高中数学选修2-3统计案例之线性回归方程习题课

1．相关关系的分类

从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关；点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关．

2．线性相关

从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线．3．回归方程

(1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归

直线的距离平方和最小的方法叫最小二乘法．

(2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，其回归方程为y^＝b^x＋a^，则b^，a^

其中，b是回归方程的斜率，a是在y轴上的截距．

4．样本相关系数

r＝∑

i＝1

n

x i－x y i－y

∑

i＝1

n

x i－x2∑

i＝1

n

y i－y2

，

用它来衡量两个变量间的线性相关关系．

(1)当r＞0时，表明两个变量正相关；

(2)当r＜0时，表明两个变量负相关；

(3)r的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关性越强；r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常当|r|＞0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系．

5．线性回归模型

(1)y＝bx＋a＋e中，a、b称为模型的未知参数；e称为随机误差．

(2)相关指数

用相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是：R2＝，R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好．在线性回归模型中，R2表示解释变量对预报变量变化的贡献率，R2越接近于1，表示回归效果越好．

规律

(1)函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系．事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系．

注意

(1)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义．(2)线性回归方程中的截距和斜率都是通过样本数据估计而来的，存在误差，这种误差会导致预报结果的偏差；而且回归方程只适用于我们所研究的样本总体．

考向一相关关系的判断

例1．下列选项中，两个变量具有相关关系的是( )

A．正方形的面积与周长

B．匀速行驶车辆的行驶路程与时间

C．人的身高与体重

D．人的身高与视力

答案：C

例2．对变量x、y有观测数据(x i，y i)(i ＝1,2，…，10)，得散点图1；对变量u，v有观测数据(u i，v i)(i＝1,2，…，10)，得散点图2.由这两个散点图可以判断( )

A．变量x与y正相关，u与v正相关

B．变量x与y正相关，u与v负相关

C.变量x与y负相关，u与v正相关

D．变量x与y负相关，u与v负相关

解析：选C.由题图1可知，各点整体呈递减趋势，x与y负相关，由题图2可知，

各点整体呈递增趋势，u与v正相关．

例3．下面哪些变量是相关关系( )．A．出租车车费与行驶的里程

B．房屋面积与房屋价格

C．身高与体重D．铁块的大小与质量

解析A，B，D都是函数关系，其中A一般是分段函数，只有C是相关关系．

答案 C

例4.如图所示，有5组(x，y)数据，去掉________组数据后，剩下的4组数据的线性相关性最大．

解析：因为A、B、C、E四点分布在一条直线附近且贴近某一直线，D点离得远．答案：D

例5．对变量x，y有观测数据(x i，y i)(i＝1,2，…，10)，得散点图(1)；对变量u，v 有观测数据(u i、v i)(i＝1,2，…，10)，得散点图(2)．由这两个散点图可以判断( )．

A．变量x与y正相关，u与v正相关

B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关

解析由题图(1)可知，各点整体呈递减趋势，x与y负相关；由题图(2)可知，各点整体呈递增趋势，u与v正相关．

答案 C

例6．下列关系属于线性负相关的是( )

A．父母的身高与子女身高的关系

B．球的体积与半径之间的关系

C．汽车的重量与汽车每消耗1 L汽油所行驶的平均路程

D．一个家庭的收入与支出

解析：选C.A、D中的两个变量属于线性正相关，B中两个变量是函数关系．

例7.鲁洁棉业公司的科研人员在7块并排、形状大小相同的试验田上对某棉花新品种进行施化肥量x对产量y影响的试验，得到如下表所示的一组数据(单位：kg)：

(1)画出散点图；

(2)判断是否具有相关关系．

[审题视点] (1)用x轴表示化肥施用量，y 轴表示棉花产量，逐一画点．

(2)根据散点图，分析两个变量是否存在相关关系．

解(1)散点图如图所示

(2)由散点图知，各组数据对应点大致都在一条直线附近，所以施化肥量x与产量y具有线性相关关系．

利用散点图判断两个变量是否有相关

关系是比较简便的方法．在散点图中如果所有的样本点都落在某一函数的曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系．即变量之间具有函数关系．如果所有的样本点落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系；如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系．

例8. 根据两个变量x，y之间的观测数据画成散点图如图所示，这两个变量是否具有线性相关关系________(填“是”与“否”)．