高一数学函数的零点课件
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函数的零点与方程的解课件高一上学期数学人必修第一册
对未来学习的展望
深入学习函数和方程的概念，理解其本质和联系 掌握求解函数零点和方程解的方法和技巧，提高解题能力 培养逻辑思维能力和抽象思维能力，为后续学习打下坚实基础 激发学习兴趣，培养良好的学习习惯和态度，为未来的数学学习做好准备
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汇报人：
步骤：找出两个因式，使它们的乘积等于一元二次方程
例子：求解方程x^2-4x+4=0 注意事项：因式分解法适用于二次项系数为1的情况，如果二次项系数不为 1，需要先提取公因式
04
函数零点与方程解的关系
函数零点与方程解的等价关系
函数零点：函数值为0的点 方程解：满足方程的未知数的值 等价关系：函数零点与方程解之间存在一一对应关系 证明方法：利用函数图像和方程的解进行证明
一元二次方程的 判别式：b² - 4ac
一元二次方程的 根：x1, x2
配方法求解一元二次方程
配方法的基本思 想：将一元二次 方程转化为二次 函数，通过配方 法求解
配方法的步骤： 首先将一元二次 方程转化为二次 函数，然后利用 二次函数的性质 求解
配方法的应用： 求解一元二次方 程，如求解 x^2+2x+1=0
通过函数图像求方程的解
介绍函数图像的概念和作用
举例说明如何通过函数图像求解 方程
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
讲解如何通过函数图像找到函数 的零点
总结通过函数图像求方程解的方 法和步骤
通过方程解求函数的零点
函数零点的定义：函数在某 一点的值等于0
关系：方程的解就是函数的 零点
方程解的定义：方程的解是 指满足方程的未知数的值
函数的零点与方程的解课件高 一上学期数学人必修第一册
高一数学新人教A版必修1课件：第3章函数的应用3.1.1方程的根与函数的零点
阅读教材 P86～P87“探究”以上部分，完成下列问题． 1．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与根的关系
Δ>0
Δ＝0
二次函数y＝ax2 ＋bx＋c(a>0)的 图象
与x轴的交点
(x1,0)，(x2,0)
(x1,0)
Δ<0 无交点
2.函数的零点
对于函数 y＝f(x)，把使 f(x)＝0的实数 x 叫做函数 y＝f(x)的零点．
法二 由x2－1x＝0，得x2＝1x. 令h(x)＝x2(x≠0)，g(x)＝1x. 在同一坐标系中分别画出h(x)和g(x)的图象，如图所示．可知两函数图象只有 一个交点，故函数f(x)＝x2－1x只有一个零点．
判断函数存在零点的 3 种方法 1．方程法：若方程 f(x)＝0 的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判
函数零点个数的判断
判断下列函数零点的个数． (1)f(x)＝x2－7x＋12；(2)f(x)＝x2－1x. 【精彩点拨】 (1)中f(x)为二次函数，解答本题可判断对应的一元二次方程 的根的个数；(2)中函数零点可用解方程法或转化为两个熟知的基本初等函数y＝ x2与y＝1x的图象交点的个数．
【自主解答】 (1)由f(x)＝0，即x2－7x＋12＝0，得Δ＝49－4×12＝1>0， ∴方程x2－7x＋12＝0有两个不相等的实数根3,4.∴函数f(x)有两个零点． (2)法一 令f(x)＝0，即x2－1x＝0. ∵x≠0，∴x3－1＝0.∴(x－1)(x2＋x＋1)＝0. ∴x＝1或x2＋x＋1＝0. ∵方程x2＋x＋1＝0的根的判别式Δ＝12－4＝－3<0， ∴方程x2＋x＋1＝0无实数根． ∴函数f(x)只有一个零点．
【答案】 B
4.5.1函数的零点与方程的解课件-高一上学期数学人教A版(5)
导入
导入
方程 函数 函数 图象 (简图) 方程的实数根
无实数根 无交点
新课讲授 注：零点不是点，是一个实数.
新课讲授 答案：×，×，×，√.
例题讲解 题型一：列方程求函数的零点
变1：求函数f（x）=lg(x-1)的零点
求函数零点的步骤： (1)令f(x)=0; (2)解方程f(x)=0； (3)写出零点
小结作业
课堂小结： (1)函数零点的概念； （2）函数零点的求法 (3)函数零点存在定理. （4）函数零点所在区间求法
作业： (1)整理本节课的题型； (2)课本P144的1--2题.
例题讲解
例题讲解 题型四：判断零点所在的区间
例题讲解
2.函数f(x)＝lnx＋x3－9的零点所在的区间为( )
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,3)
Hale Waihona Puke D．(3,4)[分析] 根据函数零点的存在性原理判断函数零点所在的区间． [解析] f(1)＝1－9＝－8<0，f(2)＝ln2＋8－9＝ln2－1<0， f(3)＝ln3＋27－9＝ln3＋18>0， ∴f(2)·f(3)<0，∴函数f(x)的零点所在的区间为(2,3)
例题讲解
探索新知
探索新知
探索新知
探索新知
探索新知
探索新知
辨析2：判断正误.
(1)函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，
f(a)f(b)<0时，函数在区间(a，b)上只有一个零点？
（
）
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，一定有f(a)f(b)<0 （
）
（3）函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，
函数的零点与方程的解课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
上有零点.
（1）函数图象与轴有什么关系？
（2）你认为应如何利用函数()的取值来刻画这种关系？
() = 2 − 2 − 3
新知探索
探究3：对于三次函数() = 3 ,观察图象，发现它在区间[−, ]上有零点.
（1）函数图象与轴有什么关系？
（2）你认为应如何利用函数()的取值来刻画这种关系？
的解.
令(1 ) = ，(2 ) = −2 + 6.而要求
= −2 + 6的解就是要看(1 ) = ，
(2 ) = −2 + 6 的图象有几个交点.由图知，
两函数图象有一个交点，即原方程有一个解.
回归问题，深化理解
2
练习 求方程 − = 0的实数解个数
第四章
指数函数与对数函数
4.5 函数的应用(二)
4.5.1 函数的零点与方程的解
问题引入
思考 判断下列方程是否实数解？判断依据？
回顾历史
公元50年—100年的《九章算术》
中记载了一次方程、二次方程和三次
方程根的解法.
7世纪，隋唐数学家王孝通找
出了求三次方程正根的数值解法.
13世纪·南宋秦九韶提出了正负开
新知探索
问题4 若函数 y=f(x)在区间 [a,b]满足f (a)·f (b)<0，函数在区间(a,b)上有
零点吗？
函数 = ()在区间[, ]上的图象是一条连续不断的曲线
函数零点存在定理
如果函数 = ()在区间[, ]上的图象是一条连续不断的曲线，且有
()() < 0，那么，函数 = ()在区间(, )内至少有一个零点，即存在
总结归纳
函数 在区间[, ]上连续
高一 数学 函数的零点与二分法课件
二分法在寻找函数零点中的应用
二分法是一种通过不断将区间 一分为二来逼近函数零点的数 值方法。
在给定一个连续函数和一个闭 区间，不知道零点所在的大致 位置时，可以使用二分法来找 到零点。
二分法的基本思想是，如果函 数在区间两端取值异号，则该 区间内必定存在一个零点。
二分法在解决函数零点问题中的优势
实例
以 $f(x) = x^2 - 2x - 3$ 为例， 其零点为 $x = -1, x = 3$。
高次函数的零点问题
高次函数零点定义
高次函数 $f(x)$ 的零点是满足 $f(x) = 0$ 的 $x$ 值。
零点求解方法
通过解高次方程来找到零点。
实例
以 $f(x) = x^3 - x - 1$ 为例，其零点为 $x = 1, x = -1, x = frac{1}{3}$。
以 $f(x) = x - 3$ 为例，其零点为 $x = 3$。
零点求解方法
通过解方程 $ax + b = 0$ 来找到零 点。
二次函数的零点问题
二次函数零点定义
二次函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 的零点是满足 $f(x) = 0$ 的
$x$ 值。
零点求解方法
通过解二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 来找到零点。
导数法
通过判断导数的正负来判 断函数的单调性，进而找 到函数的零点。
03 二分法原理
二分法的定义
二分法定义
二分法是一种求解实数近似值的方法，通过不断将区间一分 为二，使区间长度逐渐缩小，当区间长度小于给定的误差范 围时，区间内的任意实数近似值即可作为所求的近似解。
函数的零点与方程的解PPT课件(高一数学人教A版必修一册)
高中数学
思考：求下列方程的解并进一步说明其相应函数的
零点是什么？
(1) x2 x 1=0
(2) x 1 =0 x
(3) ln x 2x 6=0
(4) x 2x 2x 6 0
高中数学
例1：求下列方程的解并进一步说明其相应函数的 零点是什么？
(1) x2 x 1=0
解：由于此二次方程的判别式小于0，那么方程没 有实数解，因此相应函数也就没有零点.
解：(3)和(4)是比较复杂的方程，没有求根公式可 用，那么要怎样解决方程解的问题呢？
高中数学
函数的零点与方程的解
函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解，也 就是函数y=f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标．所 以方程f(x)=0有实数解
函数y=f(x)有零点 函数y=f(x)的图象与x轴有公共点．
x2 2x 3=0
高中数学
复习
f (x) x2 2x 3 6
x2 2x 3=0
y5
4
3
f(x)
=
x2
2
2∙x
3
1
8
6
4
2–1 O 12 3 4
6
x8
10方程12 的根为–1和3.
1
2
3
4
高中数学
函数的零点
对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数 f(x)的零点．
高中数学
y
f (x)
O
x
高中数学
思考
对于不具有单调性的函数，要怎样判断其零点 个数呢？
y
f (x)
a Ob
x
高中数学
研究函数零点的主要介绍了两个办法。 1. 借助函数图象； 2. 利用函数以及函数性质.
思考：求下列方程的解并进一步说明其相应函数的
零点是什么？
(1) x2 x 1=0
(2) x 1 =0 x
(3) ln x 2x 6=0
(4) x 2x 2x 6 0
高中数学
例1：求下列方程的解并进一步说明其相应函数的 零点是什么？
(1) x2 x 1=0
解：由于此二次方程的判别式小于0，那么方程没 有实数解，因此相应函数也就没有零点.
解：(3)和(4)是比较复杂的方程，没有求根公式可 用，那么要怎样解决方程解的问题呢？
高中数学
函数的零点与方程的解
函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解，也 就是函数y=f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标．所 以方程f(x)=0有实数解
函数y=f(x)有零点 函数y=f(x)的图象与x轴有公共点．
x2 2x 3=0
高中数学
复习
f (x) x2 2x 3 6
x2 2x 3=0
y5
4
3
f(x)
=
x2
2
2∙x
3
1
8
6
4
2–1 O 12 3 4
6
x8
10方程12 的根为–1和3.
1
2
3
4
高中数学
函数的零点
对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数 f(x)的零点．
高中数学
y
f (x)
O
x
高中数学
思考
对于不具有单调性的函数，要怎样判断其零点 个数呢？
y
f (x)
a Ob
x
高中数学
研究函数零点的主要介绍了两个办法。 1. 借助函数图象； 2. 利用函数以及函数性质.
课件高一数学《方程的根与函数的零点》PPT课件_优秀版
方程x2－2x+1=0与函数y=x2－2x+1
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
1方程的根与函数的零点
函数
的零点是（ ）
（1）当 时，一元二次方程有两个不等的实数
求出下列一元二次方程的实数根，画出相应的二次函数图象，并说出方程的根和函数图象的关系。
3、 函数零点存在的条件
方程x2－2x+3=0与函数y=x2－2x+3
方程的根与函数零点的关系
方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点
练习：判断函数 f(x)2x23x2有几个零点。
注 意：
• 函数的零点并不是以坐标形式出现的“点” 而是实数。
• 函数的零点亦即函数y=f（x）的图像与x轴 交点的横坐标。
问题3
对于任意的函数，如何判定这个函数是否有零点，有 几个零点？
• 若f（a）·f（b）＜0，能推出y=f（x）在 (a，b)有一个零点？
• 若在（a,b)上函数y=f（x）有零点，能否 推出 f（a）·f（b）＜0？
1方程的根与函数的零点
说明这个函数在区间(2,3)内
根
，相应的二次函数的图象与 轴有唯一的
即存在
，使得
，这个 也就是方程
的根。
3、 函数零点存在的条件
样的结 论或者 感受？
结 论？
一般地，如果函数 y f (x)在区间 [a , b ] 上的图 象满足 f(a)f(b)0 那么，函数 y f (x) 在区间 (a, b) 内有一个零点。
即存在 c(a,b) ，使得 f (c)0 ，这个 c也就
是方程 f (x)0的根。
思考
• 对于函数y=f（x）在[a，b] 不是一条连续 不断的曲线？
高中数学高一必修第三章《方程的根与函数的零点》教育教学课件
由图象知g(x)＝lg (x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点， 即f(x)＝2x＋lg (x＋1)－2有且只有一个零点.
反思与感悟
判断函数零点的个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来 确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数.(2)利用 函数图象交点的个数判定函数零点的个数.
反思与感悟
函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的 图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点. 在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标.
跟踪训练1 函数f(x)＝(x2－1)(x＋2)2(x2－2x－3)的零点个数是____4____. 解析 f(x)＝(x＋1)(x－1)(x＋2)2(x－3)(x＋1) ＝(x＋1)2(x－1)(x＋2)2(x－3). 可知零点为±1，－2,3，共4个.
4.下列各图象表示的函数中没有零点的是( D )
函数 ＝ － 的零点个数是 B
个
个
个
无数个
则f(－1)＝0.37－1<0，f(0)＝1－2<0，f(1)＝2.72－3<0，f(2)＝7.40－4
＝3.40>0.由于f(1)·f(2)<0，
∴方程ex－(x＋2)＝0的一个根在(1,2)内.
反思与感悟
在函数图象连续的前提下，f(a)·f(b)＜0，能判断在区间(a，b)内有 零点，但不一定只有一个；而f(a)·f(b)＞0，却不能判断在区间(a，b)内 无零点.
3.1.1 方程的根与函数的零点
主讲老师：
CONTENTS
1 • PART 01学习目标 2 • PART 02问题导学
3 • PART 03题型探究
反思与感悟
判断函数零点的个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来 确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数.(2)利用 函数图象交点的个数判定函数零点的个数.
反思与感悟
函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的 图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点. 在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标.
跟踪训练1 函数f(x)＝(x2－1)(x＋2)2(x2－2x－3)的零点个数是____4____. 解析 f(x)＝(x＋1)(x－1)(x＋2)2(x－3)(x＋1) ＝(x＋1)2(x－1)(x＋2)2(x－3). 可知零点为±1，－2,3，共4个.
4.下列各图象表示的函数中没有零点的是( D )
函数 ＝ － 的零点个数是 B
个
个
个
无数个
则f(－1)＝0.37－1<0，f(0)＝1－2<0，f(1)＝2.72－3<0，f(2)＝7.40－4
＝3.40>0.由于f(1)·f(2)<0，
∴方程ex－(x＋2)＝0的一个根在(1,2)内.
反思与感悟
在函数图象连续的前提下，f(a)·f(b)＜0，能判断在区间(a，b)内有 零点，但不一定只有一个；而f(a)·f(b)＞0，却不能判断在区间(a，b)内 无零点.
3.1.1 方程的根与函数的零点
主讲老师：
CONTENTS
1 • PART 01学习目标 2 • PART 02问题导学
3 • PART 03题型探究
高一数学人教A版必修第一册4.5.1函数的零点与方程的解课件
a
b
a
b
11
思考4：f(x)在[a,b]上图像是连续不断的曲线， 且f(a)·f(b)<0是f(x)在(a,b)上有零点的 充分不必要 条件.
例题讲授
例1 求函数f(x)=lnx+2x－6的零点的个数. 利用零点存在定理，判断函数y=f(x)零点个数
单调 连续
异号
零点唯一
函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是( C )
思考1.若函数y=f(x)的图象在区间[a,b]上连续,
且f(a).f(b)<0, 则y=f(x)在区间(a,b)内
只有一个零点吗？
y
y
b
a
a
x
bx
思考2:若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续, 且f(a).f(b)>0,则y=f(x)在区间(a,b)内有 没有零点吗？
思考3：若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点, 一定能得出f(a).f(b)<0的结论吗？
4 5．函数 f(x)＝2x＋x3－2 在区间(0,1)内的零点个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．3
课堂小结
知识层面： 1、函数零点的定义 2、等价关系 3、函数零点的存在定理
数学思想层面： 数形结合 函数与方程的思想
中外历史上 的方程求解
作业 1、 课本P155 第2, 3题 2、金版P100-P101
A．(－2，－1)
B．(－1,0)
C．(0,1)
D．(1,2)
[ 解析] f(－2)＝e－2－2－2＝e－2－4＝e12－4<0， f(－1)＝e－1－1－2＝1－3<0，
e f(0)＝e0－2＝1－2<0，f(1)＝e－1>0， ∴f(0)·f(1)<0，∴函数 f(x)的零点所在的一个区间为(0,1)．
【课件】函数的零点与方程的解课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
越来越陡
随着的增大
逐渐变缓
图象的变化
问题探究
问题探究
探究3-3
讨论交流“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义.
直线上升
增长速度不变，匀速上升.
对数增长
随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增
长速度平缓.
指数爆炸
随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增
长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”.
种关系？
问题探究
结论
①二次函数 = 2 − 2 − 3在区间(2，4)
内有零点 = 3，它是方程 2 − 2 − 3 = 0的
一个根.
➢
在零点附近，函数图象是连续不断的，并
且“穿过”轴.
➢
函数在端点 = 2和和 = 4的取值异号，
即(2)(4) < 0.
问题探究
探究二
令ℎ = ln ， () = 6 − 2.
在同一个坐标系中作出ℎ ，()的图象.
由图可知ℎ 与()的图象只有一个交点，
则函数 = ln + 2 − 6仅有一个零点，
相应方程ln + 2 − 6 = 0只有一个实数解.
➢探究三：判断函数零点的个数
【变式训练】判断函数() = + − 的零点的个数．
数在区间(，)内有3个零点，
图（2）中函数在区间(，)内
（1）
（2）
仅有1个零点.
函数零点存在定理只能判断出零点是否存在，而不能判断出零点
的个数.
函数零点存在定理
问题4
函数 = ()在区间(，)内有零点，是不是一定有()() < 0？
随着的增大
逐渐变缓
图象的变化
问题探究
问题探究
探究3-3
讨论交流“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的含义.
直线上升
增长速度不变，匀速上升.
对数增长
随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增
长速度平缓.
指数爆炸
随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增
长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”.
种关系？
问题探究
结论
①二次函数 = 2 − 2 − 3在区间(2，4)
内有零点 = 3，它是方程 2 − 2 − 3 = 0的
一个根.
➢
在零点附近，函数图象是连续不断的，并
且“穿过”轴.
➢
函数在端点 = 2和和 = 4的取值异号，
即(2)(4) < 0.
问题探究
探究二
令ℎ = ln ， () = 6 − 2.
在同一个坐标系中作出ℎ ，()的图象.
由图可知ℎ 与()的图象只有一个交点，
则函数 = ln + 2 − 6仅有一个零点，
相应方程ln + 2 − 6 = 0只有一个实数解.
➢探究三：判断函数零点的个数
【变式训练】判断函数() = + − 的零点的个数．
数在区间(，)内有3个零点，
图（2）中函数在区间(，)内
（1）
（2）
仅有1个零点.
函数零点存在定理只能判断出零点是否存在，而不能判断出零点
的个数.
函数零点存在定理
问题4
函数 = ()在区间(，)内有零点，是不是一定有()() < 0？
-高一数学人教A版必修第一册4.5.1函数的零点与方程的解课件
当堂达标
5. 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 中，a·c<0，则函数有________个零点．
2 解析：由 Δ＝b2－4ac>0 得二次函数 y＝ax2＋bx＋c 有两个零点．
当堂达标
6.求方程 logax＋2x－6＝0 的实数解的个数．
解：由 logax＋2x－6＝0 得 logax＝－2x＋6 当 a＞1 时，作 y＝logax 与 y＝－2x＋6 的图象， y＝logax 为增函数，y＝－2x＋6 为减函数，有一个交点．
经典例题
题型三 函数零点个数的判断
总结
1.判断零点的个数时 由 fx＝gx－hx＝0，得 gx＝hx，在同一坐标
系中作出 y1＝gx和 y2＝hx的图象，利用图象判定方程根的个数. 2.已知零点个数求参数时 画出函数图象，将函数零点问题转化为图象 交点问题，从而确定参数的范围.
经典例题
题型三 函数零点个数的判断
当堂达标
3.函数 f(x)＝x－2＋log2x，则 f(x)的零点所在区间为(
)
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
B 解析：f(1)＝－1＋log21＝－1，f(2)＝log22＝1， ∴f(1)·f(2)<0，故选 B．
当堂达标
4.已知函数 f(x)的图象是连续不断的曲线，有如下 x，f(x)的对应值表：
4.5 函数的应用（二） 4.5.1 函数的零点与方程的解
学习目标
素养目标
学科素养
1.理解零点的概念；
2.了解函数的零点与方程根的联系，能利用函数 零点与方程根的关系确定方程根的个数；
3.能够利用零点的存在解决含参问题．
1.数形结合 2.数学运算 3.逻辑推理
4.5.1函数的零点课件-高一上学期数学人教A版必修第一册
函数零点存在定理
如果函数 = ()在区间[, ]上的图象是一条连续不断
的曲线，且有()() < 0，那么，函数 = ()在区间(, )内至少有一个
零点，即存在 ∈ (, )，使得() = 0，这个就是方程() = 0的解.
理解 ： 1.[a,b]局部是连续的
. 2
. 1
. 0
答案：当 ≤ 0时，由() = 2 + 2 − 3得1 = −3，2 = 1（舍去）；
当 > 0时，由() = −2 + 得 = 2 .
所以函数的零点个数为2.故选B.
题型四：判断函数零点的个数
例4.求函数y=| − | − − 的零点的个数
2.有()() <
()在（a,b)内存在零点
练习
题型二：判断零点所在的区间
1
例2.函数() = 2 − 的零点所在的区间是（
1
2
. (1, +∞)
答案：∵
1 1
3 2
. ( , 1)
1
( )
2
1
2
=2 −
1
1
2
）.
. ( , )
1
3
= 2 − 2 < 0，
1
1
(1) = 21 − = 2 − 1 = 1 > 0，
是____.
解析 令|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b，由题意可知函数 y＝|2x
－2|与 y＝b 的图象有两个交点，结合函数图象可知，0<b<2.故实
数 b 的取值范围是(0,2)．
答案 (0,2)
巩固练习
(1)f(x)＝lnx＋x3－9的零点所在的区间为
如果函数 = ()在区间[, ]上的图象是一条连续不断
的曲线，且有()() < 0，那么，函数 = ()在区间(, )内至少有一个
零点，即存在 ∈ (, )，使得() = 0，这个就是方程() = 0的解.
理解 ： 1.[a,b]局部是连续的
. 2
. 1
. 0
答案：当 ≤ 0时，由() = 2 + 2 − 3得1 = −3，2 = 1（舍去）；
当 > 0时，由() = −2 + 得 = 2 .
所以函数的零点个数为2.故选B.
题型四：判断函数零点的个数
例4.求函数y=| − | − − 的零点的个数
2.有()() <
()在（a,b)内存在零点
练习
题型二：判断零点所在的区间
1
例2.函数() = 2 − 的零点所在的区间是（
1
2
. (1, +∞)
答案：∵
1 1
3 2
. ( , 1)
1
( )
2
1
2
=2 −
1
1
2
）.
. ( , )
1
3
= 2 − 2 < 0，
1
1
(1) = 21 − = 2 − 1 = 1 > 0，
是____.
解析 令|2x－2|－b＝0，得|2x－2|＝b，由题意可知函数 y＝|2x
－2|与 y＝b 的图象有两个交点，结合函数图象可知，0<b<2.故实
数 b 的取值范围是(0,2)．
答案 (0,2)
巩固练习
(1)f(x)＝lnx＋x3－9的零点所在的区间为
4.5.1函数的零点与方程的解课件高一上学期数学人教A版
x+x2-3=0有一个根,故函数f(x)=ln x+x2-3有一个零点.
角度2.已知零点个数求参数的取值范围
e , ≤ 0,
【例3—2】 (1)已知函数f(x)=
g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零
ln, > 0,
点,则a的取值范围是
[-1,+∞)
.
解析 函数g(x)=f(x)+x+a存在2个零点,即关于x
2 2
2
所以函数
1
,
2
=
1 x
f(x)= -( ) 的零点的个数等价于方程
2 2
2
等价于函数
h(x)= 与
2
g(x)=
=
1
的解的个数,
2
1
的图象的交点个数,
2
如图所示:
由图可知函数
即方程
2
=
h(x)=2 与
1
只有
2
g(x)=
1
的图象只有
2
1 个交点,
1 个解,即函数 f(x)只有 1 个零点.故选 B.
人教A版 数学必修第一册
课程标准
1.了解函数零点的定义,并会求简单函数的零点.
2.了解函数的零点与方程解的关系.
3.结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理.
基础落实·必备知识一遍过
知识点1 函数的零点
1.代数定义:对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的
实数x
叫做函数
y=f(x)的零点.
1
= ,设
g(x)=x
1
函数的零点与方程的解高一数学上学期同步精讲课件
零点存在定理
添加标题
零点存在定理：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续， 且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a, b)内至少有一个零点。
添加标题
零点存在定理的应用：求解方程f(x)=0在闭区间[a, b]内的解，或者判断函数f(x)在闭区间[a, b]内有无 零点。
添加标题
零点存在定理的证明：利用反证法，假设f(x)在(a, b) 内没有零点，然后推导出矛盾，从而证明零点存在 定理。
20XX
函数的零点与方程的解
汇报人：
目录
01
单击添加目 录项标题
02
函数的零点 概念
03
一元一次方 程的解与函 数零点
04
一元二次方 程的解与函 数零点
05
其他方程的 解与函数零 点
06
利用函数零 点解决实际 问题
01
单击此处添加章节标题
02
函数的零点概念
函数的零点定义
函数的零点：函 数与x轴的交点， 即f(x)=0的解
解
一元一次方程 的根与函数零 点的关系是相
互对应的
通过函数零点 可以求解一元
一次方程
利用函数图像解一元一次方程
函数图像的定义：函数y=f(x)的图像是y与x之间的对应关系 单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼，言简意赅的阐述观点。
一元一次方程的解：方程ax+b=0的解为x=-b/a 单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼，言简意赅的阐述观点。
解一元一次方程的公式：ax+b=0，解 为x=-b/a
解一元一次方程的实例：例如3x+5=1， 解为x=-2
解一元一次方程的应用：例如在解决 实际问题中，如计算利润、成本等问 题时，经常需要解一元一次方程。
4.5.1函数的零点与方程的解课件2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
0x 0 1,0x，若0
，y 若
fy(x)
f的(x图) 象的和图直象线和直y 线kyx
至k少x
至少
有三个有不三同个的不公同共的点公，共则点实，数则实k 的数取k 值的范取围值是范_围__是_______________________．____．
规律方法 判断函数零点个数的三种常用方法
(1)(1利) 用利(1用方) 利方程用程根方根，程，转根转化，化为转为解化解方为方程解程方，，程有有，几几有个个几不不个同同不的的同实实的数数根实根数就就根有就几有有个几几零个个点零零. 点点. .
例题讲练
题型四 零点性质的应用
例 4（例 例1）44（ （若11f） ）(x若 若) ff ((2xxx))(x22axx (()xx1aa在)) (011, 在 在(()00内,, 有))零内 内点有 有，零 零则点 点a， ，的则 则取aa值的 的范取 取围值 值是范 范( 围 围是 是(( ) ))
fx|x42|
4 |x,
2x|
,
2x
2
，函数，y函数fy
f (fx)f(x2)的
2
的
0 , 0 , x 2x 2
零点有零_点__有__________________个_____个
例题讲练
（4）（已4知）函已数知函f (数x)
f(
x)xx2| ln4xxx2x||l,n14x,x|
,x x
②
f (x)在[a,b]上单调
f (x) 在区间 (a, b) 内有____________零点．
f
(a)
f
(b)
0
例题讲练
题型一 求函数的零点
例 1 求下列函数的零点.
8.1.1函数的零点 高一数学课件(苏教版2019必修第一册)
况下，函数必存在零点？ 如何用(), ()的值刻画这种情况？
（4）剪断绳子，（3）中的结论是否还成立？
.Q
.M
.P
.Q
.M
.P
数学应用
函数零点存在定理
若函数 = ()在区间[, ]上的图象是一条不
间断的曲线, 且()() < 0, 则函数 = ()在区间(, )上有零
8.1.1函数的零点
学习目标
1. 结合二次函数的零点，了解函数零点与方程解的
关系．
2. 结合具体连续函数及其图象的特点，了解零点存
在性定理．
3. 体会并理解函数与方程的相互转化的数学思想．
复习引入
0
零
情景引入
分界
11 : 0
万 没有
1500
占位
开始
合作探究
函数的零点
复习引入
一元二次方
程
方程
的根
-26
那么函数在区间[1,6]上的零点至少有（
A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个
B
）
2（多选题）方程3 − 3 + 1 = 0 的根所在区间是（ ABD）
A. ( − 2, − 1)
B.( − 1,0)
C.(0,1)
D.(1,2)
−2 −1
0
1
2
−1
3
1
−1
3
谢谢
0 是函数 = ()的
零点
0 是方程() = 0的
实数根
思考
0 是函数 = ()图
像与轴交点的横坐标
根据这三者之间的等价关系，如何求函数 = ()的零点？
（4）剪断绳子，（3）中的结论是否还成立？
.Q
.M
.P
.Q
.M
.P
数学应用
函数零点存在定理
若函数 = ()在区间[, ]上的图象是一条不
间断的曲线, 且()() < 0, 则函数 = ()在区间(, )上有零
8.1.1函数的零点
学习目标
1. 结合二次函数的零点，了解函数零点与方程解的
关系．
2. 结合具体连续函数及其图象的特点，了解零点存
在性定理．
3. 体会并理解函数与方程的相互转化的数学思想．
复习引入
0
零
情景引入
分界
11 : 0
万 没有
1500
占位
开始
合作探究
函数的零点
复习引入
一元二次方
程
方程
的根
-26
那么函数在区间[1,6]上的零点至少有（
A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个
B
）
2（多选题）方程3 − 3 + 1 = 0 的根所在区间是（ ABD）
A. ( − 2, − 1)
B.( − 1,0)
C.(0,1)
D.(1,2)
−2 −1
0
1
2
−1
3
1
−1
3
谢谢
0 是函数 = ()的
零点
0 是方程() = 0的
实数根
思考
0 是函数 = ()图
像与轴交点的横坐标
根据这三者之间的等价关系，如何求函数 = ()的零点？
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（ A）
A （1，2） C （0，1）
B （ – 2 ，0） D （0，12 ）
4、已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如 下的x,f(x)对应值表：
x1 23456 7 f(x) 23 9 –7 11 –5 –12 –26
那么函数在区间[1，6]上的零点至少有（ C ）个
A5 B4 C 3 D 2
形
数
函数y=f(x)有零点
零点的求法
图象法
代数法
函数的零点的判定
例1:求证函数f（x）=2x2+3x-７有 两个不同的零点．
问题探究 零点存在性的探索
问题 3：函数 y＝f(x)在某个区间上是否一定有零点？ 怎样的条件下，函数 y＝f(x)一定有零点？
探究: （Ⅰ）观察二次函数 f (x) x2 2x 3的图象： ○1 在区间(-2,0)上有零点______； f (2) _______， f (0) _______, f (2) · f (0) _____0（＜或＞）． ②在区间(2,4)上有零点______； f (2) · f (4) ____0 （＜或＞）．
f ( x) 2x 3x 7的零点近似值
解:令 f ( x) 2x 3来自 7自选练习 1⑴ 下列函数图像与x轴均有交点,其中不能
用二 分法求图中交点横坐标B的是( )
y
y
y
y
x
x
x
A
B
C
温馨
提示 二分法只能用来求变号零
点
x
D
⑵ 判断是非
用二分法求f ( x) x3 x2 3x 2
上零点的近似值时f, (出1.5) 0.875
则此时可推知零点
.
x0 (1,1.5)
在(1,2) ,
(1.5,2)
温馨
提示 端点函数值异号的区间内有零点
方程 用二分法求 函数 方程的近似解
小结
数学
1.寻找解所在的区间
数学
源于生活 (1)图像法 (2)试函数值法 用于生活
2.不断二分解所在的区间
收获与体会:
1．函数零点的定义 2．等价关系 3．函数的零点的存在性以及惟 一性的判断
用二分法求方程的近似解
竞猜游 戏
请你思考
从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点
发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般
至少需要检查接点的个数为
个。
上海A B C D E F G H I J K L M N O 旧金 山
y
0a
bx
y
0a
bx
y 0a
y 0a
bx bx
零点唯一性的探索
如果函数 y=f(x) 在[a,b]上,图象是连续 的，并且在闭区间的两个端点上的函数 值互异（即f(a) ·f(b)﹤0）,且是单调函 数那么，这个函数在(a,b)内必有惟一的 一个零点。
例2：试证明函数f(x)=x3+x2+1在区间
(x1,0)
没有交点
函数的零点
定义：
对于函数y=f(x),使f(x)=0的实数x叫做函数 y=f(x)的零点。
定义辨析：函数y x2 2x 3的零点是： 求函数零点的步骤：
(1)令f(x)=0; (2)解方程f(x)=0； (3)写出零点
等价关系
方程f(x)=0有实数根
数
函数y=f(x)的图象与x轴有 交点
（3）如果把结论中的条件“f(a) ·f(b)＜0’’去掉呢？
（4）若函数y=f(x) 在区间(a, b)内有零点， 一定能得出f(a) ·f(b)<0的结论吗？
（5）在什么样的条件下，零点的个数是惟一的呢？
如果函数 y f (x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，
并且有 f (a) f (b) 0，那么，函数 y f (x)在区间a,b内有零点，
3.根据精确度得出近似解
二分法
逼 近 思 想
数形结合
转 化 思 想
谢谢大家！
解: f (1) 0, f (2) 0
0.01)
区间
中点的值 中点函数值符号 区间长度
（1，2） 1.5 （1，1.5） 1.25 （1.25，1. 5） 1.375 （1.25，1.375）1.3125 （1.3125，1.375）
f(1.5)>0 1 f(1.25)<0 0.5 f(1.375)> 0.25 f0(1.3125)<0 0.125
函数的零点
高一数学 马君
问题·探究
问题1 求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次 函数图象的简图，并写出函数的图象与x轴的交点坐标
方程 函数
函 数 的 图 象
方程的实数根
x2－2x－3=0 x2－2x+1=0 y= x2－2x－3 y= x2－2x+1
y
.
2
.
.y
.
.1
.
－1 0 1 2 3
在十六世纪,人们已经找到了三
次和四次方程的求根公式,但对高于
Abe l
四次的代数方程,类似的努力却一直 没有成到功了. 十九世纪,根据阿贝尔
(Abel)和伽罗瓦(Galois)的研究,人
们认识到高于四次的代数方程不
Galoi 存在求根公式.
s
探一探
求函数 f ( x) x3 x 1 一个零(点精(确精度确度0.1).
－1
－2 －3
. －4
2
x 1. . . －1 0 1 2 x
x1=－1,x2=3
x1=x2=1
x2－2x+3=0 y= x2－2x+3
y
.5 . .4 . 3.
2 1
－1 0 1 2 3 x
无实数根
函数图象与X (－1,0)、(3,0)
轴的交点
(1 , 0)
无交点
问题2 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元 二次方程及相应的二次函数的图象与x轴交点的关系， 上述结论是否仍然成立？
则m的取值范围是（ B ）
A m> – 2 B m< – 2 C m>2 D m<2
2、函数f(x)=x3-16x的零点为( D )
A (0,0),(4,0)
B 0,4
C (– 4 ,0), (0,0),(4,0) D – 4 ,0,4
3、函数f(x)= – x3 – 3x+5的零点所在的大致区间为
法叫做二分法。
※ 给定精确度ε,用二分法求函数f(x)零点
近似值的 步骤:
1.确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε 2.求区间(a,b)的中点a 2 b ,记为c; 3.计算f(c)： (1)若f (c) 0 ,则c 就是函数的零点;
(2)若f (a) f (c) 0 ,则b令 c
（-2，-1）上有零点. 证明：因为：f(-2)=-3＜0
f(-1)=1＞0
且函数f(x)在区间( -2，-1 )上的图象是 不间断的,所以函数f(x)在区间（-2，-1）上 存在零点.
拓展延伸:函数f(x)=x3+x2+1在区间(-2,-1)
上有零点，那么它更靠近那个端点呢？
练一练
1、如果二次函数y=x2+2x+(m+3)有两个不同的零点，
定义：每次取中点，将区间一分为二，再经 比较，按需要留下其中一个小区间的方法叫 二分法，也叫对分法，常用于：
查找线路电线、水管、气管等管道线路故障、 实验 设计、资料查询；
也是方程求近似解的常用方法！
分解因式法;
公式法; 转化成求函数的零点法; 图象法等等
我国古代数学家已比较系统地解 决了部分方程求解的问题,在《九 章算术》,北宋贾宪的《黄帝九章 算法细草》,南宋秦九韶的《数书 九章》中均有记载.
y
y1 x
O
x
零点存在性的探索
结 论结 论
如果函数 y f (x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，
并且有 f (a) f (b) 0，那么，函数 y f (x)在区间a,b内有零点，
讨论：（1）如果函数具备上述两个条件时，
函数有多少零点呢？ （2）如果把结论中的条件“图象连续不断” 除去不要，又会怎样呢？
(此时x零0 (a,c)
点(3)若f (c) f (b) );0 ,则a令 c
(此时x0零 (c,b)
点4.判断是否)达;到给定精确度ε:即若| a b |
则得到零点值a(或b);否则重复2~4.
试一试
借助计算器或计算机用二分法求方程
2x 3x 7 的近似解(精确度0.1).
零点存在性的探索
观察函数的图象
①在区间(a,b)上______(有/无)零点； f(a)·f(b)_____0（＜或＞）．
② 在区间(b,c)上______(有/无)零点； f(b)·f(c) _____ 0（＜或＞）．
③ 在区间(c,d)上______(有/无)零点； f(c)·f(d) _____ 0（＜或＞）．
判别式△ =b2－4ac
△＞0
△=0
方程
两个不相等
有两个相等的
ax2 +bx+c=0(a>0)的根 的实数根x1 、x2 实数根x1 = x2
函数
y= ax2 +bx+c(a>0) 的图象
y
x1 0
x2 x
y 0 x1 x
△＜0 没有实数根
y
0
x
函数的图象 与 x 轴的交点
(x1,0) , (x2,0)
0.0625
A （1，2） C （0，1）
B （ – 2 ，0） D （0，12 ）
4、已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如 下的x,f(x)对应值表：
x1 23456 7 f(x) 23 9 –7 11 –5 –12 –26
那么函数在区间[1，6]上的零点至少有（ C ）个
A5 B4 C 3 D 2
形
数
函数y=f(x)有零点
零点的求法
图象法
代数法
函数的零点的判定
例1:求证函数f（x）=2x2+3x-７有 两个不同的零点．
问题探究 零点存在性的探索
问题 3：函数 y＝f(x)在某个区间上是否一定有零点？ 怎样的条件下，函数 y＝f(x)一定有零点？
探究: （Ⅰ）观察二次函数 f (x) x2 2x 3的图象： ○1 在区间(-2,0)上有零点______； f (2) _______， f (0) _______, f (2) · f (0) _____0（＜或＞）． ②在区间(2,4)上有零点______； f (2) · f (4) ____0 （＜或＞）．
f ( x) 2x 3x 7的零点近似值
解:令 f ( x) 2x 3来自 7自选练习 1⑴ 下列函数图像与x轴均有交点,其中不能
用二 分法求图中交点横坐标B的是( )
y
y
y
y
x
x
x
A
B
C
温馨
提示 二分法只能用来求变号零
点
x
D
⑵ 判断是非
用二分法求f ( x) x3 x2 3x 2
上零点的近似值时f, (出1.5) 0.875
则此时可推知零点
.
x0 (1,1.5)
在(1,2) ,
(1.5,2)
温馨
提示 端点函数值异号的区间内有零点
方程 用二分法求 函数 方程的近似解
小结
数学
1.寻找解所在的区间
数学
源于生活 (1)图像法 (2)试函数值法 用于生活
2.不断二分解所在的区间
收获与体会:
1．函数零点的定义 2．等价关系 3．函数的零点的存在性以及惟 一性的判断
用二分法求方程的近似解
竞猜游 戏
请你思考
从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接点
发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般
至少需要检查接点的个数为
个。
上海A B C D E F G H I J K L M N O 旧金 山
y
0a
bx
y
0a
bx
y 0a
y 0a
bx bx
零点唯一性的探索
如果函数 y=f(x) 在[a,b]上,图象是连续 的，并且在闭区间的两个端点上的函数 值互异（即f(a) ·f(b)﹤0）,且是单调函 数那么，这个函数在(a,b)内必有惟一的 一个零点。
例2：试证明函数f(x)=x3+x2+1在区间
(x1,0)
没有交点
函数的零点
定义：
对于函数y=f(x),使f(x)=0的实数x叫做函数 y=f(x)的零点。
定义辨析：函数y x2 2x 3的零点是： 求函数零点的步骤：
(1)令f(x)=0; (2)解方程f(x)=0； (3)写出零点
等价关系
方程f(x)=0有实数根
数
函数y=f(x)的图象与x轴有 交点
（3）如果把结论中的条件“f(a) ·f(b)＜0’’去掉呢？
（4）若函数y=f(x) 在区间(a, b)内有零点， 一定能得出f(a) ·f(b)<0的结论吗？
（5）在什么样的条件下，零点的个数是惟一的呢？
如果函数 y f (x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，
并且有 f (a) f (b) 0，那么，函数 y f (x)在区间a,b内有零点，
3.根据精确度得出近似解
二分法
逼 近 思 想
数形结合
转 化 思 想
谢谢大家！
解: f (1) 0, f (2) 0
0.01)
区间
中点的值 中点函数值符号 区间长度
（1，2） 1.5 （1，1.5） 1.25 （1.25，1. 5） 1.375 （1.25，1.375）1.3125 （1.3125，1.375）
f(1.5)>0 1 f(1.25)<0 0.5 f(1.375)> 0.25 f0(1.3125)<0 0.125
函数的零点
高一数学 马君
问题·探究
问题1 求出表中一元二次方程的实数根，画出相应的二次 函数图象的简图，并写出函数的图象与x轴的交点坐标
方程 函数
函 数 的 图 象
方程的实数根
x2－2x－3=0 x2－2x+1=0 y= x2－2x－3 y= x2－2x+1
y
.
2
.
.y
.
.1
.
－1 0 1 2 3
在十六世纪,人们已经找到了三
次和四次方程的求根公式,但对高于
Abe l
四次的代数方程,类似的努力却一直 没有成到功了. 十九世纪,根据阿贝尔
(Abel)和伽罗瓦(Galois)的研究,人
们认识到高于四次的代数方程不
Galoi 存在求根公式.
s
探一探
求函数 f ( x) x3 x 1 一个零(点精(确精度确度0.1).
－1
－2 －3
. －4
2
x 1. . . －1 0 1 2 x
x1=－1,x2=3
x1=x2=1
x2－2x+3=0 y= x2－2x+3
y
.5 . .4 . 3.
2 1
－1 0 1 2 3 x
无实数根
函数图象与X (－1,0)、(3,0)
轴的交点
(1 , 0)
无交点
问题2 若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元 二次方程及相应的二次函数的图象与x轴交点的关系， 上述结论是否仍然成立？
则m的取值范围是（ B ）
A m> – 2 B m< – 2 C m>2 D m<2
2、函数f(x)=x3-16x的零点为( D )
A (0,0),(4,0)
B 0,4
C (– 4 ,0), (0,0),(4,0) D – 4 ,0,4
3、函数f(x)= – x3 – 3x+5的零点所在的大致区间为
法叫做二分法。
※ 给定精确度ε,用二分法求函数f(x)零点
近似值的 步骤:
1.确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度ε 2.求区间(a,b)的中点a 2 b ,记为c; 3.计算f(c)： (1)若f (c) 0 ,则c 就是函数的零点;
(2)若f (a) f (c) 0 ,则b令 c
（-2，-1）上有零点. 证明：因为：f(-2)=-3＜0
f(-1)=1＞0
且函数f(x)在区间( -2，-1 )上的图象是 不间断的,所以函数f(x)在区间（-2，-1）上 存在零点.
拓展延伸:函数f(x)=x3+x2+1在区间(-2,-1)
上有零点，那么它更靠近那个端点呢？
练一练
1、如果二次函数y=x2+2x+(m+3)有两个不同的零点，
定义：每次取中点，将区间一分为二，再经 比较，按需要留下其中一个小区间的方法叫 二分法，也叫对分法，常用于：
查找线路电线、水管、气管等管道线路故障、 实验 设计、资料查询；
也是方程求近似解的常用方法！
分解因式法;
公式法; 转化成求函数的零点法; 图象法等等
我国古代数学家已比较系统地解 决了部分方程求解的问题,在《九 章算术》,北宋贾宪的《黄帝九章 算法细草》,南宋秦九韶的《数书 九章》中均有记载.
y
y1 x
O
x
零点存在性的探索
结 论结 论
如果函数 y f (x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，
并且有 f (a) f (b) 0，那么，函数 y f (x)在区间a,b内有零点，
讨论：（1）如果函数具备上述两个条件时，
函数有多少零点呢？ （2）如果把结论中的条件“图象连续不断” 除去不要，又会怎样呢？
(此时x零0 (a,c)
点(3)若f (c) f (b) );0 ,则a令 c
(此时x0零 (c,b)
点4.判断是否)达;到给定精确度ε:即若| a b |
则得到零点值a(或b);否则重复2~4.
试一试
借助计算器或计算机用二分法求方程
2x 3x 7 的近似解(精确度0.1).
零点存在性的探索
观察函数的图象
①在区间(a,b)上______(有/无)零点； f(a)·f(b)_____0（＜或＞）．
② 在区间(b,c)上______(有/无)零点； f(b)·f(c) _____ 0（＜或＞）．
③ 在区间(c,d)上______(有/无)零点； f(c)·f(d) _____ 0（＜或＞）．
判别式△ =b2－4ac
△＞0
△=0
方程
两个不相等
有两个相等的
ax2 +bx+c=0(a>0)的根 的实数根x1 、x2 实数根x1 = x2
函数
y= ax2 +bx+c(a>0) 的图象
y
x1 0
x2 x
y 0 x1 x
△＜0 没有实数根
y
0
x
函数的图象 与 x 轴的交点
(x1,0) , (x2,0)
0.0625