算法导论-复习笔记

《算法导论》复习笔记

Chapter22基本图算法

22.1-1有向图邻接链表，计算节点出度和入度的时间复杂度？

O(V+E)

开一个degree[]数组，大小为结点个数，复杂度O(V);

遍历邻接链表，经过边uv时，计算出度degree[u]+=1,计算入度degree[v]+=1,复杂度O(E)

22.1-4 将一个多图变成等价无向图，用邻接链表表示，时间复杂度O(V+E)

多图是允许重复边和自循环边的图。

开一个bool数组mark[],大小为节点个数，初始化为false。复杂度O(V)。

对每个顶点u的邻接链表，遍历，令v为u的边所指向的顶点；如果mark[v]=false，将uv 加入新图，并将mark[v]设置为true；否则就跳过。复杂度O(E)

再次遍历u的连边，将mark[v]初始化

整体复杂度O(V+E)

伪代码:

SOLVE(G,G’)

1 for each vetex u∈G

2 for each v∈G.Adj[u]

3 if mark[v]==false

4 mark[v]==true

5 Addedge(G’,u,v)

6 for each v∈G.Adj[u]

7 mark[v]=false

22.1-6 图G的邻接矩阵表示，给出一个O(V)的算法来判断有向图G中是否存在一个通用汇点。

通用汇点指的是入度|V|-1，但出度为0。

等价问题：给定有向图G的V×V邻接矩阵G，在O(V)时间内判断是否存在一个数k，使得

对所有的i有A[i][k]=1,对所有的j有A[k][j]=0,(i≠k,j≠k)

令i和j初值为1，若G[i][j]=0,说明i到j无边，j不可能是通用汇点，令j=j+1;若G[i][j]=1,说明i到j有边，i不可能是通用汇点，令i=i+1，循环直到i>|V|或者j>|V|;若i>|V|，则不存在通用汇点，若j>|V|，则检查顶点i是否满足要求。

伪代码：

判断是否存在通用汇点 O(V)

HAS_UNIVERSL_SINK(G)

1 i=j=1

2 while i≤V and j≤V

3 if G[i][j]==1

4 i=i+1

5 else j=j+1

6 if i>V

7 return false

8 else return CHECK(G,i)

CHECK(G,u)

1 for each vertex v∈G.V

2 if G[u][v]=1

3 return false

4 for each vertex v ∈G.V

5 ifG[v][u]==0& u!=v

6 return false

7 return true

检查点u是否是通用汇点

【宽度优先搜索】

22.2-2 计算无向图BFS后的d值和π值

简单，注意初始节点u的π值写NIL或者写-1

22.2-4输入如果是邻接矩阵表示的，BFS的运行时间？

O(V^2)

对于队列中的每一个节点，都要遍历所有的节点来判断是否有边。

22.2-6 举例说明一个有向图G中可能存在这样一个边集Eπ：s到v的唯一简单路径也是一条最短路径，但是无论如何该边集Eπ都不能通过在图G上运行BFS获得。

V={1,2,3,4,5},E={(1,2),(2,3),(1,4),(4,5),(2,5),(3,4)}, Eπ={(1,2),(2,3),(1,4),(4,5)}, s=1

22.2-8 求一棵树T=(V,E)的直径，并分析算法的运行时间。

直径指的是树中所有最短路径的最大值。

两遍BFS就能解决.

设v任意一点，BFS(v)，令u=v能到达的最远点。再BFS(u)，取w为u能达到的最远点，则u和w之间的最短路径就是直径。时间复杂度是O(V+E)。

注意本题的证明。反证法，设t1到t2是直径，u是v能达到的最远点，但是u不是t1或者t2中的一个，产生矛盾的结论。

【深度优先搜索】

22.3-7用栈实现DFS，写出伪代码

DFS-VISIT(G,u)

1 STACK.PUSH(u)

2 while(! STACK.empty)

3 u=STACK.top

4 if u.color==GRAY

5 u.color==BLACK

6 time=time+1

7 u.f=time

8 STACK.POP

9 continue

10 if u.color==WHITE

11 u.color=GRAY

12 time=time+1

13 u.d=time

14 for each v∈G:Adj[u]

15 if v.color==WHITE

16 v.π=u

17 STACK.PUSH(v)

22.3-8举出一个反例反驳：有向图G包含u到v的路径，并且DFS时u.d

V={w,u,v}

E={(w,u),(u,w),(w,v)}

22.3-9 举出一个反例反驳：有向图G包含u到v的路径，则任意DFS都将导致v.d≤u.f。例子同上

22.3-11为什么节点u同时有入边和出边，u还是深度优先树中的唯一节点？

V={w,u,v}

22.3-12证明：在无向图上使用深度优先搜索来获取图G的连通分量，并且深度优先搜索包含的树的棵数与G的连通分量相同。

也就是说，修改深度优先搜索让每个结点赋予一个介于1和k之间的整数值，k是G的连通分量数。相同连通分量中的点有相同的。

将DFS_VISIT(G,u)改成DFS_VISIT(G,u,++k)，然后在该方法开头添加一句=k。22.3-13 给出一个算法判断一个有向图是单连通图

单连通：图G至多包含一条从u到v的简单路径。

判断是否出现了前向边或者横向边即可。即分别对每个顶点进行DFS，记录过程中是否访问到黑色的节点。

时间复杂度(V*(V+E))

伪代码：