高一数学函数的零点课件

（ A）
A （1，2） C （0，1）
B （ – 2 ，0） D （0，12 ）
4、已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如 下的x,f(x)对应值表：
x1 23456 7 f(x) 23 9 –7 11 –5 –12 –26
那么函数在区间[1，6]上的零点至少有（ C ）个
A5 B4 C 3 D 2
在十六世纪,人们已经找到了三
次和四次方程的求根公式,但对高于
Abe l
四次的代数方程,类似的努力却一直 没有成到功了. 十九世纪,根据阿贝尔
(Ab来自百度文库l)和伽罗瓦(Galois)的研究,人
们认识到高于四次的代数方程不
Galoi 存在求根公式.
s
探一探
求函数 f ( x) x3 x 1 一个零(点精(确精度确度0.1).
则m的取值范围是（ B ）
A m> – 2 B m< – 2 C m>2 D m<2
2、函数f(x)=x3-16x的零点为( D )
A (0,0),(4,0)
B 0,4
C (– 4 ,0), (0,0),(4,0) D – 4 ,0,4
3、函数f(x)= – x3 – 3x+5的零点所在的大致区间为
（-2，-1）上有零点. 证明：因为：f(-2)=-3＜0
f(-1)=1＞0
且函数f(x)在区间( -2，-1 )上的图象是 不间断的,所以函数f(x)在区间（-2，-1）上 存在零点.
拓展延伸:函数f(x)=x3+x2+1在区间(-2,-1)
上有零点，那么它更靠近那个端点呢？
练一练
1、如果二次函数y=x2+2x+(m+3)有两个不同的零点，
y
y1 x
O
x
零点存在性的探索
结 论结 论
如果函数 y f (x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，
并且有 f (a) f (b) 0，那么，函数 y f (x)在区间a,b内有零点，
讨论：（1）如果函数具备上述两个条件时，
函数有多少零点呢？ （2）如果把结论中的条件“图象连续不断” 除去不要，又会怎样呢？
3.根据精确度得出近似解
二分法
逼 近 思 想
数形结合
转 化 思 想
谢谢大家！
y
0a
bx
y
0a
bx
y 0a
y 0a
bx bx
零点唯一性的探索
如果函数 y=f(x) 在[a,b]上,图象是连续 的，并且在闭区间的两个端点上的函数 值互异（即f(a) ·f(b)﹤0）,且是单调函 数那么，这个函数在(a,b)内必有惟一的 一个零点。
例2：试证明函数f(x)=x3+x2+1在区间
定义：每次取中点，将区间一分为二，再经 比较，按需要留下其中一个小区间的方法叫 二分法，也叫对分法，常用于：
查找线路电线、水管、气管等管道线路故障、 实验 设计、资料查询；
也是方程求近似解的常用方法！
分解因式法;
公式法; 转化成求函数的零点法; 图象法等等
我国古代数学家已比较系统地解 决了部分方程求解的问题,在《九 章算术》,北宋贾宪的《黄帝九章 算法细草》,南宋秦九韶的《数书 九章》中均有记载.
法叫做二分法。
※ 给定精确度ε,用二分法求函数f(x)零点
近似值的 步骤:
1.确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε 2.求区间(a,b)的中点a 2 b ,记为c; 3.计算f(c)： (1)若f (c) 0 ,则c 就是函数的零点;
(2)若f (a) f (c) 0 ,则b令 c
收获与体会:
1．函数零点的定义 2．等价关系 3．函数的零点的存在性以及惟 一性的判断
用二分法求方程的近似解
竞猜游 戏
请你思考
从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点
发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般
至少需要检查接点的个数为
个。
上海A B C D E F G H I J K L M N O 旧金 山
－1
－2 －3
. －4
2
x 1. . . －1 0 1 2 x
x1=－1,x2=3
x1=x2=1
x2－2x+3=0 y= x2－2x+3
y
.5 . .4 . 3.
2 1
－1 0 1 2 3 x
无实数根
函数图象与X (－1,0)、(3,0)
轴的交点
(1 , 0)
无交点
问题2 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元 二次方程及相应的二次函数的图象与x轴交点的关系， 上述结论是否仍然成立？
判别式△ =b2－4ac
△＞0
△=0
方程
两个不相等
有两个相等的
ax2 +bx+c=0(a>0)的根 的实数根x1 、x2 实数根x1 = x2
函数
y= ax2 +bx+c(a>0) 的图象
y
x1 0
x2 x
y 0 x1 x
△＜0 没有实数根
y
0
x
函数的图象 与 x 轴的交点
(x1,0) , (x2,0)
解: f (1) 0, f (2) 0
0.01)
区间
中点的值 中点函数值符号 区间长度
（1，2） 1.5 （1，1.5） 1.25 （1.25，1. 5） 1.375 （1.25，1.375）1.3125 （1.3125，1.375）
f(1.5)>0 1 f(1.25)<0 0.5 f(1.375)> 0.25 f0(1.3125)<0 0.125
f ( x) 2x 3x 7的零点近似值
解:令 f ( x) 2x 3x 7
自选练习 1
⑴ 下列函数图像与x轴均有交点,其中不能
用二 分法求图中交点横坐标B的是( )
y
y
y
y
x
x
x
A
B
C
温馨
提示 二分法只能用来求变号零
点
x
D
⑵ 判断是非
用二分法求f ( x) x3 x2 3x 2
函数的零点
高一数学 马君
问题·探究
问题1 求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次 函数图象的简图，并写出函数的图象与x轴的交点坐标
方程 函数
函 数 的 图 象
方程的实数根
x2－2x－3=0 x2－2x+1=0 y= x2－2x－3 y= x2－2x+1
y
.
2
.
.y
.
.1
.
－1 0 1 2 3
0.0625
| 1.375 1.3125| 0.0625 0.1
∴函数的零点近似值可取为1.3125.
议一议
※二分法 对于在区间[a,b]上连续不断且f(a) f(b)<0
的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点
所在的区间一分为二,使区间的两个端点
逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方
(x1,0)
没有交点
函数的零点
定义：
对于函数y=f(x),使f(x)=0的实数x叫做函数 y=f(x)的零点。
定义辨析：函数y x2 2x 3的零点是： 求函数零点的步骤：
(1)令f(x)=0; (2)解方程f(x)=0； (3)写出零点
等价关系
方程f(x)=0有实数根
数
函数y=f(x)的图象与x轴有 交点
形
数
函数y=f(x)有零点
零点的求法
图象法
代数法
函数的零点的判定
例1:求证函数f（x）=2x2+3x-７有 两个不同的零点．
问题探究 零点存在性的探索
问题 3：函数 y＝f(x)在某个区间上是否一定有零点？ 怎样的条件下，函数 y＝f(x)一定有零点？
探究: （Ⅰ）观察二次函数 f (x) x2 2x 3的图象： ○1 在区间(-2,0)上有零点______； f (2) _______， f (0) _______, f (2) · f (0) _____0（＜或＞）． ②在区间(2,4)上有零点______； f (2) · f (4) ____0 （＜或＞）．
(此时x零0 (a,c)
点(3)若f (c) f (b) );0 ,则a令 c
(此时x0零 (c,b)
点4.判断是否)达;到给定精确度ε:即若| a b |
则得到零点值a(或b);否则重复2~4.
试一试
借助计算器或计算机用二分法求方程
2x 3x 7 的近似解(精确度0.1).
上零点的近似值时f, (出1.5) 0.875
则此时可推知零点
.
x0 (1,1.5)
在(1,2) ,
(1.5,2)
温馨
提示 端点函数值异号的区间内有零点
方程 用二分法求 函数 方程的近似解
小结
数学
1.寻找解所在的区间
数学
源于生活 (1)图像法 (2)试函数值法 用于生活
2.不断二分解所在的区间
零点存在性的探索
观察函数的图象
①在区间(a,b)上______(有/无)零点； f(a)·f(b)_____0（＜或＞）．
② 在区间(b,c)上______(有/无)零点； f(b)·f(c) _____ 0（＜或＞）．
③ 在区间(c,d)上______(有/无)零点； f(c)·f(d) _____ 0（＜或＞）．
（3）如果把结论中的条件“f(a) ·f(b)＜0’’去掉呢？
（4）若函数y=f(x) 在区间(a, b)内有零点， 一定能得出f(a) ·f(b)<0的结论吗？
（5）在什么样的条件下，零点的个数是惟一的呢？
如果函数 y f (x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，
并且有 f (a) f (b) 0，那么，函数 y f (x)在区间a,b内有零点，