光学设计作业答案

现代光学设计作业

学号：2220110114

姓名：田训卿

一、光学系统像质评价方法 (3)

1.1 几何像差 (3)

1.1.1 光学系统的色差 (4)

1.1.2 轴上像点的单色像差─球差 (5)

1.1.3 轴外像点的单色像差 (6)

1.1.4 正弦差、像散、畸变 (8)

1.2 垂直像差 (8)

二、光学自动设计原理 (10)

2.1 阻尼最小二乘法光学自动设计程序 (10)

2.2 适应法光学自动设计程序 (12)

三、ZEMAX光学设计 (14)

3.1 望远镜物镜设计 (14)

3.2 目镜设计 (18)

四、照相物镜设计 (23)

五、变焦系统设计 (27)

一、光学系统像质评价方法

所谓像差就是光学系统所成的实际像和理想像之间的差异。由于一个光学系统不可能理想成像，因此就存在光学系统成像质量优劣的问题，从不同的角度出发会得出不同的像质评价指标。

（1）光学系统实际制造完成后对其进行实际测量

?星点检验

?分辨率检验

（2）设计阶段的评价方法

?几何光学方法：几何像差、波像差、点列图、几何光学传递函数

?物理光学方法：点扩散函数、相对中心光强、物理光学传递函数

下面就几种典型的评价方法进行说明。

1.1 几何像差

几何像差的分类如图1-1所示。

图1-1 几何像差的分类

1.1.1 光学系统的色差

光波实际上是波长为400~760nm 的电磁波。光学系统中的介质对不同波长光的折射率不同的。如图1-2，薄透镜的焦距公式为

()'121111n f r r ??=-- ???

(1-1) 因为折射率n 随波长的不同而改变，因此焦距也要随着波长的不同而改变，这样，当对无限远的轴上物体成像时，不同颜色光线所成像的位置也就不同。我们把不同颜色光线理想像点位置之差称为近轴位置色差，通常用C 和F 两种波长光线的理想像平面间的距离来表示近轴位置色差，也成为近轴轴向色差。若 和 分别表示F 与C 两种波长光线的近轴像距，则近轴轴向色差为

'''FC F C l l l ?=- (1-2)

图1-2 单透镜对无限远轴上物点白光成像

当焦距'f 随波长改变时，像高'y 也随之改变，不同颜色光线所成的像高也不一样。这种像的大小的差异称为垂轴色差，它代表不同颜色光线的主光线和同一基准像面交点高度（即实际像高）之差。通常这个基准像面选定为中心波长的理

想像平面。若'ZF y 和'ZC y 分别表示F 和C 两种波长光线的主光线在D 光理想像平

面上的交点高度，则垂轴色差为

'''FC ZF ZC y y y ?=- (1-3)

图1-3 单透镜对无线远轴外物点白光成像

1.1.2 轴上像点的单色像差─球差

如图1-3所示，轴上有限远同一物点发出的不同孔径的光线通过光学系统以后不再交于一点，成像不理想。为了表示这些对称光线在光轴方向的离散程度，我们用不同孔径光线的聚交点对理想像点的距离，，…表示，称为球差，用符号表示，的计算公式是

(1-4) 式中，代表一宽孔径高度光线的聚交点的像距；为近轴像点的像距。球差值越大，成像质量越差。

图1-3 球差示意图

1.1.3 轴外像点的单色像差

轴外物点发出的通过系统的所有光线在像空间的聚交情况比轴上点复杂。为了能够简化问题，同时又能定量地描述这些光线的弥散程度，从整个入射光束中取两个相互垂直的平面光束，用这两个平面光束的结构来近似地代表整个光束的结构。将主光线与光轴决定的平面称为子午面，如图1-4中的平面；将过主光线与子午面垂直的平面称为弧矢面，如图1-4中的平面平面。用来描述这两个平面光束结构的几何参数分别成为子午像差和弧矢像差。

图1-4 子午面与弧矢面示意图

1.1.3.1 子午像差

子午光线对通过系统后的所有光线都应交在理想像平面上的同一点。由于有像差存在，光线对的交点既不在主光线上，也不在理想像平面上。为了表示这种差异，我们用子午光线对的交点离理想像平面的轴向距离表示此光线对交点偏离主光线的程度，成为“子午场曲”。如图1-5所示。用光线对交点离开主光线的垂直距离表示此光线对交点偏离主光线的程度，成为“子午彗差”。当光线对对称地逐渐向主光线靠近，宽度趋于零时，它们的交点趋近于一点，显然应该位于主光线上，它离开理想像平面的距离称为“细光束子午场曲”，用表示。不同宽度子午光线对的子午场曲和细光束子午场曲之差（），代表了细光束和宽光束交点前后位置

的差。此差值成为“轴外子午球差”，用表示。

(1-5)

图1-5 子午面光线像差

1.1.3.2 弧矢像差

如图1-6所示，阴影部分所在平面即为弧矢面。把弧矢光线对的交点到理想像

平面的距离用表示，称为“弧矢场曲”；到主光线的距离用表示，称为“弧矢彗差”。主光线附近的弧矢细光束的交点到理想像平面的距离用表示，称为“细光束

弧矢场曲”；称为“轴外弧矢球差”，用表示。

(1-6)

图1-6 弧矢面光线像差

1.1.4 正弦差、像散、畸变

对于某些小视场大孔径的光学系统来说，由于像高本身较小，彗差的实际数值更小，因此用彗差的绝对数值不足以说明系统的彗差特性。一般改用彗差与像高的比值来代替系统的彗差，用符号表示

(1-7) 的计算公式为

(1-8) 对于用小孔径光束成像的光学系统，它在理想像平面上的成像质量由细光束子午和弧矢场曲，决定。二者之差反映了主光线周围的细光束偏离同心光束的程度，称为“像散”，代表了主光线周围细光束的成像质量，用符号表示

(1-9) 把成像光束的主光线和理想像平面交点的高度作为光束的实际像高，那么它和理想像高的差值称为“畸变”。畸变不影响像的清晰度，只影响像的变形。

1.2 垂直像差

利用不同孔径子午、弧矢光线在理想像平面上的交点和主光线在理想像平面上的交点之间的距离来表示的像差，称为垂轴几何像差。

为了表示子午光束的成像质量，在整个子午光束截面内取若干对光线，一般取

±1.0h，±0.85h，±0.7071h，±0.5h，±0.3h，0h这11条不同孔径的光线，计算出它们和理想像平面交点的坐标，由于子午光线永远位于子午面内，因此在理想像平面上交点高度之差就是这些交点之间的距离。求出前10条光线和主光线（0孔径光线）高度之差即为子午光束的垂轴像差，如图1-7所示。

(1-10)

图1-7 子午垂轴像差

为了用垂轴像差表示色差，可以将不同颜色光线的垂轴像差用同一基准像面和同一基准主光线作为基准点计算各色光线的垂轴像差。一般情况下，我们采用平均中心波长光线的理想像平面和主光线作为基准计算各色光光线的垂轴色差。为了了解整个像面的成像质量，同样需要计算轴上点和若干不同像高轴外点的垂轴像差。对轴上点来说，子午和弧矢垂轴像差是完全一样的，因此弧矢垂轴像差没有必要计算0视场的

垂轴像差。

二、光学自动设计原理

在光学自动设计中，一般把对系统的全部要求，根据它们和结构参数的关系不同重新划分成两大类。

第一类是不随系统结构参数改变的常数。如物距L ，孔径高H 或孔径角余弦sinU ，视场角ω或物高y ，入瞳或孔径光阑的位置以及轴外光束的渐晕系数 ， ，等等。在计算和校正光学系统像差的过程中这些参数永远保持不变，它们是和自变量（结构参数）无关的常量。

第二类是随结构参数改变的参数。它们包括代表系统成像质量的各种几何像差或波像差。同时也包括某些近轴光学特性参数，如焦距 ，放大率，像距 ，出瞳距 ，等等。为了简单起见，将第二类参数统称为像差，用符号 ，…， 代表。系统的结构参数用符号 ，…， 代表。两者之间的函数关系可用下列形式表示

(2-1)

式中， ，…， 分别代表像差 ，…， 与自变量 ，…， 之间的函数关系。上式称为像差方程组。

2.1 阻尼最小二乘法光学自动设计程序

当像差数大于自变量数的情形：m>n ，这时方程组是一个超定方程组，它不存在满足所有方程式的准确解，只能求它的近似解—最小二乘解。

首先定义一个函数组，他们的意义如以下公式所示：

11111111n n

m m m n m n f f x x F x x f f x x F x x δδ?δδδδ?δδ?=

?+???+?-?????????????????????????????????????????????????=?+???+?-???

φ1…φm 称为“像差残量”，写成矩阵形式为 A X F φ=?-?

取各像差残量的平方和构成另一个函数()X φ?：

21()m

T

i i X φ???-?==∑ ()X φ?在光学自动设计中成为“评价函数”，能够使()0X φ?=的解（即φ1=…=φm =0），就是像差线性方程组的准确解。当m>n 时，它实际上是不存在的。我们改为()X φ?的极小值解，作为方程组的近似解称为像差线性方程组的最小二乘解。

将φ代入评价函数得

21min ()min min[()()]m T i i x A x F A x F φ=Φ?==?-??-?∑

()()()

[()]()

()()

T T T T T T T T T T T T x A x F A x F A x F A x F x A F A x F x A A x F A x x A F F F

Φ?=?-??-?=?-??-?=?-??-?=??-??-??+??

根据多元函数的极值理论，()X φ?取得极小值解的必要条件是一价偏导数等于零

()0x ?Φ?= (2-2) 运用矩阵求导规则求一阶偏导数

()22()0T T T T T x A A x A F A F A A x A F ?Φ?=?-?-?=?-?=

0T T A A x A F ?-?= (2-3)

只要方阵A T A 为非奇异矩阵，即它的行列式值不等于零，则逆矩阵(A T A)-1存在，方程式有解，解的公式为

1()T T x A A A F -?=? (2-4)

要使A T A 非奇异，则要求方程组的系数矩阵A 不产生列相关。即像差线性方程组中不存在自变量相关。在光学设计中，由于像差和结构参数之间的关系是非线性的。同时在比较复杂的光学系统中作为自变量的结构参数很多，很可能在若干自变量之间出现近似相关的现象。这就使矩阵A T A 的行列值接近于零，A T A 接近奇异，按最小二乘法求出的解很大，大大超出了近似线性的区域，用它对系统进行修改，往往不能保证评价函数的下降，因此必须对解向量的模进行限制。

受非线性的影响，必须对解向量的模进行限制。改为求下列函数的极小值解。

2()n i i L x p x =Φ?+?∑

这样做的目的是，既要求评价函数()X φ?下降,又希望解向量的模2n

T i i x x x

?=??∑不要太大。经过这样改进的最小二乘法，称为阻尼最小二乘法，常数p 称为阻尼因子。

上述函数L 的极小值解得必要条件为

或者

上式为阻尼最小二乘法的法方程组。式中，为单位矩阵；p 为阻尼因子。解的公式为

以上公式中的逆矩阵 永远存在。在像差线性方程组确定后，即A 和 确定后，给定一个p 值就可以求出一个解向量 。p 值越大 的模越小，像差和结构参数之间越接近线性，越有可能使()x Φ?下降。但是 太小，系统改变不大，()x Φ?下降的幅度越小。因此必须优选一个p 值，使()x Φ?达到最大的下降。具体的做法是，给出一组p 值，分别求出相应的解向量 ，用它们分别对系统结构参数进行修改以后，

用光路计算的方法求出它们的实际像差值，并计算出相应的评价函数值 ，

公式中 为系统实际像差和目标值的差，即实际的像差残量。比较这些Φ值的大小，选择一个使Φ达到最小的p 值，获得一个新的比原始系统评价函数有所下降的新系统。然后把这个新系统作为新的原始系统，重新建立像差线性方程组，这样不断重复直到评价函数()x Φ?不再下降为止。采用上述求解方法的光学自动设计称为“阻尼最小二乘法”。

2.2 适应法光学自动设计程序

当方程式的个数m 小于自变量个数n 时，方程组是一个不定方程组有无穷多组解，选解向量的模为最小的那组解，在满足像差线性方程组的条件下，求极小值解。

在满足像差线性方程组的条件下，求2()n

T i i x x x x Φ?=?=??∑的极小值解。吧像差线性方程组作为一个约束方程组，求函数()T x x x Φ?=??的极小值。求min ()min()T x x x Φ?=??同时满足约束方程组A x F ?=?。 构造一个拉格朗日函数L 。

()()T L x A x F λ=Φ?+?-?

拉格朗日函数L 的无约束极值，就是Φ的约束极值。函数L 中共包含有ΔX 和λ两组自变量，其中ΔX 为n 个分量，而λ为m 个分量，共有m+n 个自变量。

多元函数的无约束极值条件为 L=0。

20T L x A x

λ?=?+=? (2-5) 0L A x F λ

?=?-?=? 求解ΔX

12

T x A λ?=- (2-6) 将其代入公式(2-5)得

102

T AA F λ--?=12()T T A AA F λ-=-? 1()T T x A AA F -?=? (2-7)

上式就是我们所要求的约束极值的解。解存在的条件是逆矩阵(A T A)-1存在，即A T A 为非奇异矩阵，这就要求像差线性方程组的系数矩阵A 不发生行相关，即不发生像差相关。用上面这种方法求解像差线性方程组的光学自动设计方法称为“适应法”。

当像差数m 等于自变量数n 时，像差线性方程组有唯一解，系数矩阵A 为方阵，一下关系成立

（ ）

带入式（2-7）得

显然上式就是像差线性方程组的唯一解。因此式（2-7）既适用于m ﹤n 的情形，也适用于m=n 的情形。由以上求解过程可以看到，使用适应法光学自动设计程序必须满足的条件是：像差数小于或等于自变量数；像差不能相关。

适应法像差自动校正程序的最大特点是：第一，参加校正的像差个数m 必须小于或等于自变量个数n ；第二，参加校正的像差不能相关。因为适应法求出的解，严格满足像差线性方程组的每个方程式。如果m ＞n ，或者某两种像差相关，像差线性方程组就无法求解，校正就要中断。这是适应法和阻尼最小二乘法的最大区别。

三、ZEMAX光学设计

3.1 望远镜物镜设计

（1）要求

望远物镜焦距为200，半视场角为4°，相对孔径为1：5。

（2）初始系统结构

根据望远物镜的光学特性要求，选择双胶合结构作为初始结构（视场角2 <10°）。通过查阅，找到与要求相近的初始系统结构，其结构参数如下：

表格1 系统结构参数

Surf Radius Thickness Glass

OBJ Infinity Infinity

STO 117.56 7.238 K9

2 -74.89 3.861 ZK2

3 -243.45

注：此系统的焦距为200，口径40，半视场角4°。

将数据输入ZEMAX编辑框中，此时显示的焦距为198.445，如下图所示：

此时将光路图和MTF函数图显示出来：

该系统的点列图图如下所示

此时的MTF 图像为：

从图中可以看出，该系统在50线对时数值低，此时我们将系统进行优化处理。调出优化函数，将焦距定为200，在设置变量时，选定半径321,,r r r 为优化变量，进行优化，优化后得到的结构参数如下:

优化后的图形为：

3.2 目镜设计

目镜的设计要与1中的望远镜物镜进行配合，要求：视放大率为6倍，目镜出瞳距离为20。由于要求和前面的望远镜物镜配合，望远镜物镜的相关参数如下：焦距200，视场角2ω=8°，相对口径为1：5，根据望远镜的视放大率公式： 视放大率''6'f D D f Γ===物目

，D=40，由此得到D '=6.667, '33.333f mm =目,又ω

ωtan tan '

=Γ，ω=4°，所以76.22'=ω。 由此得到目镜反向光路设计时的全部光学特性为：

焦距 '33.333f mm =目

视场角 245.52ω=?

入瞳直径 6.667D mm =

出瞳距离

'''20020220zm F L f l mm =+=+=目物 目镜的光学系统确定后就可以用自适应法自动设计程序进行设计。我们选取如下初始系统：

表格 2 原始系统参数

Surf

Radius Thickness Glass OBJ

Infinity Infinity STO

Infinity 20.00 2

400.00 1.5 K9 3

32.2 10 ZK2 4

-21.3 1 5

21.3 10 K9 6

-32.2 1.5 ZF2 7

-400.00

将数据输入编辑器得：

此时将光路图和MTF函数图显示出来