(完整版)普通高中学业水平考试数学试题含答案

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2023年7月浙江省普通高中学业水平考试数学试题含答案

2023年7月浙江省普通高中学业水平考试数学（答案在最后）本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分100分，考试时间80分钟．考生注意：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上．2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效．3．非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．选择题部分（共52分）一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题列出的四个备选项中，只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.已知集合{}1,0,1,2A =-，{}|0B x x =>，则下列结论不正确的是（）A.1A B ∈ B.A B∅⊆ C.{}2A B ⊆ D.{}|0x x A B>= 【答案】D 【解析】【分析】根据交集、并集的定义求出A B ⋂，A B ⋃，再根据元素与集合的关系、集合与集合的关系判断即可.【详解】因为{}1,0,1,2A =-，{}0B x x =，所以{}1,2⋂=A B ，{}{}|01A B x x ⋃=≥⋃-，所以1A B ∈ ，A B ∅⊆ ，{}2A B ⊆⋂，故A 、B 、C 正确，D 错误；故选：D 2.函数的定义域是（）A.1-2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭， B.1-2⎛⎤∞ ⎥⎝⎦，C.12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，D.12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，【答案】C 【解析】【分析】根据偶次方根的被开方数为非负数、分式的分母不为零列不等式，由此求得函数的定义域.【详解】依题意210x ->，解得12x >，所以()f x 的定义域为12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，.故选：C【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，属于基础题.3.复数()i 2i z =+在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】根据复数乘法运算化简，即可求解.【详解】()1i i 22i z =-+=+，故对应的点为()1,2-，位于第二象限，故选：B4.已知平面向量()1,1a =- ，()2,b λ= ，若a b ⊥，则实数λ=（）A.2B.2- C.1D.1-【答案】A 【解析】【分析】依题意可得0a b ⋅=，根据数量积坐标表示计算可得.【详解】因为()1,1a =- ，()2,b λ= 且a b ⊥，所以()1210a b λ⋅=⨯+-⨯=，解得2λ=.故选：A 5.已知πsin cos 6θθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan2θ=（）A.3B.C.3D.【答案】B【解析】【分析】利用给定条件得到tan 3θ=，再利用二倍角公式求解即可.【详解】若πsin cos 6θθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得1sin cos cos 22θθθ+=，化简得31sin cos 022θθ-=，解得3tan 3θ=，由二倍角公式得232322tan 33tan221tan 3θθθ⨯===-，故B 正确.故选：B6.上、下底面圆的半径分别为r 、2r ，高为3r 的圆台的体积为（）A.37πrB.321πrC.(35πr+D.(35πr+【答案】A 【解析】【分析】根据圆台的体积公式计算可得.【详解】因为圆台的上、下底面圆的半径分别为r 、2r ，高为3r ，所以()23221π227π33V r r r r r ⎡⎤=++⨯=⎣⎦.故选：A7.从集合{}1,2,3,4,5中任取两个数，则这两个数的和不小于5的概率是（）A.35B.710C.45 D.910【答案】C 【解析】【分析】列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得.【详解】从集合{}1,2,3,4,5中任取两个数所有可能结果有()1,2、()1,3、()1,4、()1,5、()2,3、()2,4、()2,5、()3,4、()3,5、()4,5共10个，其中满足两个数的和不小于5的有()1,4、()1,5、()2,3、()2,4、()2,5、()3,4、()3,5、()4,5共8个，所以这两个数的和不小于5的概率84105P ==.故选：C8.大西洋鲑鱼每年都要逆游而上，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v （单位：m /s ）可以表示为3log 100Ov k =，其中O 表示鲑鱼的耗氧量的单位数．若一条鲑鱼游速为2m /s 时耗氧量的单位数为8100，则游速为1m /s 的鲑鱼耗氧量是静止状态下鲑鱼耗氧量的（）A.3倍 B.6倍C.9倍D.12倍【答案】C 【解析】【分析】利用给定条件得到31log 2100O v =，再算出不同情况的消耗氧气的数量，再作比值求倍数即可.【详解】由题意得381002log 100k =，解得12k =，故31log 2100O v =，当1v =时，有311log 2100O=，解得900O =，当0v =时，有310log 2100O=，解得100O =，故得9009100=倍，故C 正确.故选：C9.不等式()()e e 10xx --<（其中e 为自然对数的底数）的解集是（）A.{01}xx <<∣ B.{|0e}x x << C.{0x x <∣或1}x > D.{0xx <∣或e}x >【答案】B 【解析】【分析】写出不等式的等价不等式组，解得即可.【详解】不等式()()e e 10xx --<等价于e 0e 10x x -<⎧⎨->⎩或e 0e 10x x ->⎧⎨-<⎩，解得0e x <<或x ∈∅，所以不等式的解集为{|0e}x x <<.故选：B10.已知a 为实数，则“0x ∀>，12ax x+≥”是“1a ≥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】利用分离参数法求出a 的取值范围判断充分性，利用基本不等式反推必要性成立即可.【详解】若10,2,x ax x ∀>+≥则22121(1)1,a x x x≥-+=--+当1x =时，不等式的右边取得最大值1，故1,a ≥充分性成立；若1,a ≥则0x >时,12,ax x+≥≥当且仅当1x a ==时取等，即12ax x +≥恒成立，因此，由 1 a ≥可以推出0,x ">1 2ax x+≥，故必要性成立.综上所述，10,2x ax x∀>+≥是 1 a ≥的充要条件.故选：C.11.若函数()()πsin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围是（）A.(]0,2 B.(]0,4 C.(]0,6 D.(]0,8【答案】A 【解析】【分析】利用给定的区间，求出π6x ω+的范围，然后写出正弦函数的单调递增区间，转化为子集问题处理即可.【详解】当ππ[,]126x ∈-时，πππππ[,+]661266x ωωω+∈-，若函数π()sin(0)6f x x ωω=+>在区间ππ[,]126-上单调递增，则πππ2π662πππ2π2612k k ωω⎧+≤+⎪⎪⎨⎪-+≤-⎪⎩，Z k ∈，解得212,824,Z k k k ωω≤+≤-∈，又0ω>，当0k =时,可得02ω<≤.故选：A.12.在正三棱台111ABC A B C -中，2AB =，11AB A B >，侧棱1AA 与底面ABC所成角的余弦值为3．若此三棱台存在内切球（球与棱台各面均相切），则此棱台的表面积是（）A.2B.2C.4D.4【答案】A 【解析】【分析】取BC 和11B C 的中点分别为P ，Q ，上、下底面的中心分别为1O ，2O ，设11A B x =，内切球半径为r ，根据题意求出侧棱长以及2O P ，1O Q ，再根据切线的性质及等腰梯形11BB C C 和梯形1AA QP 的几何特点列方程组求出半径，再根据面积计算公式即可.【详解】如图，取BC 和11B C 的中点分别为P ，Q ，上、下底面的中心分别为1O ，2O ，设11A B x =，内切球半径为r ，因为123cos 3A AO ∠=，棱台的高为2r ，所以126sin 3A AO ∠=，111122sin 63r AA BB CC A AO =====∠，211333323O P AP AB ==⨯=，同理136O Q x =．因为内切球与平面11BCC B 相切，切点在PQ 上，所以()21326PQ O P O Q x =+=+①，在等腰梯形11BB C C中，)22222x PQ -⎛⎫=- ⎪⎝⎭②，由①②得()222226212x x r +-⎛⎫-=⎪⎝⎭．在梯形1AA QP 中，()22233236PQ r x ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭③，由②③得2x -=，代入得1x =，则棱台的高23h r ==，所以()2133262PQ O P O Q x =+=+=,所以1sin 2ABC S AB AC A =⋅=△111111111sin 24A B C S A B A C A =⋅= ，()1111124BCB C S BC B C PQ =+=正三棱台三个侧面都是面积相等的等腰梯形，故侧面积为4,所以此棱台的表面积是442S =++=.故选：A二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．每小题列出的四个备选项中，有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没有错选得2分，不选、错选得0分）13.下列不等式正确的是（）A.4> B.4< C.24log 3log 5> D.24log 3log 5<【答案】BC 【解析】【分析】根据指数幂的运算及指数函数的性质判断A 、B ，根据对数的运算性质及对于函数的性质判断C 、D.【详解】414142222224⨯==⎭==⎛⎫< ⎪⎝A 错误，B 正确；2421log 5log 5log log 32==<，故C 正确，D 错误.故选：BC14.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论正确的是（）A.11//BC A DB.1//BC 平面11A ADDC.111BC B D ⊥D.1BC ⊥平面11A B CD【答案】BD 【解析】【分析】连接1AD ，1A D ，11B D ，1AB ，1B C ，根据正方体的性质得到11//BC AD ，即可判断A 、B 、C ，证明11BC B C ⊥、1CD BC ⊥，即可判断D.【详解】连接1AD ，1A D ，11B D ，1AB ，1B C ，对于A ：在正方体中11//AB D C 且11AB D C =，所以四边形11ABC D 为平行四边形，所以11//BC AD ，又11A D AD ⊥，所以11BC A D ⊥，所以A 错误；对于B ，因为11//BC AD ，1AD ⊂平面11A ADD ，1BC ⊄平面11A ADD ，所以1//BC 平面11A ADD ，所以B 正确；对于C ：因为11AB D 为等边三角形，所以1160AD B ∠=︒，又11//BC AD ，所以11AD B ∠为异面直线1BC 与11B D 所成的角，即直线1BC 与11B D 所成的角为60︒，则1BC 与11B D 不垂直，所以C 错误；对于D ：在正方体中，11BC B C ⊥，CD ⊥平面11BCC B ，1BC ⊂平面11BCC B ，所以1CD BC ⊥，又1CD B C C ⋂=，1,CD B C ⊂平面11A B CD ，所以1BC ⊥平面11A B CD ，所以D 正确．故选：BD ．15.已知函数()2sin cos2f x x x =+，则（）A.()f x 的最小值是3-B.()f x 5C.()f x 在区间π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭内存在零点 D.()f x 在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭内不存在零点【答案】ACD 【解析】【分析】利用三角恒等变换将函数化为二次函数，求解最值判断A ，B ，利用换元法求解零点，再判断范围求解C ，D 即可.【详解】易得2213()2sin cos 22sin 12sin 2(sin )22f x x x x x x =+=+-=--+，故函数()f x 在1sin 2x =时，取得的最大值为32，当sin 1x =-时，函数取得的最小值为3-，故A 正确，B 错误，令[]sin 1,1x t =∈-，故2()212f t t t =+-，令()0f t =，解得11322t =+或21322t =-，当113122t =+>时，排除，无法解出x ，当21322t =-时，可得13sin 22x =-，而sin y x =在π(,0)6-上单调递增，故当π(,0)6x ∈-，1sin ,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且1130222-<-<，则()f x 在区间π,06⎛⎫-⎪⎝⎭内存在零点，故C 正确，而当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，sin 0y x =>，1022y =-<，显然sin y x =和122y =-无交点，则()f x 在区间π,π2⎛⎫⎪⎝⎭内不存在零点，故D 正确.故选：ACD.16.在ABC 中，3AB =，1AC =，π3BAC ∠=，点D ，M 分别满足3AB AD = ，2BC MC = ，AM 与CD 相交于点F ，则（）A.1233CD AB AC=- B.12AF AM=C.132AM =D.13cos 13DFM ∠=【答案】BCD 【解析】【分析】根据平面向量线性运算法则判断A ，设AF AM λ=，用AD 、AC 表示AF ，根据共线定理的推论得到方程求出λ，即可判断B ，由1122AM AB AC =+及数量积的运算判断C ，求出cos ,CD AM ，即可判断D.【详解】对于A ，13CD AD AC AB AC =-=-，故A 错误；对于B ，设AF AM λ=，又1122AM AB AC =+ ，∴1132222AF AB AC AD AC λλλλ=+=+，又F ，D ，C 三点共线，∴3122λλ+=，12λ∴=，∴12AF AM = ，故B 正确；对于C ，1122AM AB AC =+，∴()()222211244AM AB ACAB AB AC AC =+=+⋅+111391231424⎛⎫=⨯++⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，2AM ∴= ，故C 正确；对于D ， 111322CD AM AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222211111111331163263222AB AB AC AC =-⋅-=⨯-⨯⨯⨯-⨯= ，又222211212191311393932CD AB AC AB AB AC AC ⎛⎫=-=-⋅+=⨯+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，∴1CD =，又2AM =，12cos cos ,13132CD AM DFM CD AM CD AM⋅∴∠===⋅ ，故D 正确．故选：BCD．非选择题部分（共48分）三、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）17.已知A ，B 是相互独立事件，()23P A =，()12P B =，则()P AB =_____________．【答案】13【解析】【分析】根据相互独立事件的概率公式计算即可.【详解】因为A ，B 是相互独立事件，所以()()()211323P AB P A P B ==⨯=.故答案为：1318.函数2()log f x x =的反函数为_______.【答案】2xy =【解析】【分析】设2log y x =，由指对数式的互化得到2y x =，再将,x y 位置互换即可得出答案.【详解】解：设2log y x =，则2y x =，所以函数2()log f x x =的反函数为2x y =.故答案为：2x y =.19.已知()f x 是定义域为R 的偶函数，且()()24f x f x +-=，则()2023f =_____________．【答案】2【解析】【分析】利用给定条件，得到函数的周期性，将所求函数值化为已知函数值，代入求解即可.【详解】由题意得()f x 是定义域为R 的偶函数，且()()24f x f x +-=，故()()()224f x f x f x -=-=-，可得()()442()f x f x f x -=--=，故得函数的周期4T =，而令1x =，可得()214f =，解得()12f =，则()()()()()2023450533211f f f f f =⨯+==-==.故答案为：220.已知,,a b c 是同一平面上的3个向量，满足3a =，b = ，6a b ⋅=- ，则向量a 与b 的夹角为_____________，若向量c a - 与c b - 的夹角为π4，则c r 的最大值为_____________．【答案】①.3π4##135︒②.【解析】【分析】由cos ,a b a b a b⋅=⋅ 求出向量a 与b 的夹角，设OA a = ，OB b = ，OC c = ，即可得到,,,O A B C 四点共圆，利用正弦定理求出AOB 外接圆的直径，即可求出c的最大值.【详解】因为3a =，b = ，6a b ⋅=- ，所以cos ,2a b a b a b ⋅===-⋅ ，又[],0,πa b ∈ ，所以3π,4a b = ，因为3a =，b = ，3π,4a b = ，如图，设OA a = ，OB b = ，OC c = ，则c a OC OA AC -=-= ，c b OC OB BC -=-= ，又向量c a - 与c b - 的夹角为π4，则π4ACB ∠=，又3π4AOB ∠=，所以,,,O A B C 四点共圆，又AB b a =- ，所以AB == 设AOB 外接圆的半径为R ，由正弦定理23πsin 42AB R ===c故答案为：3π4四、解答题（本大题共3小题，共33分）21.人工智能发展迅猛，在各个行业都有应用．某地图软件接入了大语言模型后，可以为用户提供更个性化的服务，某用户提出：“请统计我早上开车从家到公司的红灯等待时间，并形成统计表．”地图软件就将他最近100次从家到公司的导航过程中的红灯等待时间详细统计出来，将数据分成了[)55,65，[)65,75，[)75,85，[)85,95，[]95,105（单位：秒）这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示．（1）求图中a 的值并且估计该用户红灯等待时间的第60百分位数（结果精确到0.1）；（2）根据以上数据，估计该用户在接下来的10次早上从家到公司的出行中，红灯等待时间低于85秒的次数．【答案】（1）0.035a =，估计该用户红灯等待时间的第60百分位数约为82.1（2）7次【解析】【分析】（1）根据频率之和为1以及直方图数据即可求解，先确认频率分布直方图中频率为0.6的位置，再结合百分位数定义求解即可.（2）根据频率分布直方图求出红灯等待时间低于85秒的频率即可求解.【小问1详解】因为各组频率之和为1，组距为10，所以()100.010.0250.020.011a ⨯++++=，解得0.035a =.因为()100.010.0250.350.6⨯+=<，()100.010.0250.0350.70.6⨯++=>，所以中位数位于第三组[)75,85中，设中位数为x ，则()0.10.250.035750.6x ++-=，解得0.257582.10.035x =+≈，所以该用户红灯等待时间的中位数的估计值为82.1.【小问2详解】由题红灯等待时间低于85秒的频率为0.10.250.350.7++=，故估计该用户在接下来的10次中红灯等待时间低于85秒的次数为100.77⨯=次.22.如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，1PA AC ==，BC =（1）求三棱锥-P ABC 的体积；（2）求证：平面PAC ⊥平面PBC ；（3）设点D 在棱PB 上，AD CD =，求二面角D AC B --的正弦值．【答案】（1）6（2）证明见解析（3）3【解析】【分析】（1）先求出底面积，再利用体积公式求解体积即可.（2）先利用线面垂直判定定理得到BC ⊥平面PAC ，再利用面面垂直定理判定面面垂直即可.（3）合理作图，找到二面角的平面角，利用三角函数的定义求解即可.【小问1详解】因为,1,AC BC AC BC ⊥==，所以111222ABC S AC BC =⋅=⨯= ，因为PA ⊥平面ABC ,所以三棱锥-P ABC 的体积11326V =⨯⨯=.【小问2详解】因为PA ⊥平面ABC ,BC ⊂平面PBC ,所以PA BC ⊥,又,,AC BC PA AC A ⊥⋂=,PA AC ⊂平面PAC ,所以BC ⊥平面PAC ,因为BC ⊂平面PBC ,所以平面PAC ⊥平面PBC .【小问3详解】过点D 作DE AB ⊥于E ,取AC 的中点F ,连接,EF 因为PA ⊥平面,ABC PA ⊂平面,PAB 所以平面PAB ⊥平面ABC ,又平面PAB ⋂平面,ABC AB DE =⊂平面,PAB 所以DE ⊥平面,ABC DE ∥PA ，因为,AD CD =且F 是AC 的中点,所以,,,DF AC AC DE DF DE D AC ⊥⊥⋂=⊥平面DEF ,,EF AC ⊥所以DFE ∠是二面角——D AC B 的平面角,因为,,EF AC AC BC F ⊥⊥是AC 的中点，所以E 是AB 的中点，又DE //PA ，所以D 是PB 的中点,在Rt DEF △中,32DF ===，所以12sin 332DE DFE DF ∠==即二面角——D AC B的正弦值为3.23.已知函数()2π2sin 2f x x x a x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，R a ∈．（1）若1a =，求()f x 在区间[]0,1上的最大值；（2）若关于x 的方程()10f x a ++=有且只有三个实数根1x ，2x ，3x ，且123x x x <<．证明：（ⅰ）1322x x x +=；（ⅱ）()()311217818f x f x x +-+≤．【答案】（1）0（2）（ⅰ）证明见解析.（ⅱ）证明见解析【解析】【分析】（1）利用分析法得到函数的单调性，再求解最值即可.（2）（ⅰ）合理构造新函数，求出一个零点，再结合对称性求解即可.（ⅱ）将目标式合理表示为函数，利用不等式的性质证明即可.【小问1详解】由已知得1a =,则2π()(1)sin()12f x x x =---，易知2(1)y x =-，πsin()2y x =-在区间[0,1]上单调递减，所以()f x 在区间[0,1]上单调递减,所以max ()(0)0.f x f ==【小问2详解】（ⅰ）若2π()(1)sin()1,2f x x a x =---且()10,f x a ++=即2π(1)(sin()1)02x a x ---=有且只有三个实数根，所以0,a <令2π()(1)(sin()1),2g x x a x =---且(1)0g =，则()g x 的图象关于直线1x =对称，所以1322 2.x x x +==（ⅱ）由题意可知，令3πsin 2t x =，则有1()10,f x a ++=()310f x a ++=()()()()2311333217841cos π8271f x f x x x a x x a +-+=--+-++()()233342cos π1571x x a x a =--+++2233ππ4(sin 1)722(12sin )(242)1822a x a a a a x a t t =--++--=+++，因为0,a <所以2(242)1818a t t +++≤，即311(21)7()818f x f x x +-+≤得证.【点睛】关键点点睛：本题考查导数，解题关键是合理表示出目标式，然后结合不等式的性质，得到所要求的不等关系即可．。

2024年湖北省普通高中学业水平合格性考试数学试题(解析版)

2024年湖北省普通高中学业水平合格性考试数学本试卷共5页25题.全卷满分100分.考试用时90分钟.注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名､准考证号､座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2､选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑､涂匀､涂实，未涂､错涂､多涂或填涂不规范均不得分.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.非选择题的作答：用黑色签字笔将答案写在答题卡上对应的答题区域内，超出答题区域书写的答案无效.在试卷､草稿纸上答题无效.4.考试结束后，请将本试卷､答题卡和草稿纸一并上交.一､选择题（本题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知{}{}2,4,6,8,6,8U A ==，则U A =ð（）A.{}2 B.{}2,4 C.{}2,4,6 D.{}2,4,6,8【答案】B 【解析】【分析】利用补集的定义即可求解.【详解】由{}2,4,6,8U =，{}6,8A =，则{}2,4U A =ð，故选：B .2.πcos 2θ⎛⎫-=⎪⎝⎭（）A.sin θ B.sin θ- C.cos θD.cos θ-【答案】A 【解析】【分析】根据诱导公式求解.【详解】πcos sin 2θθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.故选：A3.欧拉恒等式iπe 10+=（其中i 为虚数单位，e 为欧拉常数）被誉为数学中最奇妙的公式之一，它是欧拉公式i e cos isin x x x =+的特例，即当πx =时，iπe cosπisinπ1=+=-，得iπe 10+=.根据欧拉公式，πi 4e 表示的复数是（）A.B.+C.22i 22-- D.22i 22-【答案】A 【解析】【分析】复数πi 4ππecosisin 44z ==+，进而得出共轭复数为z.【详解】由题意，复数πi 4ππ22e cosisin i 4422z ==+=+.故选：A4.已知向量()()1,0,0,1a b == ，则23a b +=r r （）A.()2,3- B.()2,3-- C.()2,3- D.(2,3)【答案】D 【解析】【分析】运用向量的坐标运算计算即可.【详解】已知向量()()1,0,0,1a b == ，则()()()2321,030,12,3a b +=+=.故选：D.5.命题“2x ,10R x x ∀∈-+>”的否定是（）A.2x ,10R x x ∀∈-+≤B.2x ,10R x x ∀∈-+<C.2000x ,10R x x ∃∈-+≤ D.2000x ,10R x x ∃∈-+<【答案】C 【解析】【分析】根据否定的定义书写命题即可.【详解】全称命题的否定“2000,10x R x x ∃∈-+≤”.故选：C.6.从某自动包装机包装的奶粉中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g ）：492496494495498497501502504496497503506508507492496500501499用频率估计概率，该包装机包装的袋装奶粉质量在497.5g 501.5g ~之间的概率约为（）A.0.1B.0.15C.0.25D.0.5【答案】C 【解析】【分析】找出满足条件的数据，计算出数据在497.5g 501.5g ~之间的频率，用频率估计概率，可得结果.【详解】在所给的数据中，在497.5g 501.5g ~之间的数据有498,501,500,501,499共5个，所以数据在497.5g 501.5g ~之间的频率为：50.2520=.用频率估计概率，则所求概率为0.25.故选：C7.已知tan 3α=，则2sin cos sin 2cos αααα+=-（）A.1B.3C.5D.7【答案】D 【解析】【分析】利用三角函数的基本关系化简原式即可直接得答案.【详解】将2sin cos sin 2cos αααα+-分子分母同除以cos α可得：2sin cos 2tan 12317sin 2cos tan 232αααααα++⨯+===---.故选：D.8.已知b 克糖水中含有a 克糖()0b a >>，再添加m 克糖（0m >）（假设全部溶解），糖水变甜了.能够表示这一事实的不等式是（）A.a m ab b+< B.b m ba a+<C.a m ab m b+>+ D.b m ba m a+>+【答案】C 【解析】【分析】根据题意建立不等关系即可.【详解】由题意可知糖水原浓度为a b，加糖之后的浓度为a m b m ++，则有a m ab m b+>+.故选：C9.如图，1C 是函数(01)x y a a =<<的图象，234,,C C C 是由1C 经轴对称变换得到的函数图象，则234,,C C C 对应的函数解析式分别是（）A.,log ,log xa a y a y x y x -===-B.log ,,log xa a y x y a y x -===-C.log ,log ,xa a y x y x y a-==-=D.log ,,log xa a y x y a y x -=-==【答案】B 【解析】【分析】结合指数函数和对数函数的图象，根据函数图象的对称变化逐一求解可得.【详解】由图可知，2C 与1C 关于直线y x =对称，所以2C 的解析是为log a y x =；3C 与1C 关于y 轴对称，所以3C 的解析是为x y a -=；4C 与3C 关于y x =轴对称，所以4C 的解析是为log a y x =-.故选：B10.复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息与本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.按复利计算利息的一种储蓄，本金为10000元，每期利率为2%，本利和为y （单位：元），存期数为x ，则y 关于x 的函数解析式为（）A.2009800y x =+B.20010000y x =+C.1100001.02x y -=⨯ D.10000 1.02xy =⨯【答案】D 【解析】【分析】利用复利计算方式可直接计算得出结果.【详解】根据复利计算利息的方式可知存期数为1时，本利和为()1000012%10000 1.02y =⨯+=⨯，存期数为2时可得本利和为()221000012%100001.02y =⨯+=⨯，⋅⋅⋅⋅⋅⋅所以存期数为x 时，本利和为10000 1.02x y =⨯.故选：D11.若函数()f x 满足“对定义域内任意实数,a b ，都有()()22f a f b a b f ++⎛⎫=⎪⎝⎭”，则()f x 可以是（）A.()f x x =B.()2f x x=C.()2xf x = D.()ln f x x=【答案】A 【解析】【分析】根据解析式代入检验判断A ，取特殊值检验判断BC ，根据解析式及基本不等式可判断D.【详解】对A ，22a b a bf ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()22f a f b a b ++=，所以满足条件，故A 正确；对B ，取0,1a b ==，11(0)(1)1,2422f f f +⎛⎫==⎪⎝⎭，不满足条件，故B 错误；对C ，取0,1a b ==，1(0)(1)1232222f f f ++⎛⎫===⎪⎝⎭，不满足条件，故C 错误；对D ，(),0,a b ∞∈+，ln 22a b a b f ++⎛⎫=⎪⎝⎭，()()ln ln ln ln 222f a f b a b ab ++===由2a b +≥知当a b ≠时，2a b+>，故()()22f a f b a b f ++⎛⎫>⎪⎝⎭，故D 错误.故选：A12.向盼归同学通过计步器，记录了自己20天每天走的步数，数据整理如下：2107416554675678570565428358859286668722872699861057511558117361212112386124001303916530则这组数据的第50百分位数为（）A.8720B.8722C.8724D.8726【答案】C 【解析】【分析】将成绩按照从小到大的顺序排列后利用百分位数的定义计算即可得出结果.【详解】根据题意将8位同学的成绩按照从小到大的顺序排列如下：2107,4165,5467,5678,5705,6542,8358,8592,8666,8722,8726,9986,10575,11558,11736,12121,12386,12400,13039,16530；又2050%10⨯=，所以数据的第50百分位数为第10个数和第11个数的平均数，即为8722872687242+=.故选：C .13.如图，平行四边形ABCD 中，P 是CD 边上的一点，则（）A.DA DP PA+= B.DA AB BP DP++= C.AB BC CP PA ++=D.PA PB BA+=【答案】B【分析】根据向量线性运算化简求解即可.【详解】DA DP PA -= ，故A 错误；DA AB BP DP ++=，故B 正确；AB BC CP AP ++= ，故C 错误；PA PB BA -=，故D 错误.故选：B14.若不计空气阻力，竖直上抛的物体距离抛出点的高度h （单位：m ）与时间t （单位：s ）满足关系式2012h v t gt =-，其中2010m /s ,g v ≈为初速度.向盼归同学以011m /s v =竖直上抛一个排球，该排球在抛出点上方2m 处及以上的位置最多停留时间为（）A.1.8s B.2.8sC.3.8sD.4.8s【答案】A 【解析】【分析】令25112h t t =->，求解t ，求出排球在抛出点上方2m 处及以上的位置最多停留时间.【详解】由题意得：2115h t t =-，令25112h t t =->，即211205t t -+<，解得0.22t <<，所以排球在抛出点上方2m 处及以上的位置最多停留时间为20.2 1.8s -=.故选：A.15.习近平总书记在致首届全民阅读大会的贺信中指出：“阅读是人类获取知识､启智增慧､培养道德的重要途径，可以让人得到思想启发，树立崇高理想，涵养浩然之气；希望全社会都参与到阅读中来，形成爱读书､读好书､善读书的浓厚氛围.”为落实习总书记关于阅读的重要指示，复兴中学开展了“读名著､品经典”活动.现从全校学生中随机抽取了部分学生，并统计了他们的阅读时间t （单位：h ），分组整理数据得到如图所示的频率分布直方图，据此估计该校学生阅读时间不少于40h 的概率为（）A.0.150B.0.400C.0.450D.0.850【答案】D【分析】根据频率分布直方图中矩形面积的含义即可求得答案.【详解】由频率分布直方图可估计该校学生阅读时间不少于40h 的概率为：()004000300015100850....++⨯=，故选：D二､选择题（本题共3小题，每小题3分，共9分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）16.已知向量()()1,1,1,1a b ==-，则（）A.a b= B.a b=C.a b⊥D.//a b【答案】BC 【解析】【分析】根据向量的坐标可判断A ；计算向量的模判断B ；根据向量垂直以及平行的坐标表示可判断CD.【详解】由于()()1,1,1,1a b ==- ，则a b ≠ ，A 错误；由于a b === ，B 正确，因为()11110⨯+⨯-=，故a b ⊥，C 正确；因为()11110⨯--⨯≠，故,a b不平行，D 错误；故选：BC17.已知e 2.71828= 为欧拉常数，π 3.14159= 为圆周率，则（）A.3πe e <B.3πe 3> C.e e3π< D.e 33π>【答案】AC 【解析】【分析】利用指数函数的单调性和幂函数的单调性逐项判断即可.【详解】因为函数e x y =是增函数，且3π<，所以3πe e <，故A 正确；因为函数3y x =是增函数，且e 3<，所以33e 3<，又函数3x y =是增函数，且3π<，所以3π33<，所以3πe 3<，故B 错误；因为函数e y x =在0,+∞是增函数，且3π<，所以e e 3π<，故C 正确；因为函数πx y =是增函数，且e 3<，所以e 3ππ<，所以e e 33ππ<<，D 错误.故选：AC18.如图，,A B 为正方体的两个顶点，,,M N Q 为所在棱的中点，则直线AB 与平面MNQ 平行的是（）A. B.C. D.【答案】BCD 【解析】【分析】根据线面平行的判定定理逐项进行判断即可.【详解】对A ：如图：连接BC ，交MN 于点E ，连接EQ ，则EQ ，AB ⊂平面ABC ，且直线EQ 与直线AB 不平行，所以直线AB 与平面MNQ 相交，故A 错误；对B ：如图：因为////AB CD MQ ，MQ Ì平面MNQ ，AB ⊄平面MNQ ，所以//AB 平面MNQ ，故B 正确；对C ：如图：取AC 中点F ，易证,,,M N Q F 四点共面，且//AB QF ，QF ⊂平面MNQ ，AB ⊄平面MNQ ，所以//AB 平面MNQ ，故C 正确；对D ：如图：连接CD ，则////MN CD AB ，MN ⊂平面MNQ ，AB ⊄平面MNQ ，所以//AB 平面MNQ ，故D 正确.故选：BCD三､填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）19.已知1a b == ，且0a b ⋅=，则a b += ______.【解析】【分析】根据a b += .【详解】a b +===.20.已知事件A 与事件B 相互独立，且()()0.7,0.8P A P B ==，则（1）()P A B ⋂=______；（2）()P A B = ______.【答案】①.0.56②.0.94【解析】【分析】利用独立事件乘法公式计算积事件概率，利用概率的性质计算和事件的概率即可.【详解】()()()0.56P A B P A P B ⋂=⨯=；()()110.30.20.94P A B P A B ⋃=-⋂=-⨯=.故答案为：0.56；0.9421.已知3log 21x=，则24x x +=__________.【答案】12【解析】【分析】根据指数与对数的运算法则计算．【详解】由3log 21x=得23x =，则24(2)9x x ==，所以243912x x +=+=，故答案为：12.22.已知函数()sin cos f x x x m =+的最大值为32，则（1）常数m 的值为______；（2）()f x 取最大值时，x 的一个取值为______.【答案】①.1②.π4（答案不唯一）【解析】【分析】根据倍角公式可得()1sin 22f x x m =+，进而结合正弦函数的性质求解即可.【详解】因为()1sin cos sin 22f x x x m x m =+=+，则()max 1322f x m =+=，即1m =.当()f x 取最大值时，sin 21x =，即π22π2x k =+，k ∈Z ，即ππ4x k =+，k ∈Z ，所以x 的一个取值为π4.故答案为：1；π4（答案不唯一）.四､解答题（本题共3小题，每小题10分，共30分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）23.《九章算术》是我国古代数学名著中的瑰宝，该书中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.在如图所示的阳马V ABCD -中，VD ⊥底面ABCD ，点E 是VC 的中点，连结,,DE BD BE.（1）证明：,,VD AD CD 两两垂直；（2）设阳马V ABCD -的体积为1V ，四面体E BCD -的体积为2V ，求12V V 的值.【答案】（1）证明见解析（2）4【解析】【分析】（1）利用线面垂直的性质可得VD AD ⊥，VD CD ⊥，和“阳马”的定义得AD CD ⊥；（2）取DC 的中点G ，连接EG ，可得EG ⊥底面ABCD ，再利用锥体的体积公式即可求解.【小问1详解】由VD ⊥底面ABCD ，,AD CD ⊂底面ABCD ，则VD AD ⊥，VD CD ⊥，又在阳马V ABCD -中，底面ABCD 为矩形，则AD CD ⊥，因此可得,,VD AD CD 两两垂直.【小问2详解】取DC 的中点G ，连接EG ，又点E 是VC 的中点，则//VD EG ，且12EG VD =，又VD ⊥底面ABCD ，则EG ⊥底面ABCD ，则四面体E BCD -的体积211111113232243V DC BC EG DC BC VD DC BC VD ⎛⎫⎛⎫=⨯⋅⋅=⨯⋅⋅=⨯⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又阳马V ABCD -的体积113V DC BC VD =⋅⋅，则2114V V =，因此可得124V V =.24.ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，面积为S .已知π33,32B S ==，再从①②两个条件中选取一个作为已知条件，求ABC V 的周长.①a c +=；②ab =注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】3+【解析】【分析】若选择①，根据面积公式求ac ，再根据余弦定理求b ，即可求解周长；若选项②，根据面积公式求角C 以及角A ，再结合ab =，即可求解周长.【详解】若选择①a c +=，1333sin 242S ac B ac ===，得6ac =，()2222222cos 327169b a c ac B a c ac a c ac =+-=+-=+-=-=，得3b =，所以3a b c ++=+；若选择②ab =1sin 22S ab C C ===，得1sin 2C =，因为π3B =，所以π6C =，那么ππ2A B C =--=，sin 2b a B a ==，232ab a ==a =，3b =，1sin 2c a C a ===，所以3a b c ++=+，所以ABC V 的周长为3+25.已知函数()ln (,,R 1m f x a b a b m x =++∈+，且0)m ≠.（1）当0a =时，判断函数()f x 的单调性，并加以证明；（2）对给定的非零常数m ，是否存在实数,a b ，使得()f x 为奇函数？若存在，求出,a b 的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析（2）存在，2m a =-，ln 2m b =-【解析】【分析】（1）结合函数的定义域，分区间(),1∞--和()1,∞-+，证明函数的单调性；（2）根据函数的定义域，确定2m a =-，并根据()00f =确定eb a -=，并代入验证函数是奇函数.【小问1详解】当0a =时，()ln1m f x b x =++，设121x x >>-，()()2121211ln ln ln 111x m m f x f x x x x +-=-=+++，因为121x x >>-，所以12110x x +>+>，则211011x x +<<+，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以()f x 在()1,∞-+上单调递减；设121x x <<-，()()2121211ln ln ln 111x m m f x f x x x x +-=-=+++，因为121x x <<-，所以12110x x +<+<，则211011x x +<<+，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以()f x 在(),1∞--上单调递增；【小问2详解】()()1ln 1a x mf x b x ++=++，因为1x ≠-，若函数是奇函数，则1x ≠，即20a m +=，则2m a =-，所以()()1ln 1a x f x b x -=++，()0ln 0f a b =+=，即e b a -=，所以()1ln e 1b x f x b x -⎛⎫-=⋅+ ⎪+⎝⎭，()11ln e ln e 11b b x x f x b b x x --⎛⎫⎛⎫--+-=⋅+=⋅+ ⎪ ⎪-+-⎝⎭⎝⎭，()()2ln e 2220b f x f x b b b -+-=+=-+=，所以只要满足2m a =-，e b a -=，即2m a =-，ln 2m b =-时，函数()f x 是奇函数.【点睛】关键点点睛：不管是函数的单调性，和函数的奇偶性，首先考虑函数的定义域，然后考虑奇函数的性质，在原点处有定义时，()00f =.。

2024年安徽省普通高中学业水平合格性考试数学试卷含答案

2024年安徽省普通高中学业水平合格性考试数学真题卷（答案在最后）本试卷共三大题，25小题，满分为100分.共4页.考试时间为90分钟.一、选择题：本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合{}1,2A =，{}1,3B =，则A B = （）A.{}1 B.{}1,2 C.{}1,3 D.{}1,2,3【答案】D 【解析】【分析】利用并集运算求解.【详解】解：因为集合{}1,2A =，{}1,3B =，所以A B = {}1,2,3，故选：D2.设命题:p x ∃∈R ，10x -≥，则命题p 的否定为（）A.R x ∀∈，10x -≤B.R x ∀∈，10x -<C.R x ∃∈，10x -≤D.R x ∃∈，10x -<【答案】B 【解析】【分析】根据命题的否定的定义判断．【详解】特称命题的否定是全称命题，所以命题p 的否定为：R x ∀∈，10x -<．故选：B ．3.已知i 为虚数单位，()1i i 5i a +=+，则实数a 等于（）A.1-B.1C.5- D.5【答案】C 【解析】【分析】化简方程可得i 5i a -=+，由此可求a .【详解】因为()1i i 5i a +=+，即2i i 5i a +=+，可得i 5i a -=+，所以5a =-.故选：C.4.已知2= a，b =，a b ⋅=，则a 与b 的夹角为（）A.π4B.34π C.6π D.56π【答案】A 【解析】【分析】根据数量积的定义求解．【详解】由已知2cos ,2a b a b a b ⋅===，又,],0π[a b ∈ ，∴π,4a b = ，故选：A ．5.如图，在长方体，1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，AB =，则异面直线CD 与11A C 所成的角的大小为（）A.30︒B.45︒C.60︒D.90︒【答案】A 【解析】【分析】根据异面直线所成角的定义求解：说明111AC D ∠是异面直线CD 与11A C 所成的角或其补角，然后在直角三角形中求得这个角．【详解】∵11//CD C D ，∴111AC D ∠是异面直线CD 与11A C 所成的角或其补角，在直角111AC D中，11111,A D AD C D AB ====，11111113tan 3A D A C D C D ∠==，所以11130AC D ∠=︒，所以异面直线CD 与11A C 所成的角是30︒，故选：A ．6.下列函数为奇函数的是（）A.2y x =B.e xy = C.tan y x= D.ln y x=【答案】C 【解析】【分析】根据函数的性质，直接判断函数的奇偶性.【详解】A.2y x =的图象关于y 轴对称，是偶函数，故A 错误；B.e x y =是非奇非偶函数，故B 错误；C.tan y x =是奇函数，故C 正确；D.ln y x =的定义域是()0,∞+，是非奇非偶函数，故D 错误.故选：C7.已知扇形的半径是1cm ，圆心角为2，则该扇形的面积是（）A.21cmB.22cm C.24cm D.28cm 【答案】A 【解析】【分析】根据扇形的面积计算公式可得.【详解】由扇形的面积公式，可得2211··2·1122S r α===，故选：A.8.已知:p a b >，33:q a b >，则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合幂函数的单调性分析判断即可.【详解】因为3y x =在R 上单调递增，所以当a b >时，33a b >成立，反之当33a b >时，a b >成立，所以p 是q 的充要条件.故选：C9.从一批零件中随机抽取若干个，测量其直径（单位：mm ），得到频率分布直方图如图所示，据此估计该批零件直径的众数为（）A.5.40B.5.42C.5.44D.5.46【答案】A 【解析】【分析】根据众数的定义求解.【详解】根据众数的定义可得，该批零件直径的众数的估计值为高度最高的矩形条所对应的区间的中点值5.40.故选：A.10.为了得到函数cos 24y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只要把函数cos 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有的点（）A.横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变B.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C.纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变D.纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数伸缩变换原则即可得到结果.【详解】对于A ，得πcos 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭满足题意；对于B ，得1πcos 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭不满足题意；C ，得1πcos 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭不满足题意；D ，得π2cos 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭不满足题意.故选：A.11.函数()()lg 2f x x =-的零点是（）A.2B.3C.2,0D.()3,0【答案】B 【解析】【分析】令()0f x =，解方程可得结论.【详解】令()0f x =，可得()lg 20x -=，所以21x -=，故3x =.所以函数()()lg 2f x x =-的零点是3.故选：B.12.如图，在ABC V 中，2BO OC =，则AO 等于（）A.1133AB AC +B.1233AB AC +C.2133AB AC +D.2233AB AC +【答案】B 【解析】【分析】根据题意，由向量的线性运算，即可得到结果.【详解】因为2BO OC =，所以()2AO AB AC AO -=- ，即得2132,33AO AC AB AO AC AB =+=+ .故选：B.13.抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件M =“点数不大于2”，事件N =“点数大于1”，则下列结论中正确的是（）A.M 是不可能事件B.N 是必然事件C.M N ⋂是不可能事件D.M N ⋃是必然事件【答案】D 【解析】【分析】根据事件的定义判断．【详解】事件M 是点数为1或2，事件N 是点数是2，3，4，5或6，它们都是随机事件，M N ⋂是点为2，是随机事件，是可能发生的，M N ⋃是点数为1，2，3，4，5或6，一定会发生，是必然事件，故选：D ．14.函数23,0log ,0x x x y x x ⎧+≤=⎨>⎩的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用函数图象与x 非正半轴的交点个数及在(0,)+∞上单调性判断即可.【详解】当0x >时，函数3log y x =在(0,)+∞上单调递增，排除AB ；当0x ≤时，由0y =，得0x =或1x =-，此时函数图象与x 非正半轴有2个交点，排除C ，选项D 符合题意.故选：D15.从2，4，8中任取两个不同的数，分别记作a ，b ，则使log a b 为整数的概率是（）A.14B.13C.12D.23【答案】B 【解析】【分析】利用列举的方法，结合古典概型概率公式，即可求解.【详解】由条件可知，得到不同的对数为2log 42=，2log 83=，4log 382=，41log 22=，82log 43=，81log 23=，共6个对数，其中为整数的有2个，所以概率2163P ==.故选：B16.设函数()f x 是定义域为R 的偶函数，若()f x 在区间[]2,1--上单调递减，则（）A.()()12f f ->-B.()()11f f -<C.()()12f f >-D.()()12f f <【答案】D 【解析】【分析】结合函数的单调性比较()()1,2f f --，结合偶函数性质可得()()()()11,22f f f f -=-=，由此确定结论.【详解】因为函数()f x 在区间[]2,1--上单调递减，21-<-，所以()()21f f ->-，A 错误；因为函数()f x 是定义域为R 的偶函数，所以()()()()11,22f f f f -=-=，B 错误；所以()()21f f >，()()21f f ->，D 正确，C 错误.故选：D.17.已知两条直线l ，m 与平面α，则下列结论中正确的是（）A.若//l α，//m α，则//l mB.若l α⊥，//m α，则l m ⊥C.若//l α，m l ⊥，则m α⊥D.若l α⊥，m l ⊥，则//m α【答案】B 【解析】【分析】根据空间中线线、线面的位置关系判断即可.【详解】对于A ：若//l α，//m α，则//l m 或l 与m 相交或异面，故A 错误；对于B ；因为//m α，则存在直线a α⊂，使得//m a ，又l α⊥，所以l a ⊥，则l m ⊥，故B 正确；对于C ：因为//l α，m l ⊥，则m α⊥或//m α或m 与平面α相交（不垂直）或m α⊂，故C 错误；对于D ：因为l α⊥，m l ⊥，则//m α或m α⊂，故D 错误.故选：B18.已知函数()22xxf x -=-，()22xxg x -=+，下列关于函数()f x 和()g x 的三个结论：①()g x 的值域是[)2,+∞；②存在0R x ∈，使得()03f x =，()04g x =；③任意x ，R y ∈，都有()()()()f x y f x y f x g y ++-=.其中所有正确结论的编号是（）A.①B.①②C.①③D.②③【答案】C 【解析】【分析】根据基本不等式判断①，联立方程，再结合122xx-=，判断②，根据指数运算，即可判断③.【详解】①()222x x g x -=+≥=，当22-=x x ，即0x =时等号成立，故①正确；②联立223224x x x x--⎧-=⎨+=⎩，解得：722x=，122x -=，显然这样122x x -=矛盾，故②错误；③()()2222x yx y x y x y f x y f x y +----+++-=-+-，()()()()22222222x x y y x y x y x y x y f x g y --+--+--=-+=+--，所以()()()()f x y f x y f x g y ++-=，故③正确.故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.19.2cos 3π=________.【答案】12-##0.5-【解析】【分析】结合诱导公式和特殊角三角函数结论求解.【详解】2πππ1cos cos πcos 3332⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭.故答案为：12-.20.已知()2,1a = ，(),2b x =- ，若a b ⊥ ，则x =________.【答案】1【解析】【分析】根据向量垂直坐标表示列方程求x 即可.【详解】因为()2,1a = ，(),2b x =- ，a b ⊥ ，所以220x -=，所以=1故答案为：1.21.某高中高一年级有学生1440人，高二年级有学生1600人，高三年级有学生1760人.现用分层抽样的方法，从这三个年级学生中抽取n 人了解他们的学习情况，其中在高二年级抽取了100人，则n =________.【答案】300【解析】【分析】根据题意求得每个学生抽到的概率，结合分层抽样列出方程，即可求解.【详解】利用分层抽样的方法从三个年级中抽取了n 人进行问卷调查，其中高二年级抽取了100人，高二年级共有1600人，则每个学生被抽到的概率为1001600p =，可得114401600176016n =++，解得300n =（人），故答案为：300.22.如图，城市A 在观察站B 的北偏东40︒方向上且相距20km ，在观察站C 的北偏西20︒方向上相距30km .则观察站B 和C 相距________km.【答案】【解析】【分析】由条件可得20km AB =，30km AC =，60BAC ∠=︒，利用余弦定理求.BC 【详解】由条件可得20km AB =，30km AC =，60BAC ∠=︒，由余弦定理可得2222·cos BC AB AC AB AC BAC =+-∠，所以21400900220307002BC =+-⨯⨯⨯=，故BC =故答案为：.三、解答题：本大题共3小题，每小题10分，共30分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.23.已知函数()1sin 2f x x =+.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间.【答案】（1）πT =；（2）π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】【分析】（1）根据正弦型函数的周期公式求解；（2）结合正弦函数性质求函数()f x 的单调递增区间，再求其与π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦交集即可.【小问1详解】因为()1sin 2f x x =+，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==.【小问2详解】令ππ2π22π22k x k -+≤≤+，Z k ∈，则ππππ44k x k -+≤≤+，Z k ∈.所以函数()f x 的单调递增区间为πππ,π44k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈，又因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间为π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.24.如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，D 为AC 的中点.（1）求证：1BD AC ⊥；（2）若2AB =，1AA =，求三棱锥1B DCC -的表面积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理和性质定理可得.（2）将三棱锥的各个面的面积计算出来再相加即可.【小问1详解】证法一：由题意知，ABC V 为正三角形，D 为AC 的中点，所以BD AC ⊥，又1CC ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以1CC BD ⊥，又因为1AC CC C = ，AC ⊂平面11ACC A ，1CC ⊂平面11ACC A ，所以BD ⊥平面11ACC A ，又因为1AC ⊂平面11ACC A ，所以1BD AC ⊥.证法二：如图，取1CC 中点E ，连接DE ，BE ，则BDE ∠或其补角即为异面直线1AC 与BD 所成的角，在BDE V 中，3BD =，3DE =，6BE =则BDE V 为直角三角形，90BDE ∠=︒，即异面直线1AC 与BD 所成的角为直角，故1BD AC ⊥.【小问2详解】因为ABC V 为正三角形，2AB =，所以3BD =，所以BCD △的面积11322S BD DC =⋅=，又1CC ⊥平面ABC ，所以1CC BC ⊥，1CC DC ⊥，所以1C CD 的面积21122S DC CC =⋅=1BC C △的面积31122S BC CC =⋅=，由（1）可知，BD ⊥平面11ACC A ，所以1BD C D ⊥，13C D =，所以1BC D 的面积4113322S BD DC =⋅=，所以三棱锥1B DCC -的表面积123432S S S S S =+++=.25.为美化校园环境，发展学生的科学文化素养，某中学将在一块矩形空地上修建植物园.如图所示，该空地长72米，宽54米，计划在此空地上修建两条互相垂直且宽度均为x 米的观赏通道（图中阴影部分），并在剩余四个矩形区域种植不同的植物供学生观赏，其中13x ≤≤.（1）若种植植物的区域面积不小于3640平方米，求x 的取值范围；（2）若修建观赏通道的总费用为11881199m x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭元，种植植物的费用为m x元/平方米（m 为正常数）.当x 为何值时，完成此计划所需要的总费用最低？并求出这个最低总费用（结果用m 表示）.（完成此计划的总费用=修建观赏通道的总费用+种植植物的总费用）【答案】（1）[]1,2；（2）32x =，最低总费用3474m 元.【解析】【分析】（1）由条件求出种植植物的区域面积，结合条件列不等式求其解可得结论；（2）根据条件求出完成此计划所需要的总费用，利用基本不等式求其最小值.【小问1详解】由题意得种植植物的区域面积为()()7254x x --，所以()()72543640x x --≥，即21262480x x -+≥，解得2x ≤或124x ≥.又13x ≤≤，得12x ≤≤，所以x 的取值范围为[]1,2.【小问2详解】设完成此计划所需要的总费用为S 元，则()()1188997254119930041263004126m S x x m x m x m m x m x x x x ⎛⎫⎛⎫=--⋅+-=+-≥⋅⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭36001263474m m m =-=，当且仅当94x x =即32x =时等号成立.所以，当32x =时，完成此计划所需要的最低总费用3474m 元.。

普通高中学业水平考试数学试题(含答案)

第一卷（选择题共45分）一.选择题（15'×3=45'）1.已知角的终边经过点(3,4-),则tan x 等于( ) A.34 B.34- C.43D.43- 2.已知lg 2,lg3a b ==,则3lg 2等于( )A.a b -B.b a -C.b aD.a b 3.设集合{}(1,2)M =,则下列关系成立的是( )∈M ∈M C.(1,2)∈M D.(2,1)∈M4.直线30x y -+=的倾斜角是( ).450 C5.底面半径为2,高为4的圆柱,它的侧面积是( )π π π π6.若b<0<a(a,b ∈R),则下列不等式中正确的是( )<a 2 B.11b a> C.b a -<- D.a b a b ->+ 7.已知4,0,cos 25x x π⎛⎫∈-= ⎪⎝⎭,则tan x 等于( ) A.34 B.34- C.43D.43- 8.已知数列{}n a 的前n 项和12n n S n +=+,则3a 等于( ) A.120 B.124 C.128D.132 9.在ΔABC 中,sin sin cos cos 0A B A B -<则这个三角形一定是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形10.若函数1()(2)2f x x x =≠-,则()f x ( ) A.在(2,)-+∞内单调递增 B.在(2,)-+∞内单调递减 C.在(2,)+∞内单调递增 D.在(2,)+∞内单调递减11.在空间中,,,a b c 是两两不重合的三条直线,,,αβγ是两两不重合的三个平面,下列命题正确是( )A.若两直线,a b 分别与平面α平行,则//a b .B.若直线a 与平面β内的一条直线b 平行,则//a β.C.若直线a 与平面β内的两条直线b 、c 都垂直,则a ⊥β.D.若平面β内的一条直线a 垂直平面γ,则γ⊥β.12.不等式(1)(2)0x x ++<的解集是( )A.{}21x x -<<-B.{}21x x x <->-或C.{}12x x <<D.{}12x x x <>或13.正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,A 1 C 1与BD 所在直线所成角的大小是( ) .450 C14.某数学兴趣小组共有张云等10名实力相当的组员,现用简单随机抽样的方法从中抽取3人参加比赛,则张云被选中的概率是( )% % 如图所示的程序框图,如果输入三个实数a,b,c ,要求输出这三个数中最大的数,那么在空白处的判断框中,应该填入下面四个选项中的( )(注:框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=”)A.c x >B.x c >C.c b >D.b c >第二卷（非选择题共55分）二.填空题(5'×4=20')16.已知0,0,1a b a b >>+=则ab 的最大值是____.17.若直线210ay -=与直线(31)10a x y -+-=平行,则实数a 等于____.18.已知函数2,(4)()(1),(4)x x f x f x x ⎧<=⎨-≥⎩,那么(5)f 的值为_____. 19.在[],ππ-内,函数sin()3y x π=-为增函数的区间是______. 20.设12,9,542a b a b ==⋅=-则a 和b 的夹角θ为____.三.解答题（共5小题,共35分）21.已知(2,1),(,2),a b λ==-⑴若a b ⊥求λ的值;⑵若//a b 求λ的值.22.(本题6分)已知一个圆的圆心坐标为(1,2)-,且过点(2,2)P -,求这个圆的标准方程.23.(本题7分)已知{}n a 是各项为正数的等比数列,且1231,6a a a =+=,求该数列前10项的和n S .24.(本题8分)已知函数31()cos ,2f x x x x R =-∈,求()f x 的最大值,并求使()f x 取得最大值时x 的集合. 25.(本题8分)已知函数()f x 满足()(),0,(2)1,xf x b cf x b f =+≠-=-且(1)(1)f x f x -=-+对两边都有意义的任意 x 都成立.⑴求()f x 的解析式及定义域;⑵写出()f x 的单调区间,并用定义证明在各单调区间上是增函数还是减函数参考答案一、二、16、41 17、31 18、8 19、 [6π-,65π] 20、43π 三、21、解：∵a ⊥b ，∴a •b=0，又∵a=（2，1），b =（λ，-2），∴a •b=2λ-2=0，∴λ=1 22、解：依题意可设所求圆的方程为（x+1）2+（y-2）2=r 2。

2024年2024年高中数学学业水平合格考试题及答案

2023年高中数学学业水平试题及答案1．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)-，则z =（）A ．2i +B ．2i -C ．12i+D ．12i-【答案】D【解析】∵复数z 对应的点的坐标是(1,2)-，∴12i z =-，故选D ．2．在ABC V 中，1,2,60a c B ===︒，则b =（）A ．1B ．2C D【答案】D【解析】由余弦定理，得2222212cos 1221232b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，b ∴=故选D ．3．圆台的上、下底面半径分别为2，4，母线长为3，则圆台的体积为（）A ．3πB ．28πC ．D ．3【答案】A【解析】因圆台的上、下底面半径分别为2，4，母线长为3，=，所以圆台的体积为221285(2244)33V π=+⨯+=，故选A ．4．，则原图形面积为（）A ．4B ．C ．2D ．3【答案】A【解析】底边长为a ，高为h 的三角形的面积为12S ah =，在斜二测直观图中，若三角形的底边与x '轴平行或重合，则原三角形的斜二测直观图的面积为112sin 45228S a h ah '=⨯︒=，则S ='，由于平面多边形可由若干各三角形拼接而成，故平面多边形的面积是其直观图面积的倍，4=，故选A ．5．已知向量a ，b ，c 满足()3,0=a ，()0,4=b ，()()1λλλ=+-∈R c a b ，则c 的最小值为（）A ．56B ．125C ．365D ．485【答案】B【解析】由条件可知()3,44λλ=-c ，则===c ，当1625λ=时，min 125=c ，故选B ．6．在平行四边形ABCD 中，1,2,AB AD AB AD ==⊥，点P 为平行四边形ABCD所在平面内一点，则()PA PC PB +⋅uu r uu u r uu r的最小值是（）A ．58-B ．12-C ．38-D ．14-【答案】A【解析】建立如图所示坐标系，设(,)P x y ，则(0,0),(1,0),(1,2)A B C ，所以(1,)PB x y =--uu r ，(,)(1,2)(12,22)PA PC x y x y x y +=--+--=--uu r uu u r，故22315()(12)(1)(22)()22428PA PC PB x x y y x y ⎛⎫⎛⎫+⋅=--+--=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭uu r uu u r uu r ，所以31,42x y ==时，()PA PC PB +⋅uu r uu u r uu r 取得最小值58-，故选A ．7．两个不同的圆锥的底面是球O 的同一截面，顶点均在球O 表面上，若球O 的体积为V ，则这两个圆锥体积之和的最大值为（）A ．13VB ．12VC ．23VD ．34V【答案】B【解析】设球半径为R ，两个圆锥中较小的高为h (0)h R <≤，则另一个圆锥的高为2R h -，圆锥底面半径为r ，则222()R R h r =-+，222r Rh h =-，两个圆锥的体积和为222112()(2)(2)333f h r h r R h R Rh h πππ=+-=-，所以h R =时，3max 2()3f h R π=，343V R π=球，因此max 1()2f h V =，故选B ．8．已知在三角形ABC 中，4BC =，2AB AC =，则AB AC ⋅uu u r uuu r的取值范围是（）A ．32,329⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．32,329⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()0,32D ．[)0,32【答案】A【解析】因为4BC =，2AB AC =，所以44AB AC AB AC ⎧+>⎪⎨-<⎪⎩，即2424AC AC AC AC ⎧+>⎪⎨-<⎪⎩，解得443AC <<，由余弦定理222cos 2AC AB BC CAB AC AB+-∠=⋅，所以222cos 2AC AB BC AB AC AB AC CAB AB AC AC AB +-⋅=⋅∠=⋅⋅⋅uu u r uuu r uu u r uuu r uu u r uuu r 22225162AC AC AB BC -+-==，因为443AC <<，所以216169AC <<，所以2516323292AC --<<，即32,329AB AC ⎛⎫⋅∈- ⎪⎝⎭uu u r uuu r ，故选A ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列命题是真命题的是（）A ．若A ，B ，C ，D 在一条直线上，则AB uu u r 与CD uu u r是共线向量B ．若A ，B ，C ，D 不在一条直线上，则AB uu u r 与CD uu u r不是共线向量C ．若向量AB uu u r 与CD uu u r是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点必在一条直线上D ．若向量AB uu u r 与AC uuu r是共线向量，则A ，B ，C 三点必在一条直线上【答案】AD【解析】A 项为真命题，A ，B ，C ，D 在一条直线上，则向量AB uu u r ，CD uu u r 的方向相同或相反，因此AB uu u r 与CD uu u r是共线向量；B 项为假命题，A ，B ，C ，D 不在一条直线上，则AB uu u r ，CD uu u r 的方向不确定，不能判断AB uu u r 与CD uu u r 是否共线；C 项为假命题，因为AB uu u r ，CD uu u r两个向量所在的直线可能没有公共点，所以A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上；D 项为真命题，因为AB uu u r ，AC uuu r 两个向量所在的直线有公共点A ，且AB uu u r 与AC uuu r是共线向量，所以A ，B ，C 三点共线，故选AD ．10．如图，,M N 为正方体中所在棱的中点，过,M N 两点作正方体的截面，则截面的形状可能为（）A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形【答案】BD【解析】由正方体的对称性可知，截面的形状不可能为三角形和五边形，如图，截面的形状只可能为四边形和六边形，故选BD ．11．已知,,a b c 分别是ABC V 三个内角,,A B C 的对边，下列四个命题中正确的是（）A ．若ABC V 是锐角三角形，则sin cos AB >B ．若cos cos a A b B =，则ABC V 是等腰三角形C ．若cos cos b C c B b +=，则ABC V 是等腰三角形D ．若ABC V 是等边三角形，则cos cos cos a b cA B C==【答案】ACD【解析】对于A ，因为ABC V 是锐角三角形，所以2A B π+>，所以sin sin 2A B π⎛⎫>- ⎪⎝⎭，即sin cos A B >，故A 正确；对于B ，由cos cos a A b B =及正弦定理，可得sin cos sin cos A A B B =，即sin 2sin 2A B =，所以22A B =或22A B π+=，所以A B =或2A B π+=，所以ABC V 是等腰三角形或直角三角形，故B 错误；对于C ，由cos cos b C c B b +=及正弦定理化边为角，可知sin cos sin cos sin B C C B B +=，即sin sin A B =，因为,A B 为ABC V 的内角，所以A B =，所以ABC V 是等腰三角形，故C 正确；对于D ，由ABC V 是等边三角形，所以A B C ==，所以tan tan tan A B C ==，由正弦定理cos cos cos a b cA B C==，故D 正确，故选ACD ．12．“阿基米德多面体”也称为半正多面体(semi -regularsolid )，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体．已知AB =，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有（）A ．该半正多面体的体积为203B ．该半正多面体过,,A BC 三点的截面面积为2C ．该半正多面体外接球的表面积为8πD ．该半正多面体的顶点数V 、面数F 、棱数E 满足关系式2VF E +-=【答案】ACD【解析】如图，该半正多面体，是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的．对于A ，因为由正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，所以该几何体的体积为1120222811323V =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=，故正确；对于B ，过,,A B C 三点的截面为正六边形ABCFED ，所以2364S =⨯⨯=，故错误；对于C ，侧棱长为2的正四棱柱的外接球，所以该半正多面体外接球的表面积22448S R πππ==⨯=，故正确；对于D ，几何体顶点数为12，有14个面，24条棱，满足1214242+-=，故正确，故选ACD ．第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若复数i32ia z -=+为纯虚数（a ∈R ），则z =_______．【答案】13【解析】()()()()()()i 32i 3223i i 3223i 32i 32i 32i 131313a a a a a a z ----+--+====-++-，由纯虚数的定义知，3201323013a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪-≠⎪⎩，解得23a =，所以1i 3z =-，故13z =，故答案为13．14．已知向量()2,1a a =+m ，()0,a =n ，若()()22+⊥-m n m n ，则实数a =_________．【答案】1-【解析】因为()()22+⊥-m n m n ，所以()()220+⋅-=m n m n ，即()2220-=m n ，所以()()()22221400a a a +++=-，解得1a =-，故答案为1-．15．在ABC V 中，3AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，则ACD △的面积为_________．【答案】335【解析】由题意得133sin 22ABC S AB AC BAC =⨯⨯⨯∠=△，则1sin 3212sin 2ABDACDAB AD BAD S AB S AC AC AD CAD ⨯⨯⨯∠===⨯⨯⨯∠△△，所以23355ACD ABC S S ==△△，故答案为335．16．在复平面内，等腰直角三角形12OZ Z 以2OZ 为斜边（其中O 为坐标原点），若2Z对应的复数21z =，则直角顶点1Z 对应的复数1z =___________．【答案】133122i ++或131322i -++【解析】因为21z =+，所以22z =，点2Z的坐标为(．设点1Z 的坐标为(),x y，则(211,Z Z x y =--uuuu r．由题意得121OZ Z Z ⊥uuu r uuuu r，12OZ ==uuu r r所以()(22210x y x x y y ⎧+=⎪⎨-+-=⎪⎩，解得132312x y ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩或132132x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以复数1133122z i +-=+或131322i +，故答案为1133122z i +-=+或131322i +．四、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）求实数m 取何值时，复数()()22232i z m m m m =--+-在复平面内对应的点Z ．（1）位于第二象限；（2）位于第一或第三象限；（3）在直线10x y --=上．【答案】（1）102m -<<或12m <<；（2）12m <-或01m <<或2m >；（3）1m =-或3．【解析】（1）复数()()22232i z m m m m =--+-在复平面内对应的点Z 的坐标为()22232,mm m m ---，若点Z 位于第二象限，则2223200m m m m ⎧--<⎪⎨->⎪⎩，解得102m -<<或12m <<．（2）若点Z 位于第一或第三象限，则2223200m m m m ⎧-->⎪⎨->⎪⎩或222320m m m m ⎧--<⎪⎨-<⎪⎩，解得12m <-或01m <<或2m >．（3）若点Z 在直线10x y --=上，则2223210m m m m ---+-=，解得1m =-或3．18．（12分）如图，△ABC 中，90ACB ∠=o ，30,ABC BC ∠==o ，在三角形内挖去一个半圆（圆心O 在边BC 上，半圆与AC 、AB 分别相切于点C ，M ，与BC 交于点N ），将△ABC 绕直线BC 旋转一周得到一个旋转体．（1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；（2）求图中阴影部分绕直线BC 旋转一周所得旋转体的体积．【答案】（1）209π；（2）25581π．【解析】（1）连接OM ，则OM AB ⊥，设,OM r OB r ==-，在BMO V 中，15sin23ABC r ∠=⇒=，22049S r ππ∴==．（2）90,30,ACB ABC BC ∠=︒∠=︒=Q ，153AC ∴=，∴231414333332781AC V V BC V r ππππ=⨯⨯-==⨯-⨯=-圆锥球．19．（12分）在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫Trullon ，于1996年收入世界文化遗产名录（如图1）．现测量一个屋顶，得到圆锥SO 的底面直径AB 长为12m ，母线SA 长为18m （如图2）．C 是母线SA 的一个三等分点（靠近点S ）．（1）现用鲜花铺设屋顶，如果每平方米大约需要鲜花60朵，那么装饰这个屋顶（不含底面）大约需要多少朵鲜花（此处π取3．14，结果精确到个位）；（2）从点A 到点C 绕屋顶侧面一周安装灯光带，求灯光带的最小长度．【答案】（1）20347；（2）m ．【解析】（1）因圆锥SO 的底面直径AB 长为12m ，母线SA 长为18m ，则此圆锥的侧面积为 3.14618339.122AB S SA π=⋅⋅≈⨯⨯=(2m )．又每平方米大约需要鲜花60朵，于是得339.126020347⨯≈(朵)，所以装饰这个屋顶大约需要20347朵鲜花．（2）将圆锥SO 沿母线SA 剪开展在同一平面内得如图所示的扇形SAA '，点A到点A '，连接A C '，则A C '为最小长度，扇形弧AA '长等于圆锥SO 底面圆周长12AB ππ⋅=，于是得扇形圆心角122183ASA ππ'∠==，在A SC '△中，118,63SA SC SA '===，由余弦定理得2222cos A C SA SC SA SC A SC ''''=+-⋅∠，即22221862186cos 4683A C π'=+-⨯⨯=，解得A C '=，所以灯光带的最小长度为m ．20．（12分）如图一个透明的球形装饰品内放置了两个具有公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，已知大圆锥轴截面是等边三角形，设球的半径为R ，圆锥底面半径为r ．（1）试确定R 与r 的关系；（2）若小圆锥､大圆锥的侧面积为1S ､2S ，球的表面积为3S ，求123::S S S ；（3）求出两个圆锥的总体积（即体积之和）与球的体积之比．【答案】（1）32r =；（2）123::3:8S S S =；（3）3:8．【解析】（1）由几何体的特征，得到△ABC 为直角三角形，由于大圆锥的轴截面为等边三角形，故30ABC ∠=︒，所以AC R =，BC =，所以322BC r ==．（2）球心到圆锥底面的距离12R OO =，所以小圆锥的高为22R R R -=，故小圆锥的母线长为R ，，所以212S R =⋅，2232S R π=⋅，234S R π=⋅，故123:::3:8S S S =．（3）由（1）得：两个圆锥的体积和为321232R r R ππ⋅⋅⋅=，球的体积为343R π，体积之比为334:3:823R R ππ=．21．（12分）△ABC 的内角A ､B ､C 的对边分别为a ､b ､c ，cos cos 2cos 0a C c A b B ++=．（1）求B ；（2）若6b =，求△ABC 面积S 的最大值．【答案】（1）23π；（2）．【解析】（1）∵cos cos 2cos 0a C c A b B ++=，∴由正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos 0A C C A B B ++=，∴()sin 2sin cos A C B B +=-，即sin 2sin cos B B B =-，∵0B π<<，∴sin 0B ≠，∴1cos 2B =-，∵0B π<<，∴23B π=．（2）23B π=，6b =，由余弦定理得22222362cos b a c ac B a c ac ==+-=++，∵222a c ac +≥，∴22363a c ac ac =++≥，解得12ac ≤，当且仅当a ＝c 时取等号，∴13sin 24S ac B ac ==≤，∴当a c =时，△ABC 面积S 的最大值为．22．（12分）为响应国家“乡村振兴”号召，农民老王拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：BNC V 区域为荔枝林和放养走地鸡，CMA V 区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，MNC V 区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓．为安全起见，在鱼塘MNC V 周围筑起护栏．已知40m AC =，BC =，AC BC ⊥，30MCN ∠=︒．（1）若20m AM =，求护栏的长度（MNC V 的周长）；（2）若鱼塘MNC V 的面积是“民宿”CMA V 倍，求ACM ∠；（3）当ACM ∠为何值时，鱼塘MNC V 的面积最小，最小面积是多少？【答案】（1）60+；（2）15︒；（3）15ACM ∠=︒时，CMN △的面积取最小值为21200(2-．【解析】（1）∵40m AC =，BC =，AC BC ⊥，∴3tan 3AC B BC ==，∴30B =︒，∴60A =︒，∴280AB AC ==，在ACM △中，由余弦定理可得：22212cos 16004002402012002CM AC AM AC AM A =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=，则CM =，∴222AC AM CM =+，∴CM AB ⊥，∵30MCN ∠=︒，∴tan 3020MN CM =︒=，∴240CN MN ==，∴护栏的长度（MNC V的周长）为204060++=+．（2）设ACM θ∠=（060θ︒<<︒），因为鱼塘MNC V 的面积是“民宿”CMA V倍，所以11sin 30sin 22CN CM CA CM θ⋅︒=⋅，即CN θ=，60BCN θ∠=︒-，BCN △中，由三角形外角定理可得90CNA B BCN θ∠=∠+∠=︒-，在CAN △中，由40sin 60sin(90)cos CN CA θθ==︒︒-，得cos CN θ=，从而203cos θθ=，即1sin 22θ=，由02120θ<<︒︒，得230θ=︒，所以15θ=︒，即15ACM ∠=︒．（3）设ACM θ∠=（060θ︒<<︒），由（2）知cos CN θ=，90BCM θ∠=︒-，BCM V 中，由外角定理可得120CMA B BCM θ∠=∠+∠=︒-，又在ACM △中，由()sin60sin 120CM CA θ=︒︒-，得()203sin 120CM θ=︒-，所以()1300sin 302sin 120cos 1322CMN S CM CN θθ=⋅⋅︒==︒-V=，sin23cos23222所以当且仅当26090θ︒+=︒，1200(2．即15θ=︒时，CMN△的面积取最小值为2。

2023年3月河北省普通高中学业水平合格性考试数学含答案

2022年3月河北省普通高中学业水平合格性考试数学试卷注意事项：1．本试卷共8页，共36道小题，总分100分，考试时间120分钟。

2．所有答案在答题卡上作答，在本试卷和草稿纸上作答无效。

答题前请仔细阅读答卷上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题。

3．答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，请将答错的原选涂答案擦干净，再选涂其他答案。

4．考试结束后，请将本试卷与答题卡一并交回。

一、选择题(本题共8道小题，每小题2分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．设集合M={–1，0，1，2}，N={0，2，3}，则M∩N=A．{0}B．{－1，1}C．{2}D．{0，2}2．直线x+√3y－1=0的斜率是A．－√3B．－√33C．√3D．√333．在公差为－1的等差数列{a n}中，若a4=1，则a8=A．－4B．4C．－3D．34．若实数a，b，c满足a>b>0，c<0，则A．ac >bcB．ac>bcC．ca >cbD．a+c<b+c5．已知α是第四象限角，若cosα=13，则tanα=A．－√24B．√24C．－2√2D．2√26．不等式x2－2x－3<0的解集是A．(－ω，－3)∪(1，+∞)B．(－3，1)C．(━∞，－1)∪(3，+∞)D．(－1，3)7．已知向量a=(1，2)，b=(2，－λ)，若a⊥b，则实数λ=A．–1B．1C．－4D．48．圆x2+y2－4x+3=0的周长是A．2πB．πC．√3πD．√2π二、选择题(本题共28道小题，每小题3分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)9．样本数据x1，x2，x3，x，x5，x6的平均数为5，若x6=10，则数据x1+3，x2+3，x3+3，x4+3，x5+3的平均数是A．6B．4C．8D．710．已知圆锥的底面半径为1，母线与底面所成的角是60°，则该圆锥的侧面积是A．2πB．2√3π3C．πD．2π311．已知函数f(x)={cos πx 3，x ≤0ln x ，x >0，则f(f(e －1)=A ．12B ．－12C ．√32D ．－√32 12，从2名男生和2名女生中任意选出两人参加冬奥知识竞赛，则选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是A ．12B ．32C ．14D ．1313．下列函数中，在区间(0，+∞)上为增函数的是A ．f (x )=−2xB ．f (x )=ln 1xC ．f (x )=(12)xD ．f (x )=x 2−3x 14．已知α为平面，l ，m ，n 为三条不同的直线，给出以下四个结论：①若l ，m 与n 所成的角相等，则l ∥m ：②若1，m 与α所成的角相等，则l ∥m ﹔③若l 与n 所成的角等于30°，l ∥m ，则m 与n 所成的角等于30∘：④若l 与α所成的角等于30°，l ∥m ，则m 与α所成的角等于30∘。

2023-2024学年四川省普通高中高三上学期学业水平考试数学试题+答案解析

2023-2024学年四川省普通高中高三上学期学业水平考试数学试题一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，，则( )A.B.C.D.2.已知i 是虚数单位，则( )A. B. C.D.3.已知向量，，则( )A.B. 14C.D.4.已知直线l 的方程为，则直线l 的斜率为( )A.B. C.D. 25.某高中一、二、三年级学生参加社团活动的人数分别为500，300，200，现用分层抽样的方法从中抽取100人参加艺术节表演，则抽出的高一年级学生人数为( )A. 20 B. 30 C. 40D. 506.已知，则的值为( )A.B.C.D.7.某同学计划在四大名著《三国演义》《水浒传》《西游记》《红楼梦》中随机选一本作为课外读本，则《红楼梦》恰好被选中的概率为( )A. B. C.D.8.函数的图象是( )A. B.C. D.9.若球的表面积为，则顶点均在该球球面上的正方体体积为( )A. 256B. 64C. 27D. 810.若函数在R上是增函数，则实数a的取值范围为( )A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。

11.若，求圆心坐标为__________.12.已知，则的最小值为__________.13.函数的最小正周期是__________.14.如图，在正方体中，直线与平面ABCD所成角的正切值为__________.三、解答题：本题共5小题，共64分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.本小题分已知数列为等差数列，且，求数列的通项公式；求数列的前n项和16.本小题分已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且求角A的大小；若，，求17.本小题分如图，在三棱锥中，底面ABC是边长为4的正三角形，且，求证：平面ABC；求点A到平面PBC的距离.18.本小题分已知点，在椭圆上.求椭圆C的离心率；过点P的直线l与椭圆的另一个交点为R，当为坐标原点的面积最大时，求直线l的方程.19.本小题分已知函数，当时，求函数的单调区间；若不等式恒成立，求实数a的取值范围.答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查集合的交集运算，属于基础题.直接求交集即可.【解答】解：集合，，则 .故选：2.【答案】B【解析】【分析】本题考查复数的乘法运算，属于基础题.根据复数乘法运算求解即可.【解答】解：，故选：3.【答案】A【解析】【分析】本题考查向量数量积的坐标运算，属于基础题.根据数量积的坐标表示求解.【解答】解：因为向量，，所以 .故选：A4.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查斜截式方程，属于基础题.根据直线方程直接求解.【解答】解：由直线l的方程为可知，斜率 .故选：5.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查分层随机抽样，属于基础题.直接根据比例关系计算得到答案.【解答】解：抽出的高一年级学生人数为： .故选：6.【答案】C【解析】【分析】本题考查由一个三角函数值求其他三角函数值，属于基础题.根据同角三角函数的基本关系求解.【解答】解：因为，所以，故选：7.【答案】D【解析】【分析】本题考查古典概型及其计算，属于基础题.直接计算概率即可.【解答】解：《红楼梦》恰好被选中的概率为 .故选：8.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查对数函数的图像，考查对数型函数的定义域和值域，属于中档题.根据函数定义域及函数值的正负判断即可.【解答】解：因为的定义域为，故BD错误；又，故C错误；故A正确.故选：9.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查外接球问题，属于中档题.根据正方体体对角线为外接球直径计算即可.【解答】解：因为球的表面积为，所以，解得，设正方体的棱长为a，因为正方体外接球的直径为正方体的体对角线，所以，即，所以 .故选：10.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查利用导数由函数的单调性求参，属于中档题.求出函数的导数，问题转化为在R恒成立，利用判别式即可求出a的范围．【解答】解：函数，，若在R上是增函数，则在R上恒成立，可得，解得，故选：D11.【答案】【解析】【分析】本题考查了圆的一般方程和标准方程，考查了转化思想，属于基础题．将一般方程化为标准方程，然后确定其圆心坐标即可．【解答】解：由，可得圆的标准方程为，所以圆心坐标为故答案为：12.【答案】6【解析】【分析】本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题．【解答】解：，，当且仅当时，取“=”，所以的最小值为故答案为：13.【答案】【解析】【分析】本题考查正弦函数的周期性，属于基础题.首先根据题意得到，再求最小正周期即可.【解答】解：函数，最小正周期是 .故答案为：14.【答案】【解析】【分析】本题考查直线与平面所成角，属于中档题.根据正方体性质及线面角定义求解.【解答】解：设正方体的棱长为1，在正方体中，平面ABCD，故在平面ABCD上的射影为BD，所以为直线与平面ABCD所成角，故 .故答案为：15.【答案】解：设等差数列的公差为d，则，即，所以，所以 .由知，【解析】本题主要考查等差数列的通项公式，以及前n项和公式，属于基础题.根据等差数列的通项公式列方程求出公差即可得解；根据等差数列求和公式得解.16.【答案】解：由正弦定理可得：，由知，可得，即，由知， .由余弦定理可得：，解得 .【解析】本题考查正弦定理与余弦定理解三角形，属于中档题.由正弦定理及同角三角函数的基本关系得解；由余弦定理直接求解.17.【答案】解：，，，，，，，又平面 ABC ，平面 ABC .设点A 到平面 PBC 的距离为 h ，中 BC 边上的高为 .在中， BC 边上的高，所以，又，所以，即，所以，解得.即点A 到平面 PBC 的距离为.【解析】本题考查线面垂直的判定，点面距离的求解，属于中档题.根据边长的关系可得线线垂直，再由线面垂直的判定定理证明；利用等体积法求点到面的距离.18.【答案】解：因为点，在椭圆上，所以，，所以，即，所以椭圆离心率.设，如图，则，由R在椭圆上可知，所以，所以当时，有最大值，此时或，所以直线l的方程为或，即直线l为或 .【解析】本题主要考查椭圆的离心率，考查椭圆中三角形面积问题，属于中档题.根据椭圆所过顶点求出即可得解；设，表示出三角形的面积，再由的范围求最值，确定出R点坐标，得出直线方程即可.19.【答案】解：当时，，定义域为，，当时，，当时，，所以的单调递增区间为，单调递减区间为 .因为恒成立，所以恒成立，即 .令，则，令可得，由为减函数知，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，，所以 .【解析】本题考查利用导数求函数的单调区间，利用导数研究函数恒成立问题，属于较难题.求出函数的导数，利用导数求函数的单调区间；第11页，共11页不等式恒成立可转化为，利用导数求出函数的最大值即可.。

2023年江苏省普通高中学业水平合格性考试数学真题试卷含详解全文

江苏省2023年普通高中学业水平合格性考试试卷数学参考公式：锥体的体积公式：13V Sh=，其中S 是底面积，h 是高.一､选择题：本大题共28小题，每小题3分，共84分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}2,0,2,0,2,4A B =-=，则A B = （）A.{}0,2 B.{}2,2,4- C.{}2,0,2- D.{}2,0,2,4-2.已知a b >，则（）A.33a b +>+B.33a b ->-C.33a b> D.22a b >3.已知3i z =-，则z =（）A.3B.4C. D.104.已知五个数2,,6,5,3a 的平均数为4，则=a （）A.3B.4C.5D.65.命题“x ∀∈R ，210x x ++>”的否定为（）A.x ∀∈R ，210x x ++≤B.x ∃∈R ，210x x ++≤C.x ∃∈R ，210x x ++< D.x ∃∈R ，210x x ++>6.已知角α的终边经过点(2,1)P -，则sin α= A.55B.5-C.255D.5-7.函数()f x =）A.(],1-∞ B.(),1-∞ C.[)1,+∞ D.()1,+∞8.要得到函数2sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象．只需将函数2sin y x =的图象（）A.向左平移3π个单位B.向右平移3π个单位C.向左平移6π个单位 D.向右平移6π个单位9.党的二十大报告指出：“全面提高人才自主培养质量，着力造就拔尖创新人才，聚天下英才而用之.”某区域教育部门为提高学生的创新能力，组织了200名学生参与研究性学习，每人仅参加1个课题组，参加各课题组的人数占比的扇形统计图如图所示，则参加数学类的人数比参加理化类的人数多（）A.16B.30C.32D.6210.从甲､乙､丙､丁4名同学中任选3名同学参加环保宣传志愿服务，则甲被选中的概率为（）A.14B.13C.23D.3411.已知3321log ,log 2,log 32a b c ===，则（）A.a b c <<B.b a c <<C.b<c<aD.c b a<<12.已知直线l 平面α，直线m ⊂平面α，则l 与m 不可能（）A.平行B.相交C.异面D.垂直13.已知函数()f x x α=是偶函数，且在区间()0,∞+上单调递增，则下列实数可作为α值的是（）A.-2B.12C.2D.314.已知tan 3α=-，则sin 2cos sin cos αααα+=-（）A.52B.14C.54-D.72-15.对于两个非空实数集合A 和B ，我们把集合{},,x x a b a A b B =+∈∈∣记作A B *.若集合{}{}0,1,0,1A B ==-，则A B *中元素的个数为（）A.1B.2C.3D.416.已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，()()3log 21f x x =+，则()1f -=（）A.-1B.0C.1D.217.甲､乙两人独立地破译某个密码，如果每人译出密码得概率均为0.3，则密码被破译的概率为（）A.0.09B.0.42C.0.51D.0.618.甲､乙､丙､丁4名学生参加数学竞赛，在成绩公布前，4人作出如下预测：甲说：乙第一；乙说：丁第一；丙说：我不是第一；丁说：乙第二.公布的成绩表明，4名学生的成绩互不相同，并且有且只有1名学生预测错误，则预测错误的学生是（）A.甲B.乙C.丙D.丁19.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，直线1BD 与平面ABCD 所成角的正切值为（）A .1B.32C.22D.3320.在一次实验中，某小组测得一组数据()(),1,2,,11i i x y i = ，并由实验数据得到下面的散点图.由此散点图，在区间[]2,3-上，下列四个函数模型(,a b 为待定系数）中，最能反映,x y 函数关系的是（）A.y a bx =+B.x y a b =+C.log b y a x=+ D.b y a x=+21.在ABC 中，已知3cos25A =-，则sin A =（）A. B.45C.55D.25522.已知ABC 是边长为2的等边三角形，,,D E F 分别是边,,AB BC CA 的中点，则（）A.AB AC AE+=B.AB AC BC-=C.12EF AB= D.12DE DF ⋅=23.在空间，到一个三角形的三个顶点距离相等的点的集合表示的图形是（）A.一个点B.一条直线C.一个平面D.一个球面24.已知向量()(()()2,0,,a b a kb ka b ==+⊥-，则实数k =（）A.1-B.0C.1D.1-或125.两游艇自某地同时出发，一艇以10km/h 的速度向正北方向行驶，另一艇以8km/h 的速度向北偏东θ（090θ︒<<︒）角的方向行驶.若经过30min km ，则θ=（）A.30︒B.45︒C.60︒D.75︒26.2023年2月6日，土耳其发生强烈地震，造成重大人员伤亡和财产损失，江苏救援队伍紧急赴当地开展救报行动.尽管日前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为lg 4.8 1.5E M =+.里氏8.0级地震所释放出来的能量是里氏6.0级地震所释放出来的能量的（）A.6倍B.210倍C.310倍D.610倍27.若圆柱的上､下底面的圆周都在一个半径为2的球面上，则该圆柱侧面积的最大值为（）A .4πB.8πC.12πD.16π28.若函数()221,3sin 1,3x x m x f x m x x ⎧--+<=⎨+≥⎩的值域为[)2,-+∞，则实数m 的可能值共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个二､解答题：本大题共2小题，共计16分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.29.如图，三棱锥-P ABC 的底面ABC 和侧面PBC 都是边长为2的等边三角形，,M N 分别是,AB BC 的中点，PN AN ⊥.（1）证明：MN //平面PAC ；（2）求三棱锥-P ABC 的体积.30.已知函数()sin f x x =.（1）求函数23πy f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期；（2）若()()211[]28f x m f x +-≥，求实数m 的取值范围.江苏省2023年普通高中学业水平合格性考试试卷数学一､选择题：本大题共28小题，每小题3分，共84分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}2,0,2,0,2,4A B =-=，则A B = （）A.{}0,2 B.{}2,2,4- C.{}2,0,2- D.{}2,0,2,4-【答案】A【分析】根据交集定义直接计算即可.【详解】集合{}{}2,0,2,0,2,4A B =-=，则{}0,2A B =I .故选：A2.已知a b >，则（）A.33a b +>+B.33a b ->-C.33a b> D.22a b >【答案】A【分析】由不等式的基本性质逐一判断即可.【详解】A 选项：a b >，则33a b +>+，故A 正确；B 选项：a b >，则a b -<-，所以33a b -<-，故B 错误；C 选项：当0a b >>或0a b >>时，11a b <，则33a b<，故C 错误；D 选项：当0a b >>时，22a b <，故D 错误.故选：A ．3.已知3i z =-，则z =（）A.3B.4C.D.10【答案】C【分析】根据复数的模的计算公式，即可求得答案.【详解】因为3i z =-，所以z ==故选：C.4.已知五个数2,,6,5,3a 的平均数为4，则=a （）A.3 B.4C.5D.6【答案】B【分析】根据平均数的计算公式列式计算，即可求得答案.【详解】由题意可得26534,201645a a ++++=∴=-=，故选：B5.命题“x ∀∈R ，210x x ++>”的否定为（）A.x ∀∈R ，210x x ++≤B.x ∃∈R ，210x x ++≤C.x ∃∈R ，210x x ++<D.x ∃∈R ，210x x ++>【答案】B【分析】全称命题的否定是特称命题，任意改为存在，再把结论否定.【详解】由题意x ∀∈R ，210x x ++>，否定是x ∃∈R ，210x x ++≤故选：B ．6.已知角α的终边经过点(2,1)P -，则sin α=A.5B.55-C.5D.【答案】B【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sin α的值．【详解】解：角α的终边经过点()2,1P -，则sin α55==-，故选B ．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．7.函数()f x =）A.(],1-∞ B.(),1-∞ C.[)1,+∞ D.()1,+∞【答案】D【分析】函数定义域满足101x ≥-，10x -≠，解得答案.【详解】函数()f x =101x ≥-，10x -≠，解得1x >.故选：D8.要得到函数2sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象．只需将函数2sin y x =的图象（）A.向左平移3π个单位 B.向右平移3π个单位C.向左平移6π个单位 D.向右平移6π个单位【答案】A【分析】根据三角函数的图像变换中的相位变换确定结果.【详解】根据相位变换的左加右减有：2sin y x =向左移动3π个单位得到2sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，故选A.【点睛】本题考查三角函数的图象变换中的相位变换，难度较易.相位变换时注意一个原则：左加右减.9.党的二十大报告指出：“全面提高人才自主培养质量，着力造就拔尖创新人才，聚天下英才而用之.”某区域教育部门为提高学生的创新能力，组织了200名学生参与研究性学习，每人仅参加1个课题组，参加各课题组的人数占比的扇形统计图如图所示，则参加数学类的人数比参加理化类的人数多（）A.16B.30C.32D.62【答案】C【分析】由扇形图计算参加数学类和理化类的人数，即可求得答案.【详解】由扇形统计图可知参加数学类的人数为20031%62⨯=，参加理化类的人数为20015%30⨯=，故参加数学类的人数比参加理化类的人数多623032-=，故选：C10.从甲､乙､丙､丁4名同学中任选3名同学参加环保宣传志愿服务，则甲被选中的概率为（）A.14B.13C.23D.34【答案】D【分析】列举出所有的基本事件，然后得到甲被选中的情况，利用古典概型求解即可【详解】从甲､乙､丙､丁4名同学中任选3名同学共有：（甲乙丙），（甲丙丁），（甲乙丁），（乙丙丁），4种情况，甲被选中共有3种情况，故对应的概率为34故选：D11.已知3321log ,log 2,log 32a b c ===，则（）A.a b c <<B.b a c <<C.b<c<aD.c b a<<【答案】A【分析】利用对数函数的单调性得到a<0，0l b <<，1c >，得到答案.【详解】331log log 102a =<=；33310log log 2l g 13ob <=<<=；22log 321logc ==>，所以a b c <<.故选：A12.已知直线l 平面α，直线m ⊂平面α，则l 与m 不可能（）A.平行B.相交C.异面D.垂直【答案】B【分析】若l 与m 相交，得到l 与α有交点，这与题设矛盾，得到答案.【详解】直线l 平面α，直线m ⊂平面α，则l 与m 可能平行，异面和垂直，若l 与m 相交，l m A = ，则∈A l ，A m ∈，直线m ⊂平面α，故A α∈，即l 与α有交点，这与题设矛盾.故选：B13.已知函数()f x x α=是偶函数，且在区间()0,∞+上单调递增，则下列实数可作为α值的是（）A.-2B.12C.2D.3【答案】C【分析】()2f x x -=在()0,∞+上单调递减，A 错误，()12f x x =不是偶函数，B 错误，定义判断C 正确，()3f x x=函数为奇函数，D 错误，得到答案.【详解】对选项A ：2α=-，()2f x x -=，函数在()0,∞+上单调递减，错误；对选项B ：12α=，()12f x x =，函数定义域为[)0,∞+，不是偶函数，错误；对选项C ：2α=，()2f x x =，函数定义域为R ，()()()2f x x f x -=-=，函数为偶函数，且在()0,∞+上单调递增，正确；对选项D ：3α=，()3f x x =，函数定义域为R ，()()()3f x x f x -=-=-，函数为奇函数，错误；故选：C14.已知tan 3α=-，则sin 2cos sin cos αααα+=-（）A.52B.14C.54-D.72-【答案】B【分析】根据三角函数同角的函数关系式，结合齐次式法求值，可得答案.【详解】由题意tan 3α=-，可知cos 0α≠，则sin 2cos tan 2321sin cos tan 1314αααααα++-+===----，故选：B15.对于两个非空实数集合A 和B ，我们把集合{},,x x a b a A b B =+∈∈∣记作A B *.若集合{}{}0,1,0,1A B ==-，则A B *中元素的个数为（）A.1 B.2C.3D.4【答案】C【分析】计算{}0,1,1A B *=-，得到元素个数.【详解】{}{}0,1,0,1A B ==-，则{}0,1,1A B *=-，则A B *中元素的个数为3故选：C16.已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，()()3log 21f x x =+，则()1f -=（）A.-1B.0C.1D.2【答案】A【分析】利用奇函数性质代入数据计算得到答案.【详解】因为函数()f x 为奇函数，且当0x >时，()()3log 21f x x =+，所以()()()311log 211f f -=-=-+=-.故选：A.17.甲､乙两人独立地破译某个密码，如果每人译出密码得概率均为0.3，则密码被破译的概率为（）A.0.09B.0.42C.0.51D.0.6【答案】C【分析】甲乙都不能译出密码得概率为1049P =.，密码被破译的概率为11P -，得到答案.【详解】甲乙都不能译出密码得概率为()()110.310.30.49P =-⨯-=，故密码被破译的概率为110.51P -=.故选：C18.甲､乙､丙､丁4名学生参加数学竞赛，在成绩公布前，4人作出如下预测：甲说：乙第一；乙说：丁第一；丙说：我不是第一；丁说：乙第二.公布的成绩表明，4名学生的成绩互不相同，并且有且只有1名学生预测错误，则预测错误的学生是（）A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】A【分析】分别假设甲､乙､丙､丁的预测错误，看能否推出与题意相矛盾的情况，即可判断答案.【详解】若甲预测错误，则其余三人预测正确，即丁第一，乙第二，丙第三或第四，甲第四或第三，符合题意；若乙预测错误，则其余三人预测正确，则甲和丁的预测相矛盾，这样有两人预测错误，不符合题意；若丙预测错误，则其余三人预测正确，则甲和丁的预测相矛盾，这样有两人预测错误，不符合题意；若丁预测错误，则其余三人预测正确，则甲和乙的预测相矛盾，这样有两人预测错误，不符合题意；故选：A19.如图，正方体1111ABCD A B C D -中，直线1BD 与平面ABCD 所成角的正切值为（）A.1B.2C.2D.33【答案】C【分析】连接BD ，1DD ⊥平面ABCD ，故1DBD ∠是1BD 与平面ABCD 所成角，计算得到答案.【详解】如图所示：连接BD ，因为1DD ⊥平面ABCD ，故1DBD ∠线1BD 与平面ABCD 所成角，设正方体棱长为1，则11,DD DB ==，112tan 2DD DBD DB ∴∠==.故选：C20.在一次实验中，某小组测得一组数据()(),1,2,,11i i x y i = ，并由实验数据得到下面的散点图.由此散点图，在区间[]2,3-上，下列四个函数模型(,a b 为待定系数）中，最能反映,x y 函数关系的是（）A.y a bx=+ B.x y a b =+C.log b y a x=+ D.b y a x=+【答案】B 【分析】由函数模型的增长方式以及定义域可确定选项.【详解】由散点图的定义域可排除C 、D 选项，由散点图的增长方式可知函数模型为指数型.故选：B21.在ABC 中，已知3cos25A =-，则sin A =（）A. B.45 C.55 D.255【答案】D【分析】确定sin 0A >，再利用二倍角公式计算得到答案.【详解】()0,πA ∈，sin 0A >，23cos212sin 5A A =-=-，解得25sin 5A =.故选：D22.已知ABC 是边长为2的等边三角形，,,D E F 分别是边,,AB BC CA 的中点，则（）A.AB AC AE += B.AB AC BC -= C.12EF AB = D.12DE DF ⋅= 【答案】D 【分析】根据向量的运算法则得到ABC 错误，12cos 60DE DF DE DF =⋅⋅︒= ，D 正确，得到答案.【详解】对选项A ：AB+AC =2AE ，错误；对选项B ：AB AC CB -= ，错误；对选项C ：12EF BA = ，错误；对选项D ：1cos 6011212DE DF DE DF =︒=⋅⋅=⨯⨯ ，正确.故选：D23.在空间，到一个三角形的三个顶点距离相等的点的集合表示的图形是（）A.一个点B.一条直线C.一个平面D.一个球面【答案】B 【分析】易得空间中到一个三角形的三个顶点距离相等的点组成的集合表示的图形为过该三角形的外心且与该三角形所在平面垂直的直线，如图，设点O 为ABC 的外心，且直线l ⊥平面ABC ，点P 为直线l 上任意一点，证明PA PB PC ==即可.【详解】空间中到一个三角形的三个顶点距离相等的点组成的集合表示的图形为过该三角形的外心且与该三角形所在平面垂直的直线，如图，设点O 为ABC 的外心，且直线l ⊥平面ABC ，点P 为直线l 上任意一点，则OA OB OC ==，且,,OA OB OC ⊂平面ABC ，所以直线l OA ⊥，直线l OB ⊥，直线l OC ⊥，当点P 与点O 重合时，PA PB PC ==，即直线l 的点到ABC 的三个顶点距离相等，当点P 与点O 不重合时，由勾股定理可得PA PB PC ==，即直线l 的点到ABC 的三个定点距离相等，综上直线l 的点到ABC 的三个顶点距离相等，反之到ABC 的三个顶点距离相等的点都在直线l 上，所以空间中到一个三角形的三个顶点距离相等的点组成的集合表示的图形为过该三角形的外心且与该三角形所在平面垂直的直线.故选：B24.已知向量()(()()2,0,,a b a kb ka b ==+⊥- ，则实数k =（）A.1- B.0 C.1D.1-或1【答案】D 【分析】求出()(),a kb ka b +- 的坐标表示，根据向量垂直的坐标表示，可列方程，即可求得答案.【详解】由已知向量()(2,0,a b == ，可得()()(2),(21,a kb k ka b k +=+-=- ，由()()a kb ka b +⊥- 可得(2)(21,0k k +⋅-=，即(2)(21)30k k k +--=，解得1k =±，故选：D25.两游艇自某地同时出发，一艇以10km/h 的速度向正北方向行驶，另一艇以8km/h 的速度向北偏东θ（090θ︒<<︒）角的方向行驶.若经过30minkm ，则θ=（）A.30︒B.45︒C.60︒D.75︒【答案】C【分析】如图，设点A 为出发点，点B 为10km/h 的船30min 后到达的点，点C 为8km/h 的船30min 后到达的点，再利用余弦定理即可得解.【详解】如图，设点A 为出发点，点B 为10km/h 的船30min 后到达的点，点C 为8km/h 的船30min 后到达的点，则5km,4km,AB AC BC BAC θ===∠=，则2222516211cos 22542AB AC BC AB AC θ+-+-===⋅⨯⨯，又因090θ︒<<︒，所以60θ=︒.故选：C.26.2023年2月6日，土耳其发生强烈地震，造成重大人员伤亡和财产损失，江苏救援队伍紧急赴当地开展救报行动.尽管日前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为lg 4.8 1.5E M =+.里氏8.0级地震所释放出来的能量是里氏6.0级地震所释放出来的能量的（）A.6倍B.210倍C.310倍D.610倍【答案】C 【分析】代入数据计算16.8110E =，13.8210E =，计算得到答案.【详解】1lg 4.8 1.5816.8E =+⨯=，16.8110E =；2lg 4.8 1.5613.8E =+⨯=，13.8210E =，16.83113.82101010E E ==.故选：C27.若圆柱的上､下底面的圆周都在一个半径为2的球面上，则该圆柱侧面积的最大值为（）A.4πB.8πC.12πD.16π【答案】B【分析】设底面圆半径为r ，则圆柱的高为，圆柱侧面积为4πS =案.【详解】设底面圆半径为r ，则圆柱的高为，圆柱侧面积为2242π4π4π×8π2r r S r +-=⋅==，当且仅当r =，即r =时等号成立.故选：B.28.若函数()221,3sin 1,3x x m x f x m x x ⎧--+<=⎨+≥⎩的值域为[)2,-+∞，则实数m 的可能值共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B 【分析】根据分段函数的解析式，讨论m 的范围，确定每段的函数最小值，由题意列方程，求得m 的值，可得答案.【详解】当3x <时，()2221(1)f x x x m x m m =--+=--≥-，当3x ≥时，()sin 1f x m x =+，若0m =，()f x 的值域为[)0,∞+，不合题意；若0m >，则3x ≥时，[]()1,1f x m m ∈-++，min ()1f x m =-+，由于1m m -+>-，由题意可知需使2,2m m -=-∴=；若0m <，则3x ≥时，[]()1,1f x m m ∈+-+，min ()1f x m =+，0m ->，故需使12,3m m +=-∴=-，即实数m 的可能值共有2个，故选：B二､解答题：本大题共2小题，共计16分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.29.如图，三棱锥-P ABC 的底面ABC 和侧面PBC 都是边长为2的等边三角形，,M N 分别是,AB BC 的中点，PN AN ⊥.（1）证明：MN //平面PAC ；（2）求三棱锥-P ABC 的体积.【答案】（1）证明见解析（2）1【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可求证；（2）先证明PN ^平面ABC ，即可求出三棱锥的体积【小问1详解】因为,M N 分别是,AB BC 的中点，所以//MN AC ，因为MN ⊄平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以MN //平面PAC ；【小问2详解】因为PBC 是等边三角形，N 是BC 的中点，所以PN BC ⊥，因为PN AN ⊥，,AN BC ⊂平面ABC ，,AN BC N ⋂=所以PN ^平面ABC ，因为底面ABC 和侧面PBC 都是边长为2的等边三角形，所以1132231334P ABC ABC V S PN -=⨯=⨯⨯⨯ 30.已知函数()sin f x x =.（1）求函数23πy f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期；（2）若()()211[]28f x m f x +-≥，求实数m 的取值范围.【答案】（1）π（2）21,2⎡⎫-++∞⎪⎢⎪⎣⎭【分析】（1）确定πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再计算周期即可.（2）设1sin 2x t -=，31,22t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，考虑0t >，0=t ，0t <三种情况，利用均值不等式计算最值得到答案.【小问1详解】3π23πsin 2y f x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，最小正周期2ππ2T ==.【小问2详解】()()211[]28f x m f x +-≥，即211sin sin 28x m x +-≥，设1sin 2x t -=，1sin 2x t =+，31,22t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，当0t >时，即21128t mt ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，整理得到118m t t ⎛⎫≥-+- ⎪⎝⎭，111182t t ⎛⎫-+-≤-=- ⎪⎝⎭，当且仅当18t t =，即24t =时等号成立，故212m ≥--；当0=t 时，不等式恒成立；当0t <时，即21128t mt ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，整理得到118m t t ⎛⎫≥--++ ⎪-⎝⎭，1211182t t ⎛⎫--++≤-=- ⎪-⎝⎭，当且仅当18t t -=-，即24t =-时等号成立，故212m ≥-+.综上所述：12m ≥-+，即1,2m ⎡⎫∈-++∞⎪⎢⎪⎣⎭。

河北省普通高中学业水平考试数学试卷(含答案)精选全文

可编辑修改精选全文完整版2020年12月河北省普通高中学业水平考试数学试卷(含答案)参考公式：柱体的体积公式：V=Sh(其中S 为柱体的底面面积，h 为高)锥体的体积公式：V=31Sh(其中S 为锥体的底面面积，h 为高) 台体的体积公式：V=)(31''S S S S ++h(其中S ′、S 分别为台体的上、下底面面积，h 为高)球的体积公式：V=π34R 3(其中R 为球的半径) 球的表面积公式：S=4πR 2(其中R 为球的半径)一、选择题 (本题共30道小题，1-10题，每题2分，11-30题，每题3分，共80分，在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求) 1．若集合A=N ，B={x ||x |≤1}，则A ∩B=A ．{0，1}B ．{-1，0，1}C ．{x|-1≤x ≤1}D ．{x|0≤x ≤1} 2．tan120°=A ．33-B ．33C ．3-D ．3 3．等差数列{a n}的通项公式为a n =3n-1，则它的公差是A ．1B ．2C ．3D ．4 4．已知向量a =(1，-1)，b =(-1，2)，则|2a +b |=A ．1B ．2C ．3D ．4 5．若a>b ，则下列不等式成立的是A ． a 2>b 2B ．b a>1 C ．b a 2121< D ． lg(a-b)>0 6．在等差数列{a n }中，a 3=2，a 6+a 10=17，则a 13A ．31B ．64C ．15D ．30 7．对任意实数x ，不等式x 2-2x -a ≥0恒成立，则实数a 取值范围是A ．a ≥-1B ．a ≤-1C ．a <-1D ．a >-1 8．已知点A(2，-1)，B(0，3)，则线段AB 的垂直平分线的方程是A ．2x 十y -3=0B ．2x -y -1=0C ．x -2y +1=0D ．x +2y -3=0 9．函数f (x )=2x +3x 的一个零点所在的区间是A ．(-2，-1)B ．(-1，0)C ．(0，1)D ．(1，2)10．假设某车站每隔5分钟发一班车，若某乘客随机到达该车站，则其等车时间不超过3分钟概率是A ．51 B ．52 C ． 53 D ．54 11．已知平面α⊥平面β，α∩B=l ，若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则A ．m ∥lB ．m ∥nC ．m ⊥nD ．n ⊥l12．若实数x ，y 满足则z=x-3y 的最小值是 A ．34-B ．-10C ．-8D ．4 13．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是A ．21B ．33C ．36D ．45 14．若53cos -=α，παπ<<2，则sin α= A ．2512 B ．2512- C ． 2524 D ．2524-15．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值是A ．23B ．3C ．0D ．21 16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若 a tanC= c sinA ，则△ABC 一定是A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形17．函数f (x )=sin(ϕω+x )(ω>0，0<ϕ<π)的图象如图所示，则ω，ϕ的值分别是A ．1，8πB ．1，85πC ．2，4πD ．2，43π18．在直角三角形ABC 中，A=90°，AB=2，则AB ·BC =A ．-4B ．4x+2≥0y ≥x x+2y-2y ≤0C ．-8D ．819．已知数列{a n }的前n 项和S n ，满足S n =2-a n ，则S 5=A ．31B ．63C ．1631 D ．3263 20．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若B=60°，a =1，b =3，则c ＝A ．1B ．2C ．2D ．3 21．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA=CB=CC 1，CA ⊥CB ，CC 1⊥底面ABC ，则异面直线AB 1与BC 所成角的余弦值是A ．33 B ．36 C ．22 D ．32 22．右面茎叶图表示是甲、乙两人在5次综合测评成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩概率是A ．54B ．53C ．52D ．5123．已知函数y =f (x )是奇函数，当x <0时，f (x )=x 2+ax ，且f (1)=2，则a ＝A ．-1B ．1C ．-3D ．3 24．若直线x+y+1=0与圆x2+y2-6y+m=0相切，则m=A ．1B ．17C ．9-22D ．9+22 25．已知函数f (x )=x 2-2ax -3在区间[2，+∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是A ．[1，+∞)B ．[2，+∞)C ．(－∞ ，1 ]D ．(－∞ ，2 ] 26．若正数a ，b 满足a +4b =ab ，则a +b 的最小值是A ．10B ．9C ．8D ．627．如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱侧面积之比是A ．3：2B ．2：3C ．1：2D ．1：128．三角形三条中线的交点称之为三角形的重心，已知G 为△ABC 的重心，AB =a ，AC =b ，则BG =A ．32-a +31b B ．31-a －31bC ．32-a －31bD ．31-a +32b29．过坐标原点O 的直线l 与圆C ：4)32(22=+-y x 交于A ，B 两点，若OA OB 2=，A ．63±B ．33± C ．±1 D ．3±30．若对函数y =f (x )图象上任意一点A ，在其图象上均存在点B ，使得OA ⊥OB(O 为坐标原点)则称该函数为“好函数”，给出下列4个函数：①f(x)=x1; ②f (x )=x +1; ③f(x)=-x 2+2x +3; ④f (x )=2x 其中“好函数”的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3二、解答題(本题共3道小题，31题6分，32题7分，33题7分，共20分，解答应写出文字说明、演算步驟或证明过程)31．已知数列{a n }为等比数列，且a 1=1，8a 2-a 5=0(I)求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)求数列{a n +1}的前n 项和S n 。

2024年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试数学试卷含答案

2024年北京市第二次普通高中学业水平合格性考试（一）（答案在最后）第一部分（选择题共60分）一、选择题：共20小题，每小题3分，共60分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{}2,1,0A =--，{}1,1,2=-B ，则A B =（）A.{}1- B.{}2,2- C.{}2,1,0,2-- D.{}2,1,0,1,2--【答案】D 【解析】【分析】由集合并集的定义即可得到答案.【详解】{}1,2,0,1,2A B =-- 故选：D2.函数()()ln 6f x x =+的定义域为（）A.()6,-+∞ B.()6,+∞ C.(),6-∞- D.(),6-∞【答案】A 【解析】【分析】由60x +>即可求解.【详解】由解析式可知，60x +>，及6x >-，所以定义域为()6,-+∞，故选：A3.在复平面内，复数23i z =-对应的点的坐标为（）A.()2,3 B.()2,3- C.()2,3-- D.()2,3-【答案】D 【解析】【分析】复数i z a b =+对应的点为(),a b 即可求解.【详解】因为23i z =-，所以对应的点的坐标为()2,3-，故选：D4.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面,ABC D 是BC 的中点，则直线1DC （）A.与直线AC 相交B.与直线AC 平行C.与直线1AA 垂直D.与直线1AA 是异面直线【答案】D 【解析】【分析】由直三棱柱的特征逐项判断即可.【详解】易知三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，由图易判断1DC 与AC 异面，AB 错误；因为11AA CC ∥,1DC 与1CC 相交但不垂直，所以1DC 与直线1AA 不垂直，C 错误；由图可判断1DC 与直线1AA 是异面直线，D 正确.故选：D5.如图，四边形ABCD 是正方形，则AC AB -=（）A.ABB.BCC.CDD.DA【答案】B 【解析】【分析】由三角形法则即可求解.【详解】AC AB -= BC.故选：B6.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，则()()11f f +-=（）A.1-B.0C.1D.2【答案】B 【解析】【分析】根据奇函数的性质求解即可.【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()11f f -=-，即()()011f f +-=.故选：B.7.在下列各数中，满足不等式()()120x x -+<的是（）A.2-B.1-C.1D.2【答案】B 【解析】【分析】解二次不等式，判断数是否在解集内即可得到答案.【详解】解不等式()()120x x -+<得2<<1x -.故选：B.8.命题“2,10x x ∀∈+≥R ”的否定是（）A.2,10x x ∃∈+≥RB.2,10x x ∀∈+>RC.2,10x x ∃∈+<RD.2,10x x ∀∈+<R 【答案】C 【解析】【分析】由全称命题的否定为特称命题即可求解.【详解】2,10x x ∀∈+≥R 的否定为：2,10x x ∃∈+<R .故选：C 9.22ππcos sin 66-=（）A.12B.33C.22D.2【答案】A【分析】根据条件，利用二倍角公式及特殊角的三角函数值，即可求解.【详解】因为22πππ1cos sin cos 6632-==，故选：A.10.在下列各数中，与cos10︒相等的是（）A.sin80︒B.cos80︒C.sin170︒D.cos170︒【答案】A 【解析】【分析】由半角和全角诱导公式逐项化简即可；【详解】对于A ，()sin80sin 9010cos10°=°-°=°，故A 正确；对于B ，()cos80cos 9010sin10°=°-°=°，故B 错误；对于C ，()sin170sin 18010sin10︒=︒-︒=︒，故C 错误；对于D ，()0c cos 1810co os170s10°=°-=-°，故D 错误；故选：A.11.在下列函数中，在区间()0,∞+上单调递减的是（）A.()3xf x = B.()2log f x x = C.()2f x x= D.()13log f xx =【答案】D 【解析】【分析】由指数函数、对数函数以及幂函数的单调性逐项判断即可得.【详解】对A ：()3xf x =在R 上单调递增，故A 错误；对B ：()2log f x x =在()0,∞+上单调递增，故B 错误；对C ：()2f x x =在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，故C 错误；对D ：()13log f x x =在()0,∞+上单调递减，故D 正确.故选：D.12.已知x ∈R ，则“4x >”是1>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】【分析】判断两个命题的关系，当p q ⇒时，p 是q 充分条件；当p q ⇒/时，p 是q 不充分条件；当q p ⇒时，p 是q 必要条件；当q p ⇒/时，p 是q 不必要条件.【详解】当4x >21>=>，∴“4x >”是1>”充分条件；1>时，1x >，此时3x =满足要求，而34<，故4x >不一定成立，∴“4x >”是1>”不必要条件.故选：A.13.在平面直角坐标系xOy 中，以O 为顶点，Ox 为始边，终边在y 轴上的角的集合为（）A.{}2π,k k αα=∈Z B.{}π,a k k α=∈Z C.ππ,2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z D.π,2k k αα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭Z 【答案】C 【解析】【分析】结合角的定义即可得解.【详解】当终边在y 轴非负半轴上时，有π2π,2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ，当终边在y 轴非正半轴上时，有3π2π,2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ，故终边在y 轴上的角的集合为ππ,2k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z .故选：C.14.在ABC V 中，1,2,60a b C ==∠=︒，则c =（）A.B.C.D.3【答案】A 【解析】【分析】由余弦定理即可求解.【详解】由22212cos 1421232c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，所以c =.故选：A15.下图是甲、乙两地10月1日至7日每天最低气温走势图.记这7天甲地每天最低气温的平均数为1x ，标准差为1s ；记这7天乙地每天最低气温的平均数为2x ，标准差为2s .根据上述信息，下列结论中正确的是（）A.1212,x x s s <<B.1212,x x s s <> C.1212,x x s s >< D.1212,x x s s >>【答案】B 【解析】【分析】分析统计图中对应信息得出对应量的结果即可.【详解】甲地1至7日最低气温均低于乙地，则甲地最低气温平均值也会小于乙地，即12x x <；标准差时反应一组数据的波动强弱的量，由图可知甲地最低气温明显波动性较大，则标准差值要大，即12s s >.故选：B16.函数()π2sin 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一个单调递增区间是（）A.[]π,0- B.[]π,π- C.[]0,π D.[]0,2π【答案】A 【解析】【分析】利用诱导公式化简()f x ，再结合cos x 的图象性质可得结果.【详解】()π2sin 2cos 2f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，由cos x 的图象可知()f x 在[]π,0-，[]π,2π上单调递增，[]0,π上单调递减，故A 正确，BCD 均错误.故选：A.17.已知,a b c d >>，则下面不等式一定成立的是（）A.a d b c +>+B.a d b c +<+C.a d b c ->-D.a d b c-<-【答案】C 【解析】【分析】由不等式的性质及特例逐项判断即可.【详解】对于ABD:取4,3,2,1a b c d ====，满足,a b c d >>，显然a d b c +>+和a d b c +<+，a dbc -<-都不成立；对于C ：由c d >可得d c ->-，故a d b c ->-成立.故选：C18.2023年杭州亚运会的三个吉祥物分别是“琮琮”“莲莲”“宸宸”．“琮琮”代表世界遗产良渚古城遗址；“莲莲”代表世界遗产杭州西湖；“宸宸”代表世界遗产京杭大运河．某中学学生会宣传部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机抽取2名负责吉祥物的宣传工作，则这2名学生来自不同年级的概率为（）A.19 B.29C.13D.23【答案】D 【解析】【分析】算出基本事件的总数、随机事件中的基本事件的个数后可求概率.【详解】设A 为“2名学生来自不同年级”，则总的基本事件的个数为24C 6=，A 中基本事件的个数为224⨯=，故()4263P A ==，故选：D.19.在区间[],5a 上，()2x f x =的最大值是其最小值的4倍，则实数a =（）A.1 B.2 C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】根据条件，利用()2xf x =的单调性，得到3242a =⨯，即可求解.【详解】()2xf x =区间[],5a 上单调递增，又()2af a =，()55232f ==，所以3242a =⨯，即3282a ==，解得3a =，故选：C.20.小明同学在通用技术课上，制作了一个半正多面体模型．他先将正方体交于同一顶点的三条棱的中点分别记为,,A B C ，如图1所示，然后截去以ABC V 为底面的正三棱锥，截后几何体如图2所示，按照这种方法共截去八个正三棱锥后得到如图3所示的半正多面体模型．若原正方体的棱长为6，则此半正多面体模型的体积为（）A.108B.162C.180D.189【答案】C 【解析】【分析】正方体的体积减掉8个以ABC V 为底面的正三棱锥的体积即得此半正多面体模型的体积.【详解】设此半正多面体模型的体积为V ，则3311868318032V V V =-=-⨯⨯⨯=正方体正三棱锥.故选：C.第二部分（非选择题共40分）二、填空题：共4小题，每小题3分，共12分．21.66log 4log 9+=_________．【答案】2【解析】【分析】由同底数的对数计算公式化简，即可得出结果.【详解】66662log 4log log 949log 36⨯+===.故答案为：2.22.已知()22,0,2,0,x x f x x x +<⎧=⎨-+≥⎩则()1f -=_________；()f x 的最大值为_________．【答案】①.1②.2【解析】【分析】第一空直接代入即可，第二空分别计算两段的最大值，比较即可求解.【详解】由解析式可知：()11f -=，当0x <，易知()2f x <，当0x ≥，()222f x x =-+≤，当0x =时，取最大值2，所以()f x 的最大值为2，故答案为：1，223.已知向量,a b在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则a =_________；⋅=a b _________.【答案】①.2②.2-【解析】【分析】向量的模长即向量起点至终点的距离，由图可知结果；向量的数量积等于向量的模乘以另一个向量在这个向量上的投影，由图可知结果.【详解】由图可知2a =，cos ,a b a b a b ⋅=⋅ ，其中cos ,b a b 为b 在a上的投影，由图可知投影长度为1，且方向与a相反，故()cos ,212a b a b a b ⋅=⋅=⨯-=-.故答案为：2；2-.24.某公司,,A B C 三个部门共有100名员工，为调查他们的体育锻炼情况，通过随机抽样获得了20名员工一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）：A 部门 4.5567.59111213B 部门 3.54 5.579.510.511C 部门566.578.5从,,A B C 三个部门抽出的员工中，各随机抽取一人，分别记为甲、乙、丙、假设所有员工的锻炼时间相互独立，给出下列三个结论：①甲该周的锻炼时间超过8小时的概率为12；②甲、乙该周的锻炼时间一样长的概率为156；③乙该周的锻炼时间一定比丙该周的锻炼时间长．其中所有正确结论的序号是_________．【答案】①②【解析】【分析】本意通过古典概型即可判断出①②，B 部门员工运动时间存在比C 部门员工运动时间多的，也存在少的，所以无法的结论③，从而得出答案.【详解】①A 部门共有8名员工，运动时间超过8小时的有4名员工，∴由古典概型可得甲该周的锻炼时间超过8小时的概率为12，故①正确；②A 、B 两部门各有员工8和7名，随机各抽取一名员工共有8756⨯=种情况，其中运动时间相同的情况只有1种，∴甲、乙该周的锻炼时间一样长的概率为156，故②正确；③当抽取出来的乙运动时间为4小时，抽取出来的丙运动时间为7小时，此时不满足乙该周的锻炼时间一定比丙该周的锻炼时间长，故③不正确.故答案为：①②三、解答题：共4小题，共28分．解答应写出文字说明，演算步聚或证明过程．25.已知函数()22f x x x b =-+的部分图象如图所示．（1）求()1f 的值；（2）求函数()()3g x f x =-的零点．【答案】（1）()11f =-（2）1-，3【解析】【分析】（1）根据图象可知()00f =，即可求解函数解析式，再代入求值；（2）根据零点的定义，解方程，即可求解.【小问1详解】因为()()22,00f x x x b f =-+=，所以0b =．所以()22f x x x =-．所以()11f =-．【小问2详解】因为()22f x x x =-，所以()()()()232331g x f x x x x x =-=--=-+．令()0g x =，得121,3x x =-=．所以()g x 的零点为1-，3．26.已知电流i （单位：A ）关于时间t （单位：s ）的函数解析式为π5sin(100π),[0,)3i t t =+∈+∞．（1）当2t =时，求电流i ；（2）当t m =时，电流i 取得最大值，写出m 的一个值．【答案】（1）A 2；（2）1600（答案不唯一，1,N 60050k m k =+∈）.【解析】【分析】（1）把2t =代入，结合诱导公式及特殊角的三角函数值计算即得.（2）利用正弦函数的性质求出m 的表达式即可得解.【小问1详解】函数π5sin(100π[0,)3i t t =+∈+∞，当2t =时，ππ5sin(200π)5sin A 332i =+==.【小问2详解】当t m =时，电流i 取得最大值，则ππ100π2π,N 32m k k +=+∈，解得1,N 60050k m k =+∈，所以m 的一个值为1600.27.如图，在三棱锥P ABC -中，,,,AC BC AB PA D E =⊥分别是,AB PB 的中点.（1）求证：//PA 平面CDE ；（2）求证：AB CE ^.请先写出第（1）问的解答过程，然后阅读下面第（2）问的解答过程.证明：（2）因为,AC BC D =是AB 的中点，所以①_________.因为AB PA ⊥，由（1）知，//PA DE ，所以②_________所以③_________.所以AB CE ^.在第（2）问的解答过程中，设置了①～③三个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个符合逻辑推理.请选出符合逻辑推理的选项，并填写在横线上（只需填写“A”或“B”）.空格序号选项①（A ）AB CD ⊥（B ）AB CD =②（A ）AB DE ⊥（B ）//PA 平面CDE ③（A ）AB ⊥平面PBC （B ）AB ⊥平面CDE【答案】（1）证明见解析（2）答案见解析【解析】【分析】（1）由中位线得到线线平行，然后得到线面平行，即得证；（2）等腰三角形三线合一得到线线垂直，由（1）的结论和条件得到另一组垂线，从的证明面面垂直.【小问1详解】在PAB 中，因为D ，E 分别是AB ，PB 的中点，所以//PA DE ，因为PA ⊄平面CDE ，DE ⊂平面CDE ，所以//PA 平面CDE .【小问2详解】①A ，②A ，③B.28.已知()f x 是定义在R 上的函数．如果对任意的12,x x ，当12x x ≠时，都有()()212101f x f x x x -<<-，则称()f x 缓慢递增．如果对任意的12,x x ，当12x x ≠时，都有()()212110f x f x x x --<<-，则称()f x 缓慢递减．（1）已知函数()f x kx b =+缓慢递增，写出一组,k b 的值；（2）若()f x 缓慢递增且()12f =，直接写出()2024f 的取值范围；（3）设()()g x f x x =-，再从条件①、条件②中选择一个作为条件，从结论①、结论②中选择一个作为结论，构成一个真命题，并说明理由．条件①：()f x 缓慢递增；条件②：()f x 单调递增．结论①：()g x 缓慢递减；结论②：()g x 单调递减．【答案】（1）1,02k b ==（2）()2,2025（3）条件①和结论①为真命题，条件①和结论②为真命题，答案见解析【解析】【分析】（1）根据缓慢递增函数定义，代入可求得01,k b <<为任意值，即可求解；（2）根据缓慢递增函数定义，代入可求得()2024f 的取值范围；（3）先确定条件条件①：()f x 缓慢递增；根据缓慢递增函数定义可确定结论①：()g x 缓慢递减，根据条件条件①：()f x 缓慢递增，根据缓慢递增函数定义可确定结论①：()g x 单调递减.若()f x 单调递增不妨设()3f x x =，代入()()212120f x f x x x -=>-，可得两结论都不满足.【小问1详解】已知()f x kx b =+是定义在R 上的缓慢递增，如果对任意的12,x x ，当12x x ≠时，都有()()2121212101f x f x kx b kx b x x x x ---+<=<--，则可得01,k b <<为任意值，所以可得1,02k b ==；【小问2详解】若()f x 缓慢递增且()12f =，根据定义可得()()120241020241f f -<-<，将已知代入化简可得()520242202f <<，所以()2024f 的取值范围为()2,2025【小问3详解】若选择条件①和结论①，构成的真命题为如果()f x 缓慢递增，那么()g x 缓慢递减．理由如下：因为()f x 在R 上缓慢递增，所以对任意的12,x x ，当12x x ≠时，都有()()212101f x f x x x -<<-．因为()()g x f x x =-，所以()()()()()()212211212121311g x g x f x x f x x f x f x x x x x x x ---+-==----．所以()()212110g x g x x x --<<-．所以()g x 在R 上缓慢递减．若选择条件①和结论②，构成的真命题为如果()f x 缓慢递增，那么()g x 单调递减．理由如下：因为()f x 在R 上缓慢递增，所以对任意的12,x x ，当12x x ≠时，都有()()212101f x f x x x -<<-．因为()()g x f x x =-，所以()()()()()()212211212121211g x g x f x x f x x f x f x x x x x x x ---+-==----．所以()()21210g x g x x x -<-．所以()g x 在R 上单调递减．而条件②：()f x 为单调递增函数，不妨设()3f x x =，则()()2g x f x x x =-=，根据题意代入()()212121212221g x g x x x x x x x --==>--，不满足新的定义，所以()f x 为单调递增函数不能推出()g x 缓慢递减；也不能推出()g x 单调递减.【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；（3）将已知条件代入新定义的要素中；（4）结合数学知识进行解答.。

2023年7月浙江高中学业水平考试数学试卷试题真题(含答案详解)

2023年7月浙江省普通高中学业水平考试数学本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分100分，考试时间80分钟.考生注意：1. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2. 答题时，请按照答题纸上“注意事项〃的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.3. 非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内,作图时可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑.选择题部分（共52分）一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题列出的四个备选项中，只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.己知集合，= {-1,0,1,2}, 3 = {x|x 〉0},则下列结论不正确的是（）B. 0^A(^B A.leAC\BC.D.2.函数*的定义域是（）A.-00,——2B.C.D.1■00,—2#3—,+ oo{、 x > 0} - A\JB3.复数z = i （2 + i ）在复平面内对应的点位于)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.已知平面向量U = （L —1）, 5 = （2,4）,若则实数4 =2A. B. -2 C. D.-115.已知sin[ 0 + -^= cos 。

，贝\\ tan20 =)AMC.2^3丁D.2^36.上、下底面圆的半径分别为尸、2r,高为3尸的圆台的体积为A.771丫3B.217ir3C.（5+27!）兀尹D.（5+7^）*7.从集合｛123,4,5｝中任取两个数，则这两个数的和不小于5的概率是（）3749A.—B.—C.—D.—5105108.大西洋畦鱼每年都要逆游而上，游回产地产卵.研究畦鱼的科学家发现鲤鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为v=klog3盐，其中。

表示畦鱼的耗氧量的单位数.若一条畦鱼游速为2m/s时耗氧量的单位数为8100,则游速为lm/s的畦鱼耗氧量是静止状态下畦鱼耗氧量的（）A.3倍B.6倍C.9倍D.12倍9.不等式（x-e）（e^-l）<0（其中e为自然对数的底数）的解集是（）A.{x|0<x<1}B.(x0<x<e}C.{x|xv0或x>l}D.{x|xvO或x>e}10.已知。

2023年7月辽宁高中学业水平合格考数学试卷真题(含答案)

(1)cos ,a b ；(2)
()()
2a b a b +⋅- ．18．某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、且各轮问题能否回答正确互不影响．求：(1)该选手进入第三轮考核才被淘汰的概率；(2)该选手至多进入第二轮考核的概率．
19．
《九章算术》作为中国古代数学专著之一，在其堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑形的四面体的统称.如图所示，ABCD (1)求证：三棱锥1A ABC -(2)若4AB =，3AD =20．已知函数()2sin f x =(1)求()f x 的图象的对称中心和对称轴；(2)写出()f x 的单调递增区间；(3)当ππ,33x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
时，求21．已知()f x 为定义在(1)0x <时，()f x 的解析式；
f x≤的解集．
(2)不等式()1
选项C ，若αβ⊥，βγ⊥，则
选项D ，若l m ⊥，l α∥，则如图，设直线11B C 为m ，直线满足l m ⊥，l α∥，但m α⊂故选：A.5．C
【分析】根据对数函数所过定点，令【详解】因为对数函数()f x 所以令211x +=，解得0x =，
此时()0log 10a f ==，即(f 故选：C ．6．C
【分析】根据正方体的体对角线求得球的半径，进而求得球的体积【详解】由正方体的对角线为其外接球的直径()
2
2222333R =++，解得R =
所以外接球的体积343πV R =
【详解】
1。

2024年6月福建省普通高中学业水平合格性考试数学含答案

2024年6月福建省普通高中学业水平合格性考试数学试题（考试时间：90分钟；满分：100分）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。

第I卷1至3页，第II卷4至6页。

注意事项：1．答题前，考生务必将自己的考生号、姓名填写在试题卷、答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的考生号、姓名与考生本人考生号、姓名是否一致。

2．第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

第II卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答。

在试题卷上作答，答案无效。

3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。

第Ⅰ卷（选择题57分）一、选择题：本题共19小题，每小题3分，共57分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．集合A={1，2，3，4}，B={0，1，2}，则A∩B=A．{1，2}B．{0，1}C．{3，4}D．{2，3}2．已知函数f(x)=lgx，则f(10)=A．1B．0C．10D．23．sin(2π+α)=A．cosαB．sinαC．－cosαD．－sinα4．已知函数y=f(x)在[－1，2]上的图像如图，则函数单调递增区间为A．[0，1]B．[－1，0]C．[1，2]D．[－1，2]5．圆柱的底面半径和高都是1，则该圆柱的体积为A．π3B．π4C．πD．π26．某高中开设7门课，3门是田径，某学生从7门中选一门，选到田径的概率为A．13B．17C．47D．377．函数f(x)=√x−1的定义域为A．{x|x≥－1}B．{x|x≥1}C．{x|x≤－1}D．{x|x≤1}8．已知平面α、β，α//β是α与β无公共点的A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．既不充分也不必要条件D．充分必要条件，则cosα为9．已知α是第一象限角，sinα=45A．34B．35C．43D．4510．不等式(x－1)(x－2)<0的解集为A．{x|－2<x<－1}B．{x|1<x<2}C．{x|x≤－1}D．{x|x>2或x<1}11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，B1D1所成角的大小为A．45∘B．30∘C．90∘D．60∘12．已知向量a=(1，2)，b=(m，－1)，若a⊥b，则m的值为A．－12B．－2C．2D．12。