高中数学 平面解析几何
高中数学平面解析几何
高中数学平面解析几何平面解析几何是高中数学中的一门重要的学科，它研究平面上的几何图形和方程的关系。
下面将通过几个小节来详细介绍平面解析几何的相关概念和应用。
第一节：平面直角坐标系在平面解析几何中，我们通常使用平面直角坐标系来表示平面上的点和图形。
平面直角坐标系由两条相互垂直的坐标轴组成，分别称为x 轴和y轴。
我们可以用一个有序数对(x, y)表示平面上的一个点，其中x表示横坐标，y表示纵坐标。
第二节：平面几何图形的方程在平面解析几何中，我们通常通过方程来表示平面上的几何图形。
常见的平面几何图形包括直线、曲线、圆等。
我们以直线为例来介绍平面几何图形的方程。
1. 直线的方程在平面直角坐标系中，一条直线可以通过方程Ax + By + C = 0 来表示，其中A、B、C为实数且A、B不同时为零。
这个方程被称为直线的一般方程。
另外，还有直线的截距式方程、点斜式方程等不同形式的表示方法。
2. 曲线的方程除了直线，平面上的曲线也可以通过方程来表示。
常见的曲线包括抛物线、椭圆、双曲线等。
每种曲线都有其特定的方程形式，并且可以通过改变方程中的参数来实现曲线的平移、旋转和缩放等操作。
3. 圆的方程圆在平面解析几何中也是一个重要的概念。
在平面直角坐标系中，圆可以由圆心的坐标和半径来确定。
一个圆的方程可以写成(x-a)² + (y-b)² = r²的形式，其中(a, b)表示圆心的坐标，r表示半径的长度。
第三节：平面解析几何的应用平面解析几何不仅是一门理论学科，它也有广泛的应用。
以下是几个常见的应用场景。
1. 几何问题的求解平面解析几何提供了一种直观和简单的方法来解决几何问题。
通过使用坐标系和方程，我们可以精确地描述几何图形并进行计算，从而得到几何问题的解答。
2. 图形的变换平面解析几何也可以用来实现平面图形的变换，如平移、旋转、缩放等。
通过对坐标和方程的变化，我们可以方便地实现图形的操作和变换。
高中数学平面解析几何的应用
高中数学平面解析几何的应用数学是一门追求准确性和精确性的学科，而平面解析几何则是数学中的一个重要分支。
它通过利用坐标系统和代数方法来研究几何问题，并应用于各种实际情境中。
在高中数学课程中，学生将接触到平面解析几何的基本概念和方法，并学习如何将其运用于实际问题中。
一、平面解析几何的基本概念平面解析几何的核心概念包括点、直线和曲线。
在二维坐标系中，我们可以用有序对 (x, y) 来表示平面上的点，其中 x 表示横坐标，y 表示纵坐标。
直线可以通过一元一次方程的形式来表示，即 y = kx + b，其中 k 为斜率，b 为截距。
曲线则可以通过高次方程的形式来表示，例如二次曲线的方程为 y = ax^2 + bx + c。
这些基本概念为平面解析几何的应用打下了坚实的基础。
二、平面解析几何在几何图形的性质研究中的应用平面解析几何的方法可以应用于研究几何图形的性质。
例如，我们可以利用解析几何的方法证明平行线的性质。
假设有两条直线 L1 和L2，通过选择相应的坐标系并运用直线方程，我们可以得到 L1 和 L2的方程分别为 y = k1x + b1 和 y = k2x + b2。
若 k1 = k2，则两条直线平行。
这种方法可以推广到研究其他几何图形的性质，如垂直线、角的性质等。
三、平面解析几何在直线与曲线的交点求解中的应用求解直线与曲线的交点是平面解析几何的一个重要应用领域。
通过给定的直线和曲线方程，我们可以将直线方程代入曲线方程中，从而得到交点的坐标。
例如，假设有直线 L: y = 2x + 1 和曲线 C: y = x^2，我们可以将直线方程代入曲线方程得到 x^2 = 2x + 1。
进一步解方程可得到 x = -1 和 x = 3。
将 x 值代入直线方程可以得到相应的 y 值，从而得到交点的坐标。
四、平面解析几何在三角形和圆的性质研究中的应用平面解析几何可以应用于研究三角形和圆的性质。
例如，我们可以利用解析几何的方法证明三角形的垂心、重心和外心的性质。
高中数学平面解析几何的常见题型及解答方法
高中数学平面解析几何的常见题型及解答方法在高中数学学习中，平面解析几何是一个重要的内容，也是考试中的重点。
平面解析几何主要研究平面上的点、直线、圆等几何图形的性质和关系，通过坐标系和代数方法进行分析和解决问题。
下面我们将介绍一些常见的平面解析几何题型及解答方法，希望能给同学们提供一些帮助。
一、直线方程的求解直线方程的求解是平面解析几何中的基础内容。
常见的题型有已知直线上的两点，求直线方程；已知直线的斜率和一点，求直线方程等。
这里我们以已知直线上的两点，求直线方程为例进行说明。
例如，已知直线上的两点为A(2,3)和B(4,5)，求直线方程。
解题思路：设直线的方程为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
根据已知条件，我们可以列出方程组：3 = 2k + b5 = 4k + b解方程组，得到k和b的值，从而得到直线方程。
解题步骤：1.将方程组改写为矩阵形式：| 2 1 | | k | | 3 || 4 1 | | b | = | 5 |2.利用矩阵的逆运算，求出k和b的值。
3.将k和b的值代入直线方程y = kx + b，即可得到直线方程。
通过这个例子，我们可以看到求解直线方程的方法是通过已知条件列方程组，然后通过矩阵运算求解出未知数的值，最后将值代入直线方程得到结果。
二、直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系是平面解析几何中的一个重要内容。
常见的题型有直线与圆的切线问题、直线与圆的交点问题等。
这里我们以直线与圆的切线问题为例进行说明。
例如，已知圆的方程为x^2 + y^2 = 4，直线的方程为y = 2x - 1，求直线与圆的切点坐标。
解题思路：首先，我们需要确定直线与圆是否有交点。
当直线与圆有交点时，我们可以通过求解方程组得到交点坐标。
当直线与圆没有交点时，我们需要判断直线与圆的位置关系，进而确定是否有切点。
解题步骤：1.将直线方程代入圆的方程，得到一个关于x的二次方程。
2.求解二次方程，得到x的值。
高中数学--平面解析几何课件ppt
目录
【名师点评】 直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不 是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，
要分0，π2 与π2，π 两种情况讨论．由正切函数图象可以 看出当 α∈0，π2时，斜率 k∈[0，＋∞)；当 α＝π2时，斜 率不存在；当 α∈π2，π时，斜率 k∈(－∞，0)．
不包括垂直于 的非零截距，b 是
x 轴和 y 轴及过
直线在 y 轴上的
式
原点的直线
非零截距
Байду номын сангаас
目录
名 方程的形式
称
已知条件
局限性
一
Ax＋By＋C＝
无限制，可表
___________________
般
0(A2＋B2≠0)
A，B，C 为系数 示任何位置的
___________________
式
直线
目录
思考探究 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线是否一定可用两点式方程表示？ 提示：不一定．(1)若x1＝x2且y1≠y2，直线垂直于x轴，方程为x＝x1. (2)若x1≠x2且y1＝y2，直线垂直于y轴，方程为y＝y1. (3)若x1≠x2且y1≠y2，直线方程可用两点式表示．
目录
考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 直线的倾斜角与斜率
例1 直线 2xcosα－y－3＝0(α∈[π6，π3])的倾斜角的变化范围 是( )
A．[π6，π3]
B．[π4，π3]
C．[π4，π2]
D．[π4，23π]
目录
【解析】 直线 2xcosα－y－3＝0 的斜率为 k＝2cosα，由于 α∈[π6，π3]，所以12≤cosα≤ 23，因此 k＝2cosα∈[1， 3]． 设直线的倾斜角为 θ，则有 tanθ∈[1， 3]，由于 θ∈[0，π)， 所以 θ∈[π4，π3]，即倾斜角的变化范围是[π4，π3]．
高中数学中的平面解析几何知识点总结
高中数学中的平面解析几何知识点总结平面解析几何是高中数学的重要组成部分，它将代数与几何巧妙地结合在一起，通过建立坐标系，用代数方法研究几何图形的性质。
下面我们来详细总结一下这部分的重要知识点。
一、直线1、直线的倾斜角直线倾斜角的范围是0, π)，倾斜角α的正切值叫做直线的斜率，记为 k ＝tanα。
当倾斜角为 90°时，直线的斜率不存在。
2、直线的方程（1）点斜式：y y₁＝ k(x x₁)，其中(x₁, y₁)是直线上的一点，k 是直线的斜率。
（2）斜截式：y ＝ kx ＋ b，其中 k 是斜率，b 是直线在 y 轴上的截距。
（3）两点式：（y y₁)／（y₂ y₁) ＝（x x₁)／（x₂ x₁)，其中(x₁, y₁)，（x₂, y₂)是直线上的两点。
（4）截距式：x/a ＋ y/b ＝ 1，其中 a 是直线在 x 轴上的截距，b 是直线在 y 轴上的截距。
（5）一般式：Ax ＋ By ＋ C ＝ 0（A、B 不同时为 0）3、两条直线的位置关系（1）平行：两条直线斜率相等且截距不相等，即 k₁＝ k₂且 b₁ ≠ b₂。
（2）垂直：两条直线斜率的乘积为－1，即 k₁k₂＝－1（当一条直线斜率为 0，另一条直线斜率不存在时也垂直）。
4、点到直线的距离公式点 P(x₀, y₀)到直线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 的距离 d ＝｜Ax₀＋ By₀＋ C| ／√（A²＋ B²)二、圆1、圆的方程（1）标准方程：（x a)²＋（y b)²＝ r²，其中(a, b)是圆心坐标，r是半径。
（2）一般方程：x²＋ y²＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0（D²＋ E² 4F ＞ 0），圆心坐标为(D/2, E/2)，半径 r ＝√（D²＋ E² 4F) ／ 22、直线与圆的位置关系（1）相交：圆心到直线的距离小于半径，d ＜ r。
高中数学中的平面解析几何知识点总结
高中数学中的平面解析几何知识点总结高中数学中的平面解析几何是一个重要的知识板块，它将代数与几何巧妙地结合在一起，为我们解决几何问题提供了全新的思路和方法。
下面就让我们一起来详细梳理一下平面解析几何的相关知识点。
一、直线1、直线的方程点斜式：若直线过点\（（x_0,y_0)＼），斜率为\（k\），则直线方程为\（y y_0 ＝ k(x x_0)＼）。
斜截式：若直线斜率为\（k\），在\（y\）轴上的截距为\（b\），则直线方程为\（y ＝ kx ＋ b\）。
两点式：若直线过点\（（x_1,y_1)＼）和\（（x_2,y_2)＼），则直线方程为\（＼frac{y y_1}｛y_2 y_1} ＝＼frac{x x_1}｛x_2 x_1}＼）。
截距式：若直线在\（x\）轴、＼（y\）轴上的截距分别为\（a\）、＼（b\）（＼（a\neq 0\），＼（b\neq 0\）），则直线方程为\（＼frac{x}｛a} ＋＼frac{y}｛b} ＝ 1\）。
一般式：＼（Ax ＋ By ＋ C ＝ 0\）（＼（A\）、＼（B\）不同时为\（0\））。
2、直线的位置关系平行：两条直线\（y_1 ＝ k_1x ＋ b_1\）和\（y_2 ＝ k_2x ＋ b_2\）平行，当且仅当\（k_1 ＝ k_2\）且\（b_1 ＼neq b_2\）；对于一般式直线\（A_1x ＋ B_1y ＋ C_1 ＝ 0\）和\（A_2x ＋ B_2y ＋ C_2 ＝ 0\）平行，当且仅当\（A_1B_2 A_2B_1 ＝ 0\）且\（A_1C_2 A_2C_1 ＼neq0\）。
垂直：两条直线\（y_1 ＝ k_1x ＋ b_1\）和\（y_2 ＝ k_2x ＋ b_2\）垂直，当且仅当\（k_1k_2 ＝－1\）；对于一般式直线\（A_1x ＋ B_1y ＋ C_1 ＝ 0\）和\（A_2x ＋ B_2y ＋ C_2 ＝ 0\）垂直，当且仅当\（A_1A_2 ＋ B_1B_2 ＝ 0\）。
高中数学第八章_平面解析几何
第八章⎪⎪⎪平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l 倾斜角的取值范围是[0，π)． 2．斜率公式(1)直线l 的倾斜角为α(α≠π2)，则斜率k ＝tan_α.(2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 3．直线方程的五种形式名称 几何条件 方程 适用范围 斜截式 纵截距、斜率 y ＝kx ＋b 与x 轴不垂直的直线 点斜式 过一点、斜率y －y 0＝k (x －x 0) 两点式过两点y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1与两坐标轴均不垂直的直线截距式 纵、横截距x a ＋y b＝1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)所有直线若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y22，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式．[小题体验]1．设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l 1，则直线l 1的倾斜角为( )A ．α＋45°B ．α－135°C ．135°－αD ．α＋45°或α－135°解析：选D 由倾斜角的取值范围知，只有当0°≤α＋45°＜180°，即0°≤α＜135°时，l 1的倾斜角才是α＋45°.而0°≤α＜180°，所以当135°≤α＜180°时，l 1的倾斜角为α－135°，故选D.2．下列说法中正确的是( )A.y －y 1x －x 1＝k 表示过点P 1(x 1，y 1)，且斜率为k 的直线方程 B ．直线y ＝kx ＋b 与y 轴交于一点B (0，b )，其中截距b ＝|OB | C ．在x 轴和y 轴上的截距分别为a 与b 的直线方程是x a ＋yb ＝1D ．方程(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)表示过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线解析：选D 对于A ，直线不包括点P 1，故A 不正确；对于B ，截距不是距离，是B 点的纵坐标，其值可正可负，故B 不正确；对于C ，经过原点的直线在两坐标轴上的截距都是0，不能表示为x a ＋yb ＝1，故C 不正确；对于D ，此方程为直线两点式方程的变形，故D 正确．故选D.3．(2018·嘉兴检测)直线l 1：x ＋y ＋2＝0在x 轴上的截距为________；若将l 1绕它与y 轴的交点顺时针旋转90°，则所得到的直线l 2的方程为________________．解析：对于直线l 1：x ＋y ＋2＝0，令y ＝0，得x ＝－2，即直线l 1在x 轴上的截距为－2；令x ＝0，得y ＝－2，即l 1与y 轴的交点为(0，－2)，直线l 1的倾斜角为135°，∴直线l 2的倾斜角为135°－90°＝45°，∴l 2的斜率为1，故l 2的方程为y ＝x －2，即x －y －2＝0.答案：－2 x －y －2＝01．点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x 轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x ，y 轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．2．截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．3．求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论． [小题纠偏]1．直线x cos α＋3y ＋2＝0的倾斜角的范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π6，π2∪⎣⎡⎦⎤π2，5π6 B.⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎭⎫5π6，π C.⎣⎡⎦⎤0，5π6 D.⎣⎡⎦⎤π6，5π6解析：选B 设直线的倾斜角为θ，则tan θ＝－33cos α， 又cos α∈[－1,1]，所以－33≤tan θ≤33， 又0≤θ＜π，且y ＝tan θ在⎣⎡⎭⎫0，π2和⎝⎛⎭⎫π2，π上均为增函数，故θ∈⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎭⎫5π6，π.故选B. 2．过点(5,10)，且到原点的距离为5的直线方程是________． 解析：当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0满足题意； 当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋10－5k ＝0.由距离公式，得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0. 答案：x －5＝0或3x －4y ＋25＝0考点一 直线的倾斜角与斜率(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．若直线l 经过A (2,1)，B (1，－m 2)(m ∈R )两点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎝⎛⎭⎫π2，π C.⎣⎡⎭⎫π4，π2D.⎝⎛⎦⎤π2，3π4解析：选C 因为直线l 的斜率k ＝tan α＝1＋m 22－1＝m 2＋1≥1，所以π4≤α＜π2.故倾斜角α的取值范围是⎣⎡⎭⎫π4，π2.2．经过P (0，－1)作直线l ，若直线l 与连接A (1，－2)，B (2,1)的线段总有公共点，则直线l 的斜率k 和倾斜角α的取值范围分别为________，________.解析：如图所示，结合图形，若l 与线段AB 总有公共点，则k PA ≤k ≤k PB ，而k PB ＞0，k PA ＜0，故k ＜0时，倾斜角α为钝角，k ＝0时，α＝0，k＞0时，α为锐角．又k PA ＝－2－(－1)1－0＝－1，k PB ＝1－(－1)2－0＝1，∴－1≤k ≤1.又当0≤k ≤1时，0≤α≤π4；当－1≤k ＜0时，3π4≤α＜π.故倾斜角α的取值范围为α∈⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 答案：[－1,1] ⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π3．若A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)三点共线，求1a ＋1b 的值． 解：∵k AB ＝0－2a －2＝－2a －2，k AC ＝b －20－2＝－b －22，且A ，B ，C 三点共线，∴k AB ＝k AC ，即－2a －2＝－b －22，整理得ab ＝2(a ＋b )，将该等式两边同除以2ab 得1a ＋1b ＝12.[谨记通法]1．倾斜角与斜率的关系当α∈⎣⎡⎭⎫0，π2且由0增大到π2⎝⎛⎭⎫α≠π2时，k 的值由0增大到＋∞. 当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，k 也是关于α的单调函数，当α在此区间内由π2⎝⎛⎭⎫α≠π2增大到π(α≠π)时，k 的值由－∞趋近于0(k ≠0)．2．斜率的3种求法(1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k ＝tan α求斜率．(2)公式法：若已知直线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，一般根据斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求斜率．(3)方程法：若已知直线的方程为Ax ＋By ＋C ＝0(B ≠0)，则l 的斜率k ＝－AB .考点二 直线的方程(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]求适合下列条件的直线方程：(1)经过点(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点(－1，－3)，倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍； (3)经过点(3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 解：(1)设直线方程在x ，y 轴上的截距均为a ， 若a ＝0，即直线方程过点(0,0)和(4,1)， ∴直线方程为y ＝14x ，即x －4y ＝0；若a ≠0，则设直线方程为x a ＋ya ＝1， ∵直线方程过点(4,1)，∴4a ＋1a ＝1， 解得a ＝5，∴直线方程为x ＋y －5＝0.综上可知，所求直线的方程为x －4y ＝0或x ＋y －5＝0.(2)由已知，设直线y ＝3x 的倾斜角为α ，则所求直线的倾斜角为2α. ∵tan α＝3，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－34.又直线经过点(－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.(3)由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点(3,4)，由点斜式得y －4＝±(x －3)． 即所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0.[由题悟法]求直线方程的2个注意点(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)．[即时应用]求适合下列条件的直线方程：(1)经过点A (－3，3)，且倾斜角为直线3x ＋y ＋1＝0的倾斜角的一半的直线方程为________． (2)过点(2,1)且在x 轴上的截距与在y 轴上的截距之和为6的直线方程为________． 解析：(1)由3x ＋y ＋1＝0，得此直线的斜率为－3， 所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°， 所以所求直线的斜率为 3. 又直线过点A (－3，3)，所以所求直线方程为y －3＝3(x ＋3)， 即3x －y ＋6＝0.(2)由题意可设直线方程为x a ＋yb ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，2a ＋1b ＝1，解得a ＝b ＝3，或a ＝4，b ＝2.故所求直线方程为x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0. 答案：(1)3x －y ＋6＝0 (2)x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0 考点三 直线方程的综合应用(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]直线方程的综合应用是常考内容之一，它常与函数、导数、不等式、圆相结合，命题多为客观题． 常见的命题角度有：(1)与基本不等式相结合的最值问题； (2)与导数的几何意义相结合的问题； (3)由直线方程解决参数问题．[题点全练]角度一：与基本不等式相结合的最值问题1．过点P (2,1)作直线l ，与x 轴和y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，求： (1)△AOB 面积的最小值及此时直线l 的方程；(2)直线l 在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l 的方程； (3)|PA |·|PB |的最小值及此时直线l 的方程． 解：(1)设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)， 则可得A ⎝⎛⎭⎫2－1k ，0，B (0,1－2k )． ∵直线l 与x 轴，y 轴正半轴分别交于A ，B 两点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2k －1k ＞0，1－2k ＞0，得k ＜0. ∴S △AOB ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎝⎛⎭⎫2－1k ·(1－2k )＝12⎝⎛⎭⎫4－1k－4k ≥12⎣⎡⎦⎤4＋2 ⎝⎛⎭⎫－1k ·(－4k ) ＝4，当且仅当－1k＝－4k ，即k ＝－12时，△AOB 的面积有最小值4，此时直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.(2)∵A ⎝⎛⎭⎫2－1k ，0，B (0,1－2k )(k ＜0)， ∴截距之和为2－1k ＋1－2k ＝3－2k －1k ≥3＋2(－2k )·⎝⎛⎭⎫－1k ＝3＋22，当且仅当－2k ＝－1k，即k ＝－22时等号成立． 故截距之和的最小值为3＋22， 此时直线l 的方程为y －1＝－22(x －2)， 即x ＋2y －2－2＝0.(3)∵A ⎝⎛⎭⎫2－1k ，0，B (0,1－2k )(k ＜0)， ∴|PA |·|PB |＝1k 2＋1·4＋4k 2＝2⎣⎡⎦⎤1－k ＋(－k )≥4， 当且仅当－k ＝－1k ， 即k ＝－1时上式等号成立．故|PA |·|PB |的最小值为4，此时直线l 的方程为y －1＝－(x －2)，即x ＋y －3＝0. 角度二：与导数的几何意义相结合的问题2．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤－1，－12 B.[]－1，0 C ．[0,1]D.⎣⎡⎦⎤12，1解析：选A 由题意知y ′＝2x ＋2，设P (x 0，y 0)， 则k ＝2x 0＋2.因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，所以0≤k ≤1，即0≤2x 0＋2≤1，故－1≤x 0≤－12. 角度三：由直线方程解决参数问题3．已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a 的值．解：由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1在y 轴上的截距为2－a ，直线l 2在x 轴上的截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×(2－a )×2＋12×(a 2＋2)×2＝a 2－a ＋4＝⎝⎛⎭⎫a －122＋154，当a ＝12时，四边形的面积最小，故a ＝12.[通法在握]处理直线方程综合应用的2大策略(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．[演练冲关]1．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |·|PB |的最大值是________．解析：易求定点A (0,0)，B (1,3)．当P 与A 和B 均不重合时，因为P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，且易知两直线垂直，则PA ⊥PB ，所以|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝5(当且仅当|PA |＝|PB |＝5时，等号成立)，当P 与A 或B 重合时，|PA |·|PB |＝0，故|PA |·|PB |的最大值是5.答案：52．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)． (2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k ≥0，故k 的取值范围为[)0，＋∞.(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2kk ，在y 轴上的截距为1＋2k ， ∴A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．又－1＋2kk ＜0且1＋2k ＞0，∴k ＞0.故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k ×(1＋2k )＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4， 当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·金华一中模拟)直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎣⎡⎭⎫3π4，πC.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫π2，π D.⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π解析：选B 由直线方程可知斜率k ＝－1a 2＋1，设倾斜角为α，则tan α＝－1a 2＋1，而－1≤－1a 2＋1＜0，∴－1≤tan α＜0，又∵α∈[0，π)，∴3π4≤α＜π，故选B. 2．直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A ．[0，π) B.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎦⎤0，π4 D.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫π2，π 解析：选B 设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α，其中sin α∈[－1,1]．又θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ＜π. 3．(2018·湖州质检)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段P Q 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13B ．－13C ．－32D.23解析：选B 依题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得a ＝－5，b ＝－3，从而可得直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.4.如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( ) A ．k 1＜k 2＜k 3 B ．k 3＜k 1＜k 2 C ．k 3＜k 2＜k 1 D ．k 1＜k 3＜k 2解析：选D 直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2＞α3，所以0＜k 3＜k 2，因此k 1＜k 3＜k 2，故选D.5．(2018·豫西五校联考)曲线y ＝x 3－x ＋5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为________． 解析：设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为θ(θ∈[0，π))， 因为y ′＝3x 2－1≥－1，所以tan θ≥－1， 结合正切函数的图象可知， θ的取值范围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 答案：⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π 二保高考，全练题型做到高考达标1．已知A (－1,1)，B (3,1)，C (1,3)，则△ABC 的BC 边上的高所在直线方程为( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x －y ＋2＝0 C ．x ＋y ＋2＝0D ．x －y ＝0解析：选B 因为B (3,1)，C (1,3)， 所以k BC ＝3－11－3＝－1，故BC 边上的高所在直线的斜率k ＝1，又高线经过点A ，所以其直线方程为x －y ＋2＝0.2．已知直线l 的斜率为3，在y 轴上的截距为另一条直线x －2y －4＝0的斜率的倒数，则直线l 的方程为( )A ．y ＝3x ＋2B ．y ＝3x －2C ．y ＝3x ＋12D ．y ＝－3x ＋2 解析：选A ∵直线x －2y －4＝0的斜率为12，∴直线l 在y 轴上的截距为2， ∴直线l 的方程为y ＝3x ＋2，故选A.3．(2018·温州五校联考)在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0的图象可能是( )解析：选B 当a ＞0，b ＞0时，－a ＜0，－b ＜0，选项B 符合．4．若直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( ) A ．[－2,2] B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) C ．[－2,0)∪(0,2]D ．(－∞，＋∞)解析：选C 令x ＝0，得y ＝b 2，令y ＝0，得x ＝－b ，所以所求三角形面积为12⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，且b ≠0，因为14b 2≤1，所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2,0)∪(0,2]．5．函数y ＝a 1－x (a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在mx ＋ny －1＝0(mn ＞0)上，则1m ＋1n 的最小值为( )A ．2B ．4C ．8D ．1解析：选B ∵函数y ＝a 1－x (a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A (1,1)． ∴把A (1,1)代入直线方程得m ＋n ＝1(mn ＞0)． ∴1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n (m ＋n )＝2＋n m ＋m n ≥2＋2 n m ·m n ＝4(当且仅当m ＝n ＝12时取等号)， ∴1m ＋1n的最小值为4. 6．(2018·温州调研)已知三角形的三个顶点为A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为________．解析：∵BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫32，－12，∴BC 边上中线所在直线方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即x ＋13y ＋5＝0. 答案：x ＋13y ＋5＝07．若直线ax ＋y ＋3a －1＝0恒过定点M ，则直线2x ＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为________________．解析：由ax ＋y ＋3a －1＝0，可得a (x ＋3)＋(y －1)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝0，y －1＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝1，∴M (－3,1)，M 不在直线2x ＋3y －6＝0上，设直线2x ＋3y －6＝0关于M 点对称的直线方程为2x ＋3y ＋c ＝0(c ≠－6)，则|－6＋3－6|4＋9＝|－6＋3＋c |4＋9，解得c ＝12或c ＝－6(舍去)，∴所求直线方程为2x ＋3y ＋12＝0.答案：2x ＋3y ＋12＝08．若圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a ＞0，b ＞0)对称，则1a ＋3b 的最小值是________．解析：由圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0知其标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9， ∵圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0关于直线ax －by ＋3＝0(a ＞0，b ＞0)对称， ∴该直线经过圆心(－1,3)，即－a －3b ＋3＝0， ∴a ＋3b ＝3(a ＞0，b ＞0)． ∴1a ＋3b ＝13(a ＋3b )⎝⎛⎭⎫1a ＋3b ＝13⎝⎛⎭⎫1＋3a b ＋3b a ＋9≥13⎝⎛⎭⎫10＋23a b ·3b a ＝163， 当且仅当3b a ＝3ab ，即a ＝b 时取等号． 故1a ＋3b 的最小值是163.答案：1639．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程： (1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3k ＋4， 由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.10.如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)的直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，求直线AB 的方程．解：由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2，由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)． 又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32，所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)，即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．已知曲线y ＝1e x＋1，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________． 解析：y ′＝－e x(e x ＋1)2＝－1e x＋1ex ＋2， 因为e x ＞0，所以e x ＋1ex ≥2e x ·1e x ＝2(当且仅当e x ＝1e x ，即x ＝0时取等号)，所以e x ＋1ex ＋2≥4， 故y ′＝－1e x ＋1ex ＋2≥－14(当且仅当x ＝0时取等号)．所以当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为⎝⎛⎭⎫0，12，切线的方程为y －12＝－14(x －0)，即x ＋4y －2＝0.该切线在x 轴上的截距为2，在y 轴上的截距为12，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×2×12＝12.答案：122.已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，当△ABO 的面积取最小值时，求直线l 的方程．解：法一：设A (a,0)，B (0，b )(a ＞0，b ＞0)， 则直线l 的方程为x a ＋yb ＝1. 因为l 过点P (3,2)，所以3a ＋2b ＝1. 因为1＝3a ＋2b ≥26ab ，整理得ab ≥24，所以S △ABO ＝12ab ≥12，当且仅当3a ＝2b ，即a ＝6，b ＝4时取等号． 此时直线l 的方程是x 6＋y4＝1，即2x ＋3y －12＝0.法二：依题意知，直线l 的斜率k 存在且k ＜0， 可设直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k ＜0)， 则A ⎝⎛⎭⎫3－2k ，0，B (0,2－3k )， S △ABO ＝12(2－3k )⎝⎛⎭⎫3－2k ＝12⎣⎡⎦⎤12＋(－9k )＋4－k ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2 (－9k )·4－k＝12×(12＋12)＝12， 当且仅当－9k ＝4－k ，即k ＝－23时，等号成立．所以所求直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0.第二节两条直线的位置关系1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行：①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. ②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直：①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在，设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. ②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2.2．两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解．3．三种距离公式P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点之间的距离|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间距离 d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 21．(2018·金华四校联考)直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m ＝( ) A ．2 B ．－3 C ．2或－3D ．－2或－3解析：选C ∵直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，∴2m ＝m ＋13≠4－2，解得m ＝2或－3.2．“a ＝14”是“直线(a ＋1)x ＋3ay ＋1＝0与直线(a －1)x ＋(a ＋1)y －3＝0相互垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由直线(a ＋1)x ＋3ay ＋1＝0与直线(a －1)x ＋(a ＋1)y －3＝0相互垂直，得(a ＋1)(a －1)＋3a (a ＋1)＝0，即4a 2＋3a －1＝0，解得a ＝14或－1，∴“a ＝14”是“直线(a ＋1)x ＋3ay ＋1＝0与直线(a －1)x ＋(a＋1)y －3＝0相互垂直”的充分不必要条件，故选A.3．(2018·浙江五校联考)已知动点P 的坐标为(x,1－x )，x ∈R ，则动点P 的轨迹方程为________，它到原点距离的最小值为________．解析：设点P 的坐标为(x ，y )，则y ＝1－x ，即动点P 的轨迹方程为x ＋y －1＝0.原点到直线x ＋y －1＝0的距离为d ＝|0＋0－1|1＋1＝22，即为所求原点到动点P 的轨迹的最小值．答案：x ＋y －1＝0221．在判断两条直线的位置关系时，易忽视斜率是否存在，两条直线都有斜率可根据条件进行判断，若无斜率，要单独考虑．2．运用两平行直线间的距离公式时易忽视两方程中的x ，y 的系数分别相等这一条件盲目套用公式导致出错．1．已知P ：直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行，Q ：a ＝－1，则P 是Q 的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由于直线l 1：x －y －1＝0与直线l 2：x ＋ay －2＝0平行的充要条件是1×a －(－1)×1＝0，即a ＝－1.所以P 是Q 的充要条件．2．(2018·安庆模拟)若直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，则m ＝( ) A ．7B.172C ．14D ．17解析：选B 直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)，即2x ＋6y ＋2m ＝0，因为它与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，所以|2m ＋3|4＋36＝10，解得m ＝172.考点一 两条直线的位置关系(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．已知a ≠0，直线ax ＋(b ＋2)y ＋4＝0与直线ax ＋(b －2)y －3＝0互相垂直，则ab 的最大值为( ) A ．0 B ．2 C ．4D. 2解析：选B 若b ＝2，两直线方程分别为y ＝－a 4x －1和x ＝3a ，此时两直线相交但不垂直．若b ＝－2，两直线方程分别为x ＝－4a 和y ＝a 4x －34，此时两直线相交但不垂直．若b ≠±2，两直线方程分别为y ＝－a b ＋2x －4b ＋2和y ＝－a b －2x ＋3b －2，此时两直线的斜率分别为－a b ＋2，－a b －2，由－a b ＋2·⎝⎛⎭⎫－a b －2＝－1，得a 2＋b 2＝4.因为a 2＋b 2＝4≥2ab ，所以ab ≤2，且当a ＝b ＝2或a ＝b ＝－2时取等号，故ab 的最大值为2.2．(2018·诸暨模拟)已知a ，b 为正数，且直线ax ＋by －6＝0与直线2x ＋(b －3)y ＋5＝0平行，则2a ＋3b 的最小值为________．解析：由两直线平行可得，a (b －3)＝2b ，即2b ＋3a ＝ab ，2a ＋3b ＝1.又a ，b 为正数，所以2a ＋3b ＝(2a＋3b )·⎝⎛⎭⎫2a ＋3b ＝13＋6a b ＋6b a≥13＋2 6a b ·6ba ＝25，当且仅当a ＝b ＝5时取等号，故2a ＋3b 的最小值为25.答案：253．已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，试确定m ，n 的值，使 (1)l 1与l 2相交于点P (m ，－1)；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8＋n ＝0，2m －m －1＝0，解得m ＝1，n ＝7.即m ＝1，n ＝7时，l 1与l 2相交于点P (m ，－1)．(2)∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－16＝0，－m －2n ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝4，n ≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2.即m ＝4，n ≠－2或m ＝－4，n ≠2时，l 1∥l 2. (3)当且仅当2m ＋8m ＝0， 即m ＝0时，l 1⊥l 2. 又－n8＝－1，∴n ＝8.即m ＝0，n ＝8时，l 1⊥l 2， 且l 1在y 轴上的截距为－1.[谨记通法]1．已知两直线的斜率存在，判断两直线平行垂直的方法 (1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等； (2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1.[提醒] 当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的情况． 2．由一般式确定两直线位置关系的方法[提醒] 在判断两直线位置关系时，比例式A 1A 2与B 1B 2，C 1C 2的关系容易记住，在解答选择、填空题时，建议多用比例式来解答．考点二 距离问题(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．(2018·衢州模拟)若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( ) A.2 B.823 C. 3D.833解析：选B 因为l 1∥l 2，所以1a －2＝a 3≠62a，解得a ＝－1，所以l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，所以l 1与l 2之间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪6－232＝823.2．直线3x ＋4y －3＝0上一点P 与点Q (2，－2)的连线的最小值是________． 解析：∵点Q 到直线的距离即为P ，Q 两点连线的最小值， ∴|P Q |min ＝|3×2＋4×(－2)－3|32＋42＝1.答案：13．若直线l 过点P (－1,2)且到点A (2,3)和点B (－4,5)的距离相等，则直线l 的方程为________． 解析：法一：当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0. 由题意知|2k －3＋k ＋2|k 2＋1＝|－4k －5＋k ＋2|k 2＋1，即|3k －1|＝|－3k －3|，∴k ＝－13.∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1，也符合题意． 故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1. 法二：当AB ∥l 时，有k ＝k AB ＝－13，∴直线l 的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当l 过AB 中点时，AB 的中点为(－1,4)． ∴直线l 的方程为x ＝－1.故所求直线l 的方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1. 答案：x ＋3y －5＝0或x ＝－1[由题悟法]处理距离问题的2大策略(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．(2)动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而使计算简便．[即时应用]1．已知P 是直线2x －3y ＋6＝0上一点，O 为坐标原点，且点A 的坐标为(－1,1)，若|PO |＝|PA |，则P点的坐标为________．解析：法一：设P (a ，b )，则⎩⎨⎧2a －3b ＋6＝0，a 2＋b 2＝(a ＋1)2＋(b －1)2，解得a ＝3，b ＝4.∴P 点的坐标为(3,4)． 法二：线段OA 的中垂线方程为x －y ＋1＝0，则由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －3y ＋6＝0，x －y ＋1＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4，则P 点的坐标为(3,4)．答案：(3,4)2．已知直线l ：ax ＋y －1＝0和点A (1,2)，B (3,6)．若点A ，B 到直线l 的距离相等，则实数a 的值为________． 解析：法一：要使点A ，B 到直线l 的距离相等， 则AB ∥l ，或A ，B 的中点(2,4)在直线l 上． 所以－a ＝6－23－1＝2或2a ＋4－1＝0， 解得a ＝－2或－32.法二：要使点A ，B 到直线l 的距离相等， 则|a ＋1|a 2＋1＝|3a ＋5|a 2＋1，解得a ＝－2或－32.答案：－2或－32考点三 对称问题(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型． 常见的命题角度有： (1)点关于点对称； (2)点关于线对称； (3)线关于线对称．[题点全练]角度一：点关于点对称1．过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________________．解析：设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，把B 点坐标代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上， 所以由两点式得直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 答案：x ＋4y －4＝02．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，则直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程为________．解析：法一：在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如M (1,1)，N (4，3)， 则M ，N 关于点A 的对称点M ′，N ′均在直线l ′上．易知M ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)，由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0.法二：设P (x ，y )为l ′上任意一点，则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为P ′(－2－x ，－4－y )， ∵P ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0， 即2x －3y －9＝0. 答案：2x －3y －9＝0 角度二：点关于线对称3．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程．解：(1)设A ′(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413.∴A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1.解得M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0.得N (4,3)．又∵m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. 角度三：线关于线对称4．直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是( ) A ．x －2y ＋3＝0 B ．x －2y －3＝0 C ．x ＋2y ＋1＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选A 设所求直线上任意一点P (x ，y )，则P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0，x －x 0＝－(y －y 0)，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y －2，y 0＝x ＋2，由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， ∴2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0， 即x －2y ＋3＝0.[通法在握]1．中心对称问题的2个类型及求解方法 (1)点关于点对称：若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1，进而求解．(2)直线关于点的对称，主要求解方法是：①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 2．轴对称问题的2个类型及求解方法 (1)点关于直线的对称：若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＋B ⎝⎛⎭⎫y 1＋y 22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1·⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2)． (2)直线关于直线的对称：一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．[演练冲关]1．已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C 的坐标为( )A ．(－2,4)B ．(－2，－4)C ．(2,4)D ．(2，－4)解析：选C 设A (－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧y －2x ＋4×2＝－1，y ＋22＝2×－4＋x2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，∴BC 所在直线的方程为y －1＝－2－14－3(x －3)，即3x ＋y －10＝0.同理可得点B (3,1)关于直线y ＝2x 的对称点为(－1,3)，∴AC 所在直线的方程为y －2＝3－2－1－(－4)(x ＋4)，即x －3y ＋10＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －10＝0，x －3y ＋10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，可得C (2,4)． 2．已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．解析：设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′， 所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －(－3)·1＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0. 答案：6x －y －6＝03．已知△ABC 中，顶点A (4,5)，点B 在直线l ：2x －y ＋2＝0上，点C 在x 轴上，求△ABC 周长的最小值．解：设点A 关于直线l ：2x －y ＋2＝0的对称点为A 1(x 1，y 1)，点A 关于x 轴的对称点为A 2(x 2，y 2)，连接A 1A 2交l 于点B ，交x 轴于点C ，则此时△ABC 的周长取最小值，且最小值为||A 1A 2.∵A 1与A 关于直线l ：2x －y ＋2＝0对称， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1－5x 1－4×2＝－1，2×x 1＋42－y 1＋52＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝7.∴A 1(0,7)．易求得A 2(4，－5)，∴△ABC 周长的最小值为||A 1A 2＝(4－0)2＋(－5－7)2＝410.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·浙江名校协作体联考)“a ＝－1”是“直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 因为直线ax ＋3y ＋3＝0和直线x ＋(a －2)y ＋1＝0平行的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a (a －2)＝3×1，a ×1≠3×1，解得a ＝－1，故选C.2．(2018·丽水调研)已知直线l 1过点(－2,0)且倾斜角为30°，直线l 2过点(2,0)且与直线l 1垂直，则直线l 1与直线l 2的交点坐标为( )A ．(3，3)B ．(2，3)C ．(1，3)D.⎝⎛⎭⎫1，32 解析：选C 直线l 1的斜率为k 1＝tan 30°＝33，因为直线l 2与直线l 1垂直，所以k 2＝－1k 1＝－3，所以直线l 1的方程为y ＝33(x ＋2)，直线l 2的方程为y ＝－3(x －2)．两式联立，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝3，即直线l 1与直线l 2的交点坐标为(1，3)．3．(2018·诸暨期初)已知点A (7，－4)关于直线l 的对称点为B (－5,6)，则该对称直线l 的方程为( ) A ．6x ＋5y －1＝0 B ．5x ＋6y ＋1＝0 C ．5x －6y －1＝0D ．6x －5y －1＝0解析：选D 由题可得，直线l 是线段AB 的垂直平分线．因为A (7，－4)，B (－5,6)，所以k AB ＝6＋4－5－7＝－56，所以k l ＝65.又因为A (7，－4)，B (－5,6)的中点坐标为(1,1)．所以直线l 的方程为y －1＝65(x －1)，即6x －5y －1＝0.4．已知点P (4，a )到直线4x －3y －1＝0的距离不大于3，则a 的取值范围是________．解析：由题意得，点P 到直线的距离为|4×4－3×a －1|5＝|15－3a |5.因为|15－3a |5≤3，即|15－3a |≤15，解得0≤a ≤10，所以a 的取值范围是[0,10]．答案：[0,10]5．若两平行直线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313，则c 的值是________．解析：依题意知，63＝a －2≠c －1，解得a ＝－4，c ≠－2，即直线6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c2＝0，又两平行直线之间的距离为21313， 所以⎪⎪⎪⎪c 2＋132＋(－2)2＝21313，解得c ＝2或－6.答案：2或－6二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·舟山调研)在直角坐标平面内，过定点P 的直线l ：ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线m ：x －ay ＋3＝0相交于点M ，则|MP |2＋|M Q |2的值为( )A.102B.10C ．5D ．10解析：选D 由题意知P (0,1)，Q (－3,0)，∵过定点P 的直线ax ＋y －1＝0与过定点Q 的直线x －ay ＋3＝0垂直， ∴M 位于以P Q 为直径的圆上， ∵|P Q |＝9＋1＝10， ∴|MP |2＋|M Q |2＝|P Q |2＝10.2．(2018·慈溪模拟)曲线y ＝2x －x 3在x ＝－1处的切线为l ，则点P (3,2)到直线l 的距离为( ) A.722B.922C.1122D.91010解析：选A 由题可得，切点坐标为(－1，－1)．y ′＝2－3x 2，由导数的几何意义可知，该切线的斜率为k ＝2－3＝－1，所以切线的方程为x ＋y ＋2＝0.所以点P (3,2)到直线l 的距离为d ＝|3＋2＋2|12＋12＝722.3．(2018·绵阳模拟)若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|P Q |的最小值为( )A.95 B.185 C.2910D.295解析：选C 因为36＝48≠－125，所以两直线平行，由题意可知|P Q |的最小值为这两条平行直线间的距离， 即|－24－5|62＋82＝2910， 所以|P Q |的最小值为2910.4．(2018·厦门模拟)将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n 等于( )A.345B.365C.283D.323解析：选A 由题意可知，纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，则⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎨⎧m ＝35，n ＝315，故m ＋n ＝345.5．(2018·钦州期中)已知直线l 的方程为f (x ，y )＝0，P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)分别为直线l 上和l 外的点，则方程f (x ，y )－f (x 1，y 1)－f (x 2，y 2)＝0表示( )A ．过点P 1且与l 垂直的直线B ．与l 重合的直线C ．过点P 2且与l 平行的直线D ．不过点P 2，但与l 平行的直线解析：选C 由直线l 的方程为f (x ，y )＝0，知方程f (x ，y )－f (x 1，y 1)－f (x 2，y 2)＝0表示与l 平行的直线，P 1(x 1，y 1)为直线l 上的点，则f (x 1，y 1)＝0，f (x ，y )－f (x 1，y 1)－f (x 2，y 2)＝0化为f (x ，y )－f (x 2，y 2)＝0，显然P 2(x 2，y 2)满足方程f (x ，y )－f (x 1，y 1)－f (x 2，y 2)＝0，所以f (x ，y )－f (x 1，y 1)－f (x 2，y 2)＝0表示过点P 2且与l 平行的直线．故选C.6．已知三角形的一个顶点A (4，－1)，它的两条角平分线所在直线的方程分别为l 1：x －y －1＝0和l 2：x －1＝0，则BC 边所在直线的方程为________________．解析：A 不在这两条角平分线上，因此l 1，l 2是另两个角的角平分线．点A 关于直线l 1的对称点A 1，点A 关于直线l 2的对称点A 2均在边BC 所在直线l 上．设A 1(x 1，y 1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋1x 1－4×1＝－1，x 1＋42－y 1－12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝3，所以A 1(0,3)．同理设A 2(x 2，y 2)，易求得A 2(－2，－1)． 所以BC 边所在直线方程为2x －y ＋3＝0. 答案：2x －y ＋3＝07．(2018·余姚检测)已知直线l 过点P (3,4)且与点A (－2,2)，B (4，－2)等距离，则直线l 的方程为________． 解析：显然直线l 的斜率不存在时，不满足题意；设所求直线方程为y －4＝k (x －3)， 即kx －y ＋4－3k ＝0，由已知，得|－2k －2＋4－3k |1＋k 2＝|4k ＋2＋4－3k |1＋k 2，∴k ＝2或k ＝－23.∴所求直线l 的方程为2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝0. 答案：2x －y －2＝0或2x ＋3y －18＝08.如图所示，已知两点A (4,0)，B (0,4)，从点P (2,0)射出的光线经直线AB 反射后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程为________．解析：易得AB 所在的直线方程为x ＋y ＝4，由于点P 关于直线AB 对称的点为A 1(4,2)，点P 关于y 轴对称的点为A 2(－2,0)，则光线所经过的路程即A 1与A 2两点间的距离．于是|A 1A 2|＝(4＋2)2＋(2－0)2＝210.答案：2109．(2018·绍兴一中检测)两平行直线l 1，l 2分别过点P (－1,3)，Q (2，－1)，它们分别绕P ，Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间的距离的取值范围是________．解析：∵l 1∥l 2，且P ∈l 1，Q ∈l 2，∴l 1，l 2间的最大距离为|P Q |＝[2－(－1)]2＋(－1－3)2＝5，又l 1与l 2不重合，∴l 1，l 2之间距离的取值范围是(0,5]．答案：(0,5]10．已知△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程．解：依题意知：k AC ＝－2，A (5,1)， ∴l AC 的方程为2x ＋y －11＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，得C (4,3)．设B (x 0，y 0)，则AB 的中点M ⎝⎛⎭⎫x 0＋52，y 0＋12， 代入2x －y －5＝0， 得2x 0－y 0－1＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，得B (－1，－3)，∴k BC ＝65，∴直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)，即6x －5y －9＝0.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知线段AB 的两个端点A (0，－3)，B (3,0)，且直线y ＝2λx ＋λ＋2与线段AB 总相交，则实数λ的。
高中数学必修二平面解析几何
高中数学必修二平面解析几何
本文从知识点梳理、圆的方程、两个经典的解题和圆的方程的解释过程三个方面，分享了高中数学必修课《二平面解析几何》中圆的方程的介绍。
一、知识梳理
1．圆的定义及方程
2.点与圆的位置关系
二、平面解析几何——圆的方程两个易误点
三、经典考题
1、求圆的方程
(1)(2016·高考天津卷)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________．
(2)(2016·高考浙江卷)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x ＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是
________．
解题方法：求圆的方程的两种方法
2、与圆有关的最值问题
已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
(1)求的最大值和最小值；
(2)求y－x的最大值和最小值．
与圆有关的最值问题解题方法
3、与圆有关的轨迹问题
(2015·高考广东卷节选)已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B．
(1)求圆C1的圆心坐标；
(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程．
求与圆有关的轨迹方程的方法
(2017·湖南箴言中学三模)已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0.
(1)若此方程表示圆，求实数m的取值范围；
(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值；
(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．。
高中数学中的平面解析几何
高中数学中的平面解析几何平面解析几何是高中数学中的重要内容之一，它研究了平面上点的坐标和直线的方程，是帮助我们研究几何图形的一种重要工具。
本文将从基本概念、坐标系、直线的方程和相关定理等方面，介绍高中数学中的平面解析几何。
基本概念在平面上，我们通常使用直角坐标系来描述点的位置。
直角坐标系由x轴和y轴组成，其中x轴和y轴的交点称为原点O。
通过在x轴和y轴上取单位长度，并在平面上描述的点与原点之间的距离，我们可以得到点的坐标。
例如，点A的坐标可以表示为(x,y)。
坐标系在平面解析几何中，我们使用笛卡尔坐标系。
笛卡尔坐标系由两条互相垂直的坐标轴组成，通常表示为x轴和y轴。
x轴水平，y轴垂直于x轴。
原点O位于坐标系的交点处。
在笛卡尔坐标系中，我们可以通过给定点的x坐标和y坐标来唯一描述一个点的位置。
直线的方程在平面解析几何中，我们经常遇到直线。
直线的方程可以使用不同的形式来表示，如一般式、斜截式和点斜式等。
下面将介绍几种常见的直线方程。
1. 一般式：一般式的直线方程可以表示为Ax + By + C = 0，其中A、B、C是常数。
A和B不同时为0。
2. 斜截式：斜截式的直线方程可以表示为y = mx + c，其中m是斜率，c是截距。
3. 点斜式：点斜式的直线方程可以表示为y - y₁ = m(x - x₁)，其中m是斜率，(x₁, y₁)是直线上的一点。
相关定理在平面解析几何中，有一些重要的定理和性质。
下面将介绍其中的一些。
1. 平行和垂直的直线：如果两条直线的斜率相等，则这两条直线平行。
如果两条直线的斜率的乘积为-1，则这两条直线垂直。
2. 距离公式：两点之间的距离可以使用距离公式来计算，即d = √((x₂-x₁)² +(y₂-y₁)²)。
3. 直线的夹角：两条直线的夹角可以使用斜率公式来计算，即tanθ = |(m₁-m₂)/(1+m₁m₂)|，其中θ是两条直线的夹角，m₁和m₂是两条直线的斜率。
2024年高考数学平面解析几何的复习方法总结
2024年高考数学平面解析几何的复习方法总结一、理清知识框架平面解析几何是高中数学的重要内容，复习时首先要理清知识框架，明确各个知识点的内容和重点。
可以根据教材或参考书的章节来进行分类整理，将知识点归纳为直线方程、圆方程、二次曲线方程等等，并注意各个知识点之间的联系和线索。
二、复习关键知识点1. 直线方程：掌握直线的点斜式、斜截式、一般式等多种表示方法，能够灵活转换直线方程，解决直线的位置关系、距离、角平分线等相关问题。
2. 圆方程：了解标准方程和一般方程的定义和性质，能够根据给定条件列出圆的方程，解决圆与直线、圆与圆之间的位置关系、切线、切点等问题。
3. 二次曲线方程：熟练掌握抛物线、双曲线和椭圆的方程表示方法，注意各个二次曲线的基本性质和特点，能够画出二次曲线的图像，解决与二次曲线相关的各种问题。
4. 曲线的判别：掌握判别方程的基本方法，了解直线与二次曲线的位置关系的判别式和条件，能够根据判别式解决相关的问题。
三、掌握基本解题思路1. 了解解题步骤：解决平面解析几何问题通常遵循以下步骤：确定已知条件；列出方程或不等式；解方程或不等式得到未知量的取值范围；根据问题要求，对方程的解或取值范围进行判断与选择。
2. 注意问题的本质：平面解析几何考察的是几何图形的性质和位置关系，因此，在解答问题时要分析问题的本质，结合具体的几何意义去解决。
四、多练习典型题目1. 题海战术：平面解析几何的题目类型较多，考察灵活性较强，因此，在复习过程中要多做一些典型题目，掌握不同类型题目的解题思路和技巧。
2. 整理常见题型：将遇到的题目整理成不同的题型，比如直线方程的求法、圆方程的求法、二次曲线图像的分析等，通过总结常见的题型，加深对知识点的理解，提高解题效率。
五、查缺补漏1. 平时及时记录：在复习过程中，及时记录自己遇到的问题和不理解的知识点，并寻找相关的资料进行补充和学习。
2. 寻求帮助：如果自己在复习过程中遇到难题或困惑，可以向老师、同学或家长寻求帮助，共同解决问题。
高中数学知识点归纳平面解析几何的性质与运算
高中数学知识点归纳平面解析几何的性质与运算高中数学知识点归纳——平面解析几何的性质与运算一、引言在高中数学学习中，平面解析几何是一门重要的数学分支，它将代数和几何相结合，通过运用坐标系的方法来研究平面上的几何性质和相互关系。
本文将对平面解析几何的性质与运算进行归纳总结。
二、平面解析几何的基本概念1. 坐标系平面解析几何中，常使用直角坐标系来描述平面上的点。
直角坐标系由两个相互垂直的轴组成，分别称为x轴和y轴。
点在坐标系中的位置可由其坐标表示，标有符号的数对(x, y)即表示点的坐标，其中x 表示横坐标，y表示纵坐标。
2. 距离公式在平面解析几何中，计算两点之间的距离是常见的操作。
根据勾股定理，可以得到点A(x₁, y₁)和点B(x₂, y₂)之间的距离公式：d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)3. 斜率公式斜率是平面解析几何中的重要概念，表示直线的倾斜程度。
对于直线上的两点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，可以使用斜率公式计算斜率：斜率k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)4. 中点公式平面解析几何中，中点是指线段的中点，可以通过中点公式求得。
对于线段的两个端点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，中点的坐标为：中点M(x, y) = ((x₁+ x₂)/2 , (y₁+ y₂)/2)三、平面解析几何的性质1. 平行性质平面解析几何中，两条直线平行的判断条件之一是它们的斜率相等。
若两条直线的斜率分别为k₁和k₂，则当k₁= k₂时，两条直线平行。
2. 垂直性质两条直线垂直的判断条件之一是它们的斜率之积为-1。
若两条直线的斜率分别为k₁和k₂，则当k₁ * k₂ = -1时，两条直线垂直。
3. 距离性质平面解析几何中，根据距离公式可得，点P(x, y)到直线Ax + By +C = 0的距离为：d = |Ax + By + C| / √(A² + B²)4. 判定点是否在直线上对于直线Ax + By + C = 0和点P(x₀, y₀)，若Ax₀ + By₀ + C = 0，则表明点P在直线上。
高中数学中的平面解析几何知识点总结
高中数学中的平面解析几何知识点总结平面解析几何是高中数学中的一门重要的数学分支，它研究平面上的点、直线和圆等几何图形的性质和关系。
本文将对高中数学中常见的平面解析几何知识点进行总结和归纳，以便于同学们更好地掌握和应用这些知识。
一、坐标与坐标系在平面解析几何中，我们常常使用直角坐标系来描述平面上的点的位置。
在直角坐标系中，平面上的每个点都可以用一对有序实数（x，y）表示，其中x表示点在x轴上的投影，y表示点在y轴上的投影。
这就是点的坐标。
1.1 直角坐标系的建立建立直角坐标系的方法有很多，其中一种常见的方法为选取两条相互垂直的直线作为坐标轴，它们的交点作为原点。
这两条直线称为x 轴和y轴，它们的正方向分别规定为向右和向上，形成了一个右手坐标系。
1.2 坐标的性质与运算在直角坐标系中，点的坐标具有以下性质：（1）两个点的坐标相等，当且仅当这两个点重合；（2）两个点的横坐标（纵坐标）相等，当且仅当这两个点在同一条竖直线（水平线）上；（3）两个点的坐标互为相反数，当且仅当这两个点关于坐标原点对称。
在直角坐标系中，我们可以进行坐标的运算，包括加减、数乘、求中点等。
比如，对于两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，它们的中点C的坐标为[(x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2]。
二、直线的方程在平面解析几何中，直线是最基本的几何图形之一。
我们可以通过直线上的一个点和直线的斜率来确定直线的方程。
在此基础上，本单位还会对三角函数解析式中的三角函数、三角方程进行探讨，希望对同学们理解和掌握这一知识点有所帮助。
2.1 一般式方程直线的一般式方程为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为实数，且A和B不同时为0。
该方程中的A、B、C可以称为方程的系数。
2.2 斜率截距式方程直线的斜率截距式方程为y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线与y轴的截距。
2.3 点斜式方程如果知道直线上的一点P(x0, y0)和直线的斜率k，我们可以利用点斜式方程来表示直线的方程，即y - y0 = k(x - x0)。
新教材2025版高中数学第2章平面解析几何初步2
2．2.4 直线的方向向量与法向量最新课程标准(1)驾驭直线l的方向向量与直线l的法向量的概念．(2)会求已知直线的方向向量与法向量．(3)会利用直线的方向向量与法向量解决相关问题．新知初探·课前预习——突出基础性教材要点要点一直线l的方向向量与直线l平行的非零向量v都称为直线l的方向向量❶.斜率为k的直线的方向向量为________的非零实数倍．要点二直线l的法向量与方程式为Ax＋By＋C＝0的直线l垂直的非零向量n＝____________称为直线l的一个法向量❷.批注❶直线l的方向向量v→并不唯一，λv→的全部的非零实数倍都是方向向量．批注❷直线的一般式方程Ax＋By＋C＝0的一次项系数组成的向量(A，B)是直线的一个法向量．基础自测1．推断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量．( )(2)若v是直线l的方向向量，则λv(λ∈R)也是直线l的方向向量．( )(3)若n为直线l的一个法向量，则λn(λ≠0)也是直线l的一个法向量．( )(4)向量(x0，y0)与(y0，－x0)是相互垂直的．( )2．直线3x－2y－1＝0的一个方向向量为( )A．(2，－3) B．(2，3)C．(－3，2) D．(3，2)3．直线3x－4y＋5＝0的一个法向量是( )A．(3，4) B．(3，－4)C．(4，3) D．(4，－3)4．已知直线l的方向向量为(1，5)，则直线l的法向量为( )A．(5，1) B．(－1，5)C．(5，－1) D．(－5，－1)5．若一条直线的斜率为k，则它的一个方向向量是________，一个法向量是________．题型探究·课堂解透——强化创新性题型1 求直线的方向向量和法向量例1 (1)求直线2x－3y＋5＝0的一个方向向量和法向量；(2)求过点A(2，3)和点B(0, －2)的直线的一个方向向量和法向量．方法归纳娴熟驾驭直线的斜截式(或一般式)方程对应的方向向量的坐标特征．不同形式的直线方程，可以先将方程化为斜截式或一般式，然后干脆写出它的一个方向向量．直线l：y＝kx＋b的一个方向向量为v＝(1，k)；直线l：Ax＋By＋C＝0的一个方向向量为v＝(B，－A)．巩固训练1 (1)(多选)若直线l的倾斜角等于135°，则下列向量中可以是直线l的方向向量的有( )A．(2，2) B．(－3，3)C．(，－) D．(－，－)(2)若直线l经过点A(－1，4)，B(3，2)，则直线的一个法向量n为( )A．n＝(1，－2) B．n＝(4，－2)C．n＝(4，2) D．n＝(1，2)题型2 直线方向向量的应用例2 (1)经过A(0，2)，B(－1，0)两点的直线的方向向量为(1，k)，求k的值；(2)假如直线过点P(1，－4)，且直线的方向向量是a＝(3，9)，求直线的方程．方法归纳已知直线的方向向量求直线方程时，可用待定系数法求得：(1)若已知直线的一个方向向量为v＝(1，k)，则可设直线l的方程为y＝kx＋b；(2)若已知直线的一个方向向量为v＝(B，－A)，则可设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0.巩固训练2 (1)若过点P(3，2m)和点Q(－m，2)的直线与方向向量为a＝(－5，5)的直线平行，则实数m的值是( )A． B. －C. 2 D．－2(2)平行于向量(2，－3)且经过点B(1，－2)的直线方程为________．题型3 直线法向量的应用例3 (1)已知两条直线l1：ax－2y－3＝0，l2：4x＋6y－3＝0，若l1的一个法向量恰为l2的一个方向向量，则a＝________；(2)假如直线过点D(6，－1)，且直线的法向量是b＝(4，－3)，求直线的方程．方法归纳已知直线的法向量求直线方程的方法待定系数法：若已知直线的一个法向量为n＝(A，B)，则可设直线l的方程为Ax＋By＋C＝0.巩固训练3 (1)已知直线的倾斜角为120°，它的一个法向量为v＝(m，m＋1)，则m的值为( )A．1＋ B．1－C．D．－(2)垂直于向量(3，－5)且经过点A(1，2)的直线方程为 ________．2．2.4 直线的方向向量与法向量新知初探·课前预习[教材要点]要点一(1，k)要点二(A，B)[基础自测]1．(1)√(2)×(3)√(4)√2．解析：因为3x－2y－1＝0的斜率k＝，结合选项可知直线3x－2y－1＝0的一个方向向量为(2，3).答案：B3．解析：∵直线3x－4y＋5＝0，斜率为，∴其方向向量为：(1，)，设其法向量坐标为(x，y)，又∵方向向量和法向量垂直，∴x＋y＝0，符合要求的只有B.答案：B4．解析：因为直线l的方向向量为(1，5)，所以直线l的法向量可以是(－5，1)或(5，－1)．答案：C5．解析：因为直线的斜率为k，所以它的一个方向向量为(1，k)，设一个法向量为(x，y)，则(x，y)·(1，k)＝x＋ky＝0，不妨取x＝k，y＝－1，则它的一个法向量是(k，－1)．答案：(1，k) (k，－1)题型探究·课堂解透例1 解析：(1)直线方程2x－3y＋5＝0化为y＝x＋，其斜率k＝.所以直线的一个方向向量为(1，)．由1××(－1)＝0可知直线的一个法向量为(，－1)．(2)由已知条件可知直线的一个方向向量为＝(0－2，－2－3)＝(－2，－5)，又5×(－2)＋(－2)×(－5)＝0可知直线的一个法向量为(5，－2)．巩固训练1 解析：(1)直线l的斜率为k＝tan 135°＝－1，所以直线l的全体方向向量为λ(1，－1)，(λ≠0，λ∈R)检验可知B、C为直线l的方向向量．(2)因为＝(4，－2)，A．当n＝(1，－2)，则·n＝4＋4＝8≠0，不满意．B．当n＝(4，－2)，则·n＝16＋4＝20≠0，不满意．C．当n＝(4，2)，则·n＝16－4＝12≠0，不满意．D．当n＝(1，2)，则·n＝4－4＝0，满意．答案：(1)BC (2)D例2 解析：(1)因为直线的方向向量为(1，k)，则k为直线的斜率，所以k＝＝2，所以k的值为2.(2)由题意，直线的方向向量是a＝(3，9)，故直线的斜率k＝＝3，且直线过点P(1，－4)，故直线方程为y＋4＝3(x－1)，即3x－y－7＝0.巩固训练2 解析：(1)由题意得，＝(－m－3，2－2m)与a＝(－5，5)共线，所以5(－m－3)－(－5)·(2－2m)＝0，解得m＝－，经检验知，m＝－符合题意．(2)由条件可设直线的方程为3x＋2y＋C＝0，把点B(1，－2)代入得C＝1，所以所求直线方程为3x＋2y＋1＝0.答案：(1)B (2)3x＋2y＋1＝0例3 解析：(1)因为直线l1：ax－2y－3＝0的一个法向量恰为l2：4x＋6y－3＝0的一个方向向量，所以l1⊥l2，所以a×4＋(－2)×6＝0，解得：a＝3.(2)方法一由题意可设直线的方程为4x－3y＋C＝0，将点D(6，－1)代入得C＝－27，所以直线方程为4x－3y－27＝0.方法二由题意，直线的法向量是b＝(4，－3)，故直线的一个方向向量为(3，4)，故直线的斜率k＝，且直线过点D(6，－1)，故直线方程为y＋1＝(x－6)．即4x－3y－27＝0.答案：(1)3 (2)4x－3y－27＝0巩固训练3 解析：(1)由题意得，k＝tan 120°＝－，∴直线的一个方向向量为a＝(1，－)．∴a⊥v，又v＝(m，m＋1)，∴m－(m＋1)＝0解得m＝－.(2)由条件可知向量(3，－5)为所求直线的一个法向量，故可设直线的一般式方程为3x－5y＋C＝0，将点A(1，2)代入得C＝7，所以直线方程为3x－5y＋7＝0.答案：(1)D (2)3x－5y＋7＝0。
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2．2.3 直线的一般式方程最新课程标准(1)驾驭直线的一般式方程．(2)理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线．(3)会进行直线方程的五种形式之间的转化．新知初探·课前预习——突出基础性教材要点要点直线方程的一般式1．定义：关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0❶(其中A，B不同时为0)都表示一条直线，把它称为直线的一般式方程，简称一般式．2．适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示．3．系数的几何意义：当B≠0时，则－＝k(斜率)，－＝b(y轴上的截距)；当B＝0，A≠0时，则－＝a(x轴上的截距)，此时不存在斜率．批注❶虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程．基础自测1.推断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)平面直角坐标系中的随意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程来表示．( )(2)随意一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．( )(3)直线l：Ax＋By＋C＝0的斜率为－.( )(4)当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)表示过原点的直线．( )2．直线3x＋4y＋12＝0的斜率为( )A． B．C．－ D．－3．直线x－y－1＝0的倾斜角α为( )A．30° B．45°C．60° D．90°4．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满意的条件为( )A．A≠0 B．B≠0C．A·B≠0 D．A2＋B2≠05．斜率为2，且经过点A(1，3)的直线的一般式方程为________．题型探究·课堂解透——强化创新性题型1 求直线的一般式方程例1 依据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式．(1)斜率是－，经过点A(8，－2)；(2)经过点B(4，2)，平行于x轴；(3)在x轴和y轴上的截距分别是，－3；(4)经过两点P1(3，－2)，P2(5，－4)．方法归纳求直线的一般式方程的策略巩固训练1 (1)过点P(－2，3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是( )A．x－y＋1＝0B．x－y＋1＝0或3x＋2y＝0C．x－y－5＝0D．x－y＋5＝0或3x＋2y＝0(2)过点A(－2，1)，且倾斜角的余弦值为－的直线的一般式方程为________．题型2 用直线的一般式方程解决直线与坐标轴形成三角形问题例2 设直线l的方程为(a＋1)x＋y－2－a＝0(a∈R)，若a＞－1，直线l与x，y轴分别交于M，N两点，O为坐标原点，求△OMN面积取最小值时，直线l的方程．方法归纳由直线的一般式方程表示直线与坐标轴形成三角形的面积的步骤巩固训练2 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0，(k∈R)与x轴负半轴和y轴正半轴坐标轴围成的三角形面积为，求k的值．题型3 由含参数的一般式方程求参数(或取值范围)例3 已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线l不经过其次象限，求a的取值范围．变式探究1 本例中若直线不经过第四象限，则a的取值范围是什么？变式探究2 本例中将方程改为“x－(a－1)y－a－2＝0”，若直线不经过其次象限，则a的取值范围又是什么？方法归纳求直线过定点的2种方法巩固训练3 已知(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0为直线l的方程，求证：不论k取何实数，直线l必过定点，并求出这个定点的坐标．2．2.3 直线的一般式方程[基础自测]1．(1)√(2)√(3)×(4)√2．解析：直线方程的斜截式为：y＝－x－3，斜率为－.答案：D3．解析：依据题意，易知直线x－y－1＝0的斜率k＝1，由tan α＝k＝1，得α＝45°.答案：B4．解析：依据直线方程的一般式可知，要使得Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B不能同时为零，即A2＋B2≠0.答案：D5．解析：由直线点斜式方程可得y－3＝2(x－1)，化为一般式为：2x－y＋1＝0.答案：2x－y＋1＝0题型探究·课堂解透例1 解析：选择合适的直线方程形式．(1)由点斜式得y－(－2)＝－(x－8)，即x＋2y－4＝0.(2)由斜截式得y＝2，即y－2＝0.(3)由截距式得＝1，即2x－y－3＝0.(4)由两点式得＝，即x＋y－1＝0.巩固训练1 解析：(1)若直线在坐标轴上的截距为0，设直线方程为y＝kx(x≠0)，因为直线过点P(－2，3)，所以3＝－2k，即k＝－，所以直线方程为y＝－x，即3x＋2y＝0；若直线在坐标轴上的截距不为0，设直线方程为＝1(a≠0)，因为直线过点P(－2，3)，所以＝1，解得a＝－5，所以直线方程为＝1，即x－y＋5＝0.故所求直线方程为x－y＋5＝0或3x＋2y＝0.解析：(2)设直线的倾斜角为θ，则θ∈[0，π)，因为cos θ＝－，所以sin α＝＝＝，所以直线的斜率k＝tan θ＝＝＝－2，所以直线的方程为y－1＝－2(x＋2)，所以直线的一般式方程为2x＋y＋3＝0.答案：(1)D (2)2x＋y＋3＝0例2 解析：令y＝0，求得M点坐标为M(，0)，令x＝0，求得N点坐标为N(0，2＋a)，∵a＞－1，∴S△OMN＝··(2＋a)＝＝(a＋1＋＋2)≥2，当且仅当a＋1＝，即a＝0时等号成立．故所求直线l的方程为x＋y－2＝0.巩固训练2 解析：设直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，则k＞0，令y＝0，得A(－，0)；令x＝0，得B(0，1＋2k)，三角形OAB的面积为·OA·OB＝×(1＋2k)＝，即4k2－5k＋1＝0，解得k＝1或.例3 解析：(1)方法一将直线l的方程整理为y－＝a(x－)，∴直线l的斜率为a，且过定点A()，而点A()在第一象限内，故不论a为何值，l恒过第一象限．方法二直线l的方程可化为(5x－1)a－(5y－3)＝0.∵上式对随意的a总成立，必有即即l过定点A()．以下同方法一．(2)直线OA的斜率为k＝＝3.如图所示，要使l不经过其次象限，需斜率a≥k OA＝3，∴a的取值范围为[3，＋∞)．变式探究1 解析：由本例(2)解法可知直线OA的斜率为3，要使直线不经过第四象限，则有a≤3.变式探究2 解析：①当a－1＝0，即a＝1时，直线为x＝3，该直线不经过其次象限，满意要求．②当a－1≠0，即a≠1时，直线化为斜截式方程为y＝x－，因为直线不过其次象限，故该直线的斜率大于等于零，且在y轴的截距小于等于零，即解得，所以a＞1.综上可知a≥1.巩固训练3 证明：整理直线l的方程得(x＋y)＋k(x－y－2)＝0.无论k取何值，该式恒成立，所以解得所以直线l经过定点M(1，－1)．。
高中解析几何知识归纳
高中解析几何知识归纳高中解析几何是数学中的一个重要组成部分，主要研究平面和空间中点、线、面之间的相互关系和位置关系。
以下是对高中解析几何知识点的详细介绍：一、平面解析几何1. 点：平面上的点用坐标系表示，有序数对（x, y）表示。
2. 直线：直线的方程一般形式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，A和B不同时为0。
3. 圆：圆的标准方程为(x - h)²+ (y - k)²= r²，其中(h, k)为圆心坐标，r为半径。
4. 圆锥曲线：包括椭圆、双曲线和抛物线。
-椭圆：椭圆的标准方程为x²/a²+ y²/b²= 1，其中a为半长轴，b为半短轴。
-双曲线：双曲线的标准方程为x²/a²- y²/b²= 1，其中a为实轴半长，b为虚轴半长。
-抛物线：抛物线的标准方程为y²= 4ax或x²= 4ay，其中a为焦点到准线的距离。
二、空间解析几何1. 点：空间中的点用坐标系表示，有序数对（x, y, z）表示。
2. 直线：空间直线的方程一般形式为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C、D为常数，A、B、C不同时为0。
3. 平面：平面的方程一般形式为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C、D为常数，A、B、C 不同时为0。
4. 空间几何体：包括立方体、球、锥体、柱体等。
三、解析几何的基本公式和性质1. 点到直线的距离公式：d = |Ax1 + By1 + C| / √(A²+ B²)，其中（x1, y1）为点的坐标。
2. 点到直线的距离性质：点到直线的距离等于点到直线的垂线的长度。
3. 直线与直线的交点公式：解直线方程组，得到交点的坐标。
4. 直线与圆的位置关系：直线与圆相交、相切或相离。
5. 圆与圆的位置关系：圆与圆相交、相切或相离。
高中数学平面解析几何知识点梳理
平面解析几何一．直线部分1．直线的倾斜角与斜率：（1）直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为叫做直线的倾斜角.倾斜角[ 0,180 ) , 90 斜率不存在.y y2 1 x x k（2）直线的斜率：k ( ), tan ．（P1(x1, y1 ) 、P2 (x2, y2) ）.1 2x x2 12．直线方程的五种形式：（1）点斜式：y ( ) ( 直线l 过点P1 (x1, y1 ) ，且斜率为k )．y1 k x x1注：当直线斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x x0 ．（2）斜截式：y kx b ( b 为直线l 在y 轴上的截距).（3）两点式：yy2y1y1xx2x1x1( y y ，1 2x x ).1 2注：①不能表示与x 轴和y 轴垂直的直线；②方程形式为：( )( ) ( )( ) 0x2 x y y y y x x 时，方程可以表示任意直线．1 12 1 1x y（4）截距式： 1a b（a, b分别为x 轴y 轴上的截距，且a 0,b 0 ）．注：不能表示与x 轴垂直的直线，也不能表示与y 轴垂直的直线，特别是不能表示过原点的直线．（5）一般式：Ax By C 0 (其中A 、B 不同时为0)．A C Ay x ，即，直线的斜率：k ．一般式化为斜截式：B B B 注：（1）已知直线纵截距 b ，常设其方程为y kx b或x 0．已知直线横截距x0 ，常设其方程为x my x0 (直线斜率k 存在时，m 为k的倒数)或y 0．已知直线过点( x0 ,y0 )，常设其方程为y k(x x0) y0 或x x0 ．（2）解析几何中研究两条直线位置关系时，两条直线有可能重合；立体几何中两条直线一般不重合．3．直线在坐标轴上的截矩可正，可负，也可为0.（1）直线在两坐标轴上的截距．相．等．．直线的斜率为1或直线过原点．（2）直线两截．距．互．为．相．反．数．直线的斜率为 1 或直线过原点．（3）直线两截．距．绝．对．值．相．等．直线的斜率为1或直线过原点．4．两条直线的平行和垂直：（1）若l1 : y k1x b1，l2 : y k2x b2①l1 // l k k ,b b ；②2 1 2 1 2 l l k k .1 2 1 2 1（2）若l1 : A x B y C 0 ，l2 : A2 x B2 y C2 0，有1 1 1①l1 // l A B A B 且A C A C ．②l1 l2 A1A2 B1B2 0．2 1 2 2 1 1 2 2 15．平面两点距离公式：( P x y 、1 ( 1, 1) P2 (x2, y2) ) ， 2 2P1P (x x ) ( y y ) ．x轴上两点间距离：2 1 2 1 2AB x ．B xA线段P1P 的中点是M (x0 , y0 ) ，则2 xyx1y122xy22．6．点到直线的距离公式：点(x0 ,y )P 到直线l：Ax By C 0的距离：0Ax By C0 0d ．2 2A B7．两平行直线间的距离：两条平行直线l1：Ax By C 0，l ：Ax By C 0距离：1 2 2C C1 2d ．2 2A B8．直线系方程：（1）平行直线系方程：①直线y kx b 中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．．②与直线l : Ax By C 0 平行的直线可表示为A x By C1 0 ．③过点P(x , y ) 与直线l : Ax By C 0 平行的直线可表示为：A(x x0 ) B( y y0 ) 0．0 0（2）垂直直线系方程：①与直线l : Ax By C 0 垂直的直线可表示为B x Ay C1 0．②过点P(x , y ) 与直线l : Ax By C 0 垂直的直线可表示为：B(x x0 ) A( y y0 ) 0．0 0（3）定点直线系方程：①经过定点P0 (x0, y0) 的直线系方程为y y0 k(x x0 )( 除直线x x0 ), 其中k 是待定的系数．②经过定点P0 (x0, y0) 的直线系方程为A(x x0) B(y y0) 0, 其中A, B 是待定的系数．（4）共点直线系方程：经过两直线l1：A x B y C 0，l ：A x B y C 0 交点的直线系方程为1 1 12 2 2 2A1 x B y C ( A2 x B2 y C2 ) 0 ( 除1 1 l ) ，其中λ是待定的系数．29．曲线C1 : f ( x, y) 0与C2 : g( x, y) 0的交点坐标方程组( , ) 0f x yg( x, y) 0的解．二．圆部分10．圆的方程：（1）圆的标准方程： 2 ( )2 2(x a) y b r （r 0）．2 y2 Dx Ey F D2 E2 F（2）圆的一般方程：x 0( 4 0) ．（3）圆的直径式方程：若( 1 ,y ) B(x ,y )A x ，，以线段AB 为直径的圆的方程是：( )( ) ( )( ) 0x x1 x x y y y y ． 1 2 22 1 2D E 注：(1)在圆的一般方程中，圆心坐标和半径分别是)( ,2 2（2）一般方程的特点：1 2 2，r D E 4F2．①2x 和2 22 E Fy 的系数相同且不为零；②没有xy 项；③ D 4 02 Bxy Cy Dx Ey F2（3）二元二次方程Ax 0 表示圆的等价条件是：2 E AF2① A C 0 ；② B 0 ；③ 4 0D ．11．圆的弦长的求法：（1）几何法：当直线和圆相交时，设弦长为l ，弦心距为d ，半径为r ，l 2 2 2则：“半弦长=半径( d r+弦心距”——) 2 2 2；2（2）代数法：设l 的斜率为k ，l与圆交点分别为( , ) ( , )A x1 y ，B x y ，则1 2 22 | AB | 1 k |1x A x | 1 | y yB A B2k|（其中| x1 x |,| y y |的求法是将直线和圆的方程联立消去y 或x，利用韦达定理求解）2 1 212．点与圆的位置关系：点P( x0, y0 ) 与圆 2 ( ) 22(x a) y b r 的位置关系有三种①P 在在圆外 2 2 2d r ( x0 a) ( y b) r ．②P 在在圆内 2 22d r (x0 a) ( y b) r ．③P 在在圆上 2 2d ．【P到圆心距离2r ( x0 a) ( y b) r2 2d (a x ) (b y ) 】0 013．直线与圆的位置关系：Aa Bb C 直线Ax By C 0与圆(x a)2 ( y b)2 r 2 的位置关系有三种(d ):2 B2 A圆心到直线距离为 d ，由直线和圆联立方程组消去x （或y ）后，所得一元二次方程的判别式为．d r 0；d r 相切0；d r 相交0．相离14．两圆位置关系: 设两圆圆心分别为O1,O2 ，半径分别为r1,r2 ，O1O2 dd r 条公切线；d r1 r2 内含无公切线；1 r 外离 42d r 条公切线；d r1 r2 内切1条公切线；1 r 外切 32r1 r d r r 相交 2 ．条公切线 2 1 22 y2 Dx Ey F D 2 E2 F15．圆系方程：x 0( 4 0)2 y2 Dx Ey F（1）过直线l：Ax By C 0与圆C : x 0的交点的圆系方程：2 y2 Dx Ey F Ax By Cx ( ) 0, λ是待定的系数．（2）过圆 2 y2 D x E y F 22 y D x E y FC : x 1 1 1 0与圆C2 : x 2 2 2 0的交点的圆系方程：12 y D x E y F x y D x E y F2 2 2x ( 2 2 2 ) 0, λ是待定的系数．1 1 1特别地，当1时， 2 2 2 2x y D x E y F x y D x E y F 就是1 1 1 (2 2 2 ) 0(D D )x (E E ) y (F F ) 0表示两圆的公共弦所在的直线方程，即过两圆交点的直线．1 2 1 2 1 216．圆的切线方程：（1）过圆 2 y2 r 2x 上的点P( x0 , y0 ) 的切线方程为:2 x0x y y r ．（2）过圆(x a)2 ( y b) 2 r 2 上的点P(x0, y ) 的切线方程为:2 (x a)( x a y b y b r ．0 ) ( )( )（3）当点( 0 , y )P x 在圆外时，可设切方程为y y0 k(x x0 ) ，利用圆心到直线距离等于半径，即d r ，求出k ；或利用0 ，求出k ．若求得k 只有一值，则还有一条斜率不存在的直线x x ．2 y2 D x E y F2 y2 D x E y F17．把两圆x 1 1 1 0与x 2 2 2 0方程相减即得相交弦所在直线方程: (D ) ( ) ( ) 0 ．1 D x E E y F F2 1 2 1 218．对称问题：（1）中心对称：①点关于点对称：点A( x1 ,y1) 关于M ( , ) 的对称点A(2x0 x1,2y0 y1) ．x0 y②直线关于点对称：法1：在直线上取两点，利用中点公式求出两点关于已知点对称的两点坐标，由两点式求直线方程．法2：求出一个对称点，在利用l1 // l 由点斜式得出直线方程．2（2）轴对称：①点关于直线对称：点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数，点与对称点的中点在直线上．点A、A 关于直线l 对称AAAA⊥l中点在l上k AA·k l 1AA中点坐标满足．l方程②直线关于直线对称：（设a,b 关于l对称）法1：若a,b 相交，求出交点坐标，并在直线 a 上任取一点，求该点关于直线l 的对称点．若a// l ，则b// l ，且a,b与l的距离相等．法2：求出a上两个点A, B 关于l的对称点，在由两点式求出直线的方程．（3）点( a, b) 关于x 轴对称：( a,- b) 、关于y 轴对称：(- a, b) 、关于原点对称：(- a,- b)、点( a, b) 关于直线y=x 对称：(b, a) 、关于y=- x 对称：(- b,- a) 、关于y = x + m 对称：( b - m、a +m) 、关于y=- x+m 对称：(- b+m、- a+m ) ．xxxyyy1A(x , y ) B(x , y ) C(x , y )，，19 ABC G．若，则△的重心的坐标是1 12 23 333 20．各种角的范围：直线的倾斜角0 180 两条相交直线的夹角0 900 90两条异面线所成的角。
高中数学中的平面解析几何
高中数学中的平面解析几何平面解析几何是高中数学中的重要内容之一，它是研究平面上的几何图形和几何关系的一门学科。
通过数学分析和计算方法，我们可以揭示平面上的几何规律，并解决相应的几何问题。
本文将介绍平面解析几何的基本概念、常见定理和应用。
一、平面坐标系在平面解析几何中，我们通常引入平面坐标系来描述平面上的点和图形。
平面坐标系由横坐标轴x和纵坐标轴y所构成，它们相互垂直，并将平面分为四个象限。
设平面上一点P的坐标为(x,y)，其中x表示横坐标的值，y表示纵坐标的值。
二、平面上的点和向量在平面解析几何中，点是最基本的要素。
点P(x,y)表示平面上的一个具体位置。
而向量则表示平面上的一个有方向和大小的量。
向量由起点和终点确定，可以用箭头表示，例如向量AB。
向量的大小表示为|AB|，方向则由指向终点的箭头确定。
三、平面上的直线平面解析几何中研究的另一个重要对象是直线。
平面上的直线可以通过一般式方程、点斜式方程或两点式方程来表示。
一般式方程为Ax+By+C=0，其中A、B、C为实数且A和B不同时为0；点斜式方程为y-y₁=k(x-x₁)，其中(x₁,y₁)为直线上的一点，k为直线的斜率；两点式方程为(y-y₁)/(x-x₁)=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)，其中(x₁,y₁)和(x₂,y₂)为直线上的两点。
四、平面上的曲线除了直线外，平面解析几何还研究了各种曲线，如抛物线、圆、双曲线等。
这些曲线可以通过特定的函数方程来描述。
例如，抛物线的标准方程为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为实数且a不等于0。
五、平面上的距离和中点在平面解析几何中，我们可以计算两点之间的距离和直线段的中点。
设平面上两点A(x₁,y₁)和B(x₂,y₂)，则两点之间的距离为|AB| =√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²)。
若直线段AB的中点为M(xₘ,yₘ)，则中点的坐标可以通过求取x和y的平均值得到。
高中数学平面解析几何知识点归纳
高中数学平面解析几何知识点归纳高中数学平面解析几何知识点有哪些你知道吗?近年的高中数学解答题多呈现为多问渐难式的“梯度题”，解答时不必一气审到底，应走一步解决一步，一起来看看高中数学平面解析几何知识点，欢迎查阅!高中数学平面解析几何知识点平面解析几何初步：①直线与方程是解析几何的基础，是高考重点考查的内容，单独考查多以选择题、填空题出现;间接考查则以直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线等知识综合为主，多为中、高难度试题，往往作为把关题出现在高考题目中。
直接考查主要考查直线的倾斜角、直线方程，两直线的位置关系，点到直线的距离，对称问题等，间接考查一定会出现在高考试卷中，主要考查直线与圆锥曲线的综合问题。
②圆的问题主要涉及圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系以及圆的'集合性质的讨论，难度中等或偏易，多以选择题、填空题的形式出现，其中热点为圆的切线问题。
③空间直角坐标系是平面直角坐标系在空间的推广，在解决空间问题中具有重要的作业，空间向量的坐标运算就是在空间直角坐标系下实现的。
空间直角坐标系也是解答立体几何问题的重要工具，一般是与空间向量在坐标运算结合起来运用，也不排除出现考查基础知识的选择题和填空题。
高中数学平面解析几何知识点平面解析几何，又称解析几何(英语：Analytic geometry)、坐标几何(英语：Coordinate geometry)或卡氏几何(英语：Cartesian geometry)，早先被叫作笛卡儿几何，是一种借助于解析式进行图形研究的几何学分支。
解析几何通常使用二维的平面直角坐标系研究直线、圆、圆锥曲线、摆线、星形线等各种一般平面曲线，使用三维的空间直角坐标系来研究平面、球等各种一般空间曲面，同时研究它们的方程，并定义一些图形的概念和参数。
平面解析几何基本理论坐标在解析几何当中，平面给出了坐标系，即每个点都有对应的一对实数坐标。
最常见的是笛卡儿坐标系，其中，每个点都有x-坐标对应水平位置，和y-坐标对应垂直位置。
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1.基本公式、直线的斜率、 方程以及两直线的位置关系 是高考的重点． 2.常和圆锥曲线综合命题， 重点考查函数与方程、数形 结合思想． 3.多以选择题和填空题的形 式出现，属于中低档题目.
4.掌握两点间的距离公式.
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本节目录
教
考
名
知
材
点
师
能
回
探
讲
演
顾
究
坛
练
夯
讲
精
轻
实
练
彩
松
双
互
呈
闯
基
动
现
关
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2．直线方程的概念及直线的斜率
(1)直线方程的概念
如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直 线上点的___坐____标_都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条 _______直____线___的_，方这程条直线叫做___________________ 这个方程的直线． (2)直线的斜率
第八章 平面解析几何
第1课时 直线及其方程
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考纲展示
备考指南
1.在平面直角坐标系中，结合
具体图形，掌握确定直线位置 的几何要素． 2.掌握确定直线位置的几何要 素，掌握直线方程的三种形式 (点斜式、两点式及一般式)，了 解斜截式与一次函数的关系． 3.理解直线的倾斜角和斜率的 概念，掌握过两点的直线斜率 的计算公式．
式
直线
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思考探究
过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线是否一定可用两点式方
程表示？
提示：不一定．(1)若x1＝x2且y1≠y2，直线垂直于x轴，方 程为x＝x1. (2)若x1≠x2且y1＝y2，直线垂直于y轴，方程为y＝y1. (3)若x1≠x2且y1≠y2，直线方程可用两点式表示．
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跟踪训练
1．(2013·贵阳质检)直线 l 经过点 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(1,2)，在 x 轴上的截距的取
值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是( )
A．－1＜k＜15
B．k＞1 或 k＜12
C．k＞15或 k＜1
名 方程的形式
称
已知条件
局限性
两 点
__y_y2_－－__yy_11_＝__xx_2－－__xx_11_____ __(_x_1_≠__x_2_且__y_1_≠__y_2)___
(x1，y1)，(x2，y2) 是直线上两定点
不包括垂直于 x 轴和 y 轴的直
式
线
a 是直线在 x 轴上
截 距
_____xa_＋__yb_＝__1_____
教材回顾夯实双基
基础梳理 1．平面直角坐标系中的基本公式 (1)两点的距离公式 已知平面直角坐标系中的两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 d(A， B)＝____x_1－__x_2_2_＋__y_1_－_y_2_2__. (2)中点公式 已知平面直角坐标系中的两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，点 M(x， y)是线段 AB 的中点，则 x＝x1＋2 x2，y＝y1＋2 y2.
答案：B
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3．已知两点 A(－3， 3)，B( 3，－1)，则直线 AB
的斜率是( )
A. 3
B．－ 3
C.
3 3
答案：D
D．－
3 3
4．过点 A(2,3)，倾斜角为π3的直线的点斜式方程为 ________．
答案：y－3＝ 3(x－2)
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5．若直线l过点P(－4，－1)，且横截距是纵截距的2倍， 则直线l的方程是________． 答案：x－4y＝0或x＋2y＋6＝0
不包括垂直于 的非零截距，b 是
x 轴和 y 轴及过
直线在 y 轴上的
式
原点的直线
非零截距
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名 方程的形式
称
已知条件
局限性
一 Ax＋By＋C＝
无限制，可表
___________________
般 __0_(_A_2_＋___B_2_≠__0_)_____ A，B，C 为系数 示任何位置的
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3．直线方程的几种形式
名称 方程的形式
已知条件
局限性
点斜式
_y_－__y_1＝__k_(_x_－__x_1)
(x1，y1)为直线 上一定点，k
为斜率
不包括垂直于x轴 的直线
斜截式
___y_＝__k_x_＋__b___
k为斜率，b是 直线在y轴上 的截距
不包括垂直于x轴 的直线
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考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 直线的倾斜角与斜率
例1 直线 2xcosα－y－3＝0(α∈[π6，π3])的倾斜角的变化范围 是( )
A．[π6，π3]
B．[π4，π3]
C．[π4，π2]
D．[π4，23π]
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【解析】 直线 2xcosα－y－3＝0 的斜率为 k＝2cosα，由于 α∈[π6，π3]，所以12≤cosα≤ 23，因此 k＝2cosα∈[1， 3]． 设直线的倾斜角为 θ，则有 tanθ∈[1， 3]，由于 θ∈[0，π)， 所以 θ∈[π4，π3]，即倾斜角的变化范围是[π4，π3]． 【答案】 B
(3)直线的倾斜角
①定义：x轴___正____向_与直线_______的向方上向所成的角叫做这条直
线的倾斜角，规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为
___________零____度角． ②倾斜角的范围：______[_0__°，____1__8__0_°_)_．
③若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k＝tanθ.
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【名师点评】 直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不 是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，
要分0，π2 与π2，π 两种情况讨论．由正切函数图象可以 看出当 α∈0，π2时，斜率 k∈[0，＋∞)；当 α＝π2时，斜 率不存在；当 α∈π2，π时，斜率 k∈(－∞，0)．
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课前热身
1．已知 m≠0，则过点(1，－1)的直线 ax＋3my＋2a＝0 的
斜率为( )
A.13
B．－13
C．3
D．－3
答案：B
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2．已知点A(1,2)、B(3,1)，则线段AB的垂直平分线的
方程是( )
A．4x＋2y＝5
B．4x－2y＝5
C．x＋2y＝5
D．x－2y＝5
①把直线y＝kx＋b中的___系____数___叫k 做这条直线的斜率，_______于x
轴垂的直直线不存在斜率． ②斜率的坐标计算公式
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由 A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于 x 轴，则
y2－y1
y1－y2
k＝____x_2_－__x_1____＝____x_1_－__x_2____ (x1≠x2)．