2.2《导数的概念及其几何意义》课件(北师大版选修2-2)
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北师大版高中数学选修2-2课件2.2.2导数的几何意义课件
(1,1)
y 3x 4
小结
＊导数的几何意义： 函数在处的导数，即是曲线 y f ( x ) x0 在点处的切线斜率。 ( x0 , f ( x0 ) ) ＊导数法求曲线的切线方程：
y f ( x)
y f ( x ) x0 （1）求出在处的导数；
f ( x0 )
（2）利用点斜式求得切线方程为：
由题知，
( 2,4) x 2 时割线过点和；
(0,0)
( 2,4) ( 1,1) x 1 时割线过点和； ( 2,4) ( 1.5,2.25) 图略。 x 0.5 时割线过点和，
（2） f ( 2 ) ∴ k f ( 2) 4 又切线过点 ( 2,4) ∴切线方程为：
2
yx
2
x0 , x0 x
yx
2
的平均变化率，并画出过点的相应割线； ( x0 , f ( x0 ) ) 在点处的切线。 ( 2,4)
解析
y f ( x) 2 x x 1 例2求函数在处的切线方程。
3
解析
总结概括
利用导数求曲线的切线方程：
y f ( x ) x0 （1）求出在处的导数；
y 4 x 4
图略。 例2
分析： 要求切线斜率，即导数。
解：
f (1)
∴ k切线 f (1) 6 ∴切线方程为：
( y 2) 6( x 1)
即 y 6x 4 概括
f ( 0) f ( 2) 0 2： x 1 , 0.5
f ( 1) f ( 2) ( 1)2 ( 2)2 3 1 1
f (1.5) f ( 2) ( 1.5)2 ( 2)2 3.5 0.5 0.5
2.2 导数的概念及其几何意义 课件(北师大选修2-2)
1．函数f(x)在点x0处的导数就是函数的平均变化率在 Δy 当自变量的改变量趋于零时的极限，若li Δx→0 m 存在，则 Δx 函数y＝f(x)在点x0处就有导数． 2．f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在切点(x0，f(x0)) 处的切线的斜率．
[例1]
4 求函数y＝ 2在x＝2处的导数． x
解析：设P(3,9)，Q(3＋Δx，(3＋Δx)2)， 3＋Δx2－9 则割线PQ的斜率为kPQ＝ ＝6＋Δx. Δx 当Δx趋于0时，kPQ趋于常数6，从而曲线y＝f(x)在 点P(3,9)处的切线的斜率为6.
答案：6
2 5．求曲线f(x)＝x在点(－2，－1)处的切线方程． 2 解：∵点(－2，－1)在曲线y＝x上，
2．切线的定义：
当Δx趋于零时，点B将沿着曲线y＝f(x)趋于 点A ，割 线AB将绕点A转动最后趋于直线l，直线l和曲线y＝f(x)在点 A处“相切”，称直线l为曲线y＝f(x)在 3．导数的几何意义： 函数y＝f(x)在x0处的导数，是曲线y＝f(x)在点(x0， f(x0))处的 切线的斜率 ． 点A 处的切线．
[例3] 已知抛物线y＝2x2＋1，求：
(1)抛物线上哪一点处的切线的倾斜角为45°？
(2)抛物线上哪一点处的切线平行于直线4x－y－2＝0?
(3)抛物线上哪一点处的切线垂直于直线x＋8则
2 Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x0－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2.
解析：根据题意可设切点为P(x0，y0)， ∵Δy＝(x＋Δx)2－3(x＋Δx)－(x2－3x) ＝2xΔx＋(Δx)2－3Δx， Δy ∴ ＝2x＋Δx－3. Δx Δy ∴f′(x)＝liΔx→0 m ＝liΔx→0 (2x＋Δx－3)＝2x－3. m Δx
高中数学 第2章 变化率与导数 2 导数的概念及其几何意义课件 北师大版选修22
(2)∵f(x)＝ x，
∴Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝ 1＋Δx－1，
∴ΔΔyx＝
1＋ΔΔxx－1＝
1＋Δx－1 1＋Δx＋1 Δx 1＋Δx＋1
＝
1 1＋Δx＋1.
∴Δlxi→m 0 ΔΔxy＝Δlxi→m 0 1＋1Δx＋1＝12，
∴f′(1)＝12.
根据定义求导数是求函数的导数的基本方法，
1 C.2 解析：
1 D.4 ΔΔyx＝2＋1ΔΔxx－12＝－4＋12Δx，
当Δx→0时，ΔΔxy→－14，故在x＝2处的导数为－14. 答案： A
3．设函数y＝f(x)为可导函数，且满足 Δlxi→m 0
f1－f1－x x
＝－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的倾斜角为______．
＝Δlxi→m 0
Δx＋x0＋1 Δx－x10 Δx
＝Δlxi→m 0
Δx＋x0－x0＋ΔxΔx Δx
＝Δlxi→m 0 1＋x0x－0＋1Δx＝1－x120，
又∵g′(x0)＝34，∴1－x102＝34， ∴x20＝4，∴x0＝2或－2.
利用导数求切线方程
已知曲线y＝
1 3
通常分三步：
(1)计算函数值的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)计算函数值的增量Δy与自变量的增量Δx的比值ΔΔyx；
(3)计算上述增量的比值在Δx→0时的极限，就是该函数在
x0点的导数，即f′(x0)＝Δlxi→m 0
ΔΔyx＝Δlxi→m 0源自fx0＋Δx－fx0 Δx
.这
三步简称为：一差，二比，三极限．
1．已知函数f(x)在x＝a处可导，则 hl→ima
fh－fa h－a
等于
优课系列高中数学北师大版选修2-2 2.2导数的概念及其几何意义 课件(36张)
北师大版高中数学选修 2-2 导数的概念 阅读教材 P60“例 1”以上部分，完成下列问题． 设函数 y＝f(x)，当自变量 x 从 x0 变到 x1 时，函数值从 f(x0)变到 f(x1)，函数 值 y 关于 x 的平均变化率为ΔΔyx＝fxx11－－xf0x0＝fx0＋ΔΔxx－fx0.当 x1 趋于 x0，即 Δx 趋于 0 时，如果平均变化率趋于一个__________，那么这个值就是函数 y＝f(x) 在 x0 点的__________．在数学中，称瞬时变化率为函数 y＝f(x)在 x0点的________， 通常用符号 f′(x0)表示，记作 f′(x0)＝________________＝__________________.
探究 1 抛物线 y＝x2 在点 P 处的切线与直线 4x－y＋2＝0 平行，能否求出
P 点的坐标？
【提示】
f′(x)＝ lim
Δx→0
fx＋ΔΔxx－fx＝Δlixm→0
x＋ΔΔxx2－x2＝2x，设 P(x0，y0)
是满足条件的点．
因为切线与直线 4x－y＋2＝0 平行，
所以 2x0＝4，∴x0＝2，y0＝4， 故切点 P 的坐标为(2,4)．
【解】 由导数的几何意义，曲线在点(－2，－1)处的切线的斜率就等于函
数 f(x)＝2x在点(－2，－1)处的导数．
而 f′(－2)＝lim
Δx→0
f－2＋Δx－f－2 Δx
＝ lim
Δx→0
－2＋2ΔΔxx＋1＝Δlixm→0
－2＋1 Δx＝－12，故曲线在点(－2，－1)处的切线方
程为 y＋1＝－12(x＋2)，整理得 x＋2y＋4＝0.
(2)在点 P 处的切线方程是 y－83＝4(x－2)， 即 12x－3y－16＝0.
探究 1 抛物线 y＝x2 在点 P 处的切线与直线 4x－y＋2＝0 平行，能否求出
P 点的坐标？
【提示】
f′(x)＝ lim
Δx→0
fx＋ΔΔxx－fx＝Δlixm→0
x＋ΔΔxx2－x2＝2x，设 P(x0，y0)
是满足条件的点．
因为切线与直线 4x－y＋2＝0 平行，
所以 2x0＝4，∴x0＝2，y0＝4， 故切点 P 的坐标为(2,4)．
【解】 由导数的几何意义，曲线在点(－2，－1)处的切线的斜率就等于函
数 f(x)＝2x在点(－2，－1)处的导数．
而 f′(－2)＝lim
Δx→0
f－2＋Δx－f－2 Δx
＝ lim
Δx→0
－2＋2ΔΔxx＋1＝Δlixm→0
－2＋1 Δx＝－12，故曲线在点(－2，－1)处的切线方
程为 y＋1＝－12(x＋2)，整理得 x＋2y＋4＝0.
(2)在点 P 处的切线方程是 y－83＝4(x－2)， 即 12x－3y－16＝0.
2.2导数的概念及其几何意义 课件(北师大版选修2-2)
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
BS·数学 选修2-2
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 课 堂 互 动 探 究 菜 单 思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标
课 时 作 业
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教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 课 堂 互 动 探 究 菜 单 思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标
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教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学 课 堂 互 动 探 究 菜 单
导数的概念及其几何意义
思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标
1.导数的概念 设函数y＝f(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值从f(x0) Δy fx1－fx0 变到f(x1)，函数值y关于x的平均变化率为 ＝ ＝ Δx x1－x0 fx0＋Δx－fx0 . Δx
菜 单
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BS·数学 选修2-2
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(2)会用导数的定义、导数的几何意义解决与曲线的切 线有关的问题． 2．过程与方法 通过对瞬时变化率的研究，体会“逼近”的含义，经过 思考、讨论、探究，抽象概括出导数的定义；并通过斜率公 式由割线斜率“逼出”曲线的切线斜率与导数的关系． 3．情感、态度与价值观 (1)通过对平均速度、瞬时速度的研究、推广，经历建 立导数概念的过程，体会由特殊到一般及认识事物的规律， 并感受其中蕴含的逼近思想；
(北师大版)数学选修2-2：第2章《导数的概念及其几何意义》ppt课件
过了中后卫布林德的头顶下落就算德罗巴不用跳起不用移动也可以顶到这个球这个球距离球门不到 的向禁区内移动抢点或者解围但是一切都太晚了布隆坎普几步来到底线附近在无人盯防的情况下右脚传出了一记漂亮的弧线球找中路的德罗巴这脚球传的速度奇快又非常舒服越 松的接到皮球把球一磕改变了方向然后快速下底这个时候阿贾克斯的球员发现了布隆坎普的动作顿时大惊失色梅尔奇奥特快速向移向边路防止布隆坎普的传中双方的球员都纷纷 慢慢移动不知不觉的已经到了几乎和禁区平行的位置就在几乎所有人都以为阿尔蒂多雷要远射的时候阿尔蒂多雷却突然把球传到了一个所有人都想不到的地方右边路布隆坎普轻 太阳穴的位置触球球直接飞出了底线顿时眼镜碎了一地谁都想不到在距离球迷 击德罗巴德罗巴庞大的身躯在德波尔有意的撞击之下发生了一点改变这一点改变就是致命的因为布隆坎普的这脚传球太快德罗巴本来是想用额头把球砸进球门这一下却变成了用 有那么强大了早就看到了这个落点却被德罗巴卡住位置的德波尔终于等到了机会老奸巨猾的德波尔也貌似要跳起头球其实他根本就不可能碰到球他只是佯装跳起用身体狠狠的撞 状的看着禁区看着德罗巴希望德罗巴不要抢到点这时候德罗巴却出人意料的起跳了他想微微跳起然后把球砸向球门如果双脚站在地面上德罗巴就是巨人安泰但是跳起之后他就没 被打丢了德罗巴沮丧的跪在草皮上不住的摇头痛骂自己是傻 呼的这时气得狠狠的蹲下捶地他不能想象在这一瞬间德罗巴那浆糊脑袋里想的是什么距离球门这么近怎么顶不不能进非要玩花样尼玛觉得是花样滑冰玩艺术了加分啊一个必进球 能再犯下一次阿尔克马尔人海会再给你们机会吗解说员指责阿贾克斯的球员在这个球的处理上太大意竟然没发现移 X啊啊啊不可思议一个必进球被德罗巴打飞这是一个打飞比打进更难的球阿尔克马尔的球员真是奇葩啊布隆坎普被忽 5米的情况下德罗巴把这个球顶飞了阿贾克斯的球迷为德罗巴发出了欢呼声姜牧本来准备展开双臂欢 5米远只要顶到必进无
2016高考数学 2.2导数的概念及其几何意义课件 北师大版选修2-2
错因分析:上述解法错在将点 M(1,1)当成了曲线 y=x3+1 上的点.因此在
求过某点的切线时,一定要先判断点是否在曲线上,再根据不同情况求解.
探究一
探究二
探究三
正解:y'=3x2(解法同错解),设过点 M(1,1)的切线与 y=x3+1 相切于点
P(x0,x03 +1),据导数的几何意义,函数在点 P 处的切线的斜率为 k=3x02 ,过点
x30 +1-1
x30 +1-1
x30
2
2
M(1,1)的切线的斜率 k=
,由 3x0 =
得,3x0 =
,解得 x0=0 或
x0 -1
x0 -1
x0 -1
3
27
x0= ,所以 k=0 或 k= ,因此,y=x3+1 过点 M(1,1)的切线方程有两条,分别为
2
4
27
y-1= (x-1)和 y=1,即 27x-4y-23=0 和 y=1.
§2.2
导数的概念及其几何意义
学习目标
思维脉络
1.通过实例分析,
体会由平均变化率过
渡到瞬时变化率的过
程,了解导数概念建
立的背景.
2.理解瞬时变化率的
含义,并知道瞬时变
化率就是导数.
3.会求函数 f(x)在某
一点 x0 处的导数.
4.理解导数的几何意
义,并能利用几何意
义解决相关问题.
5.会求与导数相关的
切线问题.
1
2
1.导数的概念
设函数 y=f(x),当自变量 x 从 x0 变到 x1 时,函数值从 f(x0)变到 f(x1),函数
值 y 关于 x 的平均变化率为
求过某点的切线时,一定要先判断点是否在曲线上,再根据不同情况求解.
探究一
探究二
探究三
正解:y'=3x2(解法同错解),设过点 M(1,1)的切线与 y=x3+1 相切于点
P(x0,x03 +1),据导数的几何意义,函数在点 P 处的切线的斜率为 k=3x02 ,过点
x30 +1-1
x30 +1-1
x30
2
2
M(1,1)的切线的斜率 k=
,由 3x0 =
得,3x0 =
,解得 x0=0 或
x0 -1
x0 -1
x0 -1
3
27
x0= ,所以 k=0 或 k= ,因此,y=x3+1 过点 M(1,1)的切线方程有两条,分别为
2
4
27
y-1= (x-1)和 y=1,即 27x-4y-23=0 和 y=1.
§2.2
导数的概念及其几何意义
学习目标
思维脉络
1.通过实例分析,
体会由平均变化率过
渡到瞬时变化率的过
程,了解导数概念建
立的背景.
2.理解瞬时变化率的
含义,并知道瞬时变
化率就是导数.
3.会求函数 f(x)在某
一点 x0 处的导数.
4.理解导数的几何意
义,并能利用几何意
义解决相关问题.
5.会求与导数相关的
切线问题.
1
2
1.导数的概念
设函数 y=f(x),当自变量 x 从 x0 变到 x1 时,函数值从 f(x0)变到 f(x1),函数
值 y 关于 x 的平均变化率为
【高中课件】高中数学北师大版选修22第2章疑难解读导数的概念及其几何意义课件ppt.ppt
解．如存在，则在此点处有切线，且切线是唯一的； 如不存在，则在此点处无切线．
• 3．利用导数求曲线的切线方程的步骤
•点P((x10)，求f出(x0函))处数的y＝切f线(x)的在斜x0率处；的导数，即曲线y＝f(x)在 • (2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，利用点斜 式求出切线方程为：y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
•＝ ＝ 切 的ff线导((xx1方数))．在 在程 不函点点为 存数PP在(y(yxx－＝00，，，yf0(则ff＝x((xx)说在00f′))())明x点处处0)斜x(切的x0处－率线切的x不的线0)导存．斜的数在如率斜的．果，率几函也是何数就f′(意xy是0＝)义．说f(是x相，)曲在应曲线x地线0处y，y
2．对 Δx→0 的理解 (1)“Δx→0”的意义：|Δx－0|可以小于给定的任意小的正 数，但始终有 Δx≠0. (2)当 Δx→0 时，存在一个常数与fx0＋ΔΔxx－fx0无限接近．
4．求导数的步骤 由导数的定义可知，求函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数的步骤 为： (1)求函数的增量：Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率：ΔΔyx＝fx0＋ΔΔxx－fx0； (3)求极限，得导数：f′(x0)＝Δlti→m0 ΔΔyx.简记为：一差、二比、 三极限．
• ◎设f(x)＝x2－1，求f′(2)． • 【错解】 由f(x)＝x2－1， • 得f(2)＝22－1＝3. • 故f′(2)＝(3)′＝0. • 【错因】 f(x)＝x2－1，得f′(2)是导函数的一个函 数值，而不是函数f(2)的导数．
【正解】
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f′(x)＝Δlti→m 0
fx＋Δx－fx Δx
• 割
线2P．Q一，般当地Q，点过沿曲着线曲y线＝无f(x限)上趋一近点于P(Px时0，，y0若)作割曲线线P的Q
• 3．利用导数求曲线的切线方程的步骤
•点P((x10)，求f出(x0函))处数的y＝切f线(x)的在斜x0率处；的导数，即曲线y＝f(x)在 • (2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下，利用点斜 式求出切线方程为：y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
•＝ ＝ 切 的ff线导((xx1方数))．在 在程 不函点点为 存数PP在(y(yxx－＝00，，，yf0(则ff＝x((xx)说在00f′))())明x点处处0)斜x(切的x0处－率线切的x不的线0)导存．斜的数在如率斜的．果，率几函也是何数就f′(意xy是0＝)义．说f(是x相，)曲在应曲线x地线0处y，y
2．对 Δx→0 的理解 (1)“Δx→0”的意义：|Δx－0|可以小于给定的任意小的正 数，但始终有 Δx≠0. (2)当 Δx→0 时，存在一个常数与fx0＋ΔΔxx－fx0无限接近．
4．求导数的步骤 由导数的定义可知，求函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数的步骤 为： (1)求函数的增量：Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； (2)求平均变化率：ΔΔyx＝fx0＋ΔΔxx－fx0； (3)求极限，得导数：f′(x0)＝Δlti→m0 ΔΔyx.简记为：一差、二比、 三极限．
• ◎设f(x)＝x2－1，求f′(2)． • 【错解】 由f(x)＝x2－1， • 得f(2)＝22－1＝3. • 故f′(2)＝(3)′＝0. • 【错因】 f(x)＝x2－1，得f′(2)是导函数的一个函 数值，而不是函数f(2)的导数．
【正解】
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f′(x)＝Δlti→m 0
fx＋Δx－fx Δx
• 割
线2P．Q一，般当地Q，点过沿曲着线曲y线＝无f(x限)上趋一近点于P(Px时0，，y0若)作割曲线线P的Q
北师大版高中数学选修2-2课件2.2.2导数的几何意义课件
的平均变化率：
y y1 y0 x x1 x0 f (x0 x) f ( x0 )
x
容易看出，它是过 P、Q 两 点的直线斜率。
观察当x 0时，Q点及割线PQ的变化情况。
y
y = f (x) 割
线 Q
P
T 切线
o
x
概括
当x 0时， Q P PQ 切线PT
lim
x0
y x
tan
k PT
＊ 导数的几何意义：
函数 y f (x)在 x0处的导数，即是曲线 y f (x)
在点 ( x0 , f ( x0 ) )处的切线斜率。
＊ 导数法求曲线的切线方程：
(1)求出 y f (x)在 x0处的导数 f (x0 )；
(2)利用点斜式求得切线方程为：
y y0 f ( x0 )( x x0 )
(2) f (2)
∴ k f (2) 4
又切线过点 (2,4)
∴切线方程为：
y 4x 4
图略。
分析：要求切线斜率，即导数 f (1。)
解：
∴ k切线 f (1) 6
∴切线方程为：
( y 2) 6(x 1) 即 y 6x 4
的平均变化率，并画出过点(x0 , f (x0 ) )的相应割线；
(2)求y x2 在x0 2 处的导数，画出曲线 y x2
在点(2,4)处的切线。
例2 求函数y f (x) 2x在3 x 1处的切线方程。
总结概括
利用导数求曲线的切线方程：
(1)求出 y f (x)在 x0处的导数 f (x0 )；
导数 f (x0 )即过点 P 的切线 PT 的斜率。
导数的几何意义：
函数 y f (x)在 x0处的导数，即是曲线 y f (x)
y y1 y0 x x1 x0 f (x0 x) f ( x0 )
x
容易看出，它是过 P、Q 两 点的直线斜率。
观察当x 0时，Q点及割线PQ的变化情况。
y
y = f (x) 割
线 Q
P
T 切线
o
x
概括
当x 0时， Q P PQ 切线PT
lim
x0
y x
tan
k PT
＊ 导数的几何意义：
函数 y f (x)在 x0处的导数，即是曲线 y f (x)
在点 ( x0 , f ( x0 ) )处的切线斜率。
＊ 导数法求曲线的切线方程：
(1)求出 y f (x)在 x0处的导数 f (x0 )；
(2)利用点斜式求得切线方程为：
y y0 f ( x0 )( x x0 )
(2) f (2)
∴ k f (2) 4
又切线过点 (2,4)
∴切线方程为：
y 4x 4
图略。
分析：要求切线斜率，即导数 f (1。)
解：
∴ k切线 f (1) 6
∴切线方程为：
( y 2) 6(x 1) 即 y 6x 4
的平均变化率，并画出过点(x0 , f (x0 ) )的相应割线；
(2)求y x2 在x0 2 处的导数，画出曲线 y x2
在点(2,4)处的切线。
例2 求函数y f (x) 2x在3 x 1处的切线方程。
总结概括
利用导数求曲线的切线方程：
(1)求出 y f (x)在 x0处的导数 f (x0 )；
导数 f (x0 )即过点 P 的切线 PT 的斜率。
导数的几何意义：
函数 y f (x)在 x0处的导数，即是曲线 y f (x)
高中数学北师大版选修2-2第2章《典例导航：导数的概念及其几何意义》ppt课件
在 x＝3 附近的平均变化率为 k3＝f3＋ΔΔxx－f3 ＝3＋ΔΔxx2－32＝6＋Δx. 若 Δx＝13，则 k1＝2＋13＝73，k2＝4＋13＝133，k3＝6＋13＝139. 由于 k1<k2<k3， ∴在 x＝3 附近的平均变化率大．
已知曲线 y＝13x3 上一点 P2，83，求： (1)点 P 处的切线的斜率； (2)点 P 处的切线方程．
＝13Δlti→m0 [3×22＋3×2×Δx＋(Δx)2]＝22＝4，
故曲线 y＝13x3 在点 P 处的切线方程为 y－83＝4(x－2)，即 12x
－3y－16＝0.
3.求曲线 f(x)＝2x在点(－2，－1)处的切线方程．
解析： 由于点(－2，－1)恰好在曲线 f(x)＝2x上，所以曲线
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的 问题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
的率定．点，点 Q(x0＋Δx，y0＋Δx)是曲线上与点 P 邻近的点，则有
y0 ＝ f(x0) ， y0 ＋ Δy ＝ f(Δx ＋ x0) ， 割 线
PQ
的斜率
k
＝
Δy Δx
＝
fx0＋ΔΔxx－fx0.
[解题过程] ∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)3－1 ＝(Δx)3＋3(Δx)2＋3Δx， ∴割线 PQ 的斜率 k＝ΔΔyx＝Δx3＋3ΔΔxx2＋3Δx ＝(Δx)2＋3Δx＋3. 设当 Δx＝0.1 时割线的斜率为 k1， 则 k1＝(0.1)2＋3×0.1＋3＝3.31.
高中数学 2.2 导数的概念及其几何意义课件 北师大版选修2-2
������ ������
=
Δ x 趋于 0 时,如果平均变化率趋于一个固定的值,那么这个值就是函数 y=f(x)在 x0 点的瞬时变化率,在数学中,称瞬时变化率为函数 y=f(x)在 x0 点 的导数.通常用符号 f'(x0)表示,记作 f'(x0)= lim
f(x1 )-f(x0 ) ������(������0 +Δ������)-������(������0 ) = ������������������ . Δ������ ������ 1 →������ 0 x1 -x0 ������x →0
2
,
∴ =Δ������ ∴lim
������+4
(������+2)
������y Δ������+4 =- ������������������ 2=-1. Δ������ →0 ������x ������x →0 (Δ������+2)
答案:-1
-4-
§2 导数的概念及其几何意义
首 页
f(x0 +������x)-f(x0 ) =切线 ������x Δ������ →0 Δ������ Δ������
=
������(������0 +Δ������)-������(������0 ) ,可知 Δ������
AD 的斜率.
函数 y=f(x)在 x0 处的导数,是曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率. 函数 y=f(x)在 x0 处切线的斜率反映了导数的几何意义.
-2-
§2 导数的概念及其几何意义
首 页
X 新知导学 Z 重难探究
INZHI DAOXUE
=
Δ x 趋于 0 时,如果平均变化率趋于一个固定的值,那么这个值就是函数 y=f(x)在 x0 点的瞬时变化率,在数学中,称瞬时变化率为函数 y=f(x)在 x0 点 的导数.通常用符号 f'(x0)表示,记作 f'(x0)= lim
f(x1 )-f(x0 ) ������(������0 +Δ������)-������(������0 ) = ������������������ . Δ������ ������ 1 →������ 0 x1 -x0 ������x →0
2
,
∴ =Δ������ ∴lim
������+4
(������+2)
������y Δ������+4 =- ������������������ 2=-1. Δ������ →0 ������x ������x →0 (Δ������+2)
答案:-1
-4-
§2 导数的概念及其几何意义
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f(x0 +������x)-f(x0 ) =切线 ������x Δ������ →0 Δ������ Δ������
=
������(������0 +Δ������)-������(������0 ) ,可知 Δ������
AD 的斜率.
函数 y=f(x)在 x0 处的导数,是曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率. 函数 y=f(x)在 x0 处切线的斜率反映了导数的几何意义.
-2-
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2.2《导数的概念及其几何意义》课件(北师大版选修2-2)
T=f(t)表示. (1)f′(t)的含义是什么？f′(t)的符号是什么？为什么？
（2）f′(3)=-4的实际意义是什么？如果f(3)=60(℃)，你能
画出函数在点t=3时图象的大致形状吗？
2.已知曲线C:y=x2与定点A（2，3），过定点A与曲线相切的直 线方程为________.
3.求曲线f(x)=x2-x+3在点（1,3)处的切线方程.
∴切线方程为y-1=3(x-1) 即3x-y-2=0. 如图所示 易求得直线x=2与直线3x-y-2=0 的交点为（2，4）
1 2 4 8 (2- ) 4=2 = . 2 3 3 3 8 答案： 3
∴S△=
4.（15分）已知抛物线C1：y1=x2+2x和C2：y2=-x2+a.如果直线l
(A)4
(B) - 1 (C)2 (D) 1 4 2 【解题提示】求y=f(x)在点（1，f(1)）处切线的斜率即
求f′(1),可借助g′(1)求解.
【解析】
2.（5分）垂直于2x-6y+1=0且与曲线y=x3+3x2-1相切的直线方 程一般形式为_______.
【解析】直线2x-6y+1=0的斜率为 1 , 3 ∴所求直线的斜率为-3.
课程目标设置
主题探究导学
1.“函数y=f(x)在x=x0处的导数值就是Δ x=0时的平均变化率”.
这种说法对吗？
提示：这种说法不对，y=f(x)在x=x0处的导数值是Δx趋向于
y 0时，平均变化率 无限接近的一个常数值，而不是Δx=0时 x y 的值，实际上，在平均变化率的表达式 中，Δx≠0. x
2.能否认为函数在x=x0处导数越大，其函数值变化就越快? 提示：这种说法不正确.导数的正、负号确定函数值变化的趋 势，其绝对值大小确定变化的快慢.应说导数的绝对值越大， 函数值变化越快，即切线“越陡”.
（2）f′(3)=-4的实际意义是什么？如果f(3)=60(℃)，你能
画出函数在点t=3时图象的大致形状吗？
2.已知曲线C:y=x2与定点A（2，3），过定点A与曲线相切的直 线方程为________.
3.求曲线f(x)=x2-x+3在点（1,3)处的切线方程.
∴切线方程为y-1=3(x-1) 即3x-y-2=0. 如图所示 易求得直线x=2与直线3x-y-2=0 的交点为（2，4）
1 2 4 8 (2- ) 4=2 = . 2 3 3 3 8 答案： 3
∴S△=
4.（15分）已知抛物线C1：y1=x2+2x和C2：y2=-x2+a.如果直线l
(A)4
(B) - 1 (C)2 (D) 1 4 2 【解题提示】求y=f(x)在点（1，f(1)）处切线的斜率即
求f′(1),可借助g′(1)求解.
【解析】
2.（5分）垂直于2x-6y+1=0且与曲线y=x3+3x2-1相切的直线方 程一般形式为_______.
【解析】直线2x-6y+1=0的斜率为 1 , 3 ∴所求直线的斜率为-3.
课程目标设置
主题探究导学
1.“函数y=f(x)在x=x0处的导数值就是Δ x=0时的平均变化率”.
这种说法对吗？
提示：这种说法不对，y=f(x)在x=x0处的导数值是Δx趋向于
y 0时，平均变化率 无限接近的一个常数值，而不是Δx=0时 x y 的值，实际上，在平均变化率的表达式 中，Δx≠0. x
2.能否认为函数在x=x0处导数越大，其函数值变化就越快? 提示：这种说法不正确.导数的正、负号确定函数值变化的趋 势，其绝对值大小确定变化的快慢.应说导数的绝对值越大， 函数值变化越快，即切线“越陡”.
2.2 导数的概念及几何意义 课件(北师大版选修2-2)
ℎ →0
������������������
������ (������ 0 -4ℎ )-������ (������ 0 ) ℎ
=-4 ������������������
������ (������ 0 -4ℎ )-������ (������ 0 ) - 4ℎ
ℎ →0
=-4 ������������������
x=x 0 Δ x → 0 Δ x
= lim
Δy
导.学. 固. 思
问题3
函数y=f(x)在x=x0处的导数,就是曲线y=f(x)在
Δy Δx
= lim x=x0处的切线的斜率k=f'(x0)= Δlim x →0 Δ x Δ x →0
f( x 0 +Δ x )-f(x 0 )
.
相应的切线方程是: y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)
ℎ →0
=2.
[问题]上面的解答遵循导数的定义吗?
导.学. 固. 思
[结论]没有,在导数的定义形式中,增量 Δ x 的形式多种多样, 但是无论增量 Δ x 选择哪种形式,Δ y 必须保持相应的形式. 即:f'(x0)= ������������������
������������ ℎ →0 ������������ ℎ →0
【解析】由已知得: lim lim
f( x 0 -4ℎ )-������ (������ 0 ) ℎ h →0
f (x 0 -4h )-f (x 0 ) h
f (x 0 +h )-f (x 0 ) h
h →0
.
=2,
当 h→0,2h→0,-4h→0,
h →0
= ������������������
������������������
������ (������ 0 -4ℎ )-������ (������ 0 ) ℎ
=-4 ������������������
������ (������ 0 -4ℎ )-������ (������ 0 ) - 4ℎ
ℎ →0
=-4 ������������������
x=x 0 Δ x → 0 Δ x
= lim
Δy
导.学. 固. 思
问题3
函数y=f(x)在x=x0处的导数,就是曲线y=f(x)在
Δy Δx
= lim x=x0处的切线的斜率k=f'(x0)= Δlim x →0 Δ x Δ x →0
f( x 0 +Δ x )-f(x 0 )
.
相应的切线方程是: y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)
ℎ →0
=2.
[问题]上面的解答遵循导数的定义吗?
导.学. 固. 思
[结论]没有,在导数的定义形式中,增量 Δ x 的形式多种多样, 但是无论增量 Δ x 选择哪种形式,Δ y 必须保持相应的形式. 即:f'(x0)= ������������������
������������ ℎ →0 ������������ ℎ →0
【解析】由已知得: lim lim
f( x 0 -4ℎ )-������ (������ 0 ) ℎ h →0
f (x 0 -4h )-f (x 0 ) h
f (x 0 +h )-f (x 0 ) h
h →0
.
=2,
当 h→0,2h→0,-4h→0,
h →0
= ������������������
(北师大版)数学选修2-2：第2章《典例导航：导数的概念及其几何意义》课件
过了中后卫布林德的头顶下落就算德罗巴不用跳起不用移动也可以顶到这个球这个球距离球门不到 的向禁区内移动抢点或者解围但是一切都太晚了布隆坎普几步来到底线附近在无人盯防的情况下右脚传出了一记漂亮的弧线球找中路的德罗巴这脚球传的速度奇快又非常舒服越 松的接到皮球把球一磕改变了方向然后快速下底这个时候阿贾克斯的球员发现了布隆坎普的动作顿时大惊失色梅尔奇奥特快速向移向边路防止布隆坎普的传中双方的球员都纷纷 慢慢移动不知不觉的已经到了几乎和禁区平行的位置就在几乎所有人都以为阿尔蒂多雷要远射的时候阿尔蒂多雷却突然把球传到了一个所有人都想不到的地方右边路布隆坎普轻 太阳穴的位置触球球直接飞出了底线顿时眼镜碎了一地谁都想不到在距离球迷 击德罗巴德罗巴庞大的身躯在德波尔有意的撞击之下发生了一点改变这一点改变就是致命的因为布隆坎普的这脚传球太快德罗巴本来是想用额头把球砸进球门这一下却变成了用 有那么强大了早就看到了这个落点却被德罗巴卡住位置的德波尔终于等到了机会老奸巨猾的德波尔也貌似要跳起头球其实他根本就不可能碰到球他只是佯装跳起用身体狠狠的撞 状的看着禁区看着德罗巴希望德罗巴不要抢到点这时候德罗巴却出人意料的起跳了他想微微跳起然后把球砸向球门如果双脚站在地面上德罗巴就是巨人安泰是跳起之后他就没 被打丢了德罗巴沮丧的跪在草皮上不住的摇头痛骂自己是傻 呼的这时气得狠狠的蹲下捶地他不能想象在这一瞬间德罗巴那浆糊脑袋里想的是什么距离球门这么近怎么顶不不能进非要玩花样尼玛觉得是花样滑冰玩艺术了加分啊一个必进球 略了这是防守失误的起因阿贾克斯逃过一劫但是这样的错误不能再犯下一次阿尔克马尔人海会再给你们机会吗解说员指责阿贾克斯的球员在这个球的处理上太大意竟然没发现移 X啊啊啊不可思议一个必进球被德罗巴打飞这是一个打飞比打进更难的球阿尔克马尔的球员真是奇葩啊布隆坎普被忽 5米的情况下德罗巴把这个球顶飞了阿贾克斯的球迷为德罗巴发出
2018-2019学年北师大版选修2-2 2.2 导数的几何意义 课件(19张)
������x→0
������������������ (4x0 +2Δx)=4x0 , 即 f'(x0 )=4x0 .
������y Δ ������ →0 ������x
=
(1)∵抛物线的切线的倾斜角为 45°, ∴斜率为 tan 45°=1, 即
1 9 1 9 2 f'(x0 )=4x0 =1, 得 x0 = , 将其代入 y=2x +1, 得 y0 = , 故切点坐标为 , 4 8 4 8
所以切线的斜率为 -4.又因为切线过点(-2,4), 所以切线方程为 y-4=-4(x+2), 即 4x+y+4=0.
题型一
题型二
题型三
反思解此类问题的步骤为: (1)先设切点坐标(x0,y0); (2)求切线的斜率f'(x0); (3)由斜率间的关系列出关于x0的方程,解方程求x0; (4)由y0=f(x0),求得切点坐标.
题型一
题型二
题型三
【变式训练2】 已知曲线y=f(x)=2x2-a在点P处的切线方程为 12x-y-35=0,求切点P的坐标及a的值.
当Δx趋于0时,点B将沿着曲线y=f(x)趋于点A,割线AB将绕点A转 动,最后趋于直线l.直线l和曲线在点A处“相切”,称直线l为曲线y=f(x) 在点A处的切线.该切线的斜率就是函数y=f(x)在x0处的导数f'(x0).
2.导数的几何意义 函数y=f(x)在x0处的导数,是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜 率.函数y=f(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义. f'(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在切点(x0,f(x0))处的切线的斜率.
1
2
������������������ (4x0 +2Δx)=4x0 , 即 f'(x0 )=4x0 .
������y Δ ������ →0 ������x
=
(1)∵抛物线的切线的倾斜角为 45°, ∴斜率为 tan 45°=1, 即
1 9 1 9 2 f'(x0 )=4x0 =1, 得 x0 = , 将其代入 y=2x +1, 得 y0 = , 故切点坐标为 , 4 8 4 8
所以切线的斜率为 -4.又因为切线过点(-2,4), 所以切线方程为 y-4=-4(x+2), 即 4x+y+4=0.
题型一
题型二
题型三
反思解此类问题的步骤为: (1)先设切点坐标(x0,y0); (2)求切线的斜率f'(x0); (3)由斜率间的关系列出关于x0的方程,解方程求x0; (4)由y0=f(x0),求得切点坐标.
题型一
题型二
题型三
【变式训练2】 已知曲线y=f(x)=2x2-a在点P处的切线方程为 12x-y-35=0,求切点P的坐标及a的值.
当Δx趋于0时,点B将沿着曲线y=f(x)趋于点A,割线AB将绕点A转 动,最后趋于直线l.直线l和曲线在点A处“相切”,称直线l为曲线y=f(x) 在点A处的切线.该切线的斜率就是函数y=f(x)在x0处的导数f'(x0).
2.导数的几何意义 函数y=f(x)在x0处的导数,是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜 率.函数y=f(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义. f'(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在切点(x0,f(x0))处的切线的斜率.
1
2
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2.能否认为函数在x=x0处导数越大，其函数值变化就越快? 提示：这种说法不正确.导数的正、负号确定函数值变化的趋 势，其绝对值大小确定变化的快慢.应说导数的绝对值越大， 函数值变化越快，即切线“越陡”.
典型例题精析
【例2】某物体按照s(t)=3t2+2t+4的规律作直线运动，求物体运 动4 s时的瞬时速度，并解释此时的运动状况.
思路点拨：解答本题可先求出函数值的增量Δs,自变量的增量
Δt,再利用公式求解，最后说明运动状况.
【练一练】1.如果质点A按规律s=2t3运动，则在t=3 s时的瞬时
速度为（
（A）6
）
（B）18 （C）54 （D）81
2.一杯80 ℃的热红茶置于20 ℃的房间里，它的温度会逐渐下
降，温度T（单位:℃）与时间t(单位:min）间的关系，由函数
设切点坐标为（x0,y0),
=3x02+6x0,
∴3x02+6x0=-3. ∴x0=-1,∴切点坐标为（-1,1) ∴切线方程为y-1=-3(x+1)
即3x+y+2=0.
答案：3x+y+2=0
3.（5分）曲线y=x3在点（1，1）处的切线与x轴，直线x=2所 围成的三角形的面积为_____. 【解析】
【解析】
答案：
5.如图，函数y=f(x)的图像在点P处的切线方程是y=-2x+9，P
点的横坐标是4，则f(4)+f′(4)=__________.
【解析】由导数的几何意义知 f′(4)=-2, 由点P在切线y=-2x+9上知yP=-2×4+9=1. ∴点P的坐标为（4，1），∴f(4)=1, ∴f(4)+f′(4)=1+(-2)=-1.
7.在曲线y= 4 上求一点P，使得曲线在该点处的切线满足下 x2 列条件. （1）平行于直线y=x+1. (2)垂直于直线2x-16y+1=0. (3)倾斜角为135°.
【解析】
（1）∵切线与直线y=x+1平行，
∴由导数几何意义知f′(x0)=1,即 ∴x0=-2,y0=1，即P(-2,1). (2)∵切线与直线2x-16y+1=0垂直，
2.函数f(x)在x=x0处的导数与Δ x趋近于0的方式有关吗？ 提示：没有关系.无论Δx从一侧趋近于0还是从两侧趋近于0， 其导数值应相同.否则f(x)在该点处导数不存在,如函数 f(x)=|x|在x=0处导数不存在.
1.过曲线y=f(x)上的某一点作曲线的切线有且只有一条吗？ 提示：不一定.可能不存在，如y=|x|，在点（0，0）处无切线； 也可作多条，如图所示的曲线中，过点A可作两条切线.
∴切线方程为y-1=3(x-1) 即3x-y-2=0. 如图所示 易求得直线x=2与直线3x-y-2=0 的交点为（2，4）
1 2 4 8 (2- ) 4=2 = . 2 3 3 3 8 答案： 3
∴S△=
4.（15分）已知抛物线C1：y1=x2+2x和C2：y2=-x2+a.如果直线l
课程目标设置
主题探究导学
1.“函数y=f(x)在x=x0处的导数值就是Δ x=0时的平均变化率”.
这种说法对吗？
提示：这种说法不对，y=f(x)在x=x0处的导数值是Δx趋向于
y 0时，平均变化率 无限接近的一个常数值，而不是Δx=0时 x y 的值，实际上，在平均变化率的表达式 中，Δx≠0. x
知能巩固提高
一、选择题（每题5分，共15分） 1.函数在某一点的导数是（ ）
(A)该点的函数的改变量与自变量的改变量的比 (B)一个函数
(C)一个常数，不是变数
(D)函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率 【解析】选C.函数的导数是函数的平均变化率，当Δx→0时的 极限值，是无限接近的一个常数.
(A)4
(B) - 1 (C)2 (D) 1 4 2 【解题提示】求y=f(x)在点（1，f(1)）处切线的斜率即
求f′(1),可借助g′(1)求解.
【解析】
2.（5分）垂直于2x-6y+1=0且与曲线y=x3+3x2-1相切的直线方 程一般形式为_______.
【解析】直线2x-6y+1=0的斜率为 1 , 3 ∴所求直线的斜率为-3.
消去x2得方程2x21+2x1+1+a=0.
若判别式Δ=4-4×2×(1+a)=0,即a= 1 时， 2 解得x1=x2= 1 , 此时点P与Q重合. 2 即当a= 1 时C1和C2有且仅有一条公切线. 2 由①得公切线方程为y=x 1 . 4
答案：-1
三、解答题（6题12分，7题13分，共25分） 4 6.（2010·漳州高二检测）求曲线y= 1 x3+x在点（1, )处 3 3 的切线与坐标轴围成的三角形的面积. 【解题提示】求切线的斜率k=f′(1) →求切线方程→求 切线与两坐标轴的交点→求切线与坐标轴围成三角形的面积.
【解析】
同时是C1和C2的切线，称l是C1和C2的公切线，公切线上两个切
点之间的线段，称为公切线段. a取什么值时，C1和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的 方程.
【解析】
在点P处的切线方程是y=(x21+2x1)+(2x1+2)(x-x1),
即y=(2x1+2)x-x21 ①
曲线C2在点Q（x2,-x22+a）的切线斜率
T=f(t)表示. (1)f′(t)的含义是什么？f′(t)的符号是什么？为什么？
（2）f′(3)=-4的实际意义是什么？如果f(3)=60(℃)，你能
画出函数在点t=3时图象的大致形状吗？
2.已知曲线C:y=x2与定点A（2，3），过定点A与曲线相切的直 线方程为________.
3.求曲线f(x)=x2-x+3在点（1,3)处的切线方程.
8 =1, 3 x0
∴有f′(x0)·( - 2 )=-1, -16 8 1 ∴ - 3 =-1, ∴x0=1,y0=4,即P(1,4). x0 8 (3)∵切线倾斜角为135°, 8 ∴f′(x0)=tan135°=-1,∴ - 3 =-1, x0 ∴x0=2,y0=1,即P(2,1).
1.（5分）（2010·邯郸高二检测）已知曲线f(x)=g(x)+x2, 曲线y=g(x)在点（1，g(1)）处的切线方程为y=2x+1,则曲线 y=f(x)在点（1，f(1)）处切线的斜率为（ ）
【解析】选D.设P(x0,y0)，则f′(x0)
∵点P处的切线与直线y=4x-1平行，∴3x02+1=4 ∴x0=1或-1，则P点坐标为（1,0)或(-1,-4), ∴所求切线方程为y=4x-4或y=4x.
二、填空题（每题5分，共10分） 4.曲线y= 9 在点（3,3）处的切线的倾斜角为________. x
2.（2010·河源高二检测）曲线y=4x-x3在点（-1，-3）处的 切线方程是（ (A)y=7x+4 (C)y=x-4 ） (B)y=7x+2 (D)y=x-2
【解析】
3.曲线f(x)=x3+x-2在P点处的切线平行于直线y=4x-1，则切线
方程为（
(A)y=4x (C)y=4x-8）(B)y=源自x-4 (D)y=4x或y=4x-4