范围与1－a 的正负有关系，从而讨论如下：①当a ≤1时，1≤f (x )≤a ＋2(1－a )．∵－2≤f (x )≤2，∴只要a ＋2(1－a )≤2解得a ≥－2，∴－2≤a ≤1.②当a >1时，a ＋2(1－a )≤f (x )≤1，∵－2≤f (x )≤2，只要a ＋2(1－a )≥－2，解得a ≤4＋3 2.∴1<a ≤4＋3 2.结合①②知，实数a 的取值范围为[－2，4＋32]．12．已知函数f (x )＝ax 4ln x ＋bx 4－c (x >0)在x ＝1处取得极值－3－c ，其中a ，b ，c 为常数．(1)试确定a ，b 的值；(2)讨论函数f (x )的单调区间；(3)若对任意x >0，不等式f (x )≥－2c 2恒成立，求c 的取值范围．解：(1)由题意知f (1)＝－3－c ，因此b －c ＝－3－c ，从而b ＝－3.又对f (x )求导得f ′(x )＝4ax 3ln x ＋ax 4·1x＋4bx 3＝x 3(4a ln x ＋a ＋4b )． 由题意f ′(1)＝0，因此a ＋4b ＝0，解得a ＝12.(2)由(1)知f ′(x )＝48x 3ln x (x >0)，令f ′(x )＝0，解得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )<0，此时f (x )为减函数；当x >1时，f ′(x )>0，此时f (x )为增函数．因此f (x )的单调递减区间为(0,1)，而f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)．(3)由(2)知，f (x )在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3－c ，此极小值也是最小值要使f (x )≥－2c 2(x >0)恒成立，只需－3－c ≥－2c 2.即2c 2－c －3≥0，从而(2c －3)(c ＋1)≥0，解得c ≥32或c ≤－1. 所以c 的取值范围为(－∞，－1]∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 13．已知函数f (x )＝－x 2＋8x ，g (x )＝6ln x ＋m .(1)求f (x )在区间[t ，t ＋1]上的最大值h (t )；(2)是否存在实数m 使得y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)f (x )＝－x 2＋8x ＝－(x －4)2＋16.当t ＋1<4，即t <3时，f (x )在[t ，t ＋1]上单调递增，h (t )＝f (t ＋1)＝－(t ＋1)2＋8(t ＋1)＝－t 2＋6t ＋7；当t ≤4≤t ＋1即3≤t ≤4时，h (t )＝f (4)＝16；当t >4时，f (x )在[t ，t ＋1]上单调递减，h (t )＝f (t )＝－t 2＋8t .综上，h (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －t 2＋6t ＋7，t <3，16，3≤t ≤4，－t 2＋8t ，t >4.(2)函数y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象有且只有三个不同的交点，即函数Φ(x )＝g (x )－f (x )的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点．∵Φ(x )＝x 2－8x ＋6ln x ＋m ，∴Φ′(x )＝2x －8＋6x ＝2x 2－8x ＋6x＝2(x －1)(x －3)x(x >0) 当x ∈(0,1)时，Φ′(x )>0，Φ(x )是增函数；当x ∈(1,3)时，Φ′(x )<0，Φ(x )是减函数；当x ∈(3，＋∞)时，Φ′(x )>0，Φ(x )是增函数；当x ＝1或x ＝3时，Φ′(x )＝0.∴Φ(x )极大值＝Φ(1)＝m －7，Φ(x )极小值＝Φ(3)＝m ＋6ln 3－15.∵当x 充分接近0时，Φ(x )<0，当x 充分大时，Φ(x )>0∴要使Φ(x )的图象与x 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须⎩⎪⎨⎪⎧Φ(x )极大值＝m －7>0，Φ(x )极小值＝m ＋6ln 3－15<0. 即7<m <15－6ln 3.所以存在实数m ，使得函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象有且只有三个不同的交点，m 的取值范围为(7,15－6ln 3)。
中考数学复习专题讲座五数学思想方法(含详细参考答案)
考点二：转化思想
转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题的转机。
三、中考考点精讲
考点一：整体思想
整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体,通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。
整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。例1 10．（2012•德州）已知
A．3 B．，则a+b等于（）C．2 D．1
考点：解二元一次方程组。810360
专题：计算题。
分析：①+②得出4a+4b=12，方程的两边都除以4即可得出答案．
解答：解：，
∵①+②得：4a+4b=12，
∴a+b=3．
故选A．
点评：本题考查了解二元一次方程组的应用，关键是检查学生能否运用整体思想求出答案，题目比较典型，是一道比较好的题目．
不妨在x轴上任取一个另一点M′，连接M′A、M′B、M′B．
则M′A﹣M′B=M′A﹣M′B′＜AB′（三角形两边之差小于第三边）．
∴M′A﹣M′B＜AM﹣BM，即此时AM﹣BM最大．
专题1 数形结合思想【高考文科数学】数学思想方法 含答案
第二讲数形结合思想1．数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确．2．数形结合思想的实质、关键及运用时应注意的问题：其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化，在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参，合理用参，建立关系，由数思形，以形思数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围．3．实现数形结合，常与以下内容有关：(1)实数与数轴上的点的对应关系；(2)函数与图象的对应关系；(3)以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；(4)所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义．如等式(x－2)2＋(y－1)2＝4，表示坐标平面内以(2,1)为圆心，以2为半径的圆．1．(2013·重庆)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( ) A．52－4 B.17－1C．6－2 2 D.17答案 A解析设P(x,0)，设C1(2,3)关于x轴的对称点为C1′(2，－3)，那么|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋|PC2|≥|C1′C2|＝2－32＋－3－42＝5 2.而|PM|＝|PC1|－1，|PN|＝|PC2|－3，∴|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥52－4.2． (2011·大纲全国)已知a、b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b －c)＝0，则|c|的最大值是( )A．1 B．2 C. 2 D.2 2答案 C解析 如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则CA →＝a －c ，CB →＝b －c .由题意知CA →⊥CB →，∴O 、A 、C 、B 四点共圆．∴当OC 为圆的直径时，|c |最大，此时，|OC →|＝ 2.3． (2013·山东)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－12答案 C解析 如图，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，3x ＋y －8＝0得A (3，－1)．此时直线OM 的斜率最小，且为－13.4． (2013·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ， x ≤0，ln x ＋1， x >0.若|f (x )|≥ax ，则a的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]答案 D解析 函数y ＝|f (x )|的图象如图． ①当a ＝0时，|f (x )|≥ax 显然成立． ②当a >0时，只需在x >0时， ln(x ＋1)≥ax 成立．比较对数函数与一次函数y ＝ax 的增长速度． 显然不存在a >0使ln(x ＋1)≥ax 在x >0上恒成立． ③当a <0时，只需在x <0时，x 2－2x ≥ax 成立． 即a ≥x －2成立，∴a ≥－2.综上所述：－2≤a ≤0.故选D.5． (2012·天津)已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________．答案 (0,1)∪(1,4)解析 根据绝对值的意义，y ＝|x 2－1|x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1x >1或x <－1，－x －1－1≤x <1.在直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示． 根据图象可知，当0<k <1或1<k <4时有两个交点．题型一 数形结合解决方程的根的个数问题 例1 (2012·福建)对于实数a和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a >b .设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是________．审题破题 本题以新定义为背景，要先写出f (x )的解析式，然后将方程f (x )＝m 根的个数转化为函数y ＝f (x )的图象和直线y ＝m 的交点个数．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－316，0解析 由定义可知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1x ，x ≤0，－x －1x ，x >0.作出函数f (x )的图象，如图所示．由图可知，当0<m <14时，f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3. 不妨设x 1<x 2<x 3， 易知x 2>0，且x 2＋x 3＝2×12＝1，∴x 2x 3<14.令⎩⎪⎨⎪⎧2x －1x ＝14，x <0，解得x ＝1－34.1－34<x1<0，∴1－316<x1x2x3<0.∴反思归纳 研究方程的根的个数、根的范围等问题时，经常采用数形结合的方法．一般 地，方程f (x )＝0的根，就是函数f (x )的零点，方程f (x )＝g (x )的根，就是函数f (x )和g (x )的图象的交点的横坐标．变式训练1 已知：函数f (x )满足下面关系：①f (x ＋1)＝f (x －1)；②当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，则方程f (x )＝lg x 解的个数是( )A ．5B ．7C ．9D ．10答案 C解析 由题意可知，f (x )是以2为周期，值域为[0,1]的函数．又f (x )＝lg x ，则x ∈(0,10]，画出两函数图象，则交点个数即为解的个数．由图象可知共9个交点．题型二 数形结合解不等式问题例2 设有函数f (x )＝a ＋－x 2－4x 和g (x )＝43x ＋1，已知x ∈[－4,0]时恒有f (x )≤g (x )，求实数a 的取值范围．审题破题 x ∈[－4,0]时恒有f (x )≤g (x )，可以转化为x ∈[－4,0]时，函数f (x )的图象都在函数g (x )的图象下方或者两图象有交点． 解 f (x )≤g (x )，即a ＋－x 2－4x ≤43x ＋1，变形得－x 2－4x ≤43x ＋1－a ，令y ＝－x 2－4x ， ① y ＝43x ＋1－a .②①变形得(x ＋2)2＋y 2＝4(y ≥0)，即表示以(－2,0)为圆心，2为半径的圆的上半圆；②表示斜率为43，纵截距为1－a 的平行直线系．设与圆相切的直线为AT ，AT 的直线方程为： y ＝43x ＋b (b ＞0)， 则圆心(－2,0)到AT 的距离为d ＝|－8＋3b |5，由|－8＋3b |5＝2得，b ＝6或－23(舍去)．∴当1－a ≥6即a ≤－5时，f (x )≤g (x )．反思归纳 解决含参数的不等式和不等式恒成立问题，可以将题目中的某些条件用图象表现出来，利用图象间的关系以形助数，求方程的解集或其中参数的范围．变式训练2 已知不等式x 2＋ax －2a 2<0的解集为P ，不等式|x ＋1|<3的解集为Q ，若P ⊆Q ，求实数a 的取值范围．解 x 2＋ax －2a 2＝(x ＋2a )(x －a )<0. |x ＋1|<3⇒Q ＝{x |－4<x <2}．当－2a <a ，即a >0时，P ＝{x |－2a <x <a }．∵P ⊆Q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2a ≥－4，a ≤2，a >0.解得0<a ≤2.当－2a ＝a ，即a ＝0时，P ＝∅，P ⊆Q . 当－2a >a ，即a <0时，P ＝{x |a <x <－2a }，∵P ⊆Q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－4，－2a ≤2，a <0，解得－1≤a <0，综上可得－1≤a ≤2.题型三 数形结合解决有明显几何意义的式子(概念)问题例3 已知函数f (x )＝ax 2＋bx －1(a ，b ∈R 且a >0)有两个零点，其中一个零点在区间(1,2)内，则ba ＋1的取值范围为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，1]C ．(－2,1]D ．(－2,1)审题破题 先根据图象确定a ，b 满足的条件，然后利用ba ＋1的几何意义——两点(a ，b )，(－1,0)连线斜率求范围．答案 D解析 因为a >0，所以二次函数f (x )的图象开口向上．又f (0)＝－1，所以要使函数f (x )的一个零点在区间(1,2)内，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，f 1<0，f 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ＋b －1<0，4a ＋2b －1>0.如图所示的阴影部分是上述不等式组所确定的平面区域，式 子ba ＋1表示平面区域内的点 P (a ，b )与点Q (－1,0)连线的斜率．而直线QA 的斜率k ＝1－00－－1＝1，直线4a ＋2b －1＝0的斜率为－2，显然不等式组所表示的平面区域不包括边界，所以P ，Q 连线的斜率的取值范围为(－2,1)．故选D. 反思归纳 如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解，比较常见的对应有： (1)b －n a －m ↔(a ，b )、(m ，n )连线的斜率； (2)a －m2＋b －n2↔(a ，b )、(m ，n )之间的距离；(3)a 2＋b 2＝c 2↔a 、b 、c 为直角三角形的三边； (4)f (a －x )＝f (b ＋x )↔f (x )图象的对称轴为x ＝a ＋b2.只要具有一定的观察能力，再掌握常见的数与形的对应类型，就一定能得心应手地运用数形结合的思想方法．变式训练3 已知点P (x ，y )的坐标x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，|x |－y －1≤0，则x 2＋y 2－6x ＋9的取值范围是( )A ．[2,4]B ．[2,16]C ．[4,10]D ．[4,16]答案 B解析 画出可行域如图，所求的x 2＋y 2－6x ＋9＝(x －3)2＋y 2是点Q (3,0)到可行域上的点的距离的平方，由图形知最小值为Q 到射线x －y －1＝0(x ≥0)的距离d 的平方，最大值为|QA |2＝16.∵d 2＝⎝⎛⎭⎪⎫|3－0－1|12＋－122＝(2)2＝2. ∴取值范围是[2,16]． 题型四 数形结合解几何问题例4 已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q (2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为( )A ．(14，－1)B ．(14，1)C ．(1,2)D ．(1，－2)审题破题 本题可以结合图形将抛物线上的点P 到焦点的距离转化为到准线的距离，再探求最值． 答案 A解析 定点Q (2，－1)在抛物线内部，由抛物线的定义知，动点P到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离，问题转化为当点P 到点Q 的距离和点P 到抛物线的准线距离之和最小时，求点P 的坐标，显然点P 是直线y ＝－1和抛物线y 2＝4x的交点时，两距离之和取最小值，解得这个点的坐标是(14，－1)．反思归纳 在几何中的一些最值问题中，可以根据图形的性质结合图形上点的条件进行转换，快速求得最值．变式训练4 已知P 是直线l ：3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA 、PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，求四边形PACB 面积的最小值． 解 从运动的观点看问题，当动点P 沿直线3x ＋4y ＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC 的面积S Rt △PAC＝12|PA |·|AC |＝12|PA |越来越大，从而S 四边形PACB 也越来越大；当点P 从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小，显然，当点P 到达一个最特殊的位置，即CP 垂直直线l 时，S四边形PACB应有唯一的最小值，此时|PC |＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3， 从而|PA |＝|PC |2－|AC |2＝2 2.∴(S 四边形PACB )min ＝2×12×|PA |×|AC |＝2 2.典例 (12分)已知函数f (x )＝x 3－3ax －1，a ≠0.(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．规范解答解 (1)f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a )， 当a <0时，对x ∈R ，有f ′(x )>0，∴当a <0时，f (x )的单调增区间为(－∞，＋∞)； 当a >0时，由f ′(x )>0，解得x <－a 或x >a ， 由f ′(x )<0，解得－a <x <a ，∴当a >0时，f (x )的单调增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)； 单调减区间为(－a ，a )． [4分](2)∵f (x )在x ＝－1处取得极值， ∴f ′(－1)＝3×(－1)2－3a ＝0，∴a ＝1. [6分]∴f (x )＝x 3－3x －1，f ′(x )＝3x 2－3，由f ′(x )＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝1.由(1)中f (x )的单调性可知，f (x )在x ＝－1处取得极大值f (－1)＝1，在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3.因为直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点， 结合如图所示f (x )的图象可知：m 的取值范围是(－3,1)．[12分]评分细则 (1)求出f ′(x )给1分，不写出单调区间扣1分；(2)只画图象没有说明极值扣2分；(3)没有结论扣1分，结论中范围写成不等式形式不扣分．阅卷老师提醒 (1)解答本题的关键是数形结合，根据函数的性质勾画函数的大致图象； (2)解答中一定要将函数图象的特点交待清楚，单调性和极值是勾画函数的前提，然后结合图象找出实数m 的取值范围．1． 设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( )A ．f (13)<f (2)<f (12)B ．f (12)<f (2)<f (13)C ．f (12)<f (13)<f (2)D ．f (2)<f (12)<f (13)答案 C解析 由f (2－x )＝f (x )知f (x )的图象关于直线x ＝2－x ＋x2＝1对称，又当x ≥1时，f (x )＝ln x ，所以离对称轴x ＝1距离大的x 的函数值大，∵|2－1|>|13－1|>|12－1|，∴f (12)<f (13)<f (2)．2． 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ， x ≤0，2， x >0.若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则函数y ＝g (x )＝f (x )－x 的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 由f (－4)＝f (0) 得16－4b ＋c ＝c .由f (－2)＝－2，得4－2b ＋c ＝－2. 联立两方程解得：b ＝4，c ＝2.于是，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2， x ≤0，2， x >0.在同一直角坐标系内，作出函数y ＝f (x )与函数y ＝x 的图象，知它们有3个交点，进而函数亦有3个零点．3． 若方程x ＋k ＝1－x 2有且只有一个解，则k 的取值范围是( )A ．[－1,1)B ．k ＝± 2C ．[－1,1]D ．k ＝2或k ∈[－1,1)答案 D解析 令y ＝x ＋k ，令y ＝1－x 2，则x 2＋y 2＝1(y ≥0)． 作出图象如图：而y ＝x ＋k 中，k 是直线的纵截距，由图知：方程有一个解⇔直线与 上述半圆只有一个公共点⇔k ＝2或－1≤k <1.4． 设a ，b ，c 是单位向量，且a ·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最小值为( ) A ．－2 B.2－2 C ．－1D ．1－ 2答案 D解析 由于(a －c )·(b －c )＝－(a ＋b )·c ＋1，因此等价于求(a ＋b )·c 的最大值，这个最大值只有当向量a ＋b 与向量c 同向共线时取得．由于a ·b ＝0，故a ⊥b ，如图所示，|a ＋b |＝2，|c |＝1，当θ＝0时，(a ＋b )·c 取最大值2，故所求的最小值为1－ 2. 5． 当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 B.⎝⎛⎭⎪⎫22，1 C ．(1，2)D ．(2，2)答案 B解析 由0<x ≤12，且log a x >4x>0，可得0<a <1，12由4 ＝log a 12可得a ＝22.令f (x )＝4x，g (x )＝log a x ， 若4x<log a x ，则说明当0<x ≤12时，f (x )的图象恒在g (x )图象的下方(如图所示)，此时需a >22. 综上可得a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫22，1. 6． 已知P 为抛物线y ＝14x 2上的动点，点P 在x 轴上的射影为M ，点A 的坐标是(2,0)，则|PA |＋|PM |的最小值是________． 答案5－1解析 如图，抛物线y ＝14x 2，即x 2＝4y 的焦点F (0,1)，记点P 在抛物线的准线l ：y ＝－1上的射影为P ′，根据抛物线的定义知， |PP ′|＝|PF |，则|PP ′|＋|PA |＝|PF |＋|PA |≥|AF |＝22＋12＝5.所以(|PA |＋|PM |)min ＝(|PA |＋|PP ′|－1)min ＝5－1.专题限时规范训练一、选择题1． 已知f (x )是定义在(－3,3)上的奇函数，当0<x <3时，f (x )的图象如图所示，那么不等式f (x )·cos x <0的解集是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－π2∪(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3 C ．(－3，－1)∪(0,1)∪(1,3)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－π2∪(0,1)∪(1,3) 答案 B解析 根据对称性画出f (x )在(－3，0)上的图象如图，结合y ＝cos x 在(－3,0)，(0,3)上函数值的正负，易知不等式f (x )cos x <0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3.2． 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10，若a 、b 、c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( )A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)答案 C解析 a ，b ，c 互不相等，不妨设a <b <c ， ∵f (a )＝f (b )＝f (c )，由图象可知，0<a <1,1<b <10,10<c <12. ∵f (a )＝f (b )，∴|lg a |＝|lg b |，即lg a ＝lg 1b ，a ＝1b.则ab ＝1，所以abc ＝c ∈(10,12)．3． 用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x，x ＋2,10－x } (x≥0)，则f (x )的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7答案 C解析 画出y ＝2x，y ＝x ＋2，y ＝10－x 的图象，如图所示，观察图象，可知当0≤x ≤2，f (x )＝2x，当2<x ≤4时，f (x )＝x ＋2，当x >4时，f (x )＝10－x ，f (x )的最大值在x ＝4时取得，为6.4． 函数f (x )＝(12)x－sin x 在区间[0,2π]上的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4答案 B解析 函数f (x )＝(12)x－sin x 在区间[0,2π]上的零点个数即为方程(12)x －sin x ＝0在区间[0,2π]上解的个数．因此可以转化为两函数y ＝(12)x 与y＝sin x 交点的个数．根据图象可得交点个数为2，即零点个数为2.5． 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1,2]B ．(1,2)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)答案 C解析 ∵渐近线y ＝bax 与过焦点F 的直线l 平行，或渐近线从该位置绕原点按逆时针旋转时，直线l 与双曲线的右支有一个交点，∴b a≥3，即c 2＝a 2＋b 2≥4a 2，∴e ≥2.6． 设a ＝sin 5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．b <c <aD ．b <a <c答案 D解析 a ＝sin 5π7＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π－2π7＝sin 2π7，又π4<2π7<π2，可通过单位圆中的三角函数线进行比较：如图所示，cos 2π7＝OA ，sin 2π7＝AB ，tan 2π7＝MN ，∴cos 2π7<sin 2π7<tan 2π7，即b <a <c .7． 不等式x 2－log a x <0在x ∈(0，12)时恒成立，则a 的取值范围是( )A ．0<a <1 B.116≤a <1C ．a >1D ．0<a ≤116答案 B解析 不等式x 2－log a x <0转化为x 2<log a x ， 由图形知0<a <1且 (12)2≤log a 12， ∴a ≥116，故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫116，1.8． 函数y ＝11－x的图象与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8 答案 D解析 令1－x ＝t ，则x ＝1－t .由－2≤x ≤4，知－2≤1－t ≤4，所以－3≤t ≤3. 又y ＝2sin πx ＝2sin π(1－t )＝2sin πt .在同一坐标系下作出y ＝1t和y ＝2sin πt 的图象．由图可知两函数图象在[－3,3]上共有8个交点，且这8个交点两两关于原点对称．因此这8个交点的横坐标的和为0，即t 1＋t 2＋…＋t 8＝0.也就是1－x 1＋1－x 2＋…＋1－x 8＝0， 因此x 1＋x 2＋…＋x 8＝8. 二、填空题9． 若实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2，则yx的最小值是________．答案 2解析 可行域如图所示．又y x的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率k . 由图知，过点A 的直线OA 的斜率最小．联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2，得A (1,2)，∴k OA ＝2－01－0＝2.∴y x的最小值为2.10．设A ＝{(x ，y )|x 2＋(y －1)2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＋m ≥0}，则使A ⊆B 成立的实数m的取值范围是__________． 答案 m ≥2－1解析 集合A 是一个圆x 2＋(y －1)2＝1上的点的集合，集合B 是一个不等式x ＋y ＋m ≥0表示的平面区域内的点的集合，要使A ⊆B ，则应使圆被平面区域所包含(如图)，即直线x ＋y ＋m ＝0应与圆相切或相离(在圆的下方)，而当直线与圆相切时有|m ＋1|2＝1，又m >0，∴m ＝2－1，故m 的取值范围是m ≥2－1.11．若函数f (x )＝a x－x －a (a ＞0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．答案 a ＞1解析 设函数y ＝a x(a ＞0且a ≠1)和函数y ＝x ＋a .则函数f (x )＝a x－x －a (a ＞0且a ≠1)有两个零点，就是函数y ＝a x(a ＞0且a ≠1)的图象与函数y ＝x ＋a 的图象有两个交点．由图象可知，当0＜a ＜1时，两函数只有一个交点，不符合；当a ＞1时，因为函数y ＝a x(a ＞1)的图象过点(0,1)，而直线y ＝x ＋a 的图象与y 轴的交点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点．所以实数a 的取值范围是a ＞1.12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≥0－2x ，x <0，则关于x 的方程f [f (x )]＋k ＝0，给出下列四个命题：①存在实数k ，使得方程恰有1个实根； ②存在实数k ，使得方程恰有2个不相等的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有3个不相等的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有4个不相等的实根．其中正确命题的序号是________．(把所有满足要求的命题序号都填上) 答案 ①②解析 依题意知函数f (x )>0，又f [f (x )]＝依据y ＝f [f (x )]的大致图象(如图)知，存在实数k ，使得方程f [f (x )]＋k ＝0恰有1个实根；存在实数k ，使得方程f [f (x )]＋k＝0恰有2个不相等的实根；不存在实数k ，使得方程恰有3个不相等的实根；不存在实数k ，使得方程恰有4个不相等的实根．综上所述，其中正确命题的序号是①②. 三、解答题13．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx .(1)若函数y ＝f (x )在x ＝2处有极值－6，求y ＝f (x )的单调递减区间； (2)若y ＝f (x )的导数f ′(x )对x ∈[－1,1]都有f ′(x )≤2，求ba －1的范围．解 (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ f ′2＝0，f 2＝－6.即⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a ＋b ＝0，8＋4a ＋2b ＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－52，b ＝－2.∴f ′(x )＝3x 2－5x －2.由f ′(x )＜0，得－13＜x ＜2.∴y ＝f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，2. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧f ′－1＝3－2a ＋b ≤2，f ′1＝3＋2a ＋b ≤2，得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －1≥0，2a ＋b ＋1≤0.不等式组确定的平面区域如图阴影部分所示：由⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －b －1＝0，2a ＋b ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－1. ∴Q 点的坐标为(0，－1)． 设z ＝ba －1，则z 表示平面区域内的点(a ，b )与点P (1,0)连线的斜率．∵k PQ ＝1，由图可知z ≥1或z ＜－2， 即ba －1∈(－∞，－2)∪[1，＋∞)．14．设关于θ的方程3cos θ＋sin θ＋a ＝0在区间(0,2π)内有相异的两个实根α、β.(1)求实数a 的取值范围； (2)求α＋β的值．解 方法一(1)设x ＝cos θ，y ＝sin θ，则由题设知，直线l ：3x ＋y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＝1有两个不同的交点A (cos α，sin α)和B (cos β，sin β)．所以原点O 到直线l 的距离小于半径1，即 d ＝||0＋0＋a 32＋12＝|a |2＜1，∴－2＜a ＜2. 又∵α、β∈(0,2π)，且α≠β. ∴直线l 不过点(1,0)，即3＋a ≠0.∴a ≠－3，即a ∈(－2，－3)∪(－3，2)．(2)如图，不妨设∠xOA ＝α，∠xOB ＝－β，作OH ⊥AB ，垂足为H ，则∠BOH ＝α－β2.∵OH ⊥AB ，∴kAB ·k OH ＝－1.∴tan α＋β2＝33.又∵α＋β2∈(0,2π)，∴α＋β＝π3或α＋β＝7π3.方法二 (1)原方程可化为sin (θ＋π3)＝－a 2，作出函数y ＝sin (x ＋π3)(x ∈(0,2π))的图象．由图知，方程在(0,2π)内有相异实根α，β的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧－1＜－a2＜1－a 2≠32，即－2＜a ＜－3或－3＜a ＜2.(2)由图知：当－3＜a ＜2，即－a 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32时，直线y ＝－a 2与三角函数y ＝sin(x＋π3)的图象交于C 、D 两点，它们中点的横坐标为7π6，∴α＋β2＝7π6，∴α＋β＝7π3. 当－2＜a ＜－3，即－a 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1时，直线y ＝－a 2与三角函数y ＝sin(x ＋π3)的图象有两交点A 、B ，由对称性知，α＋β2＝π6，∴α＋β＝π3，综上所述，α＋β＝π3或α＋β＝7π3.。
中考数学专题复习一常用的数学思想和方法
中考数学专题复习一常用的数学思想和方法一、常用的数学思想（数学中的四大思想）1.函数与方程的思想用变量和函数来思考问题的方法就是函数思想，函数思想是函数概念、图象和性质等知识更高层次的提炼和概括，是在知识和方法反复学习中抽象出的带有观念的指导方法。
深刻理解函数的图象和性质是应用函数思想解题的基础，运用方程思想解题可归纳为三个步骤：①将所面临的问题转化为方程问题；②解这个方程或讨论这个方程，得出相关的结论；③将所得出的结论再返回到原问题中去。
2．数形结合思想在中学数学里，我们不可能把“数”和“形”完全孤立地割裂开，也就是说，代数问题可以几何化，几何问题也可以代数化，“数”和“形”在一定条件下可以相互转化、相互渗透。
3．分类讨论思想在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异。
分各种不同情况予以考察，这是一种重要数学思想方法和重要的解题策略，引起分类讨论的因素较多，归纳起来主要有以下几个方面：（1）由数学概念、性质、定理、公式的限制条件引起的讨论；（2）由数学变形所需要的限制条件所引起的分类讨论；（3）由于图形的不确定性引起的讨论；（4）由于题目含有字母而引起的讨论。
分类讨论的解题步骤一般是：（1）确定讨论的对象以及被讨论对象的全体；（2）合理分类，统一标准，做到既无遗漏又无重复；（3）逐步讨论，分级进行；（4）归纳总结作出整个题目的结论。
4.等价转化思想等价转化是指同一命题的等价形式.可以通过变量问题的条件和结论，或通过适当的代换转化问题的形式，或利用互为逆否命题的等价关系来实现。
常用的转化策略有：已知与未知的转化；正向与反向的转化；数与形的转化；一般于特殊的转化；复杂与简单的转化。
二、常用的数学方法主要有换元法、配方法和待定系数法三种。
三、例题解析【例1】（2004年北京市东城区）解方程：x+1-3x+1=2．解：设x＋1＝y，则原方程化为y-3y=2去分母，得y2-2y-3=0．解这个方程，得y1=-1,y2=3．当y＝－1时，x＋1＝－1，所以x＝－2；当y＝3时，x＋1＝3，所以x＝2．经检验，x＝2和x＝－2均为原方程的解．〖点拨〗解分式方程通常是采用去分母或还元法化为整式方程，并特别要注意验根。
初中数学思想方法1
初中数学思想方法初中数学中蕴含多种的数学思想方法，但最基本的数学思想方法是数形结合思想，分类讨论思想、化归思想、方程思想，突出这些基本思想方法，就相当于抓住了中学数学知识的精髓。
一、数形结合的思想方法数形结合思想指将数量与图形结合起来，对题目中的给定的题设和结论既进行代数方面的分析，又从几何含义方面进行分析，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维相结合，也可以使图形的性质通过数量之间的计算与分析，达到更加完整、严密和准确。
在解决数学问题的过程时要善于由形思数，由数思形，数形结合，通过数量与图形的转化，把数的问题利用图形直观的表示出来，力图找到解题思路。
数形结合是数学学习的一个重要方法，通常与平面直角坐标系，数轴及其他数学概念同时使用。
二、分类讨论的思想方法分类讨论思想又称为逻辑划分，是中学数学最常用的数学思想方法之一，也是中考数学中经常出现的数学思想。
分类讨论就是依据一定的标准，对问题进行分类，求解，然后综合出问题的答案。
当被研究的问题包含多种可能情况，不能一概而论时，必须按照可能出现的情况进行分类，分别讨论，得出各种不同情况下的相应结论。
分类原则：分类的对象是明确的；标准是统一的，不遗漏、不重复、分层次；不越级讨论。
分类方法：明确讨论的对象，确定对象的全体，然后确立分类标准，正确进行分类；逐步进行讨论，获取阶段性结果；归纳总结，综合得出结论。
三、化归思想“化归”就是转化和归结的简称。
所谓化归就是将所要解决的问题转化归结为另一个比较容易解决的问题或已经解决的问题。
具体说就是把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”转化为“已知”，把“复杂问题”转化为“简单问题”。
如将分式方程转化为整式方程，将高次方程转化为低次方程，将二元转化为一元，将四边形转化为三角形，将非对称图形转化为对称图形…..实现转化的方法通常有：换元法，待定系数法，配方法，整体代入法以及化动为静，由具体到抽象等方法。
专题一 第六讲 数学思想方法与答题模板建构
[点评] 本题主要考查利用函数解决实际问题的能力．对
分段函数求最值时，要先分别求出函数在各段上的最值， 然后比较得到定义域内的最值．
(2)依题意并由(1)可得 60x，0≤x<20， f(x)＝1 x200－x，20≤x≤200. 3 当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20 ＝1 200； 1 当20≤x≤200时，f(x)＝ x(200－x) 3
1 x＋200－x 2 10 000 ≤ [ ]＝ ， 3 2 3 当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立． 10 000 所以，当x＝100时，f(x)在区间[20,200]上取得最大值 . 3 10 000 综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值 ≈3 333， 3 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为 3 333辆/小时．
第6讲 数学 思想 活用数学思想 追求高效解题
方法
与答 题模 板建 构 巧用答题模板 建立答题规范
Hale Waihona Puke 1．数形结合思想 所谓数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通 过数与形的相互转化来解决数学问题的思想． 数形结合思想的应用包括以下两个方面：
(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，
[答案] B
2．方程思想
方程思想，就是未知和已知的思想，通过分析问题中的
各个量及其关系，列出方程(组)、不等式(组)，或者构造 方程(组)、不等式(组)，通过求方程(组)、不等式(组)的 解或讨论方程(组)、不等式(组)的解的情况，使问题得以 解决，方程思想应用非常普遍，在各类题目中，凡是不 能直接计算的未知数，都要列方程(组)来求解．
专题一 数学思想方法
和△FCG中，∠B＝∠C＝90°，①若
为顶点的三角形与以点F,C,G为顶点的三角形相似.
【对点训练】 1.(2012·广安中考)已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且
1 则△ABC底角的度数为( AD BC， 2
)
(A)45°
(B)75°
(C)45°或15°
(D)60°
【解析】选C. 设等腰三角形的底角为x，AB=AC时，
(3)拓展结论，设计新题.
在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且
ED=EC.若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长(请你直接写出
结果).
【思路点拨】
【自主解答】(1)= (2)= 剩余解题过程：在等边三角形ABC
(1)当t＝1秒时，S的值是多少？ (2)写出S和t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围． (3)若点F在矩形的边BC上移动，当t为何值时，以点E,B,F为顶 点的三角形与以点F,C,G为顶点的三角形相似？请说明理由．
【思路点拨】(1) S=S梯形EGCB-S△EBF-S△FCG. (2)求S和t之间的函数解析式时要分0≤t≤2和2＜t≤4来求得. (3)由于以点E,B,F为顶点的三角形与以F,C,G为顶点的三角形相 似的对应关系不明确，因此本题也要分类讨论.
(1)求原抛物线的解析式.
(2)学校举行班徽设计比赛，九年级5班的小明在解答此题时顿 生灵感：过点P′作x轴的平行线交抛物线于C，D两点，将翻折 后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型 的班徽，“5”的拼音开头字母为W，“W”图案似大鹏展翅，寓 意深远；而且小明通过计算惊奇地发现这个“W”图案的高与宽 (CD)的比非常接近黄金分割比 5 1 (约等于0.618).请你计算这
中考数学专题复习一分类讨论思想PPT课件
AC
∴AD=AC×sin 45°， 在Rt△ABD中，∠B=30°，
∴AB=2AD=2AC×sin 45°=750 2 m．
答案：750 2 m
【知识归纳】解直角三角形实际应用的两点技能 1.转化：利用直角三角形或构造直角三角形解决实际问题，一 般先把实际问题转化为数学问题，若题目中无直角三角形，需 要添加辅助线(如作三角形的高等)构造直角三角形，再利用解 直角三角形的知识求解. 2.前提：解直角三角形时结合图形分清图形中哪个三角形是直 角三角形，哪条边是角的对边、斜边、邻边，此外正确理解俯 角、仰角、坡度、坡角等名词术语是解答此类题目的前提条件.
5.一次函数:已知一次函数与坐标轴围成的三角形的面积,求k 的值,常分直线交于坐标轴正半轴和负半轴讨论;确定反比例函 数与一次函数交点个数,常分一、三象限或二、四象限两种情 况讨论. 6.圆:圆的一条弦(直径除外)对两条弧,常分优弧和劣弧两种情 况讨论;求圆中两条平行弦的距离,常分两弦在圆心的同旁和两 旁两种情况讨论;圆与圆的相切,此时要考虑分外切和内切两种 情况讨论.
4.在几何中的应用:对于几何问题,我们常通过图形,找出边、 角的数量关系,通过边、角的数量关系,得出图形的性质等.
【例2】(2013·兰州中考)已知反比例函数y1= k 的图象与
x
一次函数y2=ax+b的图象交于点A(1，4)和点B(m，－2)． (1)求这两个函数的解析式. (2)视察图象，当x>0时，直接 写出y1>y2时自变量x的取值范围. (3)如果点C与点A关于x轴对称， 求△ABC的面积．
5.(2013·十堰中考)如图,在小山的东侧A点有一个热气球,由
专题 解题有魂——领悟贯通4大数学思想 2023高考数学二轮复习课件
|技法点拨| 此题是一道典型的求离心率的题目，一般需要通过a，b，c之间的关系， 得出关于a，c的方程，经过恒等变形就可以求出离心率．
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在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知△ABC 的面积为
3 15，b－c＝2，cos A＝－14，则 a＝____8____．
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构造函数关系解决问题 在高考试题中，综合问题的比较大小、求最值等，一般均需利用构 造函数法才能完成．如何正确的构造出恰当的函数，是解决此类问题的 关键，因此充分挖掘原问题的条件与结论间的隐含关系，通过类比、联 想、抽象、概括等手段，构造出恰当的函数，在此基础上利用函数思想 和方法使原问题获解，这是函数思想解题的更高层次的体现．
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|技法点拨| 挖掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系，反客为 主，主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解， 是解题人思维品质高的表现．本题主客换位后，利用新建函数 y＝x1＋ln x 的 单调性巧妙地求出实数 k 的取值范围．此法也叫主元法．
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已知函数 f(x)＝33xx－ ＋11＋x＋sin x，若存在 x∈[－2，1]，使得 f(x2＋x)＋f(x－k) ＜0 成立，则实数 k 的取值范围是__(_－__1_，__＋__∞__)__． 解析：由题意知，函数f(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数． 又 f′(x)＝（2l3nx＋3·1）3x2＋1＋cos x＞0 在 x∈[－2，1]上恒成立，函数 f(x)在 x∈[－ 2，1]上单调递增．若存在 x∈[－2，1]，使得 f(x2＋x)＋f(x－k)＜0 成立，则 f(x2＋x)＜－f(x－k)⇒f(x2＋x)＜f(k－x)⇒x2＋x＜k－x，故问题转化为存在 x∈[－2，1]，k＞x2＋2x，即 k＞(x2＋2x)min，当 x∈[－2，1]时，y＝x2＋2x＝ (x＋1)2－1 的最小值为－1.故实数 k 的取值范围是(－1，＋∞)．
七年级 数学思想与方法专题(一)
七年级数学思想与方法专题（一）数学思想与方法是对数学事实与理论高度概括后产生的本质认识，是数学的核心与灵魂所在。
只有通过数学思想与方法的培养，我们的数学的能力才会有一个大幅度的提高。
掌握了数学思想与方法，就是掌握了数学的精髓。
数学思想主要有：数形结合思想；分类讨论思想；转化思想；方程思想；整体思想等等。
数学方法有很多，通常用到的主要有待定系数法，消元法，配方法，换元法，构造法，坐标法，面积法等等。
我们不必刻意地去区分数学思想与数学方法，而是笼统的称之为数学思想与方法。
一、数形结合思想例1． 0,0.a b a b ><<已知 ，且,,,a a b b <--用“”号把 连接起来例2. 23n 1111++++2222L 计算：例3.（1）求236x x x ++-+-的最小值 （2）求2367x x x x ++++-+-的最小值例4. 计算 1+3+57++99+L例5. 如果对于某一范围内x 的任意允许值，11219110p x x x x =-+-++-+-L 的值恒为一常数。
试写出这一范围并求出这一常数。
例 6 五个小的半圆的直径的和恰等于大的半圆的直角。
两只蚂蚁从点A 同时出发，向点B 爬去。
其中一只蚂蚁沿大弧线行进，另一只蚂蚁沿着5条小弧线行进。
已知两只蚂蚁的速度相等，两只蚂蚁哪一只首先到达？二．整体思想例1． 已知代数式3x 2－4x+6的值为9，求代数式2463x x -+的值。
例2． 已知114a b -=，求2227a ab ba b ab---+的值。
例3. 已知 200220034006x y +=200320024004x y +=求20052(1)y x y+-的值。
例4. 先化简代数式 (x-y)+(2x 1y)12-+⨯ 11(3x y)(9x y)2389-+⋯⋯+-⨯⨯, 再求当x=2,y=9时该代数式的值。
例5.已知 a=1995x+1994, b=1995x+1995,c=1995x+1996, 求下面代数式的值。
数学思想方法(一) (整体思想、转化思想、分类讨论思想)(无答案)
数学思想方法（一）（整体思想、转化思想、分类讨论思想）考点一：整体思想整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体,通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。
转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题的转机。
例2 如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为m2如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P是AB上的任意一点，作PD⊥AC 于点D，PE⊥CB于点E，连结DE，则DE的最小值为．考点三：分类讨论思想。
分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．例3 某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案，印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要．两种印刷方式的费用y（元）与印刷份数x（份）之间的关系如图所示：（1）填空：甲种收费的函数关系式是．乙种收费的函数关系式是．（2）该校某年级每次需印制100～450（含100和450）份学案，选择哪种印刷方式较合算？对应训练3．某农场的一个家电商场为了响应国家家电下乡的号召，准备用不超过105700元购进40台电脑，其中A型电脑每台进价2500元，B型电脑每台进价2800元，A型每台售价3000元，B型每台售价3200元，预计销售额不低于123200元．设A型电脑购进x台、商场的总利润为y（元）．（1）请你设计出进货方案；（2）求出总利润y（元）与购进A型电脑x（台）的函数关系式，并利用关系式说明哪种方案的利润最大，最大利润是多少元？（3）商场准备拿出（2）中的最大利润的一部分再次购进A型和B型电脑至少各两台，另一部分为地震灾区购买单价为500元的帐篷若干顶．在钱用尽三样都购买的前提下请直接写出购买A型电脑、B型电脑和帐篷的方案．四、中考真题演练一、选择题1．若a+b=3，a-b=7，则ab=（）A．-10 B．-40 C．10 D．402．已知一个圆柱的侧面展开图为如图所示的矩形，则其底面圆的面积为（）A．πB．4πC．π或4πD．2π或4π3．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC上，以AC为对角线的所有▱ADCE中，DE最小的值是（）A．2 B．3 C．4 D．54．CD是⊙O的一条弦，作直径AB，使AB⊥CD，垂足为E，若AB=10，CD=8，则BE的长是（）A．8 B．2 C．2或8 D．3或7 5．已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（）A．2cm B．4C．2cm或4D．2cm或二、填空题6．若a2−b2＝16，a−b＝13，则a+b的值为．7如图，在Rt△AOB中，，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过12．已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值= ．13．（2013•三明）如图①，AB是半圆O的直径，以OA为直径作半圆C，P是半圆C上的一个动点（P与点A，O不重合），AP的延长线交半圆O于点D，其中OA=4．（1）判断线段AP与PD的大小关系，并说明理由；（2）连接OD，当OD与半圆C相切时，求»AP的长；（3）过点D作DE⊥AB，垂足为E（如图②），设AP=x，OE=y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．。
专题一 数学思想方法问题
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杭州市第二中学模拟已知函数 y＝mx2－6x＋1(m 是常数)． 4.2011· (1)求证：不论 m 为何值，该函数的图象都经过 y 轴上的一个定点； (2)若该函数的图象与 x 轴只有一个交点，求 m 的值． 解：(1)当 x＝0 时，y＝1. 所以不论 m 为何值，函数 y＝mx2－6x＋1 的图象都经过 y 轴上的一 个定点(0,1)． (2)①当 m＝0 时，函数 y＝－6x＋1 的图象与 x 轴只有一个交点； ②当 m≠0 时，若函数 y＝mx2－6x＋1 的图象与 x 轴只有一个交点， 则方程 mx2－6x＋1＝0 有两个相等的实数根． 所以(－6)2－4m＝0，m＝9. 综上所述，若函数 y＝mx2－6x＋1 的图象与 x 轴只有一个交点，则 m 的 值为 0 或 9.
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如图，⊙O 的半径为 1，AB 是⊙O 的一条弦，且 AB＝ 3， 则弦 AB 所对圆周角的度数为( A．30° B．60° C．30° 150° 或 D．60° 120° 或 【 思 路 点 拨 】 作辅助线 → 求出AC → 求出∠AOC → 分类讨论求出弦AB所对圆周角的度数 )
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3．已知⊙O 的半径为 13 cm，弦 AB//CD，AB＝24 cm，CD＝10 cm，则 AB，CD 之间的距离为( A．17 cm B．7 cm )
C．12 cm D．17 cm 或 7 cm 解析： 分类讨论的思想方法． 如图， AB， 在圆心的同侧时， 当 CD 在 Rt△OAE 中，OE＝ OA2－AE2＝ 132－122＝5(cm)． 在 Rt△OCF 中，OF＝ OC2－CF2＝ 132－52＝12(cm)．∴EF ＝OF－OE＝12－5＝7(cm) 当 AB，CD 在圆心的异侧时，同理可求出 AB，CD 之间的距离 为 17 cm，故 AB，CD 之间的距离为 7 cm 或 17 cm. 答案：D
(完整版)高中数学思想方法专题
高中数学思想方法专题（一）——函数与方程的思想方法一、知识要点概述函数与方程的思想是中学数学的基本思想，高考数学题中函数与方程的思想占较大的比例，题型涉及选择题、填空题、解答题，难度有大有小，且试题中的大部分压轴题都与函数方程有关。
函数的思想，就是运用运动和变化的观点，集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的等量关系，建立或构造函数关系，再运用函数的图像和性质去分析问题，转化问题，从而使问题获得解决。
方程的思想，就是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型——方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使获得解决。
二、解题方法指导运用函数观点解决问题主要从以下四个方面着手：一是根据方程与函数的密切关系，可将二元方程转化为函数来解决；二是根据不等式与函数的密切关系，常将不等式问题转化为函数问题，利用函数的图象和性质进行处理；三是在解决实际问题中，常涉及到最值问题，通常是通过建立目标函数，利用求函数最值的方法加以解决；四是中学数学中的某些数学模型（如数列的通项或前n项和、含有一个未知量的二项式定理等）可转化为函数问题，利用函数相关知识或借助处理函数问题的方法进行解决。
运用方程观点解决问题主要从以下四个方面着手：一是把问题中对立的已知与未知通过建立相等关系统一在方程中，通过解方程解决；二是从分析问题的结构入手，找出主要矛盾，抓住某一个关键变量，将等式看成关于这个主变元（常称为主元）的方程，利用方程的特征解决；三是根据几个变量间的关系，判断符合哪些方程的性质和特征（如利用根与系数的关系构造方程等），通过研究方程所具有的性质和特征解决；四是在中学数学中常见数学模型（如函数、曲线等），经常转化为方程问题去解决。
三、范例剖析例1已知f(t)=log2t,t[ ，8]，对于f(t)值域内的所有实数m，不等式2x2+mx+4>2m+4x恒成立，求x的取值范围。
2024年中考数学二轮复习真题演练数学思想方法1
2024年中考数学二轮复习真题演练数学思想方法1数学是一门逻辑思维严密、抽象性强的学科，对学生的思维能力要求较高。
对于2024年中考数学二轮复习，学生需要掌握一定的数学思想方法，以便在考试中能够灵活应用，解决各类数学问题。
首先，做好基础知识的复习是数学思想方法的前提。
在复习中，要对所学的数学知识进行归纳总结，并加以理解和记忆。
中考数学主要考查初中数学的基本知识，包括数与量、代数、几何和统计等方面的内容。
通过做一些相关的练习题，可以查漏补缺，找出自己的不足之处，并针对性地进行针对性的巩固和复习。
其次，数学是一门灵活运用方法的学科，要掌握正确的解题思路和方法。
在解题过程中，可以根据题目所给的条件和要求，采用适当的数学方法和定理，进行分析和推导。
同时，还要注重理论与实际的结合，在解题时要注意提炼问题的关键信息，抓住问题的本质，灵活运用所学的数学知识进行解答。
再次，提高解题能力，培养自己的数学思维能力。
在复习过程中，要多做一些思维训练的题目，培养自己的发散思维和创新思维能力。
同时，可以参加一些数学竞赛和数学夏令营等活动，锻炼自己的解题能力和应试技巧。
此外，还需要培养良好的解题习惯。
在解题过程中，要注重整理思路，条理清晰，不仅能够提高解题的效率，还能够降低错误率。
解题时要注意用文字和符号进行逻辑推理，尽量给出详细的解题步骤和推导过程，以便更好地展示解题思路和方法。
最后，要注重总结和复习巩固。
在复习过程中，要及时总结归纳所学的数学知识和思想方法，形成自己的数学笔记和思维导图。
通过不断的复习和巩固，可以加深对数学知识的理解和掌握，提高解题能力和应试水平。
综上所述，对于2024年中考数学二轮复习，学生需要掌握一定的数学思想方法。
在复习过程中，要做好基础知识的复习，掌握正确的解题思路和方法，提高解题能力，培养良好的解题习惯，并注重总结和复习巩固。
通过努力的学习和不断的练习，相信学生一定能够取得优异的成绩。
数学思想方法专题讲解第一讲---换元法
考点一：换元法换元法：解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法，又称整体换元。
（一）直接换元（但请注意检验）：1．用换元法解方程：（1）256011x x x x ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭（2）22211122124x x x x x x +=--+-+2．解方程：()()4233340x x +-+-=3．用换元法分解因式： ()()22323416a a a a +-++-（二）间接换元1．解方程（先配方，后换元）：.2．解方程（倒数换元）： .3．解方程（变形换元）：（1）（2）()()()()1234150a a a a +++++=1)1(3)1(222=+-+x x x x 031)1(21122=-+++++x x x x 12222422=+-+-x x x x3．用换元法解方程组（双换元）：（1）36101610x y x yxy x y +-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪-=-⎪⎩（2）⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+.323,18y x y x（三）用换元法求值：（1）)2005131211)(200613121(+++++++ )200513121)(2006131211( ++++++-（2）2222009200820092007+200920092-=____________________（四）内部换元：利用题目中的某个字母或某个整体进行换元，从而简化题目。
1．已知113x y -=，求代数式2322y xy xy xy x --+-的值。
2．当1x =时，代数式37ax bx ++的值为4，求当1x =-时代数式37ax bx ++的值。
3．已知3208a x =-，3188b x =-，3168c x =-，求：代数式222a b c ab ac bc ++---的值。
4．已知2310x x -+=，求代数式的值：（1）221x x +；（2）2421x x x ++。
数学思想方法(整体思想、转化思想、分类讨论思想
数学思想方法(整体思想、转化思想、分类讨论思想专题知识突破五数学思想方法（一）（整体思想、转化思想、分类讨论思想）一、中考专题诠释数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。
数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。
数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。
抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．二、解题策略和解法精讲数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。
三、中考考点精讲考点一：整体思想整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体,通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。
整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。
例1 （2014•德州）如图，正三角形ABC的边长为2，D、E、F分别为BC、CA、AB的中点，以A、B、C三点为圆心，半径为1作圆，则圆中阴影部分的面积是．思路分析：观察发现，阴影部分的面积等于正三角形ABC的面积减去三个圆心角是60°，半径是2的扇形的面积．．考点二：转化思想转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。
在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
高三数学思想、方法、策略专题
比较法这种方法其本质就在于单独讨论“a，b”不等式难以证明时，就“a－b， “0，1”比较大小是比较法的精髓。 作差法中，对差“a－b”的变形方法通常有通分、配方（非负数） 、因式分解、二次函数的判别式等。 作商法的一般步骤是，求商 变形 判断与 1 的大小。 方法的选择：若不等式两边含有相同的项，或者作差以后能进行因式分解；能用配方法，能写成分式判断其符号， 可使用作差法。 若不等式两边是指数形式，能使分子、分母变形得到相同结果的不等式，用作商法比较容易，也就是说，凡适合 于求“商”运算，并能比较出商与 1 的大小的不等式，一般都适合于用作商法证明。 （2）综合法 综合法就是由已知出发，根据不等式性质，基本不等式等，逐步推导得到所要证明的不等式的一种方法，也就是 用因果关系书写“从已知出发”借助不等式性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证不等式得证的全过 程，其特点可描述为“执因索果” ，即从“已知”看“可知”逐步推向“未知” ，综合法证明题逻辑性很强，它要求每 步推理都要有依据。 （3）分析法 证明不等式，可以从待证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化成为判定这些充 分条件是否具备的问题，如果能断定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种证明方法叫做分析 法。 分析法是从结论入手，逆求使它成立的充分条件，直到和已知条件沟通为止，概括地说就是“从未知，看需知， 逐步靠拢已知” 。 分析法证明“若 A 则 B”的基本模式是 欲证 B 为真 只需证 B1 为真 只需证 B2 为真 ………… 只需证 A 为真， 今已知 A 为真，故 B 必真 其逻辑关系是 B B1 B2 L A （4）放缩法 且 C＞B，则 A＞B 得证。其中数学式 C 常常通过将 A 缩小或将 B 放大而构成，它的依据是不等式的传递性，这种证明方法叫做放缩法，用放缩法证明不等式，在高中数学