大一高数学习知识重点与例题讲解

大一高数

函数与极限

第一节 函数

○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★） ○邻域（去心邻域）（★） (){},|U a x x a δδ=-<

(){},|0U a x x a δδ=<-

第二节 数列的极限

○数列极限的证明（★）

【题型示例】已知数列{}n x ，证明{}lim n x x a →∞

= 【证明示例】N -ε语言

1．由n x a ε-<化简得()εg n >， ∴()N g ε=⎡⎤⎣⎦

2．即对0>∀ε，()N g ε∃=⎡⎤⎣⎦，当N n >时，始终有不等式n x a ε-<成立， ∴{}a x n x =∞

→lim

第三节 函数的极限

○0x x →时函数极限的证明（★） 【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x x =→0

lim

【证明示例】δε-语言

1．由()f x A ε-<化简得()00x x g ε<-<， ∴()εδg =

2．即对0>∀ε，()εδg =∃，当00x x δ<-<时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x x =→0

lim

○∞→x 时函数极限的证明（★）

【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x =∞

→lim

【证明示例】X -ε语言

1．由()f x A ε-<化简得()x g ε>， ∴()εg X =

2．即对0>∀ε，()εg X =∃，当X x >时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x =∞

→lim

第四节 无穷小与无穷大

○无穷小与无穷大的本质（★） 函数()x f 无穷小⇔()0lim =x f

函数()x f 无穷大⇔()∞=x f lim

○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★）

（定理三）假设()x f 为有界函数，()x g 为无穷小，则()()lim 0f x g x ⋅=⎡⎤⎣⎦

（定理四）在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大，则()1

f x -为无穷小；反之，若()x f 为无穷小，且

()0f x ≠，则()x f 1-为无穷大

【题型示例】计算：()()0

lim x x f x g x →⋅⎡⎤⎣⎦（或∞→x ）

1．∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U ο

内是有界的； （∵()f x ≤M ，∴函数()f x 在D x ∈上有界；） 2．()0lim 0

=→x g x x 即函数()x g 是0x x →时的无穷小； （()0lim =∞→x g x 即函数()x g 是∞→x 时的无穷小；）

3．由定理可知()()0

lim 0x x f x g x →⋅=⎡⎤⎣⎦

（()()lim 0x f x g x →∞

⋅=⎡⎤⎣⎦）

第五节 极限运算法则

○极限的四则运算法则（★★） （定理一）加减法则 （定理二）乘除法则

关于多项式()p x 、()x q 商式的极限运算

设：()()⎪⎩⎪⎨⎧+⋯++=+⋯++=--n

n n m

m m b x b x b x q a x a x a x p 1

101

10

则有()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞=∞→0

lim 0

b a x q x p x m n m n m n >=<

()()()

()000

lim 0

0x x f x g x f x g x →⎧⎪

⎪⎪=∞⎨⎪⎪⎪⎩

()()()()()0000000,00g x g x f x g x f x ≠=≠== （特别地，当()()00

lim 0

x x f x g x →=（不定型）时，通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可

以用罗比达法则求解）

【题型示例】求值23

3

lim

9

x x x →-- 【求解示例】解：因为3→x ，从而可得3≠x ，所以原式()()23

333311

lim lim lim 93336

x x x x x x x x x →→→--====-+-+ 其中3x =为函数()23

9

x f x x -=

-的可去间断点 倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：

解：()()00

2

33323311

lim lim lim 926

9x L x x x x x x x '→→→'--===-'

-

○连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（★★）

（定理五）若函数()x f 是定义域上的连续函数，那么，()()00lim lim x x x x f x f x ϕϕ→→⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦

【题型示例】求值：9

3

lim 23

--→x x x

【求解示例】3

6

x →===

第六节 极限存在准则及两个重要极限

○夹迫准则（P53）（★★★） 第一个重要极限：1sin lim 0=→x

x

x

∵⎪⎭

⎫

⎝⎛∈∀2,

0πx ，x x x tan sin <<∴1sin lim

0=→x x x 0

000lim11lim lim 1sin sin sin lim x x x x x x x x x x →→→→===⎛⎫

⎪⎝⎭

（特别地，000

sin()

lim

1x x x x x x →-=-）

○单调有界收敛准则（P57）（★★★）

第二个重要极限：e x x

x =⎪⎭

⎫

⎝⎛+∞

→11lim

（一般地，()()

()()

lim lim lim g x g x f x f x =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦

，其中()0lim >x f ）

【题型示例】求值：1

1232lim +∞→⎪⎭

⎫ ⎝⎛++x x x x

【求解示例】

()()2111

212

1212

2121

1221

2

2121lim

212

21232122lim lim lim 121212122lim 1lim 121212lim 121x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++→∞→∞+→∞⋅++++⋅⋅+++→∞

+→∞++→∞+++⎛⎫⎛⎫⎛

⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡

⎤⎛⎫⎛

⎫⎢⎥=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭

⎝⎭

⎣

⎦

⎡

⎤⎛

⎫⎢⎥=+

⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦

解：()()12lim 121

21212

121

22lim 121x x x x x x x x x e

e

e e

+→∞⎡⎤

⋅+⎢⎥

+⎣⎦+→∞+→∞⎡⎤⋅+⎢⎥

+⎣⎦

+⎛⎫

⎪

+⎝

⎭

====

第七节 无穷小量的阶（无穷小的比较） ○等价无穷小（★★）

1．

()

~sin ~tan ~arcsin ~arctan ~ln(1)~1U U U U U U U e +-