八年级数学下册平行四边形的对角线的特征练习题及解析

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(必考题)初中八年级数学下册第十八章《平行四边形》经典练习(含答案解析)

一、选择题1．如图，正方形ABCD 的边长为4，点E 在对角线BD 上，且∠BAE ＝22.5°，EF ⊥AB ，垂足为F ，则EF 的长为（）A ．4﹣2B ．2﹣4C ．1D 2A解析：A【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABD ＝∠ADB ＝45°，再求出∠DAE 的度数，根据三角形的内角和定理求∠AED ，从而得到∠DAE ＝∠AED ，再根据等角对等边的性质得到AD ＝DE ，然后求出正方形的对角线BD ，再求出BE ，最后根据等腰直角三角形的直角边等于2 【详解】解：在正方形ABCD 中，∠ABD ＝∠ADB ＝45°，∵∠BAE ＝22.5°，∴∠DAE ＝90°﹣∠BAE ＝90°﹣22.5°＝67.5°，在△ADE 中，∠AED ＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，∴∠DAE ＝∠AED ，∴AD ＝DE ＝4，∵正方形的边长为4，∴BD ＝2∴BE ＝BD ﹣DE ＝2﹣4，∵EF ⊥AB ，∠ABD ＝45°，∴△BEF 是等腰直角三角形，∴EF ＝22BE ＝22×（2﹣4）＝4﹣2．故选：A ．【点睛】本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等角对等边的性质，正方形的对角线与边长的关系，等腰直角三角形的判定与性质，根据角的度数的相等求出相等的角，再求出DE=AD 是解题的关键，也是本题的难点．2．如图，在等腰直角ABC 中，AB BC =，点D 是ABC 内部一点， DE BC ⊥，DF AB ⊥，垂足分别为E ，F ，若3CE DE =， 53DF AF =， 2.5DE =，则AF =（）A ．8B ．10C ．12.5D ．15C解析：C【分析】根据比例关系设DF=x ，可判断四边形DEBF 为矩形，根据矩形的性质和比例关系分别表示CB 和AB ，再根据AB BC =，列出方程，求解即可得出x ，从而得出AF ．【详解】,DE BC DF AB ⊥⊥，90DEB DFB ∴∠=∠=︒，∵△ABC 为等腰直角三角形，∴∠ABC=90°，∴四边形DEBF 为矩形，∴BF=DE=2.5，DF=EB ，设DF=3x ，则EB=3x ，∵53DF AF =，∴AF=5x ，AB=5x+2.5，∵3CE DE =，∴CE=7.5，∴CB=7.5+3x ，∵AB=CB ，∴5x+2.5=7.5+3x ，解得x=2.5,∴512.5AF x ==，故选：C ．【点睛】本题考查矩形的性质和判定，等腰三角形的定义，一元一次方程的应用．能借助相关性质表示对应线段的长度是解题关键．本题主要用到方程思想．3．如图，在ABC 中，D ，E 分别是,AB AC 的中点，12BC =，F 是DE 的上任意一点，连接,AF CF ，3DE DF =，若90AFC ∠=︒，则AC 的长度为（）A．4 B．5 C．8 D．10C解析：C【分析】根据三角形中位线定理求出DE，根据题意求出EF，根据直角三角形的性质计算即可．【详解】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=12BC=6，∵DE=3DF，∴EF=4，∵∠AFC=90°，E是AC的中点，∴AC=2EF=8，故选：C．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．4．如图，在菱形ABCD中，对角线BD＝4，AC＝3BD，则菱形ABCD的面积为（）A．96 B．48 C．24 D．6C解析：C【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半解答．【详解】解：∵BD＝4，AC＝3BD，∴AC＝12，∴菱形ABCD的面积为12AC×BD＝11242⨯⨯＝24．故选：C．【点睛】本题主要考查菱形的性质，利用对角线求面积的方法，在求菱形的面积中用得较多，需要熟练掌握．5．如图，己知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确．．的是（）A．若AB AD=，则平行四边形ABCD是矩形B．若AB AD=，则平行四边形ABCD是正方形C．若AB BC⊥，则平行四边形ABCD是矩形D．若AC BD⊥，则平行四边形ABCD是正方形C解析：C【分析】根据已知及各个特殊四边形的判定方法对各个选项进行分析从而得到最后答案．【详解】解：A、若AB=AD，则▱ABCD是菱形，选项说法错误；B、若AB=AD，则▱ABCD是菱形，选项说法错误；C、若AB⊥BC，则▱ABCD是矩形，选项说法正确；D、若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形，选项说法错误；故选：C．【点睛】此题考查了菱形，矩形，正方形的判定方法，对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．6．菱形的一个内角是60︒，边长是3cm，则这个菱形的较短的对角线长是（）A．3cm2B33cm2C．3cm D．33cm C解析：C【分析】根据菱形的四边相等和一个内角是60°，可判断较短对角线与两边组成等边三角形，根据等边三角形的性质可求较短的对角线长．【详解】解：因为菱形的四边相等，当一个内角是60°，则较短对角线与两边组成等边三角形．∵菱形的边长是3cm，∴这个菱形的较短的对角线长是3cm．故选：C．【点睛】此题考查了菱形四边都相等的性质及等边三角形的判定，解题关键是判断出较短对角线与两边构成等边三角形．7．下列命题中，正确的命题是（）A．菱形的对角线互相平分且相等B．顺次联结菱形各边的中点所得的四边形是C ．矩形的对角线互相垂直平分D ．顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是正方形B解析：B【分析】根据菱形的性质、矩形的性质、中点四边形的定义逐一判断即可．【详解】解：A. 菱形的对角线互相平分，但不相等，该命题错误；B. 顺次联结菱形各边的中点所得的四边形是矩形，该命题正确；C. 矩形的对角线互相平分，但是不垂直，该命题错误；D. 顺次连结矩形各边的中点所得的四边形是菱形，该命题错误；故选：B ．【点睛】本题考查特殊四边形的判定和性质，掌握菱形的性质、矩形的性质、中点四边形的定义是解题的关键．8．如图，在平行四边形ABCD 中，点F 是AB 的中点，连接DF 并延长，交CB 的延长线于点E ，连接AE ．添加一个条件，使四边形AEBD 是菱形，这个条件是（）A ．BAD BDA ∠=∠B ．AB DE =C ．DF EF =D ．DE 平分ADB ∠D解析：D【分析】先证明△ADF ≌△BEF ，得到AD=BE ，推出四边形AEBD 是平行四边形，再逐项依次分析即可．【详解】解：在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠DAB=∠EBA ，∵点F 是AB 的中点，∴AF=BF ，∵∠AFD=∠BFE ，∴△ADF ≌△BEF ，∴AD=BE ，∵AD ∥BE ，∴四边形AEBD 是平行四边形，A 、当BAD BDA ∠=∠时，得到AB=BD ，无法判定四边形AEBD 是菱形，故该选项不符合B、AB=BE时，无法判定四边形AEBD是菱形，故该选项不符合题意；C、DF=EF时，无法判定四边形AEBD是菱形，故该选项不符合题意；∠时，四边形AEBD是菱形，故该选项符合题意；D、当DE平分ADB故选：D．【点睛】此题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，菱形的判定，熟记平行四边形的性质是解题的关键．9．如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，E是边AD上一动点，将△CDE沿CE 折叠，得到△CFE，则△BCF面积的最大值是（）A．8 B．83C．16 D．163A解析：A【分析】由三角形底边BC是定长，所以当△BCF的高最大时，△BCF的面积最大，即当FC⊥BC 时，三角形有最大面积．【详解】解：在菱形ABCD中，BC=CD=AB=4又∵将△CDE沿CE 折叠，得到△CFE，∴FC=CD=4由此，△BCF的底边BC是定长，所以当△BCF的高最大时，△BCF的面积最大，即当FC⊥BC时，三角形有最大面积∴△BCF面积的最大值是11448BC FC=⨯⨯=22故选：A．【点睛】本题考查菱形的性质和折叠的性质，掌握三角形面积的计算方法和菱形的性质正确推理计算是解题关键．10．矩形不一定具有的性质是（）A．对角线互相平分B．是轴对称图形C．对角线相等D．对角线互相垂直参考答案D解析：D【分析】根据矩形的性质即可判断．【详解】解：∵矩形的对角线线段，四个角是直角，对角线互相平分，∴选项A、B、C正确，故选：D．【点睛】本题考查矩形的性质，解题的关键是记住矩形的性质．二、填空题11．如图，EF过ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若ABCD的OE ，则四边形EFCD的周长为_____．周长为19， 2.5145【分析】根据平行四边形的性质易证三角形全等进而易得AE=CF故四边形的周长=AD+CD+EF根据已知求解即可【详解】解：在平行四边形ABCD中AD∥BCAC与BD互相平分∴AO=OC∠DAC=解析：14.5【分析】根据平行四边形的性质易证三角形全等，进而易得AE=CF，故四边形EFCD的周长=AD+CD+EF，根据已知求解即可．【详解】解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD互相平分∴AO=OC，∠DAC=∠ACB，∠AOE=∠COF∴△AOE≌△COF∴AE=CF，OF=OE=2.5∴四边形EFCD的周长=CF+DE+CD+EF=AE+DE+CD+EF=AD+CD+EF=19 2.52+×2 =14.5．故答案为：14.5．【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及三角形全等的证明，将所求线段转化为已知线段是解题的关键．12．己知菱形ABCD 的边长是3，点E 在直线AD 上，DE =1，联结BE 与对角线AC 相交于点M ，则AM MC的值是______．或【分析】首先根据题意作图注意分为E 在线段AD 上与E 在AD 的延长线上然后由菱形的性质可得AD ∥BC 则可证得△MAE ∽△MCB 根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案【详解】解：∵菱形ABCD 的边长是解析：23或43【分析】首先根据题意作图，注意分为E 在线段AD 上与E 在AD 的延长线上，然后由菱形的性质可得AD ∥BC ，则可证得△MAE ∽△MCB ，根据相似三角形的对应边成比例即可求得答案．【详解】解：∵菱形ABCD 的边长是3，∴AD=BC=3，AD ∥BC ，如图①：当E 在线段AD 上时，∴AE=AD －DE=3－1=2，∴△MAE ∽△MCB ， ∴23MA AE MC BC ==；如图②，当E 在AD 的延长线上时，∴AE=AD+DE=3+1=4，∴△MAE ∽△MCB ， ∴43MA AE MC BC ==． ∴MA MC 的值是23或43．故答案为23或43．【点睛】此题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键是注意此题分为E 在线段AD 上与E 在AD 的延长线上两种情况，小心不要漏解．13．如图，在四边形ABCD 中，150ABC ∠=︒，BD 平分ABC ∠，过A 点作//AE BC 交BD 于点E ，EF BC ⊥于点F 若6AB =，则EF 的长为________．3【分析】过点A 作AM ⊥CB 交CB 延长线于点M 根据题意可知∠ABM=30°可求AM=3再利用平行四边形的性质求出EF【详解】解：过点A 作AM ⊥CB 交CB 延长线于点M ∵∴∠ABM=30°∴AM=AB= 解析：3【分析】过点A 作AM ⊥CB ，交CB 延长线于点M ，根据题意可知，∠ABM=30°，可求AM=3，再利用平行四边形的性质，求出EF ．【详解】解：过点A 作AM ⊥CB ，交CB 延长线于点M ，∵150ABC ∠=︒，∴∠ABM=30°，∴AM=12AB=12×6=3， ∵AM ⊥CB ，EF BC ⊥，∴AM ∥EF ，∵//AE BC ，∴四边形AMFE 是平行四边形，∵AM ⊥CB ，∴四边形AMFE 是矩形，∴EF=AM=3，故答案为：3．．【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质和平行四边形的判定，恰当的作辅助线，构造特殊的直角三角形是解题关键．14．把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和顶点D重合，折痕为EF．若38CDF∠=︒，则EFD∠的度数是_________．64°【分析】先根据矩形的性质求出∠CFD的度数继而求出∠BFD的度数根据图形折叠的性质得出∠EFD=∠BFE=∠BFD即可得出结论【详解】解：∵ABCD是矩形∴∠DCF=90°∵∠CDF=38°∴解析：64°【分析】先根据矩形的性质求出∠CFD的度数，继而求出∠BFD的度数，根据图形折叠的性质得出∠EFD=∠BFE=12∠BFD，即可得出结论．【详解】解：∵ABCD是矩形，∴∠DCF=90°，∵∠CDF=38°，∴∠CFD=52°，∴∠BFD=180°-52°=128°，∵四边形EFDA1由四边形EFBA翻折而成，∴∠EFD=∠BFE=12∠BFD=12×128°=64°．故答案为：64°．【点睛】本题考查的是矩形折叠问题，掌握轴对称的性质是关键．15．如图，B，E，F，D四点在一条直线上，菱形ABCD的面积为2120cm，正方形AECF 的面积为250cm ，则菱形的边长为___cm ．13【分析】根据正方形的面积可用对角线进行计算解答即可【详解】解：连接ACBD 交于点O ∵四边形ABCD 是菱形∴AC ⊥BDAO=COBO=DO ∵正方形AECF 的面积为50cm2∴AC2=50∴AC=1 解析：13【分析】根据正方形的面积可用对角线进行计算解答即可．【详解】解：连接AC ，BD 交于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO=CO ，BO=DO ，∵正方形AECF 的面积为50cm 2， ∴12AC 2=50， ∴AC=10cm ，∴AO=CO=5cm ，∵菱形ABCD 的面积为120cm 2， ∴12×AC×BD=120， ∴BD=24cm ，∴BO=DO=12cm ， ∴22AB AO BO +25144+，故答案为13．【点睛】本题考查正方形的性质，菱形的性质，关键是根据正方形和菱形的面积进行解答． 16．如图，矩形ABCD 中，10AD =，14AB =，点E 为DC 上一个动点，把ADE 沿AE 折叠，点D 的对应点为D ，若D 落在ABC ∠的平分线上时，DE 的长为_____．5或【分析】连接BD′过D′作MN⊥AB交AB于点MCD于点N作D′P⊥BC交BC于点P先利用勾股定理求出MD′再分两种情况利用勾股定理求出DE【详解】解：如图连接BD′过D′作MN⊥AB交AB于点解析：5或10 3【分析】连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P，先利用勾股定理求出MD′，再分两种情况利用勾股定理求出DE．【详解】解：如图，连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P∵点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上，∴MD′=PD′，设MD′=x，则PD′=BM=x，∴AM=AB-BM=14-x，又折叠图形可得AD=AD′=10，∴x2+（14-x）2=100，解得x=6或8，即MD′=6或8．在Rt△END′中，设ED′=a，①当MD′=6时，AM=14-6=8，D′N=10-6=4，EN=8-a，∴a2=42+（8-a）2，解得a=5，即DE=5，②当MD′=8时，AM=14-8=6，D′N=10-8=2，EN=6-a，∴a2=22+（6-a）2，解得103a=，即103DE=.故答案为：5或10 3.【点睛】本题主要考查了折叠问题，解题的关键是明确掌握折叠以后有哪些线段是对应相等的．17．平行四边形的两条对角线长分别为6和8，其夹角为45︒，该平行四边形的面积为_______．【分析】画出图形证明四边形EFGH 是平行四边形得到∠EHG=45°计算出MG 得到四边形EFGH 的面积从而得到结果【详解】解：如图四边形ABCD 是平行四边形EFGH 分别是各边中点过点G 作EH 的垂线垂足解析：122 【分析】画出图形，证明四边形EFGH 是平行四边形，得到∠EHG=45°，计算出MG ，得到四边形EFGH 的面积，从而得到结果．【详解】解：如图，四边形ABCD 是平行四边形，E 、F 、G 、H 分别是各边中点，过点G 作EH 的垂线，垂足为M ，AC=6，BD=8，可得：EF=HG=12AC=3，EH=FG=12BD=4，EF ∥HG ∥AC ，EH ∥FG ∥BD ， ∴四边形EFGH 是平行四边形，∵AC 和BD 夹角为45°，可得∠EHG=45°，∴△HGM 为等腰直角三角形，又∵HG=3，∴MG=233222=， ∴四边形EFGH 的面积=MG EH ⋅=62，∴平行四边形ABCD 的面积为122，故答案为：122．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是根据题意画出图形，结合图形的性质解决问题．18．如图，在Rt ABC △中，90A ︒∠=，2AB =，点D 是BC 边的中点，点E 在AC 边上，若45DEC ︒∠=，那么DE 的长是__________．【分析】过D作DF⊥AC于F得到AB∥DF求得AF＝CF根据三角形中位线定理得到DF=AB＝1根据等腰直角三角形的性质即可得到结论【详解】解：过D作DF⊥AC于F∴∠DFC＝∠A＝90°∴AB∥DF解析：2【分析】过D作DF⊥AC于F，得到AB∥DF，求得AF＝CF，根据三角形中位线定理得到DF=12AB＝1，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．【详解】解：过D作DF⊥AC于F，∴∠DFC＝∠A＝90°，∴AB∥DF，∵点D是BC边的中点，∴BD＝DC，∴AF＝CF，∴DF=12AB＝1，∵∠DEC＝45°，∴△DEF是等腰直角三角形，∴DE=2DF=2，故答案为：2．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，平行线的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键．19．如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD 于点E，AB＝8，EF＝1，则BC长为__________．15【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠ABF=∠AFB得出AF=AB=8同理可得DE=DC=8再由EF的长即可求出BC的长【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BCDC=AB=8A解析：15【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠ABF=∠AFB，得出AF=AB=8，同理可得DE=DC=8，再由EF的长，即可求出BC的长．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，DC=AB=8，AD=BC，∴∠AFB=∠FBC，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠FBC，则∠ABF=∠AFB，∴AF=AB=8，同理可证：DE=DC=8，∵EF=AF+DE-AD=1，即8+8-AD=1，解得：AD=15；故答案为：15．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证出AF=AB是解决问题的关键．20．在长方形ABCD中，52AB=，4BC=，CE CF=，CF平分ECD∠，则BE=_________．【分析】延长CF交EA的延长线于点G连接EF过点F作FH⊥CE于点H过点E作EM⊥CF于点M由题意易得FH=FDFH=EMEC=EG进而可得△CDF≌△CME然后可得CM=CD=由勾股定理可得BG=解析：7 6【分析】延长CF，交EA的延长线于点G，连接EF，过点F作FH⊥CE于点H，过点E作EM⊥CF于点M，由题意易得FH=FD，FH=EM，EC=EG，进而可得△CDF≌△CME，然后可得CM=CD=52，由勾股定理可得BG=3，设BE=x ，则有EC=EG=3+x ，最后利用勾股定理可求解．【详解】解：延长CF ，交EA 的延长线于点G ，连接EF ，过点F 作FH ⊥CE 于点H ，过点E 作EM ⊥CF 于点M ，如图所示：∵四边形ABCD 是矩形，4BC =，52AB =∴BC=AD ，52AB DC ==，AB ∥DC ，∠D=∠ABC=∠CBE=90° ∴∠DCF=∠G ，∵CF 平分∠ECD ，∴∠DCF=∠ECF ，DF=FH ，∴∠G=∠ECF ，∴EC=EG ，∴△ECG 是等腰三角形，∴CM=MG ，∵CE=CF ，∴△ECF 是等腰三角形， ∵EM 、FH 分别是等腰三角形ECF 腰上的高线， ∴FH=EM=DF ，∴Rt △CDF ≌Rt △CME （HL ），∴52CM DC ==， ∴CG=5，∴在Rt △CBG 中，223BG CG CB -=，设BE=x ，则有EC=EG=3+x ，在Rt △CBE 中，222BC BE CE +=，∴()22243x x +=+，解得：76x =，∴76BE =；故答案为76．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质与判定、矩形的性质及勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质与判定、矩形的性质及勾股定理是解题的关键．三、解答题21．在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，点D 是AB 的中点，点E 是直线BC 上一点（不与点B ，C 重合），连结CD ，DE ．（1）如图①若90CDE ∠=︒，求证：A E ∠=∠．②若BD 平分CDE ∠，且24E ∠=︒，求A ∠的度数．（2）设()45A αα∠=>︒，DEC β∠=，若CD CE =，求β关于α的函数关系式，并说明理由．解析：（1）①见解析；②22°；（2）1452βα=+︒或1452βα=-+︒，见解析【分析】（1）①由直角三角形斜边上中线的性质得AD DC BD ==，再根据等腰三角形的性质，由等角的余角相等，即可证明结论；②设DBC x ∠=︒，则24BDE x ∠=︒-︒，根据角平分线的性质以及三角形的内角和列式求出x 的值即可；（2）分情况讨论，当点E 在线段BC 上，或当点E 在线段BC 的延长线上，由等腰三角形的性质即可求出结果．【详解】（1）①证明：∵90ACB ∠=︒，∴90A ABC ∠+∠=︒，∵点D 是AB 的中点，∴AD DC BD ==，∴DCB ABC ∠=∠．∵90CDE ∠=︒，∴90E DCB ∠+∠=︒，∴A E ∠=∠；②解：设DBC x ∠=︒，则24BDE x ∠=︒-︒，∵BD 平分CDE ∠，∴24CDB BDE x ∠=∠=︒-︒．∵DB DC =，∴DCB DBC x ∠=∠=︒，∴24180x x x ︒+︒+︒-︒=︒，解得68x =，∴906822A ∠=︒-︒=︒；（2）①如图，当CD CE =时，∴CDE CED β∠=∠=．∵A α∠=，AD DC =，∴ACD α∠=，∴90DCB α∠=︒-，∴290180βα+︒-=︒，得1452βα=+︒；②如图，当CD CE =时∴CDE E β∠=∠=，∴290βα=︒-，得1452βα=-+︒．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形斜边上中线的性质，解题的关键是熟练掌握这些几何的性质定理．22．如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，90A ∠=︒，16cm AB =，13cm BC =，21cm CD =，动点N 从点D 出发，以每秒2cm 的速度在射线DC 上运动到C 点返回，动点M 从点A 出发，在线段AB 上，以每秒1cm 的速度向点B 运动，点M ，N 分别从点A ，D 同时出发．当点M 运动到点B 时，点N 随之停止运动，设运动时间为t （秒）．（1）当t 为何值时，四边形MNCB 是平行四边形．（2）是否存在点N ，使NMB △是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t 的值，若不存在，请说明理由．解析：（1）5秒或373秒；（2）存在，163秒或72秒或685秒【分析】（1）由题意已知，AB ∥CD ，要使四边形MNBC 是平行四边形，则只需要让BM=CN 即可，因为M 、N 点的速度已知，AB 、CD 的长度已知，要求时间，用时间=路程÷速度，即可求出时间；（2）使△BMN 是等腰三角形，可分三种情况，即BM=BN 、NM=NB 、MN=MB ；可利用等腰三角形及直角梯形的性质，分别用t 表达等腰三角形的两腰长，再利用两腰相等即可求得时间t ．【详解】解：（1）设运动时间为t 秒．∵四边形MNCB 是平行四边形，∴MB=NC ，当N 从D 运动到C 时，∵BC=13cm ，CD=21cm ，∴BM=AB-AM=16-t ，CN=21-2t ，∴16-t=21-2t ，解得t=5，当N 从C 运动到D 时，∵BM=AB-AM=16-t ，CN=2t-21∴16-t=2t-21，解得t=373，∴当t=5秒或373秒时，四边形MNCB是平行四边形；（2）△NMB是等腰三角形有三种情况，Ⅰ．当NM=NB时，作NH⊥AB于H，则HM=HB，当N从D运动到C时，∵MH=HB=12BM=12（16-t），由AH=DN得2t＝12(16−t)+t，解得t＝163秒；当点N从C向D运动时，观察图象可知，只有由题意：42-2t=12（16-t）+t，解得t=685秒．Ⅱ．当MN=MB，当N从D运动到C时，MH=AH-AM=DN-AM=2t-t=t，BM=16-t，∵MN2=t2+122，∴（16-t）2=122+t2，解得t＝72（秒）；Ⅲ．当BM=BN，当N从C运动到D时，则BH=AB-AH=AB-DN=16-2t，∵BM2=BN2=NH2+BH2=122+（16-2t）2，∴（16-t）2=122+（16-2t）2，即3t 2-32t+144=0，∵△＜0，∴方程无实根，综上可知，当t=163秒或72秒或685秒时，△BMN 是等腰三角形．【点睛】本题主要考查了直角梯形的性质、平行四边形的性质、梯形的面积、等腰三角形的性质，特别应该注意要全面考虑各种情况，不要遗漏．23．如图，在四边形ABCD 中//AD BC ，5cm AD =，9cm BC =，M 是CD 的中点，P 是BC 边上的一动点（P 与B ，C 不重合），连接PM 并延长交AD 的延长线于Q ．（1）试说明不管点P 在何位置，四边形PCQD 始终是平行四边形．（2）当点P 在点B ，C 之间运动到什么位置时，四边形ABPQ 是平行四边形？并说明理由．解析：（1）见解析；（2）PC=2时【分析】（1）由“ASA”可证△PCM ≌△QDM ，可得DQ=PC ，即可得结论；（2）得出P 在B 、C 之间运动的位置，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出结论．【详解】解：（1）∵AD ∥BC ，∴∠QDM=∠PCM ，∵M 是CD 的中点，∴DM=CM ，∵∠DMQ=∠CMP ，DM=CM ，∠QDM=∠PCM ，∴△PCM ≌△QDM （ASA ）．∴DQ=PC ，∵AD ∥BC ，∴四边形PCQD 是平行四边形，∴不管点P 在何位置，四边形PCQD 始终是平行四边形；（2）当四边形ABPQ 是平行四边形时，PB=AQ ，∵BC-CP=AD+QD ，∴9-CP=5+CP ，∴CP=（9-5）÷2=2．∴当PC=2时，四边形ABPQ 是平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质和判定方法是解题的关键．24．下面是小明设计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规作图过程．已知：四边形ABCD 是平行四边形，且,AB BC <求作：菱形ABEF ，使点E 在BC 上，点F 在AD 上．作法：①作BAD ∠的角平分线，交BC 于点E ；②以A 为圆心，AB 长为半径作弧，交AD 于点F ；③连接EF ．则四边形ABEF 为所求作的菱形．根据小明设计的尺规作图过程（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）求证四边形ABEF 为菱形．解析：（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据要求画出图形即可．（2）利用平行四边形的判定，菱形的判定解决问题即可．【详解】解:解:()1如图所示．()2证明:AE ∵平分,BAD ∠13,∴∠=∠在ABCD 中，//,AD BC23,∴∠=∠12,∴∠=∠,AB BE ∴=,AF AB =,AF BE ∴=又//,AF BE∴四边形ABEF 为平行四边形．,AF AB = ∴四边形ABEF 为菱形．【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．25．如图，在▱ABCD 中，AB =12cm ，BC =6cm ，∠A =60°，点P 沿AB 边从点A 开始以2cm/秒的速度向点B 移动，同时点Q 沿DA 边从点D 开始以1cm/秒的速度向点A 移动，用t 表示移动的时间（0≤t ≤6）．（1）当t 为何值时，△PAQ 是等边三角形？（2）当t 为何值时，△PAQ 为直角三角形？解析：（1）t =2；（2）t =3或65t =．【分析】（1）根据等边三角形的性质，列出关于t 的方程，进而即可求解．（2）根据△PAQ 是直角三角形，分两类讨论，分别列出方程，进而即可求解．【详解】解：（1）由题意得：AP =2t （米），AQ =6-t （米）．∵∠A =60°，∴当△PAQ 是等边三角形时，AQ =AP ，即2t =6-t ，解得：t =2，∴当t =2时，△PAQ 是等边三角形．（2）∵△PAQ 是直角三角形，∴当∠AQP =90°时，有∠APQ =30°，即AP =2AQ ，∴2t =2（6-t ），解得：t =3（秒），当∠APQ =90°时，有∠AQP =30°，即AQ =2AP ，∴6-t =2·2t ，解得65t =（秒），∴当t =3或65t =时，△PAQ 是直角三角形．【定睛】本题主要考查等边三角形的性质，直角三角形的定义以及平行四边形的定义，熟练掌握等边三角形的性质，直角三角形的定义，列出方程，是解题的关键．26．如图，在△ABC 中，AB =AC ，DE 垂直平分AC ，CE ⊥AB ，AF ⊥BC ，（1）求证：CF =EF ；（2）求∠EFB 的度数．解析：（1）证明见解析；（2）EFB 45∠=︒【分析】（1）先根据线段垂直平分线的性质及CE ⊥AB 得出△ACE 是等腰直角三角形，再由等腰三角形的性质得出∠ACB 的度数，由AB=AC ，AF ⊥BC ，可知BF=CF ，CF=EF ；（2）根据三角形外角的性质即可得出结论．【详解】∵DE 垂直平分AC ，∴AE=CE ，∵CE ⊥AB ，∴△ACE 是等腰直角三角形，∠BEC=90°，∵AB=AC ，AF ⊥BC ，∴BF=CF ，即F 是BC 的中点，∴Rt △BCE 中，EF=12BC=CF ；（2）由（1）得：△ACE 是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠ACE=45°，又∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB=()11804567.52︒-︒=︒， ∴∠BCE=∠ACB-∠ACE=67.5°-45°=22.5°，∵CF=EF ，∴∠CEF=∠BCE=22.5°，∵∠EFB 是△CEF 的外角，∴∠EFB=∠CEF+∠BCE=22.5°+22.5°=45°．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，斜边的中线等于斜边的一半，三角形的外角性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键，同时要熟悉直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半．27．如图，菱形EFGH 的三个顶点E 、G 、H 分别在正方形ABCD 的边AB 、CD 、DA 上，连接CF ．（1）求证：∠HEA ＝∠CGF ；（2）当AH ＝DG 时，求证：菱形EFGH 为正方形．解析：（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）连接GE ，根据正方形对边平行，得∠AEG=∠CGE ，根据菱形的对边平行，得∠HEG=∠FGE ，利用两个角的差求解即可；（2）根据正方形的判定定理，证明∠GHE=90°即可．【详解】证明：（1）连接GE ，∵AB ∥CD ，∴∠AEG=∠CGE ，∵GF ∥HE ，∴∠HEG=∠FGE ，∴∠HEA=∠CGF ；（2）∵四边形ABCD 是正方形，∴∠D=∠A=90°，∵四边形EFGH 是菱形，∴HG=HE ，在Rt △HAE 和Rt △GDH 中，AH DG HE HG =⎧⎨=⎩， ∴Rt △HAE ≌Rt △GDH ，∴∠AHE=∠DGH，∵∠DHG+∠DGH=90°，∴∠DHG+∠AHE=90°，∴∠GHE=90°，∴菱形EFGH为正方形.【点睛】本题考查了正方形的性质和判定，菱形的性质，平行线的性质，熟记正方形的性质和判定是解题的关键.28．如图，在方格纸中，点A，B，P都在格点上．请按要求画出以AB为边的格点图形．（1）在图甲中画出一个三角形，使BP平分该三角形的面积．（2）在图乙中画出一个至少有一组对边平行的四边形，使AP平分该四边形的面积．解析：（1）画图见解析；（2）画图见解析．【分析】△即为所求；（1）连接AP延长至D点，使AP=DP，再连接BD，ABD（2）作EP平行且相等于AB，连接AE，四边形ABPE即为所求．【详解】（1）作图如下，连接AP延长至D点，使AP=DP，再连接BD，△即为所求，ABD=，AP DP∴和BDPABP△是等底同高的两个三角形，∴BP平分ABD△三角形的面积；（2）作图如下，作EP平行且相等于AB，连接AE，四边形ABPE即为所求，AB平行且相等于EP，∴四边形ABPE为平行四边形，∴AP为ABCD的对角线，∴AP平分ABCD的面积．【点睛】本题考查学生的作图能力，涉及三角形面积以及平行四边形面积相关的知识，根据题意作出图像是解题的关键．。

人教版八年级下册数学作业课件第十八章第2课时平行四边形的对角线的特征

(2)若△OAE 的面积为 S1，△OCF 的面积为 S2，S1 ＋S2 的值是否发生变化？若不变，求出这个定值；若变化，请说明随着 DE 的增大，S1＋S2 的值是如何发生变化的．解：S1＋S2 的值不变．如图，连接 AF， ∵点 O 为▱ ABCD 的对角线 AC，BD 的交点， ∴AO＝OC.∴S△AOF＝S△COF.
A．8 B．10 C．12 D．14
4．如图，▱ ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O.
若 AC＝6，BD＝8，则 AB 的长可能是（ D ）
A．10
B．8
C．7
பைடு நூலகம்
D．6
【变式题】条件改变，本质不变同第 4 题图，在▱ ABCD 中，AB＝3 cm，BC＝5 cm，对角线 AC，BD 相交于点 O，则 OA 的取值范围是 1 cm<OA<4 cm.
AB＝2，BC＝2 3，则 AH 的长为
23 3
.
解析： ∵AB⊥AC ， AB ＝ 2 ， BC＝ 2 3 ， ∴AC ＝（2 3）2－22＝2 2 .在▱ ABCD 中，OA ＝OC，
∴OA ＝ OC ＝ 2 . 在 Rt△OAB 中， OB ＝ 22＋（ 2）2 ＝ 6 . 又 AH⊥BD ， ∴ 1 OB·AH ＝ 2
5．(教材 P51 习题 T14 变式)如图，在▱ ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O 作直线 EF⊥AB，分别交 AB，CD 于点 E，F. (1)求证：OE＝OF；证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD，OA＝OC. ∴∠FCO＝∠EAO，∠CFO＝∠AEO. ∴△FCO≌△EAO(AAS)． ∴OE＝OF.
12OA·AB，即12× 6AH＝12×2× 2，解得 AH＝233.

八年级下册数学人教版利用对角线条件判定平行四边形精准练习【精编版】含答案

利用对角线条件判定平行四边形一、选择题1.如图K-25-1,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,根据下列条件不能判定四边形ABCD 为平行四边形的是()图K-25-1A.AB∥CD,AD∥BCB.OA=OC,OB=ODC.AD=BC,AB∥CDD.AB=CD,AD=BC2.下列关于平行四边形的判定方法,正确的是()A.对角线互相垂直的四边形是平行四边形B.对角线互相平分的四边形是平行四边形C.对角线相等的四边形是平行四边形D.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形3.[2019·威海]如图K-25-2,E是▱ABCD的边AD的延长线上一点,连结BE,CE,BD,BE交CD于点F.添加以下条件,不能判定四边形BCED为平行四边形的是()图K-25-2A.∠ABD=∠DCEB.DF=CFC.∠AEB=∠BCDD.∠AEC=∠CBD4.如图K-25-3,已知▱ABCD和▱AEFD,则四边形BCFE是平行四边形的理由不成立的是()图K-25-3A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D.对角线互相平分的四边形是平行四边形5.[2019·鄂城区期中]在平面直角坐标系中,点O,B,D的坐标分别是(0,0),(5,0),(2,3),若存在点C,使得以O,B,D,C为顶点的四边形是平行四边形,则下列给出的点C的坐标中,错误的是()A.(3,-3)B.(-3,3)C.(3,5)D.(7,3)6.如图K-25-4,在△ABC中,AB=BC=12cm,F是AB上的一点,过点F作FE∥BC交CA于点E,过点E作ED∥AB交BC于点D,则四边形BDEF的周长为()A.12cmB.18cmC.24cmD.36cm图K-25-4二、填空题7.如图K-25-5,将△ABC绕AC边的中点O旋转180°后与原三角形拼成的四边形一定是.图K-25-58.如图K-25-6所示,四边形ABCD中,OA=OC,要使四边形ABCD为平行四边形,则应添加的条件是(任意添加一个符合题意的条件即可).图K-25-69.对于平面内任意一个凸四边形ABCD,现从以下四个关系式:①AB=CD,②AD=BC,③AB∥CD,④∠A=∠C中任取两个作为条件,能够得出四边形ABCD是平行四边形的条件有_______.三、解答题10.[2019·郴州]如图K-25-7,▱ABCD中,E是边AD的中点,连结CE并延长交BA的延长线于点F,连结AC,DF.求证:四边形ACDF是平行四边形.图K-25-711.如图K-25-8,在▱ABCD中,点E,F在AC上,点G,H在BD上,且AE=CF,BH=DG.求证:EG∥FH.图K-25-812.如图K-25-9所示,▱AECF的对角线相交于点O,DB经过点O,与AE,CF分别交于点B,D.求证:四边形ABCD是平行四边形.图K-25-913.[2019·常熟期中]如图K-25-10,AB=CD,E,F分别为AB,CD上的点,连结BC,分别与AF,ED 交于点G,H,∠B=∠C,BH=CG.(1)求证:AG=DH;(2)求证:四边形AFDE是平行四边形.图K-25-1014如图K-25-11,△ABC是边长为4的等边三角形,P是△ABC内的任意一点,过点P作EF∥AB 分别交AC,BC于点E,F,作GH∥BC分别交AB,AC于点G,H,作MN∥AC分别交AB,BC于点M,N,试猜想:EF+GH+MN的值是多少?其值是否随点P位置的改变而变化?并说明你的理由.图K-25-11详解详析1.[答案]C2.[答案]B3.[答案]C4.[答案]D5.[答案]C6.[答案]C[解析]∵FE∥BC,ED∥AB,∴∠A=∠DEC,四边形BDEF为平行四边形.∵AB=BC,∴∠A=∠C,∴∠DEC=∠C,∴DE=DC.同理EF=FA,∴四边形BDEF的周长=AB+BC=12+12=24(cm).7.[答案] 平行四边形8.[答案] 答案不唯一,如OB=OD9.[答案]①②,①③,③④10.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠FAE=∠CDE.∵E是AD的中点,∴AE=DE.又∵∠FEA=∠CED,∴△FAE≌△CDE(ASA),∴EF=EC,∴四边形ACDF是平行四边形.11.证明:如图,连结GF,EH.∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD.又∵AE=CF,BH=DG,∴OE=OF,OH=OG,∴四边形GEHF是平行四边形,∴EG∥FH.12.证明:∵四边形AECF是平行四边形, ∴OE=OF,OA=OC,AE∥CF,∴∠DFO=∠BEO,∠FDO=∠EBO,∴△FDO≌△EBO(AAS),∴OD=OB.又∵OA=OC,∴四边形ABCD是平行四边形.13.证明:(1)∵BH=CG,∴BH+HG=CG+HG,∴BG=CH.在△ABG与△DCH中,{AB=CD,∠B=∠C, BG=CH,∴△ABG≌△DCH(SAS),∴AG=DH.(2)∵△ABG≌△CDH,∴∠AGB=∠CHD,∴AF∥DE.∵∠B=∠C,∴AB∥CD,∴四边形AFDE是平行四边形.14解:EF+GH+MN的值是8,其值不会随点P位置的改变而变化.理由:∵P是△ABC内的任意一点,MN∥AC,EF∥AB,∴四边形AMPE是平行四边形,∴PE=AM.同理PF=GB.∴EF=PE+PF=AM+GB①.∵△ABC是等边三角形,∴∠A=∠B=∠C=60°.∵GH∥BC,∴∠AGH=∠B=60°,∠AHG=∠C=60°,∴△AGH是等边三角形,∴GH=AG=AM+MG②,同理MN=MB=MG+GB③,①+②+③,得EF+GH+MN=AM+GB+AM+MG+MG+GB=2(AM+MG+GB)=2AB=2×4=8, 即EF+GH+MN=8.。

人教版八年级下册数学平行四边形第2课时平行四边形的对角线性质同步练习

18.1 平行四边形第2课时平行四边形的对角线性质基础训练知识点1 平行四边形的性质——对角线互相平分1.如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,则下列说法一定正确的是( )A.AO=ODB.AO⊥ODC.AO=OCD.AO⊥AB2.如图,在平行四边形ABCD中,AB=3 cm,BC=5 cm,对角线AC,BD相交于点O,则OA的取值范围是( )A.2 cm<OA<5 cmB.2 cm<OA<8 cmC.1 cm<OA<4 cmD.3 cm<OA<8 cm3.(2016·丽水)如图,▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,已知AD=8,BD=12,AC=6,则△OBC的周长为( )A.13B.17C.20D.264.如图,▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AB⊥AC.若AB=4,AC=6,则BD的长是( )A.8B.9C.10D.115.如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AE⊥BD于E,CF⊥BD于F,则图中全等的三角形共有( )A.7对B.6对C.5对D.4对6.如图,▱ABCD的对角线AC与BD相交于O,OE⊥BD于O交BC于E,连接DE,若△CED的周长是21 cm,则▱ABCD的周长是.知识点2 平行四边形的面积7.将一张平行四边形的纸片折一次,使得折痕平分这个平行四边形的面积.则这样的折纸方法共有( )A.1种B.2种C.4种D.无数种8.如图,在平行四边形ABCD中,点A1,A2,A3,A4和C1,C2,C3,C4分别是AB和CD的五等分点,点B1,B2和D1,D2分别是BC和DA的三等分点,已知四边形A4B2C4D2的面积为1,则平行四边形ABCD的面积为( )A.2B.错误!未找到引用源。

C.错误!未找到引用源。

D.159.如图,过▱ABCD的对角线BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH,那么图中的▱AEMG的面积S1与▱HCFM的面积S2的大小关系是( )A.S1>S2B.S1<S2C.S1=S2D.2S1=S210.如图,在平行四边形ABCD中,AC,BD为对角线,BC=6,BC边上的高为4,则图中阴影部分的面积为( )A.3B.6C.12D.24易错点容易把未知条件当作已知条件使用11.如图,在平行四边形ABCD中,AC和BD相交于点O,OE⊥AD于点E,OF⊥BC于点F.试说明:OE=OF.提升训练考查角度1 利用平行四边形的对角线性质证明线段相等(构造法)12.如图,已知▱ABCD和▱EBFD的顶点A,E,F,C在一条直线上,求证:AE=CF.考察角度2 利用平行四边形对角线性质解坐标问题13.如图,已知点A(-4,2),B(-1,-2),▱ABCD的对角线交于坐标原点O.(1)请直接写出点C,D的坐标;(2)写出从线段AB到线段DC的变换过程;(3)直接写出▱ABCD的面积.探究培优拔尖角度1 利用平行四边形平行性质求面积14.(2016·永州)如图,四边形ABCD为平行四边形,∠BAD的平分线AE交CD于点F,交BC的延长线于点E.(1)求证:BE=CD;(2)连接BF,若BF⊥AE,∠BEA=60°,AB=4,求▱ABCD的面积.拔尖角度2 利用平行四边形对角线性质探究面积15.探究:如图①,▱ABCD中,AC,BD交于点O,过点O的直线交AD于E,交BC于F.(1)求证:四边形AEFB与四边形DEFC的周长相等.(2)直线EF是否将▱ABCD的面积分成二等份?试说明理由.应用:张大爷家有一块平行四边形的菜园,园中有一口水井P,如图②所示,张大爷计划把菜园平均分成两块分别种植西红柿和茄子,且使两块地共用这口水井,请你帮助张大爷把地分开.参考答案1.【答案】C2.【答案】C3.【答案】B4.【答案】C解：在▱ABCD中,OA=OC,OB=OD,所以AO=错误!未找到引用源。

北师版八年级下册数学第6章平行四边形平行四边形的对角线性质

课堂小结
平行四边形的对角线性质
如图，在平行四边形ABCD中，AC和BD相交于点 O，OE⊥AD于点E，OF⊥BC于点F. 试说明：OE＝OF.
易错点：容易把未知条件当作已知条件使用
课堂小结
平行四边形的对角线性质
错解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OA＝OC，∵OE⊥AD于点E，OF⊥BC于点F， ∴∠AEO＝∠CFO＝90°，又∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF，∴OE＝OF.
知2－讲
感悟新知
导引：求ABCD的周长，已知一条边AD＝6，只需求出AD的邻边AB或CD的长即可．
知2－讲
∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝6，BE＝2，
∴AD＝BC＝6，AD∥BC.
∴EC＝BC－BE＝6－2＝4，∠ADE＝∠DEC.
∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠EDC.
∴∠EDC＝∠DEC. ∴DC＝EC＝4.
课堂小结
平行四边形的对角线性质
诊断：错解误认为已知E，O，F三点共线，从而得到 ∠AOE＝∠COF，而已知条件中并没有这个． E，O，F三点共线需要在解题过程中加以推理，否则就犯了逻辑错误．
课堂小结
平行四边形的对角线性质
正解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，OA＝OC， ∴∠EAO＝∠FCO， ∵OE⊥AD，OF⊥BC， ∴∠AEO＝∠CFO＝90°， ∴△AOE≌△COF，∴OE＝OF.
感悟新知
归纳
知1－讲
定理平行四边形的对角线互相平分. 对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分．数学表达式：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O， ∴OA＝OC，OB＝OD.
感悟新知

八年级数学(下)第十八章《平行四边形的判定》同步练习(含答案)

八年级数学（下）第十八章《平行四边形的判定》同步练习（含答案）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，DE是△ABC的中位线，且△ADE的周长为20，则△ABC的周长为A．30 B．40C．50 D．无法计算【答案】B2．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BC=AD，若∠D=120°，则∠C的度数为A．60°B．70°C．80°D．90°【答案】A【解析】∵AB=CD，BC=AD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠C+∠D=180°，∵∠D=120°，∴∠C=60°．故选A．3．四边形ABCD中，从∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是A．1∶2∶3∶4 B．2∶3∶2∶3C．2∶2∶3∶3 D．1∶2∶2∶3【答案】B【解析】根据对角相等的四边形是平行四边形，A．1∶2∶3∶4，对角不相等，不能；B．2∶3∶2∶3，对角相等，能；C．2∶2∶3∶3，对角不相等，不能；D．1∶2∶2∶3，对角不相等，不能，故选B．4．依次连接任意四边形各边的中点，得到一个特殊图形，则这个图形一定是A．平行四边形B．矩形C．菱形D．梯形【答案】A【解析】如图，连接AC，∵四边形ABCD各边中点是E、F、G、H，∴HG∥AC，HG=12AC，EF∥AC，EF=12AC，∴EF=GH，EF∥GH，∴四边形EFGH是平行四边形．故选A．5．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是A．AB∥CD，AD∥BC B．OA=OC，OB=ODC．AD=BC，AB∥CD D．AB=CD，AD=BC【答案】C6．如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB中点，且AE+EO=4，则ABCD的周长为A．20 B．16 C．12 D．8【答案】B【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，∵AE=EB，∴OE =12BC，∵AE+EO=4，∴2AE+2EO=8，∴AB+BC=8，∴平行四边形ABCD的周长=2×8=16，故选B．7．如图，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点，当E，F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形A．AE=CF B．DE=BFC．∠ADE=∠CBF D．∠AED=∠CFB【答案】BD选项：∵∠AED=∠CFB，∴∠DEO=∠BFO ，∴DE∥BF，在△DOE和△BOF中，DOE BOF DEO BFO OD OB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DOE≌△BOF，∴DE=BF，∴四边形DEBF是平行四边形．故选项正确．故选B．8．如图，E，F分别是□ABCD的边AB，CD的中点，则图中平行四边形的个数共有A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，DC=AB，∵E、F分别是边AB、CD的中点，∴DF=FC=12DC，AE=EB=12AB，∵DC=AB，∴DF=FC=AE=EB，∴四边形DFBE和CFAE都是平行四边形，∴DE∥FB，AF∥CE，∴四边形FHEG是平行四边形，故选C．二、填空题：请将答案填在题中横线上．9．如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC、BC，取AC、BC的中点D、E，量出DE=a，则AB=2a，它的根据是__________．【答案】三角形的中位线等于第三边的一半10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于F点．已知AB=4，∠F=∠CDE，则BF的长为__________．【答案】4【解析】因为∠F=∠CDE，所以AB∥CD，因为AD∥BC，所以四边形ABCD是平行四边形，所以AB=CD，因为点E是BC边的中点，所以ED=EF，又因为∠F=∠CDE，∠DEC=∠FEB，所以△ECD≌△EBF，所以BF=CD，所以BF=AB，因为AB=4，所以BF=4，故答案为：4．11．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是DC上一点，连接BE并延长交AD的延长线于点F，连接CF，BD，请你只添加一个条件：__________，使得四边形BDFC为平行四边形．【答案】DE=EC（答案不唯一）【解析】答案不唯一，比如：BD∥CF，构成两组对边分别平行的四边形是平行四边形；DF=BC，构成一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；DE=EC，可以证明BE=EF，构成对角线相互平分的四边形是平行四边形，等等．故答案：DE=EC（答案不唯一）．12．如图，在平行四边形ABCD中，对角线交于点O，点E、F在直线AC上（不同于A、C），当E、F的位置满足__________的条件时，四边形DEBF是平行四边形．【答案】AE=CF（答案不唯一）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．13．如图，已知D、E、F分别是△ABC各边的中点，求证：AE与DF互相平分．【解析】∵D、E、F分别是△ABC各边的中点，根据中位线定理知：DE∥AC，DE=AF，EF∥AB，EF=AD，∴四边形ADEF为平行四边形，故AE与DF互相平分．14．如图，ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点．求证：四边形ENFM是平行四边形．【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∵AE=CF，∴FD=EB，∴四边形DEBF是平行四边形，∴DE∥FB，DE=FB．∵M、N分别是DE、BF的中点，∴EM=FN．∵DE∥FB，∴四边形MENF是平行四边形．15．如图，点M，N在线段AC上，AM=CN，AB∥CD，AB=CD．求证：∠1=∠2．16．如图1，平行四边形ABCD中，对角线BD、AC交于点O．将直线AC绕点O顺时针旋转分别交BC、AD于点E、F．（1）在旋转过程中，线段AF与CE的数量关系是__________．⊥，当旋转角至少为__________︒时，四边形ABEF是平行四边形，并证明（2）如图2，若AB AC此时的四边形是ABEF是平行四边形．【解析】（1）相等，理由如下：如图，在ABCD 中，AD ∥BC ，OA =OC ，∴∠1=∠2，在△AOF 和△COE 中，1234OA OC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AOF ≌△COE （ASA ）， ∴AF =CE ．（2）当旋转角为90︒时，90COE ∠=︒，如图，又∵AB ⊥AC ， ∴∠BAO =90°， ∠AOF =90°， ∴∠BAO =∠AOF ， ∴AB ∥EF ，∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，即：AF ∥BE ， ∵AB ∥EF ，AF ∥BE ，∴四边形ABEF 是平行四边形．。

北师大版八年级数学下册利用四边形对角线的性质判定平行四边形同步练习题

D A CB 6.2 平行四边形的判定第2课时平行四边形的判定定理3与两平行线间的距离【学习内容】平行四边形的判定（P143—P145页）【学习目标】1、理解平行四边形的另一种判定方法，并学会简单运用。

2、在运用平行四边形的判定方法解决问题的过程中，进一步培养和发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力。

【学习重难点】重点：平行四边形判定方法理解运用；难点：平行四边形判定方法运用【自研课】定向导学（15分钟）复习引入1．平行四边形的定义是什么？平行四边形的定义：的四边形，叫做平行四边形2．判定四边形是平行四边形的方法有哪些？（1）两组对边分别的四边形是平行四边形. （2）两组对边的四边形是平行四边形.(3)一组对边的四边形是平行四边形.探究活动：工具:两根不同长度的细木条.动手:能否合理摆放这两根细木条,使得连接四个顶点后成为平行四边形？思考：你能说明你得到的四边形是平行四边形吗？已知:如图,四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O,并且OA=OC,OB=OD.求证:四边形ABCD 是平行四边形.已知：如图,在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O,点E 、F 在对角线AC 上，并且AE=CF ．求证:四边形BFDE 是平行四边形【训练课】（时段：晚自习，时间20分钟）基础题：1、如图，四边形ABCD中，AC、BD相交于点O,若OA=OC,OB=OD,则四边形ABCD是______ ___ ,根据是。

A DOB C2、四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，且OA=OC，如果要使四边形ABCD 是平行四边形，则还需补充的条件是（）A．AC⊥BD B. OA=OB C.OC=OD D.OB=OD3、下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（）A．一组对角相等 B. 对角线互相平分C．一组对边相等 D. 对角线互相相等4、如图，在平行四边形ABCD中，O是AC，BD的交点，点E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，四边形EFGH是平行四边形吗？说说你的理由.A DE O HF GB C发展题5、下列条件中不能确定四边形ABCD是平行四边形的是（）A.AB=CD，AD∥BCB.AB=CD，AB∥CDC.AB∥CD，AD∥BCD.AB=CD，AD=BC6、A、B、C、D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③BC=AD；④BC∥AD这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（）A.3种 B.4种 C.5种 D.6种提高题：7、已知如图：在ABCD中，延长AB到E，延长CD到F，使BE=DF，则线段AC与EF是否互相平分？说明理由.北师大版九年级数学上册期中测试题一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1.随机掷两枚硬币，落地后全部正面朝上的概率是 A.1 B.12 C.13 D.14 2. 关于方程x 2-2＝0的理解错误的是 A.这个方程是一元二次方程 B.方C.这个方程可以化成一元二次方程的一般形式D.这个方程可以用公式法求解 3.下列说法正确的个数是 ①菱形的对角线相等 ②对角线互相垂直的四边形是菱形; ③有两个角是直角的四边形是矩形 ④正方形既是菱形又是矩形 ⑤矩形的对角线相等且互相垂直平分 A.1 B.2 C.3 D.4 4.方程x 2-3x+6＝0的根的情况是 A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.不能确定 5.如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..的结果.下面有三个推断:①某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，则“钉尖向上”的频率是0.616;②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618;③若再次用计算机模拟试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上＂”的频率一定是0.620.其中合理的是A.①②B.②③C.①③D.①②③ 6.将一张正方形纸片按如图所示步骤①②沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是 7.现有三张质地大小完全相同的卡片，上面分别标有数字-2，-1，1，把卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取一张卡片，记下数字后放回，洗匀，再任意抽取一张卡片，则第一次抽取的卡片上的数字大于第二次抽取的卡片上的数字的概率是乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..A.23B.12C.13D.498.如图，在菱形ABCD 中，AB ＝13，对角线AC ＝10，若过点A 作AE ⊥BC 垂足为E ，则AE 的长为 A.8 B.6013 C.12013 D.24013 9.如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，OM ∥AB 交AD 于点M ，若OM ＝3，BC ＝10，则OB 的长为 A.5 B.4 C.342 D.34 10.如图，已知正方形ABCD 的边长为12，BE ＝EC ，将正方形的边CD 沿DE 折叠到DF ，延长EF 交AB 于G ，连接DG ，现在有如下4个结论:①△ADG ≌△FDG:②GB ＝2AG:③3∠GDE ＝45°④S △BEF ＝725,在以上4个结论中，正确的有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分)11.将分别标有“柠”“檬”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀.随机摸出一球不放回，再随机摸出球，两次摸出的球上的汉字能组成“柠幪”的概率是________.12.如图，菱形ABCD 中，∠ABC ＝2∠A ，若对角线BD ＝3，则菱形ABCD 的周长为________.13.桌上放有完全相同的三张卡片，卡片上分别标有数字2，1，4，随机摸出一张卡片(不放回)，其数字记为P ，再随机摸出一张卡片，其数字记为q ，则关于的方程x 2+px+q ＝0有实数根的概率是________. 14.某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如下: 由此可以估计油菜籽发芽的概率约为________.(精确到乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..0.1)15.一个两位数，十位数字比个位数字大3，而这两个数字之积等于这个两位数的27，若设个位数字为x ，则列出的方程为________. 16.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分別在AD ，DC 上，AE ＝DF ＝1，BE 与AF 相交于点G ，点为BF 的中点，连接GH ，则GH 的长为________. 三、解答题(本题共7小题，共66分) 17.(8分)解方程: (1)2x 2-4x+1＝0 (2)(x+8)(x+1)＝-12乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..18.(8分)甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A 、B 分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图所示.游戏规定:转动两个转盘停止后，指针必须指到某数字，否则重转(1)请用画树状图法或列表法列出所有可能的结果;(2)若指针所指的两个数字都是方程x2-5x+6＝0的解，则甲获胜若指针所指的两个数字都不是方程x2-5x+6＝0的解，则乙获胜.问他们两人谁获胜的概率大?请分析说明19.(10分)某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件村衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件. (1)若商场平均每天要盈利1200元，且让顺客尽可能多得实惠，则每件衬衫应降价多少元?乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..(2)商场平均每天可能盈利1700元吗?请说明理由.20.(10分)如图，矩形ABCD 中AB ＝3，BC ＝2，过对角线BD 的中点O 的直线分別交AB 、CD 边于点E 、F.(1)求证:四边形BEDF 是平行四边形;(2)当四边形BEDF 是菱形时，求EF 的长.21.(10分)如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，另三边用竹篱笆園成，篱笆总长33米，墙对面有一个2米宽的门，国成长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙.求: (1)若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米? (2)能围成面积为200平方米的鸡场吗?乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..22.(10分)某茶叶专卖店经销一种日照绿茶，每千克成本80元，据销售人员调查发现，每月的销售量(千克)与销售单价x(元/千克)之间存在如图所示的变化规律.(1)求每月销售量y 与销售单价x 之间的函数关系式;(2)若某月该茶叶专卖店销售这种绿茶获得利润1350元，试求该月茶叶的销售单价x.23.(10分)如图①，将一张矩形纸片ABCD 沿着对角线BD 向上折叠，顶点C 落到点E 处，BE 交AD 于点F. (1)求证:△BDF 是等腰三角形; (2)如图②，过点D 作DG ∥BE ，交BC 于点G ，连接FC 交BD 于点O ①判断四边形BFDC 的形状，并说明理由; ②若AB ＝6，AD ＝8，求FG 的长.乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..。

人教版八年级数学下册18.1.1平行四边形的性质(第二课时)对角线同步练习题

平行四边形的性质（第二课时）同步练习题一、单选题1．平行四边形的一边长为10，那么它的两条对角线的长可以是（）A ．4和6B ．6和8C ．8和12D ．20和302．平行四边形的一组对角的平分线（）A ．一定相互平行B ．一定相交C ．可能平行也可能相交D ．平行或共线 3．有下列说法：①平行四边形具有四边形的所有性质： ②平行四边形是中心对称图形：③平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形； ④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形．其中正确说法的序号是（）．A ．①②④B ．①③④C ．①②③D ．①②③④4．如图，在▱ABCD 中，已知90ODA =∠°，10cm AC =，6cm BD =，则AD 的长为（）第4题第5题第7题第9题 A ．4cmB ．5cmC ．6cmD ．8cm5．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD 的顶点A ，B ，D 的坐标分别是(0，0)，(5，0)，(2，3)，则顶点C 的坐标是（）A ．(3，7)B ．(5，3)C ．(7，3)D ．(8，2)6．平行四边形一边的长是10cm ，那么这个平行四边形的两条对角线长可以是（）A ．4cm ，6cmB ．6cm ，8cmC ．8cm ，12cmD ．20cm ，30cm7．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥BC 于E ，AB 3AC ＝2，BD ＝4，则AE 的长为（）A 3B ．32C ．217D ．2178．已知四边形ABCD 是平行四边形，则下列各图中1∠与2∠一定不相等的是（）A ．B ．C ．D ．9．如图，已知平行四边形ABCD 中，4B A ∠=∠，则C ∠=（）A．18°B．36°C．72°D．144°10．如图，设M是ABCD边AB上任意一点，设AMD∆的面积为1S，BMC∆的面积为2S，CDM∆的面积为S，则（）第10题第12题第13题第14题A．12S S S=+B．12S S S>+C．12S S S<+D．不能确定二、填空题11．在平行四边形ABCD中，BC边上的高为AE＝4，AB＝5，EC＝7，则平行四边形ABCD的周长等于_____．12．如图，在中，．以点为圆心，以小于长为半径作弧，分别交、于点、，再分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接并延长交于点，则____．13．如图，直线EF经过平行四边形ABCD的对角线的交点O，若四边形AEFB的面积为20cm2，则平行四边形ABCD的面积为___cm2．14．如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，∠DBC＝45°，DE⊥BC于点E，BF⊥CD于点F，DE、BF 相交于点H，直线BF交线段AD的延长线于点G，下列结论：①CE＝BE；②∠A＝∠BHE；③AB＝BH；④∠BHD＝∠BDG．其中正确的结论是 ___．15．如图，在一个平行四边形中，两对平行于边的直线将这个平行四边形分为九个小平行四边形，如果原来这个平行四边形的面积为，而中间那个小平行四边形（阴影部分）的面积为20平方厘米，则四边形的面积是________．三、解答题16、如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，AB＝25，且AO∶BO＝2∶3.(1)求AC的长；(2)求▱ABCD的面积．17．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E，F，连接EC.ABCD50D∠=︒B AB BA BC PQ P Q12PQ ABC∠M BM AD E AEB∠=122100cmABDC(1)求证：OE＝OF；(2)若EF⊥AC，△BEC的周长是10，求▱ABCD的周长．。

初中数学平行四边形性质练习题及答案

初中数学平行四边形性质练习题及答案练习题一：1. 证明平行四边形的对角线互相平分。

2. 若平行四边形的一条对角线被平分，那么这个平行四边形是什么形状？3. 怎样判定一个四边形是平行四边形？答案一：1. 证明：设平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O。

要证明对角线AC和BD互相平分，只需证明AO=CO和BO=DO。

首先，由平行四边形的性质可知，AB∥CD，AD∥BC。

根据平行线性质，AO=CO（对应角相等）同理，BO=DO所以，平行四边形的对角线互相平分。

2. 若平行四边形的一条对角线被平分，那么这个平行四边形是矩形。

证明：设平行四边形ABCD的对角线AC被平分于点O。

要证明ABCD是矩形，只需证明∠A=∠B=∠C=∠D=90°。

由平行四边形的性质可知，AB∥CD，AD∥BC。

由对角线互相平分的性质可知，AO=CO，BO=DO。

因此，∠AOC=∠COA，∠BOC=∠COD。

又∠AOC+∠BOC=180°（补角定理）所以，∠AOC=90°（相等补角）。

同理，∠COA=90°，∠BOC=90°，∠COD=90°。

所以，ABCD是矩形。

3. 判定平行四边形的方法：方法一：判定对边平行若四边形ABCD满足AB∥CD及AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形。

方法二：判定对角线互相平分若四边形的对角线互相平分，则四边形是平行四边形。

方法三：判定边长及对角线长度关系若平行四边形ABCD的对角线AC和BD相等，则四边形ABCD是平行四边形。

练习题二：1. 证明平行四边形的相邻角互补。

2. 若平行四边形的一组相邻角是补角，那么这个平行四边形是什么形状？3. 如何判断一个四边形是菱形？答案二：1. 证明：设平行四边形ABCD的两组相邻角为∠A和∠B，∠B和∠C，∠C和∠D，∠D和∠A。

要证明平行四边形的相邻角互补，只需证明∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°，∠C+∠D=180°，∠D+∠A=180°。

18.1.1+第2课时+平行四边形的对角线性质+课件++2023-2024学年人教版数学八年级下册

求证：OA=OC，OB=OD.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD=BC，AD∥BC,
A
D
13
O
4 B
2 C
∴ ∠1=∠2，∠3=∠4,
∴ △AOD≌△COB（ASA）,
∴ OA=OC，OB=OD.
课本例2 如图，在 ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥BC. 求BC，CD，AC，OA的长，以及 ABCD的面积．
练习
如图,平行四边形ABCD中，AC、BD交于O点，点E、F分别是 AO、CO的中点，试判断线段BE、DF的关系并证明你的结论．
已知: □ ABCD的对角线AC，BD相交于点 O，AC =16cm， BD =12cm，BC =10cm，则□ABCD 的周长是_4_0_c_m_, □ABCD的面积是___9_6c_m__2 ___.
A.13 B.17
C.20 D.26
3.如图，若▱ABCD的周长为36 cm，过点D分别作AB， BC边上的高DE，DF，且DE＝4 cm，DF＝5 cm， ▱ABCD的面积为( A )cm2. A．40 B．32 C．36 D．50
4. 如图，已知▱ABCD与▱EBFD的顶点A，E，F，
C在一条直线上，求证：AE＝CF.
证明：如图，连接BD交AC于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分)．
∵四边形EBFD是平行四边形，
O
∴OE＝OF(平行四边形的对角线互相平分)，
∴OA－OE＝OC－OF，即AE＝CF(等式的性质)．
作直线EF,分别交AB,CD于点E，F.求证：OE=OF.
A
D
E
O F
B

八年级下册数学人教版平行四边形对角线的性质精准练习【精编版】含答案

平行四边形对角线的性质一、选择题1.如图1所示,在▱ABCD中,AC,BD相交于点O,则下列结论中错误的是()图1A.OA=OCB.AB=CDC.AC=BDD.∠ABC=∠ADC2.如图2,▱ABCD的对角线交于点O,且AB=9,△OCD的周长为23,则▱ABCD的两条对角线的长度之和是 ()图2A.18B.28C.36D.463.如图3,在▱ABCD中,已知∠ODA=90°,AC=10cm,BD=6cm,则AD的长为()图3A.4cmB.5cmC.6cmD.8cm4.如图4,在▱ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,如果AC=12,BD=10,AB=m,那么m的取值范围是()图4A.1<m<11B.2<m<22C.10<m<12D.2<m<65.如图5,在平行四边形ABCD中,过对角线AC与BD的交点O作AC的垂线,交AD于点E,连结CE.若AB=4,BC=6,则△CDE的周长为()图5A.7B.10C.11D.12二、填空题6.如图6,在平行四边形ABCD中,AC,BD相交于点O.若AC=6,则线段AO的长为.图67.在▱ABCD中,对角线AC,BD交于点O,且AB=4,若△BOC的周长比△AOB的周长大3,则▱ABCD的周长为.8.如图7,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,OE⊥BC交BC于点E.若▱ABCD的面积为32,AD=8,则OE的长为.图79.如图8,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点E,∠AEB=45°,BD=2,将△ABC沿AC所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内,若点B的落点记为B',则DB'的长为.图8三、解答题10.已知:如图9,在▱ABCD中,点E,F分别在边CD,AB上,DF∥BE,EF交BD于点O.求证:OE=OF.图911.[2018·淮安]已知:如图10,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点O的直线与AD,BC分别相交于点E,F.求证:AE=CF.图1012.如图11所示,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点M,N在对角线AC上,且AM=CN.求证:BM∥DN.图1113.如图12,在▱ABCD中,AD=8,AB=10,BD=6,求BC,CD,AC的长及▱ABCD的面积.图1214 如图13,已知▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,请说明:(1)对角线AC把▱ABCD分成面积相等的△ABC和△CDA两部分;(2)过点O任意画一条直线EF交AD于点E,交BC于点F,直线EF把▱ABCD分成面积相等的四边形ABFE和四边形CDEF两部分.图13详解详析1.[解析]C∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,AB=CD,∠ABC=∠ADC.故选C.2.[答案]B3.[解析]A在▱ABCD中,DO=BD=3cm,AO=AC=5cm.在Rt△AOD中,AD=-=-=4(cm).4.[解析]A∵四边形ABCD是平行四边形,AC=12,BD=10,∴OA=OC=6,OD=OB=5.在△OAB中,OA-OB<AB<OA+OB,∴6-5<m<6+5,∴1<m<11.5.[解析]B由平行四边形ABCD的对角线互相平分,OE⊥AC,根据线段垂直平分线的性质,可得AE=CE.又由平行四边形ABCD中AB+BC=CD+AD=10,继而可得△CDE的周长等于CD+CE+DE=CD+AE+DE=CD+AD=10.6.[答案]3[解析]∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=CO=AC=×6=3.7.[答案]228.[答案]2[解析]∵平行四边形的两条对角线把这个四边形的面积分为相等的4个部分,∴△OBC的面积=8.∵BC=AD=8,OE⊥BC,∴OE=2.9.[答案][解析]∵四边形ABCD是平行四边形,BD=2,∴BE=ED=1.如图,连结BB'.根据折叠的性质,知∠AEB=∠AEB'=45°,BE=B'E,∴∠BEB'=90°,∴△BB'E是等腰直角三角形,则BB'=BE=.又∵BE=DE,B'E⊥BD,∴DB'=BB'=.10.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD.又∵DF∥BE,∴四边形BEDF为平行四边形,∴OE=OF.11.证明:∵▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∴AO=CO,AD∥BC,∴∠EAO=∠FCO.在△AOE和△COF中,∠∠,,∠∠,∴△AOE≌△COF(ASA),∴AE=CF.12.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD.又∵AM=CN,∴OM=ON.在△BOM和△DON中,,∠∠,,∴△BOM≌△DON,∴∠BMO=∠DNO,∴BM∥DN.13.解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC=AD=8,CD=AB=10,OB=BD=3.∵AD=8,AB=10,BD=6,∴AD2+BD2=AB2,∴△ABD是直角三角形,即BD⊥AD.又∵▱ABCD中,AD∥BC,∴BD⊥BC,则OC===,∴AC=2OC=2,S▱ABCD=BC·BD=8×6=48.故BC=8,CD=10,AC=2,S▱ABCD=48.14解:(1)在▱ABCD中,∵AB=CD,BC=DA,AC=CA,∴△ABC≌△CDA,∴△ABC和△CDA的面积相等.(2)如图,在▱ABCD中,∵AD∥BC,∴∠EAO=∠FCO.又∵OA=OC,∠EOA=∠FOC,∴△AOE≌△COF,∴△AOE和△COF的面积相等.同理可得△BOF和△DOE的面积相等,△AOB和△COD的面积相等.∴S四边形ABFE =S△AOE+S△AOB+S△BOF=S△COF+S△COD+S△DOE=S四边形CDEF,即四边形ABFE和四边形CDEF的面积相等.。

初中人教版数学八年级下册：18.1.1 第2课时平行四边形的对角线的特征习题课件(含答案)

5．如图，平行四边形 ABCD 的对角线相交于点 O，过点 O 的任意一条直线与边 AD 相交于点 E，与边 BC 相交于点 F.求证：OE＝OF. 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，OA＝OC. ∴∠EAO＝∠FCO， ∠AEO＝∠CFO.
在△AOE 和△COF 中， ∠EAO ∠FCO， ∠AEO ∠CFO， OA OC，
3．如图，在▱ ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O.如果 AC＝8，BD＝14，AB＝x，那么 x 的取值范围是 3＜x＜11 .
4．如图，在▱ ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O 的直线分别交 AD，BC 于点 M，N.若△CON 的面积为 2，△DOM 的面积为 4，则▱ ABCD 的面积为 24 .
方法点拨：本题考查了平行四边形的性质、勾股定理和平行四边形面积的计算方法．利用倒推法求出 AB 的长是解题的关键．
1．如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，则下列说法一定正确的是( C ) A．AO＝OD B．AO⊥OD C．AO＝OC D．AO⊥AB
2．如图，平行四边形 ABCD 的对角线交于点 O，且 AB＝9，△OCD 的周长为 27，则平行四边形 ABCD 的两条对角线的和是 36 .
例 (教材 P44 例 2 变式)如图，▱ ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 相交于点，且 AC⊥AB.已知 AC＝10， BD＝26，求▱ ABCD 的面积．
分析：
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OA＝OC＝12AC＝5， OB＝OD＝12BD＝13. 在 Rt△AOB 中， ∴AB＝ OB2－OA2＝12. ∴S▱ ABCD＝AB·AC＝12×10＝120.

平行四边形的对角线试题

平行四边形的对角线试题平行四边形是一种特殊的四边形，具有独特的性质和特点。

其中，对角线是平行四边形中的重要部分，对角线之间的关系以及它们与其他要素之间的关系，可以通过试题来进行深入理解和探究。

本文将就平行四边形的对角线进行试题探讨，帮助读者进一步理解和应用相关概念。

试题一：已知平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点E。

如果AB = 8 cm，BC = 6 cm，BE = 5 cm，求DE的长度。

解析：根据平行四边形的性质可知，对角线AC和BD相互平分，即AE = EC，BE = ED。

又根据题意，BE = 5 cm，因此ED = BE = 5 cm。

试题二：已知平行四边形PQRS中，对角线PR和QS相交于点O。

如果PR 的长度为12 cm，QS的长度为16 cm，求对角线PR和QS的交点O到边PQ的距离。

解析：由平行四边形的性质可知，对角线PR和QS相互平分，即OP = OR，OQ = OS。

设交点O到边PQ的距离为h，则根据相似三角形的性质可得：OP/OQ = PR/QSOP/(OP + h) = PR/QS12/(12 + h) = 16/(16 + h)通过求解这个方程，可以得到h的值。

试题三：已知平行四边形WXYZ中，对角线WZ和XY相交于点M。

若平行四边形WXYZ的面积为48 cm²，而对角线WZ的长度为10 cm，求对角线XY的长度。

解析：根据平行四边形的性质可知，对角线WZ和XY相互平分，即MW = MZ，MX = MY。

设对角线XY的长度为x，则平行四边形WXYZ的面积可以表示为：面积 = WZ * MY48 = 10 * x通过解这个方程可以得到对角线XY的长度。

试题四：已知平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点E。

如果平行四边形ABCD的周长为40 cm，AD的长度为12 cm，求对角线AC的长度。

解析：由平行四边形的性质可知，对角线AC和BD相等，即AC = BD。

八下 2.2.1平行四边形的对角线的性质练习含答案

221第2课时平行四边形的对角线的性质一、选择题1如图1,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,则下列说法一定正确的是=DO⊥DO=CO⊥AB图1图22证明:平行四边形的对角线互相平分已知:四边形ABCD是平行四边形,如图2所示求证:AO=CO,BO=DO以下是排乱的证明过程:①∴∠ABO=∠CDO,∠BAO=∠DCO;②∵四边形ABCD是平行四边形;③∴AB∥CD,AB=CD;④∴△AOB≌△COD;⑤∴OA=OC,OB=OD正确的顺序应是A②①③④⑤B②③⑤①④C②③①④⑤D③②①④⑤3如图3,在▱ABCD中,已知∠ODA=90°,AC=10 cm,BD=6 cm,则AD的长为A4 cm B5 cm C6 cm D8 cm图3图44如图4,在周长为2021m的▱ABCD中,AB≠AD,AC,BD相交于点O,OE⊥BD交AD于点E,则△ABE的周长为A4 cm B6 cm C8 cm D10 cm5如图5,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,且AB⊥=5,AB=3,则对角线BD的长为A B2 C9 D8图5图6二、填空题6 如图6,在▱ABCD中,AC,=6,ACBD=16,则△BOC的周长为7如图7所示,在▱ABCD中,AC=8,BD=6,AD=a,则a的取值范围是图7三、解答题8如图8,已知四边形ABCD是平行四边形,AB=10,AD=8,AC⊥BC,求AC,OA的长以及▱ABCD的面积图89如图9,在▱ABCD中,AD⊥DB,AC与BD相交于点O,OD=1,∠CAD=30°,求AC和DC的长图910如图10,在▱ABCD中,对角线AC,BD交于点O,EO⊥AC交BC于点E,连接AE1若△ABE的周长为10 cm,求▱ABCD的周长;2若∠ABC=78°,AE平分∠BAC,试求∠DAC的度数图1011如图11,▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,EF过点O且分别与BC,AD交于点E,F,连接AE,,CF的数量关系,并说明理由图11详解详析1C2C3[解析] A在▱ABCD中,OD=BD=3 cm,AO=AC=5 cm在Rt△AOD中,AD===4cm4[解析] D∵四边形ABCD为平行四边形,∴OB=OD∵OE⊥BD,∴EB=ED,∴AEED=AEEB,∴ABAD=ABAEBE=△ABE的周长∵▱ABCD的周长=2ABAD=2021m,∴△ABE的周长=ABAD=10 cm5[解析] B∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,∴BO=DO,OA=OC,BC=AD=5∵AB⊥AC,AB=3,∴AC==4,∴OA=2,∴BO===,∴BD=2BO=26[答案] 14 [解析] 在▱ABCD中,BC=AD=6,OB=OD,OA=OC∵ACBD=16,∴OBOC=8,∴△BOC的周长=OBOCBC=147[答案] 1<a<7 [解析] 设▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,则OA=OC=4,OB=OD=3在△OAD中,OA-OD<AD<OAOD,即1<a<7故答案为1<a<78解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC=AD=8∵AB=10,AC⊥BC,∴AC==6,∴OA=AC=3,S▱ABCD=BC·AC=8×6=489解:在Rt△AOD中,∵∠CAD=30°,OD=1,∴AO=2OD=2,∴AD==,在▱ABCD中,AC=2AO=4,BD=2OD=2,∴在Rt△ABD中,AB==,∴DC=10解:1∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC∵OE⊥AC,∴OE所在直线是线段AC的垂直平分线,∴AE=CE,∴△ABE的周长=ABBEAE=ABBECE=ABBC=10 cm,根据平行四边形的对边相等,得▱ABCD的周长为2×10=20212由1知,AE=CE,∴∠EAC=∠ECA∵∠ABC=78°,AE平分∠BAC,∴∠BAE=∠EAC=∠ECA,∴3∠ECA78°=180°,∴∠ECA=34°∵AD//BC,∴∠DAC=∠ECA=34°11解:AE=CF理由:∵四边形ABCD为平行四边形,∴OA=OC,AD∥BC,∴∠AFE=∠CEF在△AOF和△COE中,∴△AOF≌△COE AAS,∴OF=OE在△AOE和△COF中,∴△AOE≌△COF SAS,∴AE=CF。

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第十八章平行四边形
18.1.1 平行四边形的性质
第2课时平行四边形的对角线的特征
学习目标：1.掌握平行四边形对角线互相平分的性质；
2.经历对平行四边形性质的猜想与证明的过程，渗透转化思想，体会图形性
质探究的一般思路.
重点：掌握平行四边形对角线互相平分的性质.
难点：经历对平行四边形性质的猜想与证明的过程，渗透转化思想，体会图形性质探
究的一般思路.
一、知识回顾
1.你能说出平行四边形边、角的特征吗？
平行四边形对边互相___________;
平行四边形对边__________;
平行四边形对角__________.
一、要点探究
探究点1：平行四边形的对角线的性质
猜一猜如图，在□ABCD中，连接AC,BD,并设它们相交于点O. OA与OC,OB与OD有什
么关系?
证一证
已知：如图,□ABCD的对角线AC、BD相交于点O.
求证：OA=OC，OB=OD.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD___BC，AD___BC,
∴∠1___∠2，∠3___∠4,
∴△AOD___△COB（______）,
∴ OA____OC，OB____OD.
要点归纳：平行四边形的性质:平行四边形的对角线互相_________.
OA=OC，OB=OD.
课堂探究
自主学习
教学备注
学生在课前
完成自主学
习部分
配套PPT讲
授
1.情景引入
（见幻灯片
3）
2.探究点1新
知讲授
（见幻灯片
4-13）
例1如图，已知平行四边形ABCD的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点
O，△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，求这个平行四边形各边的长．
方法总结:平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之
差等于邻边边长之差．
变式题如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，平行四
边形ABCD的周长是100cm，△AOB与△BOC的周长的和是122cm，且
AC:DB= 2:1，求AC和BD的长．
例2如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O.点O作直线EF,分别
交AB,CD于点E，F.求证：OE=OF.
变式题请判断下列图中，OE=OF还成立么？
教学备注
2.探究点1新
知讲授
（见幻灯片
4-13）
教学备注
3.探究点2新
知讲授
（见幻灯片
14-20）
等
.
针对训练
1.如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O
，若AD=16，AC=24，BD=12，则
△OBC 的周长为（）
A.26
B.34
C.40
D.52
2.如图，在□ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，△AOB 的周长为15，AB=6，则对角线AC 、BD 的长度的和是（） A.9 B.18 C.27 D.36
3.如图,平行四边形ABCD 中，AC 、BD 交于O 点，点E 、F 分别是AO 、CO 的中点，试判断线段BE 、DF 的关系并证明你的结论．
探究点2：平行四边形的面积典例精析
例3 如图，平行四边形ABCD 中，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 于F ，若平行四边形ABCD 的周长为48，DE=5，DF=10，求平行四边形ABCD 的面积.
方法总结:已知平行四边形的高DE ，DF ，根据“等面积法”及平行四边形性质列方程求解.
例4平行四边形的对角线分平行四边形ABCD 为四个三角形，它们的面积有怎样的关系呢？
第1题图第2题图
教学备注
配套PPT 讲授
方法总结：平行四边形的对角线分平行四边形为四个面积相等的三角形，且都等于平行四边形
面积的四分之一.相对的两个三角形全等.
例5如图，AC,BD交于点O，EF过点O,平行四边形ABCD被EF所分的两个四边形面积相等吗？
变式题如图，AC,BD交于点O，EF过点O,平行四边形ABCD被EF所分的两个四边形面积相等吗？
方法总结：过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分.
针对训练
1.把一个平行四边形分成3个三角形，已知两个阴影三角形的面积分别是9cm2和12cm2，求平
行四边形的面积．
2.如图，欢欢看到平行四边形的草地中间有一水井，为了浇水的方便，欢欢建议我们经过水井
修小路，一样可以把草地分成面积相等的两部分，同学们，你知道聪明的欢欢是怎么分的吗？教学备注
配套PPT讲授
4.课堂小结（见
幻灯片29）
5.当堂检测（见
幻灯片21-28）
二、课堂小结
1.如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且AC+BD=16,CD=6,则△ABO的周长是
（）
A. 10
B. 14
C. 20
D. 22
2.如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（）
A．∠ABO=∠CDO B．∠BAD=∠BCD
C．AO=CO D．AC⊥BD
3.在□ABCD中，AC=24,BD=38,AB=m, 则m的取值范围是 ( )
A. 24<m<39
B.14<m<62
C.7<m<31
D.7<m<12
4.如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于O，EF过点O与AD，BC分别相交于E，F，若AB
=4，BC=5，OE=1.5，那么四边形EFCD的周长为（）
A.16
B.14
C.12
D.10
5.如图，平行四边形ABCD的面积为20，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，
CD上的点，且AE=DF，则图中阴影部分的面积为_______．
6.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB⊥AC，AB=3，AD=5，则BD
当堂检测
平行四边形
对角线的性质
平行四边形对角线互相平分
过对角线交点的任一条直线都将平行四边形分成面积相
等的两部分.且与对角线围成的三角形相对的两个全等.
两条对角线分平行四边形为面积相等的四个三角形
过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组
对边或对边的延长线相交，得到线段总相等.
第1题图第2题图第3题图
教学备注
5.当堂检测（见
幻灯片21-28）第4题图第5题图第6题图
7.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过O作OE⊥BD，交BC于点E.若△CDE的周长为10，则平行四边形ABCD的周长是多少？
能力提升
8.如图，已知O是平行四边形ABCD的对角线的交点，AC=24，BD=18，AB=16,求△OCD的周长及AD 边的取值范围．。